TS. Évaluation 2 -Correction 1 ( 5 points ) On dispose de deux dés

TS. Évaluation 2 -Correction ♣
1( 5 points ) On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1à6.
Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir
6lors d’un lancer est égale à 1
3.Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par Xla variable aléatoire donnant le nombre de 6
obtenus.
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X? Quelle est son espérance ?
À la répétition, 3 fois de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (succès si on obtient un 6) on peut
associer une variable aléatoire X, qui comptabilise le nombre de 6 obtenus.
X suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=1
6.X,→Bµ3 ; 1 6¶et E(X) =np =3×1 6=1 2
b. Calculer P(X =2).
P(X =2) =Ã3
2!p2q1=3×5 63=5 72
2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les évènements Det Asuivants :
•D« le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
•A: « obtenir exactement deux 6».
a. Calculer la probabilité des évènements suivants :
•« choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6» ;
•« choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
•
DA
A
D
A
A
1
2
5
72
1
2
2
9
L’événement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » correspond à D∩A
p(D∩A) =p(D)×pD(A) =1
2×5 72 =5 144
L’événement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » correspond à D∩A.
p(D∩A) =p(D)×pD(A) avec pD(A) =Ã3
2!p02q01où p0=1 3. Donc pD(A) =2 9
p(D∩A) =1
2×2 9=1 9
b. En déduire que : p(A) =7
48.
p(A) =p(D ∩A) +p(D ∩A) =5
144 +16 144 =21 144 =7 48
c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6.
Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?
Il s’agit de calculer pA(D) =p(D∩A)
p(A) =1 9×48 7=16 21
2( 3 points ) La Vénus de Milo rangeait ses olives dans trois amphores :
—Dans la première, il y avait 30 olives vertes et 20 olives noires.
—Les deux autres amphores contenaient, l’une quatre olives vertes, l’autre quatre olives noires.
Un jour d’éclipse totale du soleil, la Vénus de Milo prend, au hasard, une olive de la première amphore, puis la place dans
une des deux autres amphores. Elle prend ensuite dans celle-ci une olive au hasard et le soleil réapparait :
l’olive est verte. Calculez la probabilité pour que la dernière amphore visitée contienne plusieurs olives vertes.

On pourra considérer les événements suivants
V1: « la première olive est verte »
A: « la deuxième amphore contenait les quatre olives vertes »
V2: « la deuxième olive est verte »
D’après l’énoncé, V2est réalisé ; on veut donc pV2(A) =p(A∩V2)
p(V2)pV2(A) =p(A ∩V2) p(V2)=23 50 ×
50
26 =23 26
On s’appuie alors sur l’arbre pondéré ci-dessous :
•
V1
AV2
A
V2
V2
V1
A
V2
V2
AV2
3
5
1
2
1
1
2
1
5
4
5
2
5
1
2
4
5
1
5
1
21
p(A ∩V2)=p(V1) ×pV1(A) ×pA∩V1(V2) +p(V1)×pV1(A) ×pA∩V1(V2)
p(A ∩V2)=3
5×1 2×1+2 5×1 2×4 5=3 10 +8 50 =23 50
p(V2)=p(V1)×pV1(A) ×pA∩V1(V2)+p(V1)×pV1(A) ×pA∩V1(V2)+p(V1)×pV1(A) ×pA∩V1(V2)
p(V2)=3
5×1 2×1+3 5×1 2×1 5+2 5×1 2×4 5=3 10 +3 50 +8 50 =26 50
3( 2 points ) On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de 1à6.
Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus. Si la somme est égale à 9, Alice gagne, si la somme est égale à
10, Bob gagne, dans tous les autres cas, la partie est annulée.
1. Compléter l’algorithme ci-contre :
À restituer avec votre copie permettant de
simuler cette expérience aléatoire.
2. Soit Sla variable aléatoire égale à la
somme obtenue à l’issue de cette expé-
rience aléatoire.
a. Quelles sont les valeurs prises par S?
Tous les entiers entre 3 et 18.
S∈J3 ; 18K
b. Calculer p(S =9) puis p(S =10).
Conclure.
Variables : S entier naturel
Début de l’algorithme :
S prend la valeur int_alea(1,6) +int_alea(1,6) +int_alea(1,6)
Si S=9alors
Afficher « A Gagne »
Sinon
Si S=10 alors
Afficher « B Gagne »
Sinon
Afficher « Perdu »
Fin Si
Fin Si
Fin algorithme
Il existe 63=216 triplets équiprobables possibles.
La somme 9 s’obtient avec 25 triplets :
1–2–6 soit 6 triplets
1–3–5 soit 6 triplets
1–4–4 soit 3 triplets
2–2–5 soit 3 triplets
2–3–4 soit 6 triplets
3–3–3 soit 1 triplet
La probabilité d’obtenir 9 est donc p(S =10) =25
216
La somme 10 s’obtient avec 27 triplets :
1–3–6 soit 6 triplets
1–4–5 soit 6 triplets
2–2–6 soit 3 triplets
2–3–5 soit 6 triplets
2–4–4 soit 3 triplets
3–3–4 soit 3 triplets
La probabilité d’obtenir 10 est donc p(S =10) =27
216
C’est donc Bob qui a la plus grande probabilité de gagner.
Bint_alea(1,6) est une commande qui génère un entier entre 1et 6de façon pseudo-aléatoire.