primitives

primitives
Table des matières
1 intégrale d’une fonction 2
1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 évaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1

1 intégrale d’une fonction
1.1 activité
activité 1 : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deux courbes et primitives
1
2
3
4
01234−1−2−3−4−5
Cf
1. soit la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 4
a. calculer l’aire du rectangle hachuré
b. donner une primitive Fde f
c. calculer Z3
−4
f(x)dx =F(3) −F(−4)
comparer les deux résultats
d. un artisan fabrique 4 objets par heure.
quel nombre d’objets aura t-il fabriqué
sachant qu’il a déja travaillé 4h et
qu’il va encore travailler 3h ?
e. en déduire la valeur moyenne mde fsur [−4; 3] sachant que m=1
3−(−4) Z3
−4
f(x)dx
1
2
3
4
01234−1−2−3−4−5
Cf
2. soit fdéfinie sur Rpar f(x) = 1
2x+ 2
a. calculer l’aire du trapèze hachuré
(rappel : Aire = b+B
2×h)
b. donner une primitive Fde f
c. calculer Z4
−2
f(x)dx =F(4) −F(−2)
comparer les deux résultats
d. en déduire la valeur moyenne mde fsur [−2; 4] sachant que m=1
4−(−2) Z4
−2
f(x)dx
0
1
2
3
4
012345
Cf
3. soit fdéfinie sur Rpar f(x) = −1
2x2+ 3x
a. encadrer l’aire parabolique hachurée
par deux entiers.
b. donner une primitive Fde f
c. calculer Z6
0
f(x)dx =F(6) −F(0)
comparer les deux résultats
d. en déduire la valeur moyenne mde fsur [0; 6]
0
1
2
3
4
012345
CfCg
4. soit fdéfinie sur Rpar f(x) = −1
2x2+ 3x
soit gdéfinie sur Rpar g(x) = 1
2x+ 2
a. encadrer l’aire hachurée par deux entiers.
b. donner Fet Gdes primitives respectives de fet g
c. calculer Z4
1
f(x)dx −Z4
1
g(x)dx comme ci dessus.
comparer les résultats du a. et du c.

corrigé activité 1 : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deux courbes et primitives
1
2
3
4
01234−1−2−3−4−5
Cf
1. soit la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 4
a. aire du rectangle hachuré :
Aire = longueur ×largeur = 7 ×4 = 
28 U.A.
b. une primitive Fde f
F(x) = 4x
c. Z3
−4
f(x)dx =F(3) −F(−4) = 4 ×3−4×(−4)
Z3
−4
f(x)dx = 12 + 16 =
28
Z3
−4
f(x)dx =aire du rectangle
d. il aura fabriqué 
28 objets .
e. valeur moyenne mde fsur [−4; 3] :m=1
3−(−4) Z3
−4
f(x)dx =1
7×28 = 
4
1
2
3
4
01234−1−2−3−4−5
Cf
2. soit fdéfinie sur Rpar f(x) = 1
2x+ 2
a. aire du trapèze hachuré :
aire = aire du rectangle + aire du triangle
aire = 6×1 + 6×3
2= 6 + 9 = 
15 U.A.
b. une primitive Fde f
F(x) = 1
2×1 2x2+ 2x=
1
4x2+ 2x
c. Z4
−2
f(x)dx =F(4) −F(−2) = (1
4×42+ 2 ×4) −(1 4×(−2)2+ 2 ×(−2))
Z4
−2
f(x)dx =F(4) −F(−2) = 12 −(−3) = 
15
Z4
−2
f(x)dx =aire du trapèze
d. valeur moyenne mde fsur [−2; 4] :m=1
4−(−2) Z4
−2
f(x)dx =1
6×15 = 5 2=
2,5

0
1
2
3
4
012345
Cf
3. soit fdéfinie sur Rpar f(x) = −1
2x2+ 3x
a. 
17 ≤aire parabolique hachurée ≤18
b. une primitive Fde f
F(x) = −1
2×1 3x3+ 3 ×1 2x2=
−1
6x3+3 2x2
c. Z6
0
f(x)dx =F(6) −F(0)
Z6
0
f(x)dx = (−1
6×63+3 2×62)−(−1 6×03+3 2×02) = 18 −0 = 
18 U.A.
Z6
0
f(x)dx =aire parabolique hachurée
d. valeur moyenne mde fsur [0; 6] :m=1
6−0Z6
0
f(x)dx =1
6×18 =
3
0
1
2
3
4
012345
CfCg
4. soit fdéfinie sur Rpar f(x) = −1
2x2+ 3x
soit gdéfinie sur Rpar g(x) = 1
2x+ 2
a. 
2≤aire hachurée ≤3
b. Fet Gdes primitives respectives de fet g
F(x) = −1
6x3+3 2x2et 
G(x) = 1
4x2+ 2x
c. Z4
1
f(x)dx −Z4
1
g(x)dx
Z4
1
f(x)dx −Z4
1
g(x)dx =F(4) −F(1) −((G(4) −G(1))
Z4
1
f(x)dx −Z4
1
g(x)dx =F(4) −F(1) −((G(4) −G(1))
F(4) = −1
6×43+3 2×42=−32 3+ 24 = 40 3
F(1) = −1
6×13+3 2×12=4 3
G(4) = 1
4×42+ 2 ×4 = 12
G(1) = 1
4×12+ 2 ×1 = 3 2
Z4
1
f(x)dx −Z4
1
g(x)dx =40
3−4 3−(12 −9 4) = 2,25
ce résultat est cohérent avec celui du a.

activité 2 : Terminales ES - Sujet Callédonie 2005
On considère la fonction fdéfinie sur l’intervalle [0 ; 6] par : f(x) = 3
4x2−3x+ 6
La courbe (Cf)ci-dessous est représentative de fdans un repère orthonormal du plan d’origine O.
La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe (Cf), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite
d’ équation x= 6.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0 1 2 3 4 5
Cf
(a) Calculer, en unités d’aire, l’aire Sde la partie hachurée.
En déduire l’aire en cm2sachant que 1 unité a pour mesure 2cm en abscisses et 0,75cm en ordonnées
(b) Calculer la valeur moyenne de fsur [0 ; 6] et la représenter sur le graphique.
(c) On considère un point Mappartenant à la courbe (Cf)d’abscisse xavec x∈[0 ; 6].
La parallè le à l’axe des ordonnées passant par Mcoupe l’axe des abscisses en un point H.
La parallè le à l’axe des abscisses passant par Mcoupe l’axe des ordonnées en un point K.
On appelle R(x)l’aire, en unités d’aire, du rectangle OHMK.
Prouver que, pour tout xappartenant à l’intervalle [0 ; 6],R(x) = 0,75x3−3x2+ 6x.
(d) On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de xde l’intervalle [0 ; 6] telles que l’aire R(x)
du rectangle OHM K soit égale à l’aire hachurée S.
i. Montrer que le problème précédent revient à résoudre l’équation g(x) = 0 où gest la fonction définie
sur l’intervalle [0 ; 6] par :
g(x) = 0,75x3−3x2+ 6x−36.
ii. Étudier les variations de gsur l’intervalle [0 ; 6] et dresser le tableau de variation de g. En déduire
que l’équation g(x) = 0 admet sur l’intervalle [0 ; 6] une solution unique α.
Donner une valeur approchée de αau centième et placer alors le point Msur le graphique