NOM …………… 1 S 2 – CONTRÔLE 8 CORRIGÉ 22/5/2009

NOM ……………
1 S 2 – CONTRÔLE 8 CORRIGÉ
22/5/2009
EXERCICE 1 2) Une pièce mécanique est fabriquée en série. Parmi ces pièces 1 % présentent le défaut A, 2 % le défaut B et
0,1 % ces deux défauts. On prélève une pièce au hasard. Calculer la probabilité qu’elle présente au moins un des deux défauts
Soit A l’événement « La pièce présente le défaut A » et B l’événement « La pièce présente le défaut B ».
L’événement« La pièce présente au moins un des deux défauts » se note A ∪ B.
p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) – p ( A ∩ B ) = 0,01 + 0,02 – 0,001 = 0,029
EXERCICE 3 Un commerçant propose un lot de 300 vis de 3 longueurs différentes : 20 mm ; 35 mm ; 50 mm, et de deux
formes différentes : tête cruciforme ou tête plate.
Il y a autant de vis de 20 mm que de vis cruciformes. Il y a deux fois plus de vis de 35 mm que de 20 mm. 20 % des vis de 20
mm sont cruciformes. Il y a 75 vis de 20 mm et 45 vis plates de 50 mm. On choisit au hasard une vis de ce lot.
1)
2)
3)
4)
Compléter le tableau d’effectifs ci-dessous en donnant le détail des principaux calculs :
20 mm E
35 mm F
50 mm G
Totaux
C Cruciforme
15
30
30
75
C Tête plate
60
120
45
225
Totaux
75
150
75
300
Définir par une phrase l’événement C ∪ F puis déterminer sa probabilité.
C ∪ F est l’événement « On a choisi une vis cruciforme ou une vis de 35 mm ».
p ( C ∪ F ) = p ( C ) + p ( F ) – p ( C ∩ F ) = 75 + 150 – 30 = 195 = 13 = 0,65
300 300 300 300 20
Soit l’événement : « On a choisi une vis à tête plate de 50 mm ».
Donner une notation de cet événement à l’aide des événements C, E, F ou G puis calculer sa probabilité.
L’événement se note C ∩ G. p ( C ∩ G ) = 45 = 0,15
300
Soit H l’événement : « On a choisi une vis d’au moins 35 mm »
Donner deux notations de l’événement H à l’aide des événements C, E, F ou G puis calculer sa probabilité.
L’événement H se note E ou F ∪ G.
p ( H ) = 1 – p ( E ) = 1 – 75 = 225 = 0,75
300 300
5) La vis choisie est une vis à tête plate. Calculer la probabilité que ce soit alors une vis de 50 mm.
On a un univers comportant 225 issues toutes équiprobables. La probabilité cherchée vaut 45 = 0,2
225
EXERCICE 4 On compose au hasard un code sur un cadenas avec trois molettes comportant chacune 10 chiffres.
1) Calculer la probabilité que le code comporte trois fois le même chiffre.
On a en tout 10 × 10 × 10 = 1000 codes possibles tous équiprobables.
Il y a 10 codes comportant trois fois le même chiffre donc la probabilité cherchée est 10 = 0,01
1000
2) Calculer la probabilité que le code comporte trois chiffres tous différents les uns des autres.
Pour la 1ère molette on a 10 possibilités puis 9 et 8 pour les molettes suivantes.
Soit en tout 10 × 9 × 8 = 720 codes comportant trois chiffres tous différents les uns des autres.
La probabilité cherchée est p1 = 720 = 0,72
1000
3)
Calculer la probabilité que le code comporte au moins deux fois le même chiffre.
Cet événement est le contraire de l’événement précédent donc sa probabilité est 1 – p1 = 0,28
4) a) Calculer la probabilité que le code comporte deux fois exactement le chiffre 0.
Il y a 9 possibilités pour le chiffre autre que zéro. Il peut être obtenu en 1er, 2e ou 3e.
La probabilité cherchée est p2 = 3 × 1 × 1 × 9 = 0,027
1000
b) En déduire la probabilité que le code comporte deux fois exactement le même chiffre.
Comment peut-on contrôler ce résultat à partir des résultats précédents.
La probabilité cherchée est p3 = 10 p2 = 0,27 car il y a 10 chiffres.
On peut distinguer trois types de codes : – les 10 codes comportant trois fois le même chiffre ;
– les 720 codes comportant trois chiffres tous différents les uns des autres ;
– les 270 codes comportant deux fois exactement le même chiffre.
Soit un total de 1000 codes. (On a p1 + p2 + p2 = 1)
EXERCICE 5 Soit a un nombre réel. Une variable aléatoire X prend les valeurs a, 0 et 1.
On sait que p (X = 0) = 0,3 et p (X = 1) = 0,5. Déterminer a sachant que l’espérance de X est nulle.
p (X = a) + p (X = 0) + p (X = 1) = 1 ⇔ p (X = a) + 0,3 + 0,5 = 1 ⇔ p (X = a) = 0,2
E = 0 ⇔ a × p (X = a) + 0 × p (X = 0) + 1 × p (X = 1) = 0 ⇔ 0,2 a + 0,5 = 0 ⇔ a = – 0,5 ⇔ a = – 2,5
0,2
EXERCICE 6 Une urne contient quatre boules numérotées 1, 2, 3 et 4.
On tire une boule au hasard puis on en tire une seconde, sans avoir remis dans l’urne la première boule tirée.
Soit X la variable aléatoire définie par la somme des nombres portés par les deux boules tirées.
1
1
2
3
4
2
3
3
4
5
5
6
3
4
5
4
5
6
7
On a 12 issues toutes équiprobables.
On peut aussi considérer seulement 6, elles aussi équiprobables. On ne tient pas
alors compte de l’ordre. Ceci revient à un tirage simultané de 2 boules.
7
xi
p(X=xi)
xi×p(X=xi)
xi²×p(X=xi)
3
2 =1
12 6
3
6
9
6
L’espérance de X est E = 5.
La variance de X est V = 80 – 5 ² = 5
3
3
4
2 =1
12 6
4
6
16
6
5
4 =2
12 6
10
6
50
6
6
2 =1
12 6
6
6
36
6
7
2 =1
12 6
7
6
49
6
Total
1
5
160 = 80
6
3