Terminale S Durée : 1h00 10 points On dispose de deux dés

DEVOIR SURVEILLÉ N°
Terminale S Durée : 1h00
EXERCICE :10 points
On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en appa-
rence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir
6 lors d’un lancer est égale à 1
3.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par Xla variable aléatoire donnant
le nombre de 6 obtenus.
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X?
b. En déduire l’espérance de la variable aléatoire réelle X?
c. Calculer P(X=2).
2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi
trois fois de suite.
On considère les évènements D et A suivants :
•D« le dé choisi est le dé bien équilibré » .
•A: « obtenir exactement deux 6 ».
a. Calculer la probabilité des évènements suivants :
•« choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » .
•« choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
b. En déduire que : p(A)=7
48.
c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu
exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?
3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé nfois de
suite (ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).
On note Bnl’évènement « obtenir au moins un 6 parmi ces nlancers successifs ».
a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pnde l’évènement Bn.
b. Calculer la limite de la suite ¡pn¢. Commenter ce résultat.
2011-2012 1 Florent Lebreton

CORRIGÉ DE L’EXERCICE
1. a. Il s’agit d’une expérience à deux issues avec une probabilité de succès p=1
6et une proba-
bilité d’échec q=5
6que l’on répète de manière indépendante 3 fois. X représente le nombre
de succès et suit donc une loi binomiale de paramètres n=3 et p=1
6.
b. L’espérance d’une loi binomiale de paramètres net pest np.
Donc E(X)=31
6=1 2.
c. Comme Xsuit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=1
6,ona:
P(X=2) =Ã3
2!p2q1=3×5 63=5 72.
2. a.
D1/2
A5/72
A
D1/2
A2/9
A
L’événement « choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux six » correspond à D∩A.
D’où p(D∩A)=p(D)×pD(A)=1
2×5 72 =5 144.
L’événement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux six » correspond à D∩A.
D’où p(D∩A)=p(D)×pD(A).
On utilise un raisonnement analogue au 1.c.,
pD(A)=Ã3
2!p02q01où p0=1 3.
Donc pD(A)=2
9et p(D∩A)=1 2×2 9=1 9.
b. On en déduit que p(A)=p(D∩A)+p(D∩A)=5
144 +16 144 =21 144 =7 48.
c. Il s’agit de calculer p(Dsachant A)=p(D∩A)
p(A)=1 9×48 7=16 21.
3. a. pD(Bn)=1−pD(« n’obtenir aucun 6 ») =1−qn=1−µ5
6¶n
. De même pD(Bn)=1−µ2
3¶n
. On
applique alors la formule des probabilités totales :
pn=p(Bn)=p(D)×pD(Bn)+p(D)×pD(Bn)=1−1
2µ5 6¶n
−1
2µ2 3¶n
.
b. (5
6)ntend vers 0 et (2
3)ntend aussi vers 0 car 5 6et 2 3appartiennent à l’intervalle ] −1;1[.
Donc pntend vers 1. Ce résultat est prévisible car, quel que soit le dé, à condition de jouer
suffisamment longtemps, on a une quasi certitude d’obtenir au moins une fois un 6. (ici,
p22 >0,99 et p100 ≈1).
2011-2012 2 Florent Lebreton