Espace : droites, plans et vecteurs

GÉOMÉTRIE
2
Espace : droites,
plans et vecteurs
Connaissances nécessaires à ce chapitre
IUtiliser une représentation d’un objet de l’espace
ICalculer des aires et des volumes
IUtiliser la colinéarité de deux vecteurs
IMaîtriser le calcul vectoriel dans le plan avec ou sans
repère
IRésoudre des systèmes.
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A
BC
D
E
FG
H
1ABCDEFGH est un cube de côté a.
1) Exprimer la distance EB en fonction de a.
2) Préciser la nature du triangle FBC.
3) Étudier la nature du triangle EBG.
2ABCDEFGH est un cube de côté a.
1) Calculer le volume de ce cube.
2) Calculer le volume du tétraèdre ABDE.
3) En déduire le volume du polyèdre BCGFEHD
3Dans le plan muni d’un repère (O;~ i,~ j), soit
A(1 ; 4),B(−2 ; −1),C(−1 ; 0, 7)et E(1 ; 1).
1) A,Bet Csont-ils alignés ?
2) Soit Dla droite parallèle à (AB)passant par Eet
M(x;y)un point de D. Montrer qu’il existe un
unique réel ttel que −→ EM =t−→ AB.
3) Déterminer les coordonnées du point Ftel que
−→
AF =2−→ BE −3−→ AB.
4Résoudre les systèmes suivants :
1) 
3x+2y=5
4x−y=3
2) 
y=4x−3
−12x+5y=9
3) 
x−y=3
−12x+3y=7
äää Voir solutions p. 419
269

Activités d’approche
ACTIVITÉ 1Voir ou revoir dans l’espace...
AB
C
D
S
Soit SABCD une pyramide dont la base ABCD est un carré de centre O.
Soit Iet Jles milieux respectifs des segments [SC]et [SD]et Kle point du
segment [SB]tel que SK =1
3SB.
1) Reproduire et compléter la figure en perspective cavalière.
2) Dans chacun des cas suivants, que peut-on dire des positions
relatives des droites citées ?
a) (OB)et (CD)
b) (IJ)et (AB)
c) (OK)et (SD)
d) (OK)et (AS)
3) Dans chacun des cas suivants, que peut-on dire des positions relatives des plans cités ?
a) (OCK)et (SAD)b) (OIJ)et (SAB)c) (I JK)et (BAC)
4) Dans chacun des cas suivants, que peut-on dire des positions relatives de la droite et du
plan cités ?
a) (SK)et (OCD)b) (IJ)et (ABC)c) (OC)et (ABD)
5) Résumer les positions relatives possibles dans un tableau pour chacun des cas suivants :
a) Pour deux droites de l’espace.
b) Pour deux plans de l’espace.
c) Pour un plan et une droite de l’espace.
ACTIVITÉ 2Vecteurs de l’espace
On étend à l’espace la notion de vecteur étudiée dans le plan. Un vecteur non nul est donc
défini par sa direction, son sens et sa norme et les propriétés des vecteurs du plan sont aussi
étendues aux vecteurs de l’espace (relation de Chasles, colinéarité, propriétés algébriques).
•O
A
BC
D
E
FG
H
On considère la figure ci-contre où ABCDEFGH est un cube et Oest le centre
du carré ABFE.
1) Citer trois vecteurs égaux.
2) Exprimer le vecteur −→ AO en fonction de −→ AB et −→ AE.
3) Reproduire la figure et placer le point Mdéfini par −−→ DM =1
3
−→
DC +2−→ DH.
Citer un plan contenant le point M.
4) Placer le point Ndéfini par −→ BN =1
2
−→
BG −1
4
−→
BC.
Citer un plan contenant le point N.
5) Conjecturer une caractérisation vectorielle de l’appartenance
d’un point à un plan défini par trois points non alignés.
270 Chapitre G2. Espace : droites, plans et vecteurs

Activités d’approche
ACTIVITÉ 3Définir une droite ou un plan par un système d’équations
Partie A : Droite de l’espace
Dans un repère (O;−→ i,−→ j,−→ k)de l’espace, on considère une droite Dde vecteur directeur
−→
u
3
−4
2
et passant par le point A(−6 ; 1 ; 5).
Soit M(x;y;z)un point de l’espace.
1) a) Écrire une relation vectorielle traduisant l’appartenance du point Mà la droite D.
b) Écrire un système que doivent vérifier les coordonnées (x;y;z)du point Mpour que M
appartienne à la droite D.
2) Reprendre la première question avec Dde vecteur directeur ~u
α
β
γ
où α,βet γsont des
réels non tous nuls et passant par le point A(xA;yA;zA).
Partie B : Plan de l’espace
Dans un repère (O;~ i,~ j,~ k)de l’espace, on considère un plan Pdirigé par les vecteurs ~u
3
−4
2
et ~v
7
−3
8
et passant par le point A(−6 ; 1 ; 5).
Soit M(x;y;z)un point de l’espace.
1) a) Écrire une relation vectorielle traduisant l’appartenance du point Mau plan P.
b) Écrire un système que doivent vérifier les coordonnées (x;y;z)du point Mpour que M
appartienne au plan P.
2) Reprendre la première question avec Pdirigé par ~u
α
β
γ
et ~
u0
α0
β0
γ0
deux vecteurs non
nuls et non colinéaires et passant par le point A(xA;yA;zA).
Chapitre G2. Espace : droites, plans et vecteurs 271

Cours - Méthodes
1. Positions relatives de droites et plans
×A
×B
×Cd1
d2d
d0
RAPPEL :
1) Un plan est défini par :
• trois points non alignés ou
• deux droites sécantes ou
• deux droites strictement parallèles.
2) Si un plan Pcontient deux points distincts Aet Bde l’espace,
alors il contient la droite (AB). On note (AB)⊂P.
3) Tous les résultats de géométrie plane (théorèmes de Thalès, de Pythagore...)
s’appliquent dans chaque plan de l’espace.
Dans la suite du paragraphe, ABCDEFGH est un cube.
PROPRIÉTÉS : Positions relatives de deux droites
Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (c’est-à-dire qu’il existe un plan les contenant
toutes les deux), soit non coplanaires (c’est-à-dire qu’il n’existe aucun plan les contenant
toutes les deux).
Si elles sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes, soit parallèles (strictement parallèles
ou confondues).
Droites coplanaires (dans un même plan) Droites non coplanaires
Droites sécantes Droites strictement parallèles Droites confondues
A
BC
D
E
F
G
H
(AD) et (AF) sont sécantes
en A
I
•
A
BC
D
E
F
G
H
I centre de ADHE (AH) et
(AI) sont confondues
A
BC
D
E
F
G
H
(AD) et (FG) sont stricte-
ment parallèles
A
BC
D
E
F
G
H
(BC) et (AF) sont non
coplanaires
PROPRIÉTÉS : Positions relatives de deux plans
Deux plans de l’espace sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles.
Plans sécants Plans parallèles
A
BC
D
E
F
G
H
Les plans (CGH) et (ADH) sont sécants selon
la droite (DH)
A
BC
D
E
F
G
H
Les plans (BCG) et (ADH) sont strictement
parallèles
A
BC
D
E
F
G
H
Les plans (EAD) et (ADH) sont confondus
272 Chapitre G2. Espace : droites, plans et vecteurs

Cours - Méthodes
PROPRIÉTÉS : Positions relatives d’une droite et d’un plan
Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.
Droite et plan sécants Droite et plan parallèles
A
BC
D
E
F
G
H
La droite (AH) est sécante en H au plan (DCG)
A
BC
D
E
F
G
H
La droite (AH) est strictement parallèle au
plan (BCG)
I
•
I
I
•
•
A
BC
D
E
F
G
H
(AH) est contenue dans le plan
(ADH)
2. Parallélisme dans l’espace
PROPRIÉTÉ
Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux.
PROPRIÉTÉ
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.
Exemple
dest parallèle à d1et d1est contenue dans
le plan ℘donc dest parallèle à ℘.d1
℘
d
PROPRIÉTÉ
Si un plan ℘contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes
d’ un plan ℘0alors les plans ℘et ℘0sont parallèles.
Exemple
d1et d2sont deux droites du plan
℘;d1et d2sont sécantes et respec-
tivement parallèles à deux droites du
plan ℘0donc les plans ℘et ℘0sont
parallèles.
d1
℘
d2
d0
1
℘0
d0
2
Chapitre G2. Espace : droites, plans et vecteurs 273