Théorie et codage de l`information

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Théorie et codage de l’information
Éléments d’algèbre discrète
- Chapitre 5 -

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Algèbre discrète
Mise en oeuvre pour le codage de canal
D’après le second théorème de Shannon, le codage de canal permet de réduire
arbitrairement les probabilités d’erreur de transmission. Cependant, aucune preuve
constructive de celui-ci n’existe.
BDe multiples techniques de codage ont été proposées
Les héritages d’algèbre discrète sont nombreux :
→représentation vectorielle des mots
→addition, produit
→distance
→...
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Structures algébriques
Groupes
Définition 1 (loi de composition interne). On appelle loi de composition
interne à un ensemble Eune application >de E×Edans E:
(x, y)7−→ z=x>y.
On appelle élément neutre de la loi >un élément ede Etel que :
∀x∈E, x>e=e>x=x.
La loi >est commutative si :
∀(x, y)∈E×E, x>y=y>x.
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Structures algébriques
Groupes
Définition 2 (groupe). Un ensemble Gmuni d’une loi de composition interne >
est appelé groupe si :
– la loi >est associative, c’est-à-dire
∀(x, y, z)∈G3,(x>y)>z=x>(y>z),
– la loi >admet un élément neutre edans G,
– tout élément de Gadmet un inverse pour la loi >, c’est à dire
∀x∈G, ∃x0∈G:x>x0=x0>x=e.
Notation. Lorsque la loi >est notée multiplicativement par ×,x0est souvent
représenté par x−1et epar 1. Lorsque la loi est notée additivement par +,x0est
souvent représenté par −xet epar 0.
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Structures algébriques
Groupes
Définition 3. On peut distinguer les différents types de groupes suivants.
– Si la loi >est commutative, le groupe (G, >)est dit abélien ou commutatif.
– S’il existe un élément xde Gtel que
∀y∈G, ∃i∈N:y=xi,
le groupe est dit cyclique. On note < x > le générateur du groupe. Ci-dessus,
nous avons utilisé la notation x0=eet, pour i6= 0,
xi=x>x>...>x
|{z }
ifois
.
Définition 4. Soit Gun groupe fini et x∈G. On appelle ordre de xle plus petit
entier positif ntel que xn=e.
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