DEVOIR SURVEILLE N˚3 MATHEMATIQUES Série S Enseignement

NOM : .....
Prénom : .....
Classe : ....
DEVOIR SURVEILLE N˚3
Le 05/12/2009
MATHEMATIQUES
Série S
Enseignement obligatoire
Durée de l’épreuve : 3 heures
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de
recherche, même incomplète ou non fructueuse qu’il aura développée. Il est
rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Le sujet est à rendre avec la copie.
Exercice 1 (3 points)
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. Vous devez cocher la réponse
exacte sans justification. Une bonne réponse rapporte 0.5 point. Une mauvaise réponse enlève 0.25 point.
L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale
attribuée à l’exercice est 0.
QUESTIONS
RÉPONSES
2x−1
2e
2e−2 + 2e2x
1. La solution f de l’équation différentielle
y ′ − 2y = 0 qui vérifie f (1) = 2 est :
2e2(x−1)
e2(x−1)
2. Pour tout réel x,
ex + e−x
est égal à :
ex
2ex
0
e−x
1 + e−2x
3. L’ensemble des solutions de l’équation e
est :
x2
=e
−x
0 et −1
0
0 et 1
1
+∞
4. f est la fonction définie sur R par f (x) = x + ex .
Sa limite en −∞ est :
0
1
−∞
Une tangente horizontale.
5. La courbe de la fonction exponentielle admet :
Une tangente verticale.
Une asymptote verticale.
Une asymptote horizontale.
6. On considère l’équation différentielle y ′ = 2y − 6.
Les courbes représentatives des fonctions solutions ont une asymptote verticale.
Les courbes représentatives des fonctions solu tions ont pour asymptote la droite d’équation
y = 3.
En chaque point d’abscisse 2, les tangentes aux
courbes solutions sont parallèles.
Toutes les solutions passent par le point de coordonnées (0 ; −6).
Exercice 2 (5 points)
- Partie A : étude d’une fonction On considère la fonction numérique f définie sur [0 ; 1[ par :
p
f (x) = (1 + x) 1 − x2
1. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1[, on a :
f ′ (x) =
1 − x − 2x2
√
1 − x2
2. Etudier le sens de variation de f , puis dresser son tableau de variation sur [0 ; 1[.
- Partie B : application Une benne a la forme d’un prisme droit dont la base est un trapèze isocèle ABCD.
1 ci-dessous
La longueur du côté [CD] est variable. Les autres dimensions sont fixes et indiquées sur la figure (l’unité est le mètre).
2
Figure 1
Figure On se propose de déterminer x de façon que la benne ait un volume maximal.
1. a. Calculer, en fonction de x, l’aire S(x) du trapèze ABCD.
b. On note V (x), le volume de la benne. Exprimer V (x) en fonction de f (x).
2. a. Pour quelle valeur de x, le volume de la benne est-il maximal ?
b. Quel est alors le volume de la benne ?
\ en radians ?
c. Toujours dans ce cas, quelle est la mesure de l’angle CBH
FORMULAIRE
√
• Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u > 0 sur I, alors u est dérivable sur I et
√
u′
( u)′ = √ .
2 u
• Soit ABCD un trapèze, b et B les longueurs des deux bases et h la longueur de la hauteur relative à ces deux
bases.
L’aire a du trapèze ABCD est donnée par :
a=
(b + B) × h
2
• Le volume d’un prisme droit est le produit de l’aire d’une base par la hauteur.
Exercice 3 (4,5 points)
On se propose de résoudre dans C l’équation (E) :
√
√
z 3 + ( 3 − i)z 2 + (1 − i 3)z − i = 0
1. Déterminer le réel y tel que iy soit solution de (E).
2. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z :
√
√
z 3 + ( 3 − i)z 2 + (1 − i 3)z − i = (z − i)(z 2 + az + b)
√
3. a. Résoudre dans C, l’équation (E ′ ) : z 2 + 3z + 1 = 0.
b. En déduire les solutions de (E).
Exercice 4 (5 points)
On considère les deux suites (un ) et (vn ) définies, pour tout entier n > 1, par :
un + 2vn
3
un + 3vn
=
4
u1 = 1
et
un+1 =
v1 = 12
et
vn+1
1. Calculer u2 , v2 , u3 et v3 .
2. On pose wn = vn − un .
a. Démontrer que (wn ) est une suite géométrique de raison
b. Exprimer wn en fonction de n, pour n > 1.
c. Préciser la limite de la suite (wn ).
1
.
12
3. a. Etudier les sens de variation des suites (un ) et (vn ).
b. Démontrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?
4. On considère à présent la suite (tn ) définie, pour tout entier naturel n > 1, par tn = 3un + 8vn .
Démontrer que cette suite est constante.
5. En utilisant les questions 2. et 4., montrer que :
n−1
1
un = 9 − 8 ×
12
et
vn = 9 + 3 ×
1
12
n−1
6. En déduire la limite des suites (un ) et (vn ).
Exercice 5 (2,5 points)
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
x2
2
1. Justifier tous les éléments contenus dans le tableau suivant (signe de f ′′ (x), variations de f ′ , valeur de f ′′ en
0 et image de 0 par f ′ ) :
f (x) = ex −
x
′′
f (x)
+∞
0
0
+
f ′ (x)
1
e
= +∞ puis déduire la valeur de lim xe−x
x→+∞
x
x
2. Demontrer alors que lim
x→+∞