NOM …………… 1 S 2 – CONTRÔLE 8 CORRIGÉ 22/5/2009

NOM …………… 1 S 2 – CONTRÔLE 8 CORRIGÉ 22/5/2009
EXERCICE 1 2) Une pièce mécanique est fabriquée en série. Parmi ces pièces 1 % présentent le défaut A, 2 % le défaut B et
0,1 % ces deux défauts. On prélève une pièce au hasard. Calculer la probabilité qu’elle présente au moins un des deux défauts
Soit A l’événement « La pièce présente le défaut A » et B l’événement « La pièce présente le défaut B ».
L’événement« La pièce présente au moins un des deux défauts » se note A ∪ B.
p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A ∩ B ) = 0,01 + 0,02 – 0,001 = 0,029
EXERCICE 3 Un commerçant propose un lot de 300 vis de 3 longueurs différentes : 20 mm ; 35 mm ; 50 mm, et de deux
formes différentes : tête cruciforme ou tête plate.
Il y a autant de vis de 20 mm que de vis cruciformes. Il y a deux fois plus de vis de 35 mm que de 20 mm. 20 % des vis de 20
mm sont cruciformes. Il y a 75 vis de 20 mm et 45 vis plates de 50 mm. On choisit au hasard une vis de ce lot.
1) Compléter le tableau d’effectifs ci-dessous en donnant le détail des principaux calculs :
20 mm E 35 mm F 50 mm G Totaux
C Cruciforme 15 30 30 75
C Tête plate 60 120 45 225
Totaux 75 150 75 300
2) Définir par une phrase l’événement C ∪ F puis déterminer sa probabilité.
C ∪ F est l’événement « On a choisi une vis cruciforme ou une vis de 35 mm ».
p ( C ∪ F ) = p ( C ) + p ( F ) – p ( C ∩ F ) = 75
300 + 150 300 – 30 300 = 195 300 = 13 20 = 0,65
3) Soit l’événement : « On a choisi une vis à tête plate de 50 mm ».
Donner une notation de cet événement à l’aide des événements C, E, F ou G puis calculer sa probabilité.
L’événement se note C ∩ G. p ( C ∩ G ) = 45
300 = 0,15
4) Soit H l’événement : « On a choisi une vis d’au moins 35 mm »
Donner deux notations de l’événement H à l’aide des événements C, E, F ou G puis calculer sa probabilité.
L’événement H se note E ou F ∪ G.
p ( H ) = 1 – p ( E ) = 1 – 75
300 = 225 300 = 0,75
5) La vis choisie est une vis à tête plate. Calculer la probabilité que ce soit alors une vis de 50 mm.
On a un univers comportant 225 issues toutes équiprobables. La probabilité cherchée vaut 45
225 = 0,2
EXERCICE 4 On compose au hasard un code sur un cadenas avec trois molettes comportant chacune 10 chiffres.
1) Calculer la probabilité que le code comporte trois fois le même chiffre.
On a en tout 10 × 10 × 10 = 1000 codes possibles tous équiprobables.
Il y a 10 codes comportant trois fois le même chiffre donc la probabilité cherchée est 10
1000 = 0,01
2) Calculer la probabilité que le code comporte trois chiffres tous différents les uns des autres.
Pour la 1
ère
molette on a 10 possibilités puis 9 et 8 pour les molettes suivantes.
Soit en tout 10 × 9 × 8 = 720 codes comportant trois chiffres tous différents les uns des autres.
La probabilité cherchée est p
1
= 720
1000 = 0,72
3) Calculer la probabilité que le code comporte au moins deux fois le même chiffre.
Cet événement est le contraire de l’événement précédent donc sa probabilité est 1 – p
1
= 0,28
4) a) Calculer la probabilité que le code comporte deux fois exactement le chiffre 0.
Il y a 9 possibilités pour le chiffre autre que zéro. Il peut être obtenu en 1
er
, 2
e
ou 3
e
.
La probabilité cherchée est p
2
= 3 × 1 × 1 × 9
1000 = 0,027
b) En déduire la probabilité que le code comporte deux fois exactement le même chiffre.
Comment peut-on contrôler ce résultat à partir des résultats précédents.
La probabilité cherchée est p
3
= 10 p
2
= 0,27 car il y a 10 chiffres.
On peut distinguer trois types de codes : – les 10 codes comportant trois fois le même chiffre ;
– les 720 codes comportant trois chiffres tous différents les uns des autres ;
– les 270 codes comportant deux fois exactement le même chiffre.
Soit un total de 1000 codes. (On a p
1
+ p
2
+ p
2
= 1)

EXERCICE 5 Soit a un nombre réel. Une variable aléatoire X prend les valeurs a, 0 et 1.
On sait que p (X = 0) = 0,3 et p (X = 1) = 0,5. Déterminer a sachant que l’espérance de X est nulle.
p (X = a) + p (X = 0) + p (X = 1) = 1 ⇔ p (X = a) + 0,3 + 0,5 = 1 ⇔ p (X = a) = 0,2
E = 0 ⇔ a × p (X = a) + 0 × p (X = 0) + 1 × p (X = 1) = 0 ⇔ 0,2 a + 0,5 = 0 ⇔ a = – 0,5
0,2 ⇔ a = – 2,5
EXERCICE 6 Une urne contient quatre boules numérotées 1, 2, 3 et 4.
On tire une boule au hasard puis on en tire une seconde, sans avoir remis dans l’urne la première boule tirée.
Soit X la variable aléatoire définie par la somme des nombres portés par les deux boules tirées.
1 2 3 4 On a 12 issues toutes équiprobables.
On peut aussi considérer seulement 6, elles aussi équiprobables. On ne tient pas
alors compte de l’ordre. Ceci revient à un tirage simultané de 2 boules.
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
x
i
3 4 5 6 7 Total
p ( X = x
i
)
2
12 =
1
6
2
12 =
1
6
4
12 =
2
6
2
12 =
1
6
2
12 =
1
6 1
x
i
× p ( X = x
i
)
3
6
4
6
10
6
6
6
7
6
5
x
i
² × p ( X = x
i
)
9
6
16
6
50
6
36
6
49
6
160
6 =
80
3
L’espérance de X est E = 5.
La variance de X est V = 80
3 – 5 ² = 5 3