Th`eme D : Calcul littéral : égalité, développement et réduction fiche

Cahier de Bord 4eme : partie numérique
Thème D : Calcul littéral : égalité, développement et réduction
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Thème D : Calcul littéral : égalité, développement et
réduction
Collège Hutinel
2013 / 2014
Cahier de Bord 4eme : partie numérique
Thème D : Calcul littéral : égalité, développement et réduction
Programmes de calcul
Activité programme no 1
On peut appliquer ce programme à n’importe quel nombre.
Appliquer le programme no 1 aux trois nombres : 5, –5 et
2
.
3
Triple
Ajoute 4
Double
Retire 4
Commentaire :
1.
5
×3
−→
15
+4
−→
19
×2
−→
38
−4
−→
34
ou
5 × 3 = 15
15 + 4 = 19
19 × 2 = 38
38 − 4 = 34
Avec 5 comme nombre de départ, le programme donne 34.
(5 × 3 + 4) × 2 − 4 = 34
2.
3.
×3
+4
×2
−4
-5 −→ −15 −→ −11 −→ −22 −→ −26
Avec −5 comme nombre de départ, le programme donne −26.
!
"
2
× 3 + 4 × 2 − 4 = (2 + 4) × 2 − 4 = 12
3
2
Avec comme nombre de départ, le programme donne 12.
3
Activité programme no 2
On peut appliquer ce programme à n’importe quel nombre.
Appliquer le programme no 2 aux nombres 4, –4 et
5
.
2
Prends l’opposé du double
Ajoute 3
Multiplie par 5
Retire 2
Bilan :
La somme de deux nombres opposés vaut 0.
Autrement dit, pour prendre l’opposé d’un nombre, il suffit de changer le signe. (positif ou négatif)
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Exercice
A quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme no 1 pour trouver 809, 2 ? pour trouver 14 ?
Commentaire :
Rémi a tâtonné.
Il essaie avec
200
150
140
130
135
134
134,5
134,4
134,3
134,2
et trouve
1 204
904
844
784
814
808
811
810,4
809,8
809,2
(trop grand)
(trop grand)
(trop grand)
(trop petit)
(trop grand)
(trop petit)
(trop grand)
(trop grand)
(trop grand)
(trop grand)
Sophie a ”remonté” le programme :
?
134,2
×3
−→
←−
÷3
402, 6
+4
−→
←−
−4
406, 6
×2
−→
←−
÷2
813, 2
−4
−→
←−
+4
809, 2
809, 2
5
Pour 14 : 1, 666666667 ne convient pas car c’est seulement une valeur approcheée de .
3
Si on lui applique le programme, on trouve 14, 000000002 et non pas 14, comme l’indique la calculatrice
qui arrondit.
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Une variable : quand ? et pour quoi faire ?
Activité squelette du cube
On fabrique des ”squelettes de cubes” en collant face contre face des petits cubes de 1 cm d’arête, comme
le montrent les quatre dessins en perspective ci-dessous.
On peut ainsi fabriquer des ”squelettes de cubes” aussi grands qu’on veut.
Pouvez-vous dire combien il faut de petits cubes pour fabriquer n’importe quel squelette ?
Commentaire :
productions d’élèves
Exemple de calculs rencontrés pendant le débat :
c − 2 + c − 2 + c − 2 + c − 2 = (c − 2) × 4
(c − 2) × 8 = c × 8 − 16
(a + a + a + a − 8) × 2 + a + a + a + a = (a × 4 − 8) × 2 + a × 4
= a × 8 − 16 + a × 4
= a × 12 − 16
Pour calculer combien vaut (a + a + a + a − 8) × 2 + a + +a + a + a lorsque a = 123, on doit remplacer
a par 123 ou on peut faire le calcul : 123 × 12 − 16
(beaucoup plus rapide)
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Activité programme no 3
On peut appliquer ce programme à n’importe quel nombre.
Que penses-tu de ce programme ? Prouve ce que tu avances.
Double
Ajoute 5
Double
Retire le triple du nombre de départ
Retire 10
Commentaire :
La solution de l’exercice avec une réduction détaillé de
Exercice du programme trompeur
Voici un programme de calcul.
On peut l’appliquer à n’importe quel nombre.
Appliquer le programme aux trois nombres : 1 ; 2 et 3.
Que pensez-vous ?
(x × 2 + 5) × 2 − x × 3 − 10
Ajoute 1 au carré du nombre de départ
Multiplie par 6
Retire le cube du nombre de départ
Divise par 11
Bilan :
Conjecture : Le programme semble donné tout le temps le nombre de départ.
Grâce au calcul littéral, on a trouvé que notre conjecture était fausse. Il faut donc faire attention à
ce que l’on croit. Il faut une démonstration pour être sûr !
Bilan :
Pour n’importe quels nombres k, a et b,
Pour multiplier une somme ou une différence par k, on multiplie chaque terme par k.
Développement
−→
k × (a + b) = k × a + k × b
←−
Factorisation
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et
k × (a − b) = k × a − k × b
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Commentaire :
Exemples déjà rencontrés :
34 × 19 = 34 × (20 − 1) = 34 × 20 − 34 = 680 − 34 = 646
34 × 11 + 34 × 9 = 34 × 20 = 680 (on factorise 34)
(2 × x + 5) × 2 = 4 × x + 10
(a − 2) × 4 = a × 4 − 8
a × 8 + a × 4 = a × 12 (on factorise a)
Vers un calcul littéral formel
Activité : le gros squelette
On fabrique de nouveaux ”gros squelettes de cubes” en collant face contre face des petits cubes, comme
le montrent les deux dessins en perspective ci-dessus.
On peut ainsi fabriquer des ”gros squelettes de cubes” aussi grands qu’on veut.
Pouvez-vous dire combien il faut de petits cubes pour fabriquer n’importe quel gros squelette ?
Commentaire :
a : nombre de cubes sur une ”petite arête” du squelette que l’on veut obtenir.
n : nombre de cubes nécessaires pour fabriquer le quelette avec a cubes par petite arête.
n = a × 4 × 12 − 8 × 8 × 2 = a × 48 − 128
a × 4 : 1 grosse arête
12 : 12 grosses arêtes
8 : cubes d’un gros sommet
8 : gros sommets
2 : retirés 2 fois parce que déjà compter 3 fois
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Activité : les différentes formules
On a demandé à des élèves combien il faut de petits cubes pour fabriquer n’importe quel gros squelette.
Voici leurs formules :
Formule 2 : n = (a–2) × 4 × 8 + (a–4) × 4 × 4
Formule 3 : n = (a–4) × 4 × 12 + 16
Formule 4 : n = a × 4 × 4 + (a–4) × 4 × 8
Que pensez-vous de leurs réponses ?
Commentaire :
Pour valider la formule 2, on peut prouver que la formule permet bien de compter tous les cubes d’un
squelette, comme pour la formule 1.
On peut aussi faire un calcul littéral :
n = (a − 2) × 4 × 8 + (a − 4) × 4 × 4
= (a − 2) × 32 + (a − 4) × 16
= a × 32 − 64 + a × 16 − 64
= a × 48 − 128
La formule 2 fournit donc les mêmes résultats que la formule 1 pour n’importe quelle valeur de a
La formule 3 est fausse car pour a = 100, elle donne 4 624 au lieu de 100 × 48 − 128, c’est-à-dire 4 672.
Pour n’importe quel nombre a, quand on écrit :
a × 4 × 4 + (a − 4) × 4 × 8 = a × 16 + (a − 4) × 32
= a × 16 + a × 32 − 4 × 32
= a × 48 − 128
Exercice
Quel est le plus grand ”gros squelette” que l’on puisse faire avec 5 920 petits cubes ? avec 37 554 petits
cubes ?
Utilisation
Exercice du mur 1
Dans le mur ci-dessous, le contenu d’une brique est la
somme des deux briques qui se trouvent sous elle.
Si on met deux fois le même nombre dans les deux
briques grises, on peut alors calculer de proche en
proche le contenu de la brique du haut.
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Commentaire :
x désigne un nombre quelconque.
Le mur est complété avec les expressions littérales
Quand on met x dans les briques grises, on obtient 6 × x + 5 dans la brique au sommet.
Conclusion : pour trouver très vite le nombre tout en haut, on peut juste multiplier par 6 le nombre choisi
et ajouter 5.
Exercice du livret :
Exercice : les programmes
Programme A
Double
Ajoute 3
Double
Retire le triple du nombre de départ
Retire 7
Programme B
Triple
Retire 1
Double
Retire le double du nombre de départ
Retire 2
Programme C
Multiplie par 4
Retire 8
Divise par 4
Ajoute 1
Comparer les trois programmes.
Commentaire :
Programme A :
Programme B :
Programme C :
(2 × a + 3) × 2 − 3 × a − 7 = 4 × a + 6 − 3 × a − 7 = x − 1
(3 × a − 1) × 2 − 2 × a − 2 = 6 × a − 2 − 2 × a − 2 = 4 × a − 4
(4 × a − 8) ÷ 4 + 1 = a − 2 + 1 = a − 1
4 × a − 4 = 4 × (a − 1)
Pour une même valeur de départ, les programmes A et C donnent le même résultat et le programme B
donne le quadruple de ce résultat.
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Exercice du livret :
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