Contrôle de mathématiques

Seconde
Les nombres
1. Introduction
Les nombres sont à l’origine des mathématiques, tout au moins de l’algèbre. Il est
important de savoir les utiliser sans en « avoir peur ». Pour cela, il est essentiel de revoir
les différentes sortes de nombres ainsi que les règles qui les régissent.
2. Les entiers naturels : N
N : représente l’ensemble des entiers naturels, c’est à dire les nombres 0, 1, 2, 3, …
L’addition et la multiplication sont toujours possible dans cet ensemble
contrairement à la soustraction et la division.
Cet ensemble est l’occasion de s’exercer au calcul mental. En effet, il est important
de calculer mentalement « un minimum » pour pouvoir suivre un cours de mathématique.
Le calcul mental est une question d’entraînement comme les gammes d’un pianiste. C’est
un automatisme qui permet de se débarrasser de la part calcul pour se concentrer sur le
raisonnement. Ainsi, au lieu de prendre votre calculatrice pour des calculs simples,
forcez-vous quelques temps à les effectuer mentalement. Vous allez remarquer que petit à
petit cela va revenir. Un quart d’heure de calcul mental par jour et vos tables de
multiplication reviendront.
a) Règles de divisibilité d’un entier.
Par une terminaison : 2, 5, 10, 25, 4
– un entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6, 8
– un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
– un entier est divisible par 10 s’il se termine par 0
– un entier est divisible par 25 s’il se termine par 00, 25, 50, 75
– un entier est divisible par 4 si le nombre formé par les 2 derniers chiffres est
divisible par 4. Exemples :
1 932 est divisible par 4 car 32 est divisible par 4,
par contre 1 714 ne l’est pas car 14 n’est pas divisible par 4
Par somme ou différence de ses chiffres : 3, 9, 11
– Un entier est divisible par 3 (respectivement par 9) si la somme des ses chiffres
est divisible par 3 (respectivement par 9). Exemples :
8 232 est divisible par 3 car 155328
=
+
+
+
et 15 est divisible par 3.
4 365 est divisible par 9 car 185634
=
+
+
+
et 18 est divisible par 9.
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Seconde
– Un entier de trois chiffres est divisible par 11 si la somme des chiffres extrêmes
est égale à celui du milieu. Exemple :
451 est divisible par 11 car 514
=
+
. On a alors 4111451 ×
=
– D’une façon générale un entier est divisible par 11 si la différence entre la
somme des chiffres de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est
divisible par 11. Exemples :
6 457 est divisible par 11 car 01111)65()47(
=
−
=
+
−
+
divisible par 11
4 939 est divisible par 11 car 11718)43()99(
=
−
=
+
−
+
divisible par 11.
Conclusion : ces petits exercices sont à faire mentalement car il permet ainsi
d’exercer sa mémoire et ses automatismes.
On peut combiner deux critères pour montrer qu’un nombre est divisible par exemple
par 18 : 36 054 est divisible par 18 car il est divisible par 2 et par 9
()
1845063 =++++
b) Décomposition en nombres premiers.
Définition : un entier est un nombre premier s’il possède exactement deux diviseurs 1
et lui-même.
Le premier nombre premier ne peut être 1 car il ne possède qu’un diviseur 1. Donc le
premier nombre premier est 2. On peut donner la liste des nombres premiers inférieur à
100 utilisant les règles de divisibilité : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Théorème : tout entier peut se décomposer de façon unique en produit de nombres
premiers.
Comment trouver cette décomposition ? On divise successivement l’entier par les
nombres premiers par ordre croissant. Exemples :
Quotients Diviseurs
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
Donc 48 = 24 x 3
On aurait pu aller plus vite en considérant :
48 = 8 x 6 et 8 = 23 ; 6 = 2 x 3
d’où 48 = 23 x 2 x 3 = 24 x 3
490
245
49
7
1
2
5
7
7
490 = 2 x 5 x 72
1287
429
143
13
1
3
3
11
13
1287 = 32 x 11 x 13
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Seconde
3. Les entiers relatifs : Z
Z : (de zählen compter en allemand) représente l’ensemble des entiers relatifs. Aux
entiers naturels on associe maintenant un signe : … –2, –1, 0, 1, 2, …
La soustraction dans cet ensemble peut être associée à une addition. En effet lorsque
l’on soustrait cela revient à ajouter l’inverse : 5 – 3 = 5 + (–3)
Certaines personnes ont quelques hésitations avec les calculs avec les relatifs. Voici
deux exemples pour lever certaines ambiguïtés :
– 3 + 9 = 6 attention pas de règle de signe + par – égal – (donc pas de – 6)
– 9 – 3 = – 12 attention pas de règle de signe – par – égal + (donc pas de +12)
Par contre lorsque l’on multiplie la règle des signes s’impose : (-9) x (–3) = 27
4. Les nombres rationnels : Q
Q (de quotient) représente l’ensemble des nombres rationnels.
Définition : un nombre rationnel, q, est un nombre qui peut s’écrire sous la forme
d’une fraction, on a alors :
b
a
q= où a et b sont deux entiers avec 0
≠
b
a s’appelle le numérateur et b le dénominateur
Tout entier est un rationnel car il suffit de prendre b = 1.
Par un souci d’unicité, on cherchera à mettre un rationnel sous la forme d’une
fraction irréductible.
Exemple : 54
72 n’est pas irréductible, en simplifiant par 18, on écrira 3 4
De plus le signe peut se mettre devant une fraction ou au numérateur mais pas au
dénominateur.
Exemple : on n’écrira pas 3
2
− mais 3
2
− ou 32
−
Nous allons passer en revue les différentes opérations avec les rationnels, c’est à dire
l’addition, la multiplication et la division.
a) L’addition.
Pour additionner deux fractions, elles doivent être au même dénominateur. On doit
donc chercher le plus petit multiple commun entre les deux dénominateurs.
Exemple 1 : 4
1
3
1−, on met chaque fraction sur 12, on a donc :
12
1
1234 4
1
3
1=
−
=−
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Seconde
Exemple 2 : 12
13
8
15 +, le plus petit multiple commun à 8 et 12 est 24. On met les deux
fractions sur 24 (attention on ne multiplie pas nécessairement 8 par 12, qui est un multiple
commun mais pas le plus petit, ce qui complique le calcul) ;
24
71
242645 24 213315 12
13
8
15 =
+
=
×
+
×
=+
Exemple 3 : 9
4
18
5
3
8−+ , le plus petit multiple commun à 3, 18 et 9 est 18, on a donc :
2
5
18
45
18 8548 18 24568 9
4
18
5
3
8==
−
+
=
×−+×
=−+
On observera que si nécessaire, on simplifie la fraction finale.
b) La multiplication.
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs
entre eux. Cependant on cherchera, avant de multiplier, à simplifier, c’est à dire de diviser
par un diviseur commun, un numérateur et un dénominateur.
Exemple 1 : 6
11
32 111 92 113 9
11
2
3−=
×
×
=
×
×
−=
−
× (simplication du 3 avec le 9)
Exemple 2 : 36
7
362 171 968 473 9
4
6
7
8
3=
×
×
×
×
=
×
×
×
×
=×× (simplification du 3 avec le 9
et du 4 avec le 8)
Exemple 3 : 5
11
115 1111 235 1123 222115 11149 2= ××
××
=
××
××
=
××
××
(simplification du 9 avec le 15, du 14 avec le 21 et du 112 avec le 22)
C’est un très bon exercice par revoir ses tables de multiplication. En effet, il est nécessaire
d’effectuer ces calculs sans calculette.
c) La division
Pour diviser deux fractions, il suffit de multiplier la première par l’inverse de la
seconde. La division est donc une multiplication dans l’ensemble Q.
Exemple 1 : 50
27
225 271 3425 2717 34
27
25
17
27
34
25
17
=
×
×
=
×
×
=×= (simplification du 17 avec le 34)
Attention : le trait principal de fraction (le faire un peu plus grand) doit toujours être
au niveau du signe « = ». Un signe « = » mal placé peut conduire à un autre résultat.
Voir l’exemple suivant :
Exemple 2 : 5
16
5
8
2
5
2=×=
8
et 20
1
4
1
5
1
8
1
5
2
8
5
2
=×=×=
d) Règle de priorité.
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Seconde
La multiplication est prioritaire par rapport à l’addition lorsque les deux opérations
se présentent entre plusieurs fractions : on effectue la multiplication puis l’addition.
Exemple 1: 15
4
30
8
3035 10
1
6
1
4
1
5
2
6
1==
+
=+=×+
Si l’on cherche à effectuer l’addition en premier, il est nécessaire de mettre de
parenthèses :
Exemple 2 : 120
17
4
1
30
17
4
1
30
125
4
1
5
2
6
1=×=× +
=×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
e) Egalité entre deux fractions
Produit en croix : d
c
b
a= si et seulement si bcad
=
avec 0
≠
b et 0≠d
Cette règle est bien utile, lorsqu’au moins un des nombres est inconnu. Nous
reverrons cette règle dans le chapitre suivant sur les équations.
f) Comparaison entre deux fractions.
Pour comparer deux nombres rationnels, il est nécessaire de les mettre au même
dénominateur. On n’a plus ensuite qu’à comparer les deux numérateurs.
Exemple : comparer 9
10 et 10 11
On met les deux fractions au même dénominateur ici 90, on a alors 90
100 et 90 99 , on en
conclut alors que 10
11
9
10 >
5. Les nombres décimaux. D
D : représente l’ensemble des nombres décimaux.
Définition : un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini
de chiffres après la virgule.
Exemple : 5,0
2
1= est un nombre décimal mais .....33,0
3
1= n’est pas un décimal.
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction. On dit alors que tout
nombre décimal est un rationnel. L’inverse est faux. L’ensemble des décimaux D est
inclus dans l’ensemble des rationnels Q.
Exemple : 4
1
25,0 = 25
9
100
36
36,0 == mais 33,0
3
1≠
Cet ensemble D est avant tout l’ensemble des sciences expérimentales. Les mesures
n’étant possibles qu’avec un certain degré de précision, la valeur exacte importe peu. Par
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