TS. Évaluation 2 -Correction 1 ( 5 points ) On dispose de deux dés

♣
TS. Évaluation 2 -Correction
1 ( 5 points ) On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir
1
6 lors d’un lancer est égale à . Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
3
1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6
obtenus.
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ? Quelle est son espérance ?
À la répétition, 3 fois de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (succès si on obtient un 6) on peut
associer une variable aléatoire X, qui comptabilise le nombre de 6 obtenus.
µ
¶
1
1
1 1
X suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = . X ,→ B 3 ;
et
E(X) = np = 3 × =
6
6
6 2
b. Calculer P(X = 2).
à !
3 2 1
5
5
P(X = 2) =
p q = 3× 3 =
2
6
72
2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les évènements D et A suivants :
• D « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
• A : « obtenir exactement deux 6 ».
a. Calculer la probabilité des évènements suivants :
• « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
5
72
1
2
A
•
1
2
A
D
2
9
A
D
A
L’événement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » correspond à D ∩ A
5
1 5
p(D ∩ A) = p(D) × p D (A) = ×
=
2 72 144
L’événement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » correspond à D ∩ A.
à !
2
3 02 01
1
p(D ∩ A) = p(D) × p D (A) avec p D (A) =
p q
où p 0 = . Donc p D (A) =
2
3
9
p(D ∩ A) =
1 2 1
× =
2 9 9
b. En déduire que : p(A) =
7
.
48
p(A) = p(D ∩ A) + p(D ∩ A) =
5
16
21
7
+
=
=
144 144 144 48
c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6.
Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?
Il s’agit de calculer
2 ( 3 points )
p A (D) =
p(D ∩ A) 1 48 16
= ×
=
p(A)
9 7
21
La Vénus de Milo rangeait ses olives dans trois amphores :
— Dans la première, il y avait 30 olives vertes et 20 olives noires.
— Les deux autres amphores contenaient, l’une quatre olives vertes, l’autre quatre olives noires.
Un jour d’éclipse totale du soleil, la Vénus de Milo prend, au hasard, une olive de la première amphore, puis la place dans
une des deux autres amphores. Elle prend ensuite dans celle-ci une olive au hasard et le soleil réapparait :
l’olive est verte. Calculez la probabilité pour que la dernière amphore visitée contienne plusieurs olives vertes.
On pourra considérer les événements suivants
V1 : « la première olive est verte »
A : « la deuxième amphore contenait les quatre olives vertes »
V2 : « la deuxième olive est verte »
D’après l’énoncé, V2 est réalisé ; on veut donc p V2 (A) =
p(A ∩ V2 )
p(V2 )
p V2 (A) =
23
p(A ∩ V2 ) 23 50
=
×
=
p(V2 )
50 26 26
On s’appuie alors sur l’arbre pondéré ci-dessous :
1
2
A
V1
3
5
1
2
2
5
1
5
V2
4
5
V2
4
5
V2
1
5
V2
A
V1
1
2
V2
A
•
1
2
1
A
1
V2
p(A ∩ V2 ) = p(V1) × p V1 (A) × p A∩V1 (V2) + p(V1 ) × p V1 (A) × p A∩V1 (V2 )
2 1 4
3
8
23
3 1
× ×1
+
× ×
=
+
=
5 2
5 2 5
10 50 50
p(V2 ) = p(V1) × p V1 (A) × p A∩V1 (V2) + p(V1) × p V1 (A) × p A∩V1 (V2) + p(V1 ) × p V1 (A) × p A∩V1 (V2 )
p(A ∩ V2 ) =
p(V2 ) =
3 1
× ×1
5 2
+
3 1 1
× ×
5 2 5
+
2 1 4
× ×
5 2 5
=
3
3
8
26
+
+
=
10 50 50 50
3 ( 2 points ) On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de 1 à 6.
Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus. Si la somme est égale à 9, Alice gagne, si la somme est égale à
10, Bob gagne, dans tous les autres cas, la partie est annulée.
Variables : S entier naturel
1. Compléter l’algorithme ci-contre :
À restituer avec votre copie permettant de
simuler cette expérience aléatoire.
Début de l’algorithme :
S prend la valeur int_alea(1, 6) + int_alea(1, 6) + int_alea(1, 6)
Si S = 9 alors
Afficher « A Gagne »
Sinon
Si S = 10 alors
Afficher « B Gagne »
Sinon
Afficher « Perdu »
Fin Si
Fin Si
Fin algorithme
2. Soit S la variable aléatoire égale à la
somme obtenue à l’issue de cette expérience aléatoire.
a. Quelles sont les valeurs prises par S ?
Tous les entiers entre 3 et 18.
S ∈ J3 ; 18K
b. Calculer p(S = 9) puis p(S = 10).
Conclure.
Il existe 63 = 216 triplets équiprobables possibles.
La somme 9 s’obtient avec 25 triplets :
1–2–6 soit 6 triplets
1–3–5 soit 6 triplets
1–4–4 soit 3 triplets
2–2–5 soit 3 triplets
2–3–4 soit 6 triplets
3–3–3 soit 1 triplet
La probabilité d’obtenir 9 est donc p(S = 10) =
La somme 10 s’obtient avec 27 triplets :
1–3–6 soit 6 triplets
1–4–5 soit 6 triplets
2–2–6 soit 3 triplets
2–3–5 soit 6 triplets
2–4–4 soit 3 triplets
3–3–4 soit 3 triplets
25
216
La probabilité d’obtenir 10 est donc p(S = 10) =
C’est donc Bob qui a la plus grande probabilité de gagner.
B int_alea(1, 6) est une commande qui génère un entier entre 1 et 6 de façon pseudo-aléatoire.
27
216