DEVOIR SURVEILLE N˚3 MATHEMATIQUES Série S Enseignement

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DEVOIR SURVEILLE N˚3
Le 05/12/2009
MATHEMATIQUES
Série S
Enseignement obligatoire
Durée de l’épreuve : 3 heures
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de
recherche, même incomplète ou non fructueuse qu’il aura développée. Il est
rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Le sujet est à rendre avec la copie.

Exercice 1 (3 points)
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. Vous devez cocher la réponse
exacte sans justification. Une bonne réponse rapporte 0.5 point. Une mauvaise réponse enlève 0.25 point.
L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale
attribuée à l’exercice est 0.
QUESTIONS RÉPONSES
1. La solution fde l’équation différentielle
y′−2y= 0 qui vérifie f(1) = 2 est :
2e2x−1
2e−2+ 2e2x
2e2(x−1)
e2(x−1)
2. Pour tout réel x,ex+e−x
exest égal à : 2ex
0
e−x
1 + e−2x
3. L’ensemble des solutions de l’équation ex2=e−x
est :
0 et −1
0
0et 1
1
4. fest la fonction définie sur Rpar f(x) = x+ex.
Sa limite en −∞ est :
+∞
0
1
−∞
5. La courbe de la fonction exponentielle admet :
Une tangente horizontale.
Une tangente verticale.
Une asymptote verticale.
Une asymptote horizontale.
6. On considère l’équation différentielle y′= 2y−6.Les courbes représentatives des fonctions solu-
tions ont une asymptote verticale.
Les courbes représentatives des fonctions solu-
tions ont pour asymptote la droite d’équation
y= 3.
En chaque point d’abscisse 2, les tangentes aux
courbes solutions sont parallèles.
Toutes les solutions passent par le point de coor-
données (0 ; −6).

Exercice 2 (5 points)
- Partie A : étude d’une fonction -
On considère la fonction numérique fdéfinie sur [0 ; 1[ par :
f(x) = (1 + x)p1−x2
1. Montrer que, pour tout xde [0 ; 1[, on a :
f′(x) = 1−x−2x2
√1−x2
2. Etudier le sens de variation de f, puis dresser son tableau de variation sur [0 ; 1[.
- Partie B : application -
Une benne a la forme d’un prisme droit dont la base est un trapèze isocèle ABCD.
La longueur du côté [CD]est variable. Les autres dimensions sont fixes et indiquées sur la figure 1 ci-dessous
(l’unité est le mètre).
Figure 1
Figure 2
On se propose de déterminer xde façon que la benne ait un volume maximal.
1. a. Calculer, en fonction de x, l’aire S(x)du trapèze ABCD.
b. On note V(x), le volume de la benne. Exprimer V(x)en fonction de f(x).
2. a. Pour quelle valeur de x, le volume de la benne est-il maximal ?
b. Quel est alors le volume de la benne ?
c. Toujours dans ce cas, quelle est la mesure de l’angle \ CBH en radians ?
FORMULAIRE
•Soit uune fonction dérivable sur un intervalle Itelle que u > 0sur I, alors √uest dérivable sur Iet
(√u)′=u′
2√u.
•Soit ABCD un trapèze, bet Bles longueurs des deux bases et hla longueur de la hauteur relative à ces deux
bases.
L’aire adu trapèze ABCD est donnée par :
a=(b+B)×h
2
•Le volume d’un prisme droit est le produit de l’aire d’une base par la hauteur.

Exercice 3 (4,5 points)
On se propose de résoudre dans Cl’équation (E):
z3+ (√3−i)z2+ (1 −i√3)z−i= 0
1. Déterminer le réel ytel que iy soit solution de (E).
2. Déterminer les réels aet btels que, pour tout nombre complexe z:
z3+ (√3−i)z2+ (1 −i√3)z−i= (z−i)(z2+az +b)
3. a. Résoudre dans C, l’équation (E′):z2+√3z+ 1 = 0.
b. En déduire les solutions de (E).
Exercice 4 (5 points)
On considère les deux suites (un)et (vn)définies, pour tout entier n>1, par :
u1= 1 et un+1 =un+ 2vn
3
v1= 12 et vn+1 =un+ 3vn
4
1. Calculer u2,v2,u3et v3.
2. On pose wn=vn−un.
a. Démontrer que (wn)est une suite géométrique de raison 1
12.
b. Exprimer wnen fonction de n, pour n>1.
c. Préciser la limite de la suite (wn).
3. a. Etudier les sens de variation des suites (un)et (vn).
b. Démontrer que les suites (un)et (vn)sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?
4. On considère à présent la suite (tn)définie, pour tout entier naturel n>1, par tn= 3un+ 8vn.
Démontrer que cette suite est constante.
5. En utilisant les questions 2. et 4., montrer que :
un= 9 −8×1
12n−1
et vn= 9 + 3 ×1
12n−1
6. En déduire la limite des suites (un)et (vn).
Exercice 5 (2,5 points)
Soit la fonction fdéfinie sur l’intervalle [0 ; +∞[par :
f(x) = ex−x2
2
1. Justifier tous les éléments contenus dans le tableau suivant (signe de f′′ (x), variations de f′, valeur de f′′ en
0 et image de 0 par f′) :
x
f′′(x)
f′(x)
0
0+
1
+∞
2. Demontrer alors que lim
x→+∞
ex
x= +∞puis déduire la valeur de lim
x→+∞
xe−x