Équations de droites

Équations de droites
I/ Alignement, colinéarité
II/ Coefficient directeur
III/ Équations de droites
1/ Définition
2/ Comment dire si un point appartient à une droite dont on connaît l’équation
3/ Propriétés
4/ Comment tracer une droite dont on connaît l’équation
5/ Trouver l’équation d’une droite donnée
6/ Propriétés générales
IV/ Intersection de deux droites sécantes
I/ Alignement, colinéarité
Définition: deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction.
Rappel: le vecteur nul ( noté
0
) est le vecteur de longueur 0.
On ne cherchera pas à savoir si
0
est colinéaire à un autre vecteur.
Remarque: les vecteurs A
B
et C
D
sont colinéaires si et seulement si ( AB ) // ( CD ).
Remarque: A
B
et A
C
sont colinéaires si et seulement si les points A, B et C sont alignés.
Propriété: deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont
proportionnelles.
Exemple: soit
u
2
1
. Les vecteurs suivants sont colinéaires à
u
:
v
4
2
;
w
2
1
;
x
24
12
.
Rappel: pour savoir si deux séries de deux nombres sont proportionnelles, on peut faire un
produit en croix.
5 3 5 12 = 60
20 3 = 60
20 12 donc les séries ( 5 ; 20 ) et ( 3 ; 12 ) sont proportionnelles.
Exemple: les points A ( 2 ; 5 ) , B ( 7 ; - 6 ) et C ( 1637 ; -3591 ) sont-ils alignés ?
Rappel: A
B
x x
y y
B A
B A

A
B
7 2
6 5
=
5
11
; A
C
1637 2
3591 5
=
1635
3596
5 1635 5 ( - 3596 ) = 17980
- 11 1635 = 17985 17980
- 11 - 3596 donc A
B
et A
C
ne sont pas colinéaires
donc A, B et C ne sont pas alignés.
II/ Coefficient directeur
Le coefficient directeur d’une droite est un nombre qui mesure son inclinaison.
Dire que le coefficient directeur d’une droite est 3 signifie:
si l’on part d’un point d’une droite
si l’on se déplace d’un carreau vers la droite
si l’on se déplace de 3 carreaux vers le haut
alors on se retrouve sur cette droite.
Le coefficient directeur est 3.
Le coefficient directeur est 2.
Le coefficient directeur est 1.
Le coefficient directeur est
1
2
.
Propriétés:
le coefficient directeur d’une droite horizontale est 0
deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
cette droite a un coefficient directeur positif
cette droite a un coefficient directeur négatif

Le coefficient directeur est - 5.
Le coefficient directeur est -
1
3
.
Remarque: une droite verticale n’a pas de coefficient directeur.
Remarque: quand on travaille dans un repère orthonormé, au lieu de « coefficient directeur »,
on peut dire « pente ».
pente supérieure à 1
pente 1
pente comprise entre 0 et 1
pente 0
pente comprise entre -1 et 0
pente -1
pente inférieure à -1

Tracer une droite de coefficient directeur donné
Exercice: tracer la droite de coefficient directeur 2 qui passe par A ( - 3 ; - 1 ).
On part de A, on se déplace d’un carreau vers la droite puis de deux carreaux vers le haut.
On arrive à un point B qui appartient lui aussi à la droite qu’on veut tracer.
On connaît deux points de cette droite, on peut la tracer.
B
A
Comment déterminer le coefficient directeur par le calcul
Soient A ( - 1 ; - 1 ) ; B ( 1 ; 3 ) ; C ( 2 ; 5 ) ; D ( - 2 ; - 3 ).
A, B, C et D sont alignés sur une droite .
C
B
A
D
Calculons les cordonnées des vecteurs A
B
, A
C
, A
D
, B
C
, B
D
, C
D
.
A
B
2
4
A
C
3
6
A
D
1
2
B
C
1
2
B
D
3
6
C
D
4
8
On constate que ces coordonnées forment un tableau de proportionnalité: pour chacun de ces
vecteurs, on passe de la première coordonnée à la deuxième en multipliant par 2.
2 est le coefficient directeur de la droite ( AB ).
Un vecteur représente un déplacement.

Ce déplacement se décompose en un déplacement horizontal (première coordonnée) et un
déplacement vertical (deuxième coordonnée).
Définition: le coefficient directeur d’une droite est le coefficient qui permet de passer du
déplacement horizontal au déplacement vertical.
coefficient directeur
déplacement horizontal déplacement vertical
Problème inverse: donner le coefficient directeur d’une droite
Définition: si la droite et le vecteur
u
ont la même direction, on dit que
u
est un vecteur
directeur de la droite .
u
Exercice: soient A ( - 1 ; - 3 ) et B ( 2 ; 9 ). Donner le coefficient directeur de ( AB ).
A
B
2 1
9 3
( )
( )
=
3
12
.
Pour passer de 3 à 12 on multiplie par 4 donc le coefficient directeur de ( AB ) est 4.
De même si A ( - 2 ; 3 ) et B ( 3 ; 1 ), A
B
5
2
et le coefficient directeur de ( AB ) est -
2
5
.
De même si A ( 2 ; 3 ) et B ( 5 ; 3 ), A
B
3
0
et le coefficient directeur de ( AB ) est 0.
De même si A ( 2 ; 3 ) et B ( 2 ; 1 ), A
B
0
2
et ( AB ) n’a pas de coefficient directeur.
Propriété: si une droite admet
u
u
u1
2
comme vecteur directeur,
alors son coefficient directeur est -
u
u2
1
(si u 1 0)
Propriété: si une droite a pour coefficient directeur a, alors elle admet
u
1
a
comme vecteur
directeur.
Exercice: donner les coordonnées de trois vecteurs directeurs d’une droite de coefficient
directeur 5, d’une droite de coefficient directeur -
3
4
.