Corrigez

Th`eme : Arithm´etique
L’exercice
L’exercice propose cinq affirmations num´erot´ees de 1 `a 5.
Pour chacune de ces affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix
effectu´e.
1. Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8.
C’est faux, un contre-exemple suffit `a le justifier : 12 est divisible par 4, mais pas par 8.
2. Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6.
C’est vrai car 2 et 3 son premiers entre eux. Si 2 et 3 divisent nPZ, alors n“2k, k PZet 3 divise
2k. Mais, 3 est premier avec 2, donc 3 divise ket k“3k1, k1PZ. D’o`u, n“6k1, k1PZ.
3. Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24.
C’est faux : 12 est divisible par 4 et par 6, mais il n’est pas divisible par 24.
4. Si deux entiers aet bsont premiers entre eux, alors les entiers a`bet a´bsont premiers entre
eux.
C’est faux : 3 et 7 sont premiers entre eux, mais 7´3“4 et 7`3“10 ne sont pas premiers entre eux.
5. Si deux entiers aet bsont premiers entre eux, alors les entiers 2a`bet 3a`2bsont premiers entre eux.
C’est vrai. Pour le montrer, raisonnons par l’absurde. Supposons que ce soit faux, il existe alors k
entier diff´erent de 1 qui divise 2a`bet 3a`2b, donc leur diff´erence, c’est-`a-dire a`b. Mais, k
divise 2a`bet a`b, il divise aussi 2a`b´ pa`bq “ a. Divisant a`bet a, il divise b. Mais alors,
aet bont un divideur commun diff´erent de 1 et ils sont premiers entre eux par hypoth`ese. C’est
absurde. Conclusion : 2a`bet 3a`2bsont premiers entre eux.
Un autre fa¸con de faire, consiste `a utiliser la r´eciproque du th´eor`eme de B´ezout et `a d´eterminer
deux entiers u1et v1tels que u1p2a`bq ` v1p3a`2bq “ 1. Pour cela, on part de l’hypoth`ese aet
bsont premiers entre eux qu’on traduit par l’´egalit´e de B´ezout : il existe uet ventiers, tels que
au `bv “1 et on exprime aet ben fonction de a1“2a`bet b1“3a`2b. Pour cela, on r´esout
$
&
%
2a`b“a1
3a`2b“b1ô$
&
%
a“2a1´b1
b“2b1´3a1.
En rempla¸cant dans l’´egalit´e de B´ezout, il vient
up2a1´b1q ` vp2b1´3a1q “ 1ô p2u´3vqa1` p2v´uqb1“1,p2u´3v, 2v´uq P Z2.
1

Les solutions propos´ees par deux ´el`eves :
´
El`eve 1 :
1. C’est faux car 4 est divisible par 4 et pas par 8.
2. C’est vrai parce que 2 et 3 sont premiers entre eux.
3. C’est faux parce que 4 et 6 ne sont pas premiers entre eux.
4. C’est vrai parce que si un nombre divise a`bet a´balors il divise aet b.
´
El`eve 2 :
1. C’est vrai parce que 8 est un multiple de 4.
2. C’est vrai. 2 divise 12, 3 divise 12 et 6 divise aussi 12.
3. C’est faux parce que 4 divise 12 et 6 aussi mais 24 non.
4. Je pense que c’est vrai.
5. Je pense que c’est vrai aussi.
Le travail `a exposer devant le jury
1- Analysez la production de chaque ´el`eve en mettant en ´evidence ses r´eussites et en indiquant l’ori-
gine possible de ses ´eventuelles erreurs.
–´ El`eve 1 :
Cet ´el`eve fournit 3 bonnes r´eponses, mais d`es la troisi`eme question, sa justification manque de
pr´ecision. Sa r´eponse `a la quatri`eme question est fausse et la justification qu’il donne n’en est pas
une. On peut penser que cet ´el`eve ne raisonne pas de fa¸con rigoureuse, mais il a acquis certaines
comp´etences en Arithm´etique. Elles restent fragiles tout de mˆeme.
– Cet ´el`eve propose deux r´eponses/justifications `a l’aide de contre-exemples parfaitement valables,
mais il donne une mauvaise justification de sa r´eponse `a la question 2. Il ´evite les deux questions
finales, plus difficiles.
Ces deux ´el`eves ont des comp´etences en Arithm´etique qui sont encore insuffisantes au regard de ce
qui est attendu d’´el`eves de Terminale scientifique suivant un enseignement de sp´ecialit´e.
2- Corrigez les r´eponses aux deux derni`eres questions de l’exercice comme vous le feriez devant une
classe de Terminale scientifique.
Voir corrig´e.
3- Proposez deux ou trois exercices sur le th`eme Arithm´etique.
Exercice I : Par combien de z´eros se termine le nombre 100 ! ? Le nombre 1000 ! ?
Proposer un algorithme qui permette de mettre `a l’´epreuve vos r´esultats.
Exercice II : Soit nun entier non nul. D´eterminer un intervalle entier de nnombres qui ne contienne
aucun nombre premier.
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Commentaire : j’ai souvent pos´e cet exercice `a l’oral du concours. La plupart du temps (pour ne
pas dire toujours) les candidats ne savaient pas r´epondre seuls. Nous (le jury) les aidions en leur
demandant de trouver un diviseur de n!`2 (pour ně2), puis un diviseur de n!`3, ...
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