3_cours Calcul littéral

3`eme Nombre & Calculs 2014/2015
Chapitre 0.5
Plan du cours
1Expression litt´ erale .................................................... 1
2Simple distributivit´ e.................................................... 2
3Double distribituvit´ e................................................... 3
4Application 1 : Suppression de parenth` eses derri` ere un signe.. 4
5Application 2 : un calcul complexe. ................................. 4
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1(Expressions litt´erales).
Une expression litt´erale est une expression alg´ebrique dans laquelle un (ou plusieurs) nombre(s)
est remplac´e par une ou plusieurs lettre(s).
Remarque Le fait d’utiliser une lettre permet de gagner en g´en´eralit´e par rapport au cas particulier d’un
nombre.
Exemple
1. Le produit d’un nombre par (−4), le tout augment´e de 5
3se traduit par l’expression litt´erale
x×(−4)+5
3
o`u xest le nombre dont il est question mais dont on ne connait pas la valeur.
2. La valeur de cette expression pour x=2
3est alors
2
3×(−4)+5 3=2×(−4) 3+5 3=−8+5 3=−3 3=−1
3. Le volume Vd’un cube d’ar`ete aest V=a3.
Notation Simplification d’´ecritures.
Afin de ne pas surcharger les ´ecritures avec des mutiplications, on adoptera les conventions suivantes :
●2×n=2n;a×b=ab
●6×(x+5)=6(x+5);y×(5−x)=y(5−x)
●(a+b)×(a′+b′)=(a+b)(a′+b′)
●1x=x;a×4=4×a=4a
Remarque BOn ne simplifie jamais la multiplication entre deux nombres :
2×3=6 mais 23 ≠6
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3`eme 2014/2015
On peut simplifier uniquement l’´ecriture d’une multiplication entre :
_un nombre et une lettre,
_deux lettres,
_un nombre (ou une lettre) et un symbole (parenth`eses, crochets,. . . )
1. On veut calculer le carr´e d’un nombre diminu´e de 3. Donner une expression litt´erale qui traduit ce
souhait. On pourra noter xle nombre initial.
2. Calculer l’expression litt´erale A=3(1−x)+xpour x=5 et x=1
5. Donner la r´eponse sous forme
fractionnaire.
2
1(Simple distributivit´e).
Pour a,bet k; 3 nombres (relatifs, fractionnaires).
d´eveloppement
Ð→
k×(a+b)=k×a+k×b
←Ð
factorisation
Illustration Il s’agit de calculer l’aire du rectangle par deux m´ethodes diff´erentes : avec les 2 petits
rectangles et avec le grand rectangle.
Exemple
D´eveloppons E1=5(x+3).
E1=5×(x+3)
=5×x+5×3
=5x+15
Factorisons E2=36 −4y.
E2=36 −4y
=4×9−4×y
=4×9+4×(−y)
=4×9+(−y)
=4×(9−y)
D´eveloppons E3=a(3−b)+2a.
E3=a×(3−b)+2a
=a×3−a×b+2a
=3a−ab +2a.
=3a+2a−ab
=5a−ab
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1. D´evelopper et r´eduire les expressions litt´erales ci-dessous.
A=4(3−x)B=−2(2t−7)C=(5−y)×(−3)D=8×(2z−4)−3
2. Factoriser les expressions suivantes.
E=5t−5F=−7y+3x G =4x+12 H=−7−42z I =15y+20
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2(Double distributivit´e).
Pour a,b,cet d; 4 nombres (relatifs, fractionnaires).
d´eveloppement
Ð→
(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d
←Ð
factorisation
Illustration Il s’agit de calculer l’aire du grand rectangle avec deux m´ethdoes diff´erentes : avec les 4
petits rectangles et directement avec le grand rectangle.
Exemple
D´eveloppons et r´eduisons l’expression T=(−4+a)(3+a).
T=(−4+a)(3+a)
=−4×3+(−4)×a+a×3+a×a
=−12 +(−4)a+3a+a2
=−10 −4a+3a+a2
=−10 −1a+a2
=−10 −a+a2
D´eveloppons S=(x+3)(7−y)−2xy.
S=x+3×7−y−2xy
=x×7−x×y+3×7−3×y−2xy
=7x−xy +21 −3y−2xy
=7x−xy −2xy +21 −3y
=7x−3xy +21 −3y
D´evelopper et r´eduire les expressions donn´ees.
A=(3+x)(x−4)B=(5−y)(5+y)C=(t+4)(u−2)
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3(Suppression de parenth`eses).
On consid`ere quatre nombres a,b,cet d.
1. Ajouter une somme alg´ebrique revient `a additionner chaque terme de cette somme.
2. Soustraire une somme alg´ebrique revient `a additionner les oppos´es de chaque terme de cette
somme.
D´ emonstration : Repose sur un d´eveloppement par simple distributivit´e.
1. a+(b+c−d)=a+1×(b+c−d)d´eveloppement =a+1×b+1×c−1×d=a+b+c−d
2. a−(b+c−d)=a+(−1)×(b+c−d)d´eveloppement =a+(−1)×b+(−1)×c−(−1)×d=a−b−c+d
◻
Exemple
3x+(2−4,2x2)=3x+2−4,2x23x−(2−4,2x2)=3x−2+4,2x2
1(Suppression de parenth`eses).
Pour supprimer les parenth`eses situ´ees apr`es un signe :
1. Si le signe +se trouve devant une parenth`ese,
alors on supprime les parenth`eses sans changer les signes des quantit´es `a l’int´erieur
2. Si le signe −se trouve devant une parenth`ese,
alors on supprime les parenth`eses en changeant les signes des quantit´es `a l’int´erieur
Supprimer les prenth`eses derri`ere les signes pour r´eduire les expressions suivantes :
A=4+(−5+3x)B=−2x−(5x−4)C=−(4+4x−4y)+4y D =5x+(3x−2+5y)
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On consid`ere l’expression litt´erale A=x(4−3x)+(2+x)×(4−3x)+6x2.
1. D´evelopper et r´eduire A.
A=
simple distributivit´e
x(4−3x)+
double distributivit´e
(2+x)×(4−3x)+6x2
=x×4−x×3x+2×4−2×3x+x×4−x×3x−3x2+6x2
=4x−3x2+8−6x+4x−3x2+6x2
=(4x−6x+4x)+(−3x2−3x2+6x2)+8 ; on regroupe les termes de “mˆeme nature”
=2x+0x2+8
=2x+8
2. Factoriser l’expression obtenue.
On fait apparaˆıtre un facteur commun aux 3 termes.
A=2x+8
=2×x+2×4
=2×(x+4)
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