primitives

primitives
Table des matières
1 intégrale d’une fonction
1.1 activité . . . . . . . .
1.2 à retenir . . . . . . .
1.3 exercices . . . . . . . .
1.4 évaluations . . . . . .
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2
2
7
8
26
1
1.1
intégrale d’une fonction
activité
activité 1 : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deux courbes et primitives
1. soit la fonction f définie sur R par f (x) = 4
Cf
a. calculer l’aire du rectangle hachuré
4
b. donner une primitive F de f
Z 3
c. calculer
f (x)dx = F (3) − F (−4)
3
2
−4
comparer les deux résultats
1
d. un artisan fabrique 4 objets par heure.
quel nombre d’objets aura t-il fabriqué
sachant qu’il a déja travaillé 4h et
qu’il va encore travailler 3h ?
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
1
e. en déduire la valeur moyenne m de f sur [−4; 3] sachant que m =
3 − (−4)
2. soit f définie sur R par f (x) =
c. calculer
3
4
3
f (x)dx
−4
1
x+2
2
Cf
4
a. calculer l’aire du trapèze hachuré
b+B
(rappel : Aire =
×h )
2
b. donner une primitive F de f
Z
Z
2
3
2
1
4
f (x)dx = F (4) − F (−2)
−2
comparer les deux résultats
−5 −4 −3 −2 −1
0
d. en déduire la valeur moyenne m de f sur [−2; 4] sachant que m =
1
2
Z
1
4 − (−2)
1
3. soit f définie sur R par f (x) = − x2 + 3x
2
a. encadrer l’aire parabolique hachurée
par deux entiers.
b. donner une primitive F de f
Z 6
f (x)dx = F (6) − F (0)
c. calculer
3
4
f (x)dx
−2
Cf
4
3
2
1
0
comparer les deux résultats
0
d. en déduire la valeur moyenne m de f sur [0; 6]
1
4. soit f définie sur R par f (x) = − x2 + 3x
2
1
soit g définie sur R par g(x) = x + 2
2
a. encadrer l’aire hachurée par deux entiers.
0
1
2
3
4
5
Cf
Cg
4
3
b. donner F et G des primitives respectives de f et g 2
Z 4
Z 4
1
g(x)dx comme ci dessus.
f (x)dx −
c. calculer
1
1
0
0
comparer les résultats du a. et du c.
1
2
3
4
4
5
corrigé activité 1 : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deux courbes et primitives
1. soit la fonction f définie sur R par f (x) = 4
Cf
a. aire du rectangle hachuré :
Aire = longueur × largeur = 7 × 4 = 28 U.A. 4
b. une primitive F de f F (x) = 4x
2
c.
3
1
3
Z
f (x)dx = F (3) − F (−4) = 4 × 3 − 4 × (−4) −5 −4 −3 −2 −1
−4
Z 3
−4
Z
f (x)dx = 12 + 16 =28 3
f (x)dx = aire du rectangle
−4
0
1
2
3
d. il aura fabriqué 28 objets .
1
e. valeur moyenne m de f sur [−4; 3] : m =
3 − (−4)
2. soit f définie sur R par f (x) =
Z
3
f (x)dx =
−4
1
× 28 = 4 7
1
x+2
2
Cf
4
a. aire du trapèze hachuré :
3
aire = aire du rectangle + aire du triangle
2
6×3
aire = 6 × 1 +
= 6 + 9 = 15 U.A. 2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
b. une primitive F de f
1 1
1
F (x) = × x2 + 2x = x2 + 2x
2 2
4
Z 4
1
1
f (x)dx = F (4) − F (−2) = ( × 42 + 2 × 4) − ( × (−2)2 + 2 × (−2))
c.
4
4
Z−2
4
f (x)dx = F (4) − F (−2) = 12 − (−3) = 15 −2
Z
4
−2
f (x)dx = aire du trapèze
3
4
1
d. valeur moyenne m de f sur [−2; 4] : m =
4 − (−2)
Z
4
−2
f (x)dx =
5
1
× 15 = = 2,5
6
2
4
1
3. soit f définie sur R par f (x) = − x2 + 3x
2
a. 17 ≤ aire parabolique hachurée ≤ 18
Cf
4
3
b. une primitive F de f
2
1 2
1 1 3
1 3 3 2
F (x) = − × x + 3 × x = − x + x
1
2 3
2
2 6
Z 6
0
f (x)dx = F (6) − F (0)
c.
0 1 2
Z0 6
1
3
1
3
f (x)dx = (− × 63 + × 62 ) − (− × 03 + × 02 ) = 18 − 0 =
6
2
6
2
0
Z 6
f (x)dx = aire parabolique hachurée
0
1
d. valeur moyenne m de f sur [0; 6] : m =
6−0
Z
1
4. soit f définie sur R par f (x) = − x2 + 3x
2
1
soit g définie sur R par g(x) = x + 2
2
Z
4
f (x)dx −
1
4
f (x)dx −
1
Z
Z
Cg
1
0
0
4
g(x)dx = F (4) − F (1) − ((G(4) − G(1))
1
4
g(x)dx = F (4) − F (1) − ((G(4) − G(1))
1
1
3
32
40
F (4) = − × 43 + × 42 = − + 24 =
6
2
3
3
1
3
4
F (1) = − × 13 + × 12 =
6
2
3
1
G(4) = × 42 + 2 × 4 = 12
4
1
3
G(1) = × 12 + 2 × 1 =
4
2
Z 4
Z 4
9
40 4
− − (12 − ) = 2, 25
g(x)dx =
f (x)dx −
3
3
4
1
1
ce résultat est cohérent avec celui du a.
1
× 18 = 3 6
2
1
1
18 U.A. 3
3
1
1
F (x) = − x3 + x2 et G(x) = x2 + 2x
6
2 4
Z 4
Z 4
g(x)dx
f (x)dx −
c.
Z
0
5
Cf
f (x)dx =
4
4
a. 2 ≤ aire hachurée ≤ 3 b. F et G des primitives respectives de f et g
6
3
1
2
3
4
5
activité 2 : Terminales ES - Sujet Callédonie 2005
3 2
x − 3x + 6
4
La courbe (Cf ) ci-dessous est représentative de f dans un repère orthonormal du plan d’origine O.
La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe (Cf ), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite
d’ équation x = 6.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6] par : f (x) =
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
Cf
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
(a) Calculer, en unités d’aire, l’aire S de la partie hachurée.
En déduire l’aire en cm2 sachant que 1 unité a pour mesure 2cm en abscisses et 0,75cm en ordonnées
(b) Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 6] et la représenter sur le graphique.
(c) On considère un point M appartenant à la courbe (Cf ) d’abscisse x avec x ∈ [0 ; 6].
La parallè le à l’axe des ordonnées passant par M coupe l’axe des abscisses en un point H.
La parallè le à l’axe des abscisses passant par M coupe l’axe des ordonnées en un point K.
On appelle R(x) l’aire, en unités d’aire, du rectangle OHM K.
Prouver que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 6], R(x) = 0, 75x3 − 3x2 + 6x.
(d) On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de x de l’intervalle [0 ; 6] telles que l’aire R(x)
du rectangle OHM K soit égale à l’aire hachurée S.
i. Montrer que le problème précédent revient à résoudre l’équation g(x) = 0 où g est la fonction définie
sur l’intervalle [0 ; 6] par :
g(x) = 0, 75x3 − 3x2 + 6x − 36.
ii. Étudier les variations de g sur l’intervalle [0 ; 6] et dresser le tableau de variation de g. En déduire
que l’équation g(x) = 0 admet sur l’intervalle [0 ; 6] une solution unique α.
Donner une valeur approchée de α au centième et placer alors le point M sur le graphique
corrigé activité 2 : Terminales ES - Sujet Callédonie 2005 : ex 103 page 199
Z 6
f (x)dx
(a) en unités d’aire, l’aire S de la partie hachurée est S =
0
S=
Z
6
0
3
( x2 − 3x + 6)dx = [F (x)]60 = [0, 25x3 − 1, 5x2 + 6x]60
4
S = F (6) − F (0) = (0, 25 × 63 − 1, 5 × 62 + 6 × 6) − 0 = 36 unités d’aires or une unité d’aire vaut 2 × 0, 75 = 1, 5cm2 ce qui donne en pour S : 36 × 1, 5 = 54cm2 (b) la valeur moyenne de f sur [0 ; 6] est : m =
1
6−0
6
Z
f (x)dx =
0
36
= 6 6
(c) R(x) l’aire, en unités d’aire, du rectangle OHM K = longueur × largeur = x×f (x) = 0, 75x3 − 3x2 + 6x
(d)
i. aire R(x) du rectangle OHM K =aire hachurée S
⇐⇒ 0, 75x3 − 3x2 + 6x = 36 ⇐⇒ 0, 75x3 − 3x2 + 6x − 36 = 0 ⇐⇒ g(x) = 0
ii. variations de g sur l’intervalle [0 ; 6] et tableau de variation de g.
• Calcul de g′ (x) : g′ (x) = 2, 25x2 − 6x + 6
• Annulation et signe de g′ (x) :
g′ (x) est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx + c, on utilise la règle du signe de ax2 + bx + c.
et pour g′ (x) = 0 on utilise le discriminant :
∆ = −18 < 0 donc aucune annulation et on a le tableau de signes suivant.
x
g′ (x)
0
6
+
• variations de g :
x
g′ (x)
0
6
+
54
g(x)
ր
-36
g(0) = −36

g(0) = −36 et −36 < 0



g(6) = 54 et 54 > 0
•
g est continue sur [0; 6] en tant que fonction polynômiale de degré 3



g est strictement croissante sur [0; 6]
d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation g(x) = 0 possède alors une solution unique
α dans [0; 6]
• La calculatrice permet de voir que 4, 55 < α < 4, 56 car :
f (4, 55) ≃ −0, 16 < 0
donc α = 4, 55 ou 4, 56 à 10−2 près.
f (4, 56) ≃ 0, 093 > 0
• conclusion : pour que le rectangle ait la même aire que la surface hachurée, il faut que x = α ≃ 4, 55
1.2
à retenir
Définition : (de l’intégrale)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; F une primitive de f ; a et b deux réels de I.
L’intégrale de a à b de f est le nombre noté :
Z
b
a
a
f (x)dx avec
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
Remarques :
(1) on lit aussi :"intégrale de a à b de f de x dx"
(2) on note aussi : F (b) − F (a) = [F (x)]ba
(3) le choix de la primitive de f n’a pas d’effet sur la valeur de l’intégrale.
Propriétés :
f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I , a et b sont deux réels de I, α ∈ R
Z a
f (x)dx = 0
(P1) : (bornes identiques) :
a
Z
(P2) : (inversion des bornes ) :
(P3) : (relation de Chasles ) :
(P4) : (linéarité) :
Z
b
a
b
Z
a
f (x)dx = −
b
a
f (x)dx +
αf (x)dx = α
Z
Z
Z
b
f (x)dx
a
c
f (x)dx =
b
b
f (x)dx
a
(P6) : (intégrale et ordre) : si f ≥ g sur I alors
c
f (x)dx
a
b
Z
a
(P5) : (intégrale et positivité) : si f ≥ 0 sur I alors
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
b
f (x)dx ≥ 0
a
Z
b
f (x)dx ≥
a
Z
b

•


Z b

•
f (x)dx = Aire entre
•

a


•
g(x)dx
a
la courbe Cf de f
l’axe des abscisses
la droite verticale d’équation x = a
la droite verticale d’équation x = b
où f est positive et continue sur I avec a < b deux réels de I
b
f (x)dx +
a
Z
b
g(x)dx
a
Théorème : (de l’aire "sous" la courbe d’une fonction positive )
Z
1U.A.
Cf
remarque : l’aire trouvée est exprimée en unités d’aires (U.A.)
a
O
b
Cf
Définition : (valeur moyenne d’une fonction)
la valeur moyenne de f sur [ a ; b ] est le nombre m tel que :
1
m=
b−a
Z
b
f (x)dx
a
Remarque : C’est la hauteur m du rectangle de largeur b − a
qui une aire égale à à l’intégrale.
a
O
b
1.3
exercices
exercice 1 :
1. calculer A =
Z
2
x3 dx en utilisant deux primitives distinctes et comparer les résultats
0
2. démontrer la remarque (3)
exercice 2 :
1. démontrer la propriété (P1)
Z
Z 10
x2 dx +
2. déterminer A =
10
−4
x3 dx
sans aucun calculs
−4
exercice 3 :
1. démontrer la propriété (P2)
Z
Z 10
f (x)dx = 12 que vaut alors B =
2. on sait que A =
2
exercice 4 :
1. démontrer la propriété (P3)
Z
Z 10
f (x)dx = 12 et que B =
2. on sait que A =
f (x)dx
?
10
15
f (x)dx = 8 que vaut alors C =
10
2
exercice 5 :
1. démontrer la propriété (P4)
Z
Z 10
f (x)dx = 12 et que
2. on sait que
10
g(x)dx = 18
2
2
a. que vaut alors
2
Z
10
5f (x)dx
?
2
b. que vaut alors
Z
10
(f (x) + g(x))dx
?
2
c. que vaut alors
Z
10
(5f (x) − 3g(x))dx
?
2
exercice 6 :
1. on sait que f (x) < 10 sur [ 1 ; 5 ] démontrer que
2
Z
5
f (x)dx < 40
1
2. on sait que x < g(x) < x sur [ 0 ; 1 ] en déduire un encadrement de
Z
1
g(x)dx
0
exercice 7 :
1. calculer l’aire sous la courbe de la fonction cube entre -2 et 2 et faire une figure
2. calculer l’aire sous la courbe de la fonction carrée entre -2 et 2 et faire une figure
exercice 8 :
1. calculer la valeur moyenne la fonction cube entre -2 et 2 et faire une figure
2. calculer la valeur moyenne de la fonction carrée entre -2 et 2 et faire une figure
Z
15
f (x)dx
2
?
exercice : (62 page 190)
4
soit la courbe de la fonction f avec f (x) = −x + 5 − pour 1 ≤ x ≤ 4
x
Z 4
4
(−x + 5 − )dx
a. calculer
x
1
b. interpréter le résultat en termes d’aire
c. calculer la valeur moyenne de f pour x compris entre 1 et 4
corrigé exercice : (62 page 190)
4
soit la courbe de la fonction f avec f (x) = −x + 5 − pour 1 ≤ x ≤ 4
x
Z 4
4
(−x + 5 − )dx
a.
x
Z1 4
2
2
4
15
x2
4
1
(−x + 5 − )dx = [− + 5x − 4lnx]41 = (− + 5 × 4 − 4ln4) − (− + 5 × 1 − 4ln1) =
− 4ln4
x
2
2
2
1
2
b. interprétation du résultat en termes d’aire :
l’aire du domaine compris entre la courbe de f et l’axe des abscisses pour x compris entre 1 et 4
vaut ≃ 2 unités d’aires c. valeur moyenne de f pour x compris entre 1 et 4
1
m=
4−1
Z
1
4
1 15
4
5 4
(−x + 5 − )dx = ( − 4ln4) = − ln4
x
3 2
2 3
exercice : (57page 190 a.b.c.e. et 58 page 190 a.)
calculer les intégrales suivantes et en déduire les valeurs moyennes associées
a.
b.
c.
d.
e.
Z
Z
Z
Z
Z
3
(x − 4)dx
0
2
(t −
1
1
)dt
t2
0
4q 3 dq
−2
1
(x2 − 1)dx
−1
2
−1
3
dx
x+2
corrigé exercice : (57page 190 a.b.c.e. et 58 page 190 a.)
calculer les intégrales suivantes et en déduire les valeurs moyennes associées
Z 3
(x − 4)dx
a.
0
Z
3
Z
2
x2
32
02
9
15
(x − 4)dx = [ − 4x]30 = ( − 4 × 3) − ( − 4 × 0) = − 12 =
2
2
2
2
2 0
Z 3
1
1 15
5
valeur moyenne de f sur [ 0 ; 3 ] : m =
=
(x − 4)dx = ×
3−0 0
3
2 2 b.
(t −
1
1
)dt
t2
1
t2 1 2
22
1
12 1
t2 −1 2
−
]
=
[
+
]
=
(
+
)
−
(
+
)
=
)dt
=
[
1
1
1 t2
2
t
2
t
2
2
2
1
1
Z 2
1
1
(t − 2 )dt =1 valeur moyenne de f sur [ 1 ; 2 ] : m =
2−1 1
t
c.
Z
2
Z
0
(t −
4q 3 dq
−2
Z 0
−2
4q 3 dq = [q 4 ]30 = (04 ) − (−2)4 = −16 1
valeur moyenne de f sur [ −2 ; 0 ] : m =
0 − (−2)
d.
Z
1
Z
2
(x2 − 1)dx
−1
Z 1
Z
0
4q 3 dq =
−2
1
× (−16) =−8 2
13
(−1)3
1
1
−4
x3
− (−1)) = − 1 + − 1 =
(x2 − 1)dx = [ − x]1−1 = ( − 1) − (
3
3
3
3
3
−1
3 Z 1
1
2
4
1
valeur moyenne de f sur [ −1 ; 1 ] : m =
(x2 − 1)dx = × (− ) = −
1 − (−1) −1
2
3
3 e.
−1
2
3
dx
x+2
3
dx = [3ln(x + 2)]2−1 = 3ln(2 + 2) − (3ln(−1 + 2)) = 3ln4 − 3ln1 = 3ln4 −1 x + 2
Z 2
3
1
1
dx =
× 3ln4 = ln4 valeur moyenne de f sur [ −1 ; 2 ] : m =
3 − 0 −1 x + 2
2 − (−1)
Z
exercice : (60 page 190)
f est définie sur ] − 1 ; +∞ [ par f (x) = x −
1. calculer
Z
Cf
4
(x + 1)2
3
2
4
f (x)dx
2
1
interpréter graphiquement le résultat
(définir la surface par un système d’inéquations)
−1
Z 4
f (x)dx
2. calculer
−1
3. calculer la valeur moyenne de f entre 2 et 4
−3
0
cette intégrale est-elle une aire ?
−2
−4
1U.A.
1
2
3
4
corrigé exercice : (60 page 190)
Cf
f est définie sur ] − 1 ; +∞ [ par f (x) = x −
1.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
4
(x + 1)2
3
2
4
f (x)dx
1
2
4
f (x)dx = [
x2
−1 4
−4×
]
2
x+1 2
f (x)dx = [
4 4
x2
+
]
2
x+1 2
2
4
2
4
2
−1
f (x)dx = 8 +
2
4
f (x)dx =
2
−1
1
2
3
4
−2
42
4
22
4
f (x)dx = ( +
)−( +
)
2
4+1
2
2+1
4
1U.A.
−3
−4
4
4
−2−
5
3
120 12 30 20
82
+
−
−
=
≃ 5, 5
15
15 15 15
15
interprétation graphique du résultat :
l’aire du domaine définit par le système d’inéquation :
2.
Z
Z
Z
Z
Z

 2≤x≤4

4
f (x)dx
0 ≤ y ≤ f (x)
0
4
f (x)dx = [
0
4 4
x2
+
]
2
x+1 0
4
f (x)dx = (
0
42
4
02
4
+
)−( +
)
2
4+1
2
0+1
4
f (x)dx = 8 +
0
4
0
4
−4
5
40 4 20
24
f (x)dx =
+ −
=
5
5
5
5 cette intégrale n’est pas une aire car la fonction change de signe entre 2 et 4
3. valeur moyenne de f entre 2 et 4
1
m=
4−2
Z
2
4
12
1 24
=
f (x)dx = ×
2
5
5 vaut environs 5,5 unités d’aires .
exercice : (93 bis page 196)
30(lnx − 1)2
x
a. calculer la dérivée de la fonction g définie sur ]2 ; 10 [ par g(x) = (lnx − 1)3
f est définie sur ]2 ; 10 [ par f (x) =
b. en déduire une primitive de f sur ]2 ; 10 [
c. en déduire la valeur moyenne de f sur ]2 ; 10 [
d. étudier les variations de f sur ]2 ; 10 [
corrigé exercice : (93 bis page 196)
30(lnx − 1)2
x
a. dérivée de la fonction g définie sur ]2 ; 10 [ par g(x) = (lnx − 1)3
f est définie sur ]2 ; 10 [ par f (x) =
g = u3 =⇒ g′ = 3u2 u′ avec u = lnx − 1 =⇒ u′ =
1
x
1
3(lnx − 1)2
g′ (x) = 3(lnx − 1)2 × =
x x
b. une primitive de f sur ]2 ; 10 [
3(lnx − 1)2
x
30(lnx − 1)2
10g′ (x) =
= f (x)
x
g′ (x) =
10g est une primitive de f
F (x) = 10g(x) = 10(lnx − 1)3 est une primitive de f sur ]2 ; 10 [
c. valeur moyenne de f sur ]2 ; 10 [
Z
Z
Z
10
f (x)dx = [10(lnx − 1)3 ]10
2
2
10
f (x)dx = 10(ln10 − 1)3 − 10(ln2 − 1)3
2
10
f (x)dx ≃ 22, 39
2
1
m=
10 − 2
m≃
Z
10
f (x)dx
2
1
× 22, 39
8
m ≃ 2, 8
d. étude des variations de f sur ]2 ; 10 [
dérivée :

1

 u = 30(lnx − 1)2 =⇒ u′ = 30 × 2 × (lnx − 1) ×
′ v − uv ′
u
u
x
avec
f = =⇒ f ′ =

v
v2

v = x =⇒ v ′ = 1
(∗)
(∗) : (u2 )′ = 2uu′
1
) × x − (30(lnx − 1)2 ) × 1
x
=
x2
30(lnx − 1)(2 − (lnx − 1)
30(lnx − 1)(3 − lnx)
60(lnx − 1) − 30(lnx − 1)2
=
=
f ′ (x) =
2
2
x
x
x2
(30 × 2 × (lnx − 1) ×
f ′ (x)
annulation et signe de la dérivée et variations de f sur ]2 ; 10 [ :
f ′ (x) =
30(lnx − 1)(3 − lnx)
est du signe de (lnx − 1)(3 − lnx) car 30 et x2 sont positifs
x2
il reste à étudier les signes de (lnx − 1) et (3 − lnx) :
lnx − 1 ≥ 0 ⇐⇒ lnx ≥ 1 ⇐⇒ x ≥ e1 ⇐⇒ x ≥ e
avec e ≃ 2, 718
3 − lnx ≥ 0 ⇐⇒ −lnx ≥ −3 ⇐⇒ lnx ≤ 3 ⇐⇒ x ≤ e3
x
lnx − 1
3 − lnx
f ′ (x)
2
+
-
e
0
|
0
10
+
+
+
≃ 1, 41
f (x)
avec e3 ≃ 20, 1 (hors tableau car x ∈]2 ; 10 [)
f (e) =
≃ 5, 09
ց
ր
0
30(lne − 1)2
=0
e
exercice : (92 p196)

1 2


 f (x) = − 4 x + 2x + 5


 g(x) = 32
x2
1. soient les aires hachurées suivantes
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Cf
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
a. calculer l’aire correspondant à f
2.
b. calculer la valeur moyenne de f sur [ 0 ; 10 ]
Z 8
Z 4
f (x)dx
f (x)dx en déduire
c. calculer
0
0


 2≤x≤8
a. calculer l’aire correspondant au système :

 0 ≤ y ≤ 32
x2
32
b. calculer la valeur moyenne de : x 7−→ 2 sur [ 2 ; 8 ]
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Cg
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
corrigé exercice : (92p196)

1 2


 f (x) = − 4 x + 2x + 5
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0


 g(x) = 32
x2
1. soient les aires hachurées suivantes
Cf
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
Cg
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
a. aire correspondant à f :
1
f (x) = − x2 + 2x + 5
4
1
F (x) = − x3 + x2 + 5x
12
S1 =
Z
10
f (x)dx = [F (x)]10
0 = [−
0
1 3
x + x2 + 5x]10
0 = F (10) − F (0)
12
800
1
200
=
U.A. ≃ 66, 7
S1 = (− × 103 + 102 + 5 × 10) − 0 =
12
12 3
b. valeur moyenne de f sur [ 0 ; 10 ] :
1
10 − 0
10
0
200
1
20
×
=
≃ 6, 7
f (x)dx =
10
3
3 4
92
1
368
f (x)dx = F (4) − F (0) = (− × 43 + 42 + 5 × 4) − 0 =
c.
=
U.A. ≃ 30, 7
12
12 3
0
Z 8
184
92
f (x)dx = 2 ×
on en déduit par symétrie de la courbe que
=
U.A.
3 3
0


 2≤x≤8
a. aire correspondant au système :

 0 ≤ y ≤ 32
x2
Z
2.
Z
32
x2
g(x) =
G(x) = −
S2 =
Z
32
x
8
2
S2 = (−
g(x)dx = [G(x)]82 = [−
32 8
] = G(8) − G(2)
x 2
32
32
) − (− ) = 12= 12 U.A. 8
2
32
b. valeur moyenne de : x 7−→ 2 sur [ 2 ; 8 ] :
x
Z 8
1
1
m=
g(x)dx = × 12= 2 8−2 2
6
exercice : (93 page 196)
la capacité pulmonaire d’un humain exprimée en litres dépend de son âge x
110(lnx − 2)
on peut la modéliser par la fonction f telle que : f (x) =
pour x ∈ [ 10 ; 90 ]
x
1. étudier les variations de f sur [ 10 ; 90 ]
2.
a. tracer la courbe de f avec 1cm pour 10 ans et 2cm pour 1 litre.
b. déterminer graphiquement l’intervalle d’âges durant lequel la capacité reste supérieure à 4,5 L
3.
a. calculer la dérivée de g avec g(x) = (lnx − 2)2 et en déduire une primitive de f
b. en déduire la valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre 20 et 70 ans à 0,1 L par défaut
corrigé exercice : (93 page 196)
la capacité pulmonaire d’un humain exprimée en litres dépend de son âge x
110(lnx − 2)
on peut la modéliser par la fonction f telle que : f (x) =
pour x ∈ [ 10 ; 90 ]
x
1. variations de f sur [ 10 ; 90 ]
• dérivée :
110(lnx − 2)
110lnx − 220
=
x
x
1
(110 × ) × x − (110lnx − 220) × 1
330 − 110lnx
x
′
=
f (x) =
x2
x2
f (x) =
• annulation et signe de f ′ (x), varations de f :
f ′ (x) est du signe du numérateur car un carré est positif
330
′
3
f (x) = 0 ⇐⇒ 330 − 110lnx = 0 ⇐⇒ lnx =
⇐⇒x = e 110
330
⇐⇒ x > e3
f ′ (x) < 0 ⇐⇒ 330 − 110lnx < 0 ⇐⇒ lnx >
110
330
f ′ (x) > 0 ⇐⇒ 330 − 110lnx > 0 ⇐⇒ lnx <
⇐⇒ x < e3
110
10
x
′
f (x)
+
d’où :
f (x)
e3 ≃ 20
0
≃ 5, 5
ր
90
f (10) =
ց
≃ 3, 3
2.
≃ 3, 1
a. courbe de f avec 1cm pour 10 ans et 2cm pour 1 litre.
x
f (x)
10
3.3
20
5.5
30
5.1
40
4.6
b. graphiquement :
f (x) > 4, 5 ⇐⇒ x ∈] 12 ; 42 [
3.
110(ln10 − 2)
≃ 3, 3
10
50
4.2
70
3.5
80
3.3
90
3.1
a. g(x) = (lnx − 2)2 = u2
1
g′ (x) = 2(lnx − 2) × = 2uu′
x
2(lnx
−
2)
g′ (x) =
x
60
3.8
F (x) = 55 × (lnx − 2)2
est une primitive de f
2(lnx − 2)
car F ′ (x) = 55 ×
= f (x)
x
5
Cf
4
3
2
b. valeur moyenne de la capacité pulmonaire
entre 20 et 70 ans à 0,1 L par défaut.
Z 70
1
m=
f (x)dx
70 − 20 20
1
m = (F (20) − F (70))
50
m ≃ 4,5 L
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
exercice : (calcul de surplus)
soit x la quantité (en milliers) d’un certain article disponible sur le marché.
le prix unitaire (en euros) de la demande (des consommateurs) est donné par f (x) = −9x + 75
le prix unitaire (en euros) de l’offre (des producteurs) est donné par g(x) = −x2 + 16x + 9
Définition 1 : le prix d’équilibre du marché pe , est le prix associé à la quantité qe pour laquelle le prix
de la demande est égale au prix de l’offre .
Z qe
(f (x) − pe )dx
Définition 2 : le surplus des consommateurs est égal à : Sc =
0
(correspond à l’économie réalisée par les consommateurs qui étaient près à payer plus cher jusqu’àu prix
d’équilibre)
Z qe
(pe − g(x))dx
Définition 3 : le surplus des producteurs est égal à : Sp =
0
(correspond à l’économie réalisée par les consommateurs qui étaient près à vendre moins cher jusqu’àu
prix d’équilibre)
Cg
70
60
50
40
30
Cf
20
10
x
0
0
1
2
3
4
5
1. déterminer graphiquement le prix d’équilibre ainsi que la quantité à l’équilibre grâce à une des définitions
et vérifier par calcul.
2.
a. calculer grâce à une des définitions, le surplus des consommateurs à 0,1 mililers d’euros près et
interpréter le résultat
b. écrire Sc sous la forme d’une différence entre deux intégrales et en déduire une interprétation
graphique de Sc en termes d’aire (colorier la surface associée).
3.
a. calculer grâce à une des définitions, le surplus des producteurs à 0,1 mililers d’euros près.
b. écrire Sp sous la forme d’une différence entre deux intégrales et en déduire une interprétation
graphique de Sp en terme d’aire (colorier la surface associée)
exercice : (aire de la surface entre deux courbes)
7
1. estimer graphiquement un encadrement de
l’aire de la surface hachurée I par deux entiers

1
5

 f (x) = − x2 + 4x −
2
2
2. sachant que :


g(x) = x
déterminer la valeur exacte de I
(considérer deux surfaces)
Cg
6
5
4
3
Cf
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
exercice : (Courbe de Lorentz et Indice de Gini) (bac 2004)
• x est la proportion cumulée de la population du pays ( entre 0 = 0% et 1 = 100%).
• la proportion cumulée des richesses d’un pays F est donnée en fonction de x par f (x) = 0, 9x3 + 0, 1x de
courbe Cf ci dessous. (par exemple : dans ce pays, 40% de la population détient 10% de la richesse)
• la proportion cumulée des richesses d’un pays G est donnée en fonction de x par g(x) = 0, 9x6 + 0, 1x2 de
courbe Cg
• la droite D d’équation y = x représente la distribution parfaitement égalitaire
(pour tout t avec 0 ≤ t ≤ 1 on a : t% de la population détient t% de la richesse)
Définition 1 : L’indice de Gini associé à une courbe de Lorentz Cf est le nombre I = 2

 si I = 0 on dit qu’il y a absence d’inégalité
Définition 2 :
plus I est proche de 1 et plus l’inégalité est grande

si I = 1 on dit qu’il y a inégalité extrème
Z
1
(x − f (x))dx
0
y
0.9
D
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Cf
0.2
Cg
0.1
x
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1. Quelle proportion des richesses du pays G est détenue par 80% de la population ? (graphiquement)
2.
a. Lequel des deux pays semble le plus inégalitaire ?
b. Vérifier que l’indice de Gini vaut 0 dans le cas d’un pays parfaitement égalitaire.
c.
i. Calculer l’indice de Gini du pays F à 0,1 près.
ii. Ecrire I sous la forme du produit par 2 d’une différence entre deux intégrales et en déduire une
interprétation graphique de I en termes d’aire (colorier la surface associée).
d. Calculer l’indice de Gini du pays G à 0,1 près.
e. Comparer les deux pays
3. Représenter ci dessus une courbe de pays extrèmement inégalitaire.
corrigé exercice : (Courbe de Lorentz et Indice de Gini) (bac 2004)
• x est la proportion cumulée de la population du pays ( entre 0 = 0% et 1 = 100%).
• la proportion cumulée des richesses d’un pays F est donnée en fonction de x par f (x) = 0, 9x3 + 0, 1x de
courbe Cf ci dessous. (par exemple : dans ce pays, 40% de la population détient 10% de la richesse)
• la proportion cumulée des richesses d’un pays G est donnée en fonction de x par g(x) = 0, 9x6 + 0, 1x2 de
courbe Cg
• la droite D d’équation y = x représente la distribution parfaitement égalitaire
(pour tout t avec 0 ≤ t ≤ 1 on a : t% de la population détient t% de la richesse)
Définition 1 : L’indice de Gini associé à une courbe de Lorentz Cf est le nombre I = 2

 si I = 0 on dit qu’il y a absence d’inégalité
Définition 2 :
plus I est proche de 1 et plus l’inégalité est grande

si I = 1 on dit qu’il y a inégalité extrème
y
0.9
D
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Cf
0.2
Cg
0.1
Ch
x
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1. 30% des richesses du pays G est détenue par 80% de la population (graphiquement)
2.
a. le pays
(G
semble
le plus inégalitaire :
30% des
richesses du pays G est détenue par 80% de la population
car :
≃ 55% des richesses du pays F est détenue par 80% de la population
b. Indice de Gini dans le cas d’un pays parfaitement égalitaire.
I =2
I =2
Z
Z
1
(x − h(x))dx avec h(x) = x
0
1
(x − x)dx = 2
0
Z
1
0
0dx = [k]10 = k − k = 0 Z
1
(x − f (x))dx
0
c.
i. Indice de Gini du pays F à 0,1 près.
I=2
I=2
I=2
Z
Z
Z
1
(x − f (x))dx
0
1
(x − (0, 9x3 + 0, 1x))dx
0
1
(−0, 9x3 + 0, 9x)dx
0
1
1
14
12
I = 2 × [−0, 9 × x4 + 0, 9 × x2 ]10 = 2 × ((−0, 9 ×
+ 0, 9 × ) − (0)) = 0, 45
4
2
4
2
ii. Ecrire I sous la forme du produit par 2 d’une différence entre deux intégrales et en déduire une
interprétation graphique de I en termes d’aire (colorier la surface associée).
I=2
Z
1
0
Z
(x − f (x))dx = 2(
1
xdx −
0
Z
1
f (x)dx)
0
I = 2(aire du triangle - aire sous la courbe de f )
I = 2(aire entre la droite D et la courbe de f )
d. Calculer l’indice de Gini du pays G à 0,1 près.
I =2
I =2
I =2
Z
Z
Z
1
(x − g(x))dx
0
1
(x − (0, 9x6 + 0, 1x2 ))dx
0
1
(−0, 9x6 − 0, 1x2 + x)dx
0
1
1
1
17
13 12
I = 2 × [−0, 9 × x7 − 0, 1 × x3 + x2 ]10 = 2 × ((−0, 9 ×
− 0, 1 ×
+ ) − (0) =≃ 0, 68 7
3
2
7
3
2
e. Comparer les deux pays
Selon l’indice de Gini :
le pays G est beaucoup plus inégalitaire que le pays F car 0, 68 > 0, 45
3. Représenter ci dessus une courbe de pays extrèmement inégalitaire. voir Ch 1.4
évaluations
evaluation calcul intégral
nom, prénom : ...
exercice 1 : (compléter les résultats de cours)
Z b
f (x)dx = ...
où ... est une ...
1.
de f
a
2. pour une fonction f positive sur [a; b] :
Z
b
f (x)dx = aire de la surface comprise entre :
a
(faire un dessin)















3. la valeur moyenne m de f entre a et b est : m = ...
exercice 2 :
1. calculer les intégrales suivantes
a.
b.
c.
Z
Z
Z
6
(x2 + x − 4)dx
0
2
1
1
1
( − 2 )dt
t
t
0
2q 3 dq
−2
2. calculer la valeur moyenne de f entrer 0 et 6 pour f (x) = x2 + x − 4
(utiliser le résultat du 1.a.)
exercice 3 :
7
1. estimer graphiquement la valeur de I =
Z
5
f (x)dx
1
à une unité d’aire près : I ≃ ...
6
pour x > 0
x+1
a. montrer que F telle que F (x) = 4x + 6ln(x + 1)
est une primitive de f pour x > 0
2. on sait que f (x) = 4 +
6
Cf
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
b. en déduire la valeur exacte de I écrite sous la forme
n + lnp où n et p sont deux entiers puis donner une valeur approchée de I à 0,1 près.
5
c. en déduire la valeur moyenne de f sur [1 ; 5] à 0,1 près et représenter cette valeur sur le graphique.
corrigé evaluation calcul intégral
exercice 1 : (compléter les résultats
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a) où
1.
a
nom, prénom : ...
de cours)
F est une primitive de f
Cf
2. pour une fonction f positive sur [a; b] :

Z b
 la courbe de F
f (x)dx = aire de la surface comprise entre :
l’axe des abscisses

a
pour x compris entre a et b
a
Z b
1
3. la valeur moyenne m de f entre a et b est : m =
f (x)dx
b−a a
exercice 2 :
1. calculer les intégrales suivantes
a.
Z
Z
b.
Z
Z
c.
Z
Z
6
(x2 + x − 4)dx
0
6
(x2 + x − 4)dx = [
0
63
62
x3 x2
+
− 4x]60 = ( +
− 4 × 6) − (0) = 66 3
2
3
2
2
1
1
( − 2 )dt
t
t
2
1
1
1
1
−1 2
1
1
]1 = [lnt + ]21 = (ln2 + ) − (ln1 + ) = ln2 −
( − 2 )dt = [lnt −
t
t
t
t
2
1
2
1
1
0
2q 3 dq
−2
0
1
1
1
1
2q 3 dq = [2 × q 4 ]0−2 == [ q 4 ]0−2 = ( × 04 ) − ( × (−2)4 ) = −8 4
2
2
2
−2
2. calculer la valeur moyenne de f entrer 0 et 6 pour f (x) = x2 + x − 4
1
m=
6−0
Z
0
6
(x2 + x − 4)dx =
1
× 66 = 11 6
b
exercice 3 :
7
1. estimer graphiquement la valeur de I =
à une unité d’aire près : I ≃ 23 Z
5
f (x)dx
1
6
Cf
5
4
6
pour x > 0
x+1
a. montrer que F telle que F (x) = 4x + 6ln(x + 1)
est une primitive de f pour x > 0 :
2. on sait que f (x) = 4 +
3
2
1
0
0
F (x) = 4x + 6ln(x + 1)
1
2
3
4
5
1
6
F ′ (x) = 4 + 6 ×
=4+
= f (x)
C.Q.F.D.
x+1
x+1
b. en déduire la valeur exacte de I écrite sous la forme
n + lnp où n et p sont deux entiers puis donner une valeur approchée de I à 0,1 près.
I = F (5) − F (1) = (4 × 5 + 6ln(5 + 1)) − (4 × 1 + 6ln(1 + 1))
I = 20 + 6ln(6) − 4 − 6ln(2))
I = 16 + ln(66 ) − ln(26 )
66
)
26
6
I = 16 + ln(( )6 )
2
I = 16 + ln(
I = 16 + ln((3)6 )
I = 16 + ln(729)
I ≃ 22, 6
c. en déduire la valeur moyenne de f sur [1 ; 5] à 0,1 près et représenter cette valeur sur le graphique.
1
m=
5−1
Z
1
5
f (x)dx =
1
× (16 + ln(729)) ≃ 5, 7
4
corrigé devoir maison
exercice 1 : (31p187)
7−3
a. g1′ (0) = 4 =
coefficient directeur de la tangente (AD) avec A(0; 3) et D(1; 7)
1−0
1 − (−1)
g2′ (0) = 2 =
coefficient directeur de la tangente (BE) avec B(0; −1) et E(1; 1)
1−0
−3 − (−1)
g3′ (0) = 2 =
coefficient directeur de la tangente (CF ) avec C(0; −1) et D(1; −3)
1−0

F est une primitive de f donc F ′ = f

seule C3 convient
b. f donc F ′ est négative puis positive donc F est décroissante puis croissante

f (−1) = F ′ (−1) ≃ 2, 75
(le coefficient directeur de la tangente à C3 en x = −1 est ≃ 2, 75, ce qui n’est pas le cas pour C2 )
On peut tracer une infinité de courbes représentant une autre primitive de f car f admet une infinité de primitives
exercice 2 : (107p201)
3x2
− 2x + 3 + ln(x + 1) sur [ 0 ; 6 ]
1. f (x) =
4
3x
1
3x(x + 1) − 4(x + 1) + 2
3x2 − x − 2
f ′ (x) =
−2+
=
=
2
x+1
2(x + 1)
2(x + 1)
2
= 0 ⇐⇒
− x − 2 = 0 et 2(x + 1) 6= 0 ⇐⇒ x ∈ { − ; 1 } en utilisant le discriminant
3
x
0
1
6
2
3x − x − 2
0
+
2(x + 1)
+
+
d’où le tableau de variations :
f ′ (x)
0
+
3
≃ 20
f (x)
ց
ր
≃ 2, 4
3x2
f ′ (x)
2. le coût marginal est minimal quand f est minimale, c’est à dire pour x = 1 millier d’objets
(d’après les variations de f )
3. F (x) = (x + 1)ln(x + 1) − x
a. F ′ (x) = 1 × ln(x + 1) + (x + 1) ×
1
− 1 = ln(x + 1)
x+1
donc F est une primitive de x 7−→ ln(x + 1)
b. le coût total de production CT est une primitive du coût marginal f
1
3 1 3
× x − 2 × x2 + 3x + (x + 1)ln(x + 1) − x + k
4 3
2
1 3
soit : CT (x) = x − x2 + 2x + (x + 1)ln(x + 1) + k
4
donc CT (x) =
de plus CT (0) = 10 car les coûts fixes sont de 10 milliers d’euros
donc : CT (0) =
1
× 03 − 02 + 2 × 0 + (0 + 1)ln(0 + 1) + k = 10
4
1
soit k = 10 conclusion : CT (x) = x3 − x2 + 2x + (x + 1)ln(x + 1) + 10
4
evaluation
nom, prénom : ...
exercice 1 : (aire de la surface entre deux courbes)
7
1. estimer graphiquement un encadrement de
6
l’aire de la surface hachurée I par deux entiers
5
où I est en unités d’aires :
... ≤ I ≤ ...
Cg
4
3

5
1

 f (x) = − x2 + 4x −
2
2
2. sachant que :


g(x) = x
Z 5
f (x)dx
a. calculer la valeur exacte de
Cf
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
b. calculer la valeur exacte de
Z
5
g(x)dx
1
c. en déduire la valeur exacte de l’aire hachurée I et vérifier la cohérence avec le résultat graphique
corrigé evaluation
exercice 1 : (aire de la surface entre deux courbes)
7
1. on estime graphiquement un encadrement de
6
l’aire de la surface hachurée I par deux entiers
5
4
où I est en unités d’aires : 4 ≤ I ≤ 5 
5
1

f (x) = − x2 + 4x −



2
2
2. sachant que :


g(x) = x


a.
Z
5
f (x)dx = [
1
Z
5
Z
5
x3
Cg
3
Cf
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x2
−1
5
1
5
×
+4×
− x]51 = [− x3 + 2x2 − x]51
2
3
2
2
6
2
1
5
1
5
f (x)dx = (− × 53 + 2 × 52 − × 5) − (− × 13 + 2 × 12 − × 1)
6
2
6
2
1
R5
52
17, 33
1 f (x)dx = 3 ≃ b.
Z
g(x)dx = [
1
5
g(x)dx =
1
R5
1
x2 5
]
2 1
52 12
−
2
2
f (x)dx = 12 c. valeur exacte de l’aire hachurée I =
Z
5
f (x)dx −
1
Z
5
g(x)dx =
1
ce qui est cohérent avec le résultat graphique de la question 1.
16
52
− 12 =
≃ 5, 33
3
3