Th`eme D : Calcul littéral : égalité, développement et réduction fiche

Cahier de Bord 4eme : partie num´erique Th`eme D : Calcul litt´e r a l : ´e g a l i t ´e , d ´e v e l o p p e m e n t e t r ´e d u c t i o n
Th`eme D : Calcul litt´eral : ´egalit´e, d´eveloppement et
r´eduction
fiche de r´esum´es
Coll`ege Hutinel 2013 / 2014

Cahier de Bord 4eme : partie num´erique Th`eme D : Calcul litt´e r a l : ´e g a l i t ´e , d ´e v e l o p p e m e n t e t r ´e d u c t i o n
Programmes de calcul
Activit´ eprogrammen
o1
On peut appliquer ce programme `a n’importe quel nombre.
Appliquer le programme no1auxtroisnombres:5,–5et2
3.
Triple
Ajoute 4
Double
Retire 4
Commentaire :
1. ×3+4×2−4
5−→ 15 −→ 19 −→ 38 −→ 34
ou
5×3=15 15+4=19 19×2=38 38−4=34
Ave c 5 co mme nombre de d´ep art, le p rogram me don ne 34 .
(5 ×3+4)×2−4=34
2. ×3+4×2−4
-5 −→ − 15 −→ − 11 −→ − 22 −→ − 26
Ave c −5commenombreded´epart,leprogrammedonne−26.
3. !2
3×3+4
"×2−4=(2+4)×2−4=12
Ave c 2
3comme nombre de d´epart, le programme donne 12.
Activit´ eprogrammen
o2
On peut appliquer ce programme `a n’importe quel nombre.
Appliquer le programme no2auxnombres4,–4et5
2.
Prends l’oppos´e du double
Ajoute 3
Multiplie par 5
Retire 2
Bilan :
La somme de deux nombres oppos´es vaut 0.
Autrement dit, pour prendre l’oppos´e d’un nombre, il suffit dechangerlesigne.(positifoun´egatif)
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Exercice
Aquel(s)nombre(s)faut-ilappliquerleprogrammen
o1pourtrouver809,2? pour trouver 14?
Commentaire :
R´emi a tˆatonn´e.
Il essaie avec 200 et trouve 1 204 (trop grand)
150 904 (trop grand)
140 844 (trop grand)
130 784 (trop petit)
135 814 (trop grand)
134 808 (trop petit)
134,5 811 (trop grand)
134,4 810,4(tropgrand)
134,3 809,8(tropgrand)
134,2 809,2(tropgrand)
Sophie a ”remont´e” le programme :
×3+4×2−4
?−→ −→ −→ −→ 809,2
134,2 ←− 402,6←− 406,6←− 813,2←− 809,2
÷3−4÷2+4
Pour 14 : 1,666666667 ne convient pas car c’est seulement une valeur approche´ee de 5
3.
Si on lui applique le programme, on trouve 14,000000002 et non pas 14, comme l’indique la calculatrice
qui arrondit.
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Une variable : quand ? et pour quoi faire ?
Activit´ esqueletteducube
On fabrique des ”squelettes de cubes” en collant face contre face des petits cubes de 1 cm d’arˆete, comme
le montrent les quatre dessins en perspective ci-dessous.
On peut ainsi fabriquer des ”squelettes de cubes” aussi grands qu’on veut.
Pouvez-vous dire combien il faut de petits cubes pour fabriquer n’importe quel squelette ?
Commentaire :
productions d’´el`eves
Exemple de calculs rencontr´es pendant le d´ebat :
c−2+c−2+c−2+c−2=(c−2) ×4
(c−2) ×8=c×8−16
(a+a+a+a−8) ×2+a+a+a+a=(a×4−8) ×2+a×4
=a×8−16 + a×4
=a×12 −16
Pour calculer combien vaut (a+a+a+a−8) ×2+a++a+a+alorsque a=123,ondoitremplacer
apar 123 ou on peut faire le calcul : 123 ×12 −16 (beaucoup plus rapide)
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Activit´ eprogrammen
o3
On peut appliquer ce programme `a n’importe quel nombre.
Que penses-tu de ce programme ? Prouve ce que tu avances.
Double
Ajoute 5
Double
Retire le triple du nombre de d´epart
Retire 10
Commentaire :
La solution de l’exercice avec une r´eduction d´etaill´e de (x×2+5)×2−x×3−10
Exercice du programme trompeur
Voici un programme de calcul.
On peut l’appliquer `a n’importe quel nombre.
Appliquer le programme aux trois nombres : 1 ; 2 et 3.
Que pensez-vous ?
Ajoute 1 au carr´e du nombre de d´epart
Multiplie par 6
Retire le cube du nombre de d´epart
Divise par 11
Bilan :
Conjecture : Le programme semble donn´e tout le temps le nombre de d´epart.
Grˆace au calcul litt´eral, on a trouv´e que notre conjecture´etaitfausse.Il faut donc faire attention ` a
ce que l’on croit. Il faut une d´ emonstration pour ˆ etre sˆ ur !
Bilan :
Pour n’importe quels nombres k,aet b,
Pour multiplier une somme ou une diff´erence par k,onmultipliechaquetermepark.
D´eveloppement
−→
k×(a+b)=k×a+k×bet k×(a−b)=k×a−k×b
←−
Factorisation
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