Représentation de sous espaces comme intersection d`hyperplans

16 septembre 2001
Repr´esentation de sous espaces comme
intersection d’hyperplans
JPB
16 septembre 2001
Table des mati`eres
1 Hyperplans 1
2 Intersection d’un nombre fini d’hyperplans 3
2.1 Sous espace comme intersection d’hyperplans .......... 6
1 Hyperplans
D´efinition 1. L’image d’une forme lin´eaire non nulle sur un K-espace vec-
toriel Eest K. Si Hest un sous espace de E, les propri´et´es suivantes sont
´equivalentes :
–Hest le noyau d’une forme lin´eaire non nulle.
– Il existe une droite Dde Etelle que :
E=H⊕D
Un tel sous espace de Es’appelle un hyperplan de E.
D´emonstration. soit φune forme lin´eaire non nulle. Im φest un sous espace
de Knon r´eduit `a {0}donc ´egal `a K.
Prouvons maintenant l’´equivalence des propri´et´es :
– Soit H= Ker φ, o`u φest une forme lin´eaire non nulle sur E. Il existe
donc −→ u∈Etel que φ(−→ u)6= 0. Prouvons que :
E=H⊕Davec D= Vect(−→ u)
Page 1/8Jean-Pierre Barani
16 septembre 2001
–H∩D={−→ 0}car, si λ−→ u=−→ 0 , φ(λ−→ u)=0ie λ= 0 puisque
φ(−→ u)6= 0.
–E=H+Dcar H+D⊂Eet, si −→ x∈E, on peut "r´egler"un
scalaire λtel que −→ x−λ−→ u∈H.λest d´etermin´e par :
φ(−→ x−λ−→ u) = 0 soit λ=φ(−→
x)
φ(−→ u)
Donc −→ x=
∈H
z }| {
(−→ x−λ−→ u) +
∈D
z}|{
λ−→ u∈H+D.
– Soit maintenant Hun sous espace de Eadmettant un suppl´ementaire
qui est une droite D. Soit ple projecteur l’image Det de noyau Het
πla forme coordonn´ee sur Drelativement `a une base de D. Il vient,
puisque πest un isomorphisme de Dsur K:
Ker π◦p= Ker p=H
Donc φest une forme lin´eaire (non nulle car π6= 0) de noyau H.
Les deux questions suivantes ont pour but d’assimiler cette preuve que
vous referez sur ces exemples :
Question 1.Montrer que :
{(x, y, z)∈R3,−x+ 2y+ 5z= 0}
est un hyperplan. En donner un suppl´ementaire.
Question 2.Montrer que :
y∈C0(R,R),Z1
0
y(t)dt =y(0) + y(1)
2
est un hyperplan de C0(R,R). En pr´eciser un suppl´ementaire.
Proposition 1. Soit H= Ker φun hyperplan de Eo`u φune forme lin´eaire
non nulle sur E. Alors l’ensemble des formes lin´eaires qui s’annulent sur H
est la droite vectorielle de E∗engendr´ee par φ. En particulier :
∀φ, ψ ∈E∗,Ker φ= Ker ψ⇔ ∃λ∈K− {0}, ψ =λφ
Une forme lin´eaire non nulle qui s’annule sur Hs’appelle une ´equation de
H.
Page 2/8Jean-Pierre Barani

16 septembre 2001
D´emonstration. Soit ψune forme lin´eaire qui s’annule sur H= Ker φ. Soit
−→
uun vecteur tel que φ(−→ u)6= 0. On a vu pr´ecedemment que :
E=H⊕Davec D= Vect(−→ u)
Pour montrer que ψest multiple de φ, il suffit de "r´egler"un scalaire λtel
qu’on ait :
ψ(−→ u) = λφ(−→ u) soit λ=ψ(−→
u)
φ(−→ u)
Avec un tel scalaire λ, les formes λφ et ψco¨ıncident sur Het Dqui sont
suppl´ementaires donc sur tout E. Le r´esultat annonc´e s’en d´eduit ais´ement.
Question 3.Vous avez d´eja rencontr´e cette situation en g´eom´etrie. Don-
nez des exemples.
Exercice 1. Soit u∈C0([0,1],R) telle que :
∀f∈C0([0,1],R),Z1
0
f(t)dt = 0 ⇒Z1
0
f(t)u(t)dt = 0
Montrer que fest constante.
2 Intersection d’un nombre fini d’hyperplans
Il s’agit de g´en´eraliser une situation courante en g´eom´etrie de l’espace `a
trois dimensions. Une droite (que l’on prendra vectorielle puisqu’on traite de
l’alg`ebre lin´eaire) 1peut s’´ecrire (de beaucoup de fa¸cons) comme intersection
de deux plans. De surcroˆıt, les ´equations de ces plans sont ind´ependantes (ce
qui, dans ce cas, revient `a dire qu’elles ne sont pas proportionnelles puis-
qu’elles d´efiniraient les deux mˆemes plans dont l’intersection ne saurait ˆetre
une droite). Traitons un exemple :
Exemple 1.On consid`ere un R-espace vectoriel Ede dimension 5 rapport´e
`a une base (e)=(−→ e1,−→
e2,−→ e3,−→ e4,−→ e5). On note (e∗)=(π1, π2, π3, π4, π5) la
base de E∗constitu´ee des formes coordonn´ees relativement `a (e). On note
1cependant la situation est tout `a fait analogue en g´eom´etrie affine
Page 3/8Jean-Pierre Barani
16 septembre 2001
Fle sous espace Vect(−→ f1,−→ f2) o`u le syst`eme (f)=(−→ f1,−→ f2) est d´efini par sa
matrice Mrelativement `a (e) :
M=
1 2
2−1
0 5
−1 7
3 2
On consid`ere un vecteur −→ x=P5
i=1 xi−→
eiet on se propose de trouver des
conditions n´ecessaires et suffisantes sur (x1,...,x5) pour que −→
x∈F. Puisque
Vect(−→ f1,−→
f2)⊂Vect(−→ f1,−→ f2,−→ x), −→ x∈Fsi et seulement si rg(−→ f1,−→ f2) =
rg(−→ f1,−→
f2,−→ x) c’est `a dire si et seulement si les rangs des deux matrices Met
A:
A=
1 2 x1
2−1x2
0 5 x3
−1 7 x4
3 2 x5
sont ´egaux On effectue une op´eration de pivˆot sur les lignes de A`a partir du
coefficient a1,1on remarque que la mˆeme op´eration s’ex´ecute sur les lignes
de Mqui est une sous matrice de A:
B:=pivot(A,1,1)
B=
1 2 x1
0−5−2x1 +x2
0 5 x3
0 9 x1 +x4
0−4−3x1 +x5
Puis enfin :
C:=pivot(B,1,1)
Page 4/8Jean-Pierre Barani

16 septembre 2001
C=
1 0 1
5x1 +2 5x2
0−5−2x1 +x2
0 0 −2x1 +x2 +x3
0 0 −13
5x1 +9 5x2 +x4
0 0 −7
5x1 −4 5x2 +x5
On en d´eduit rg M= 2 et rg A= rg Cdonc dim F= 2 et −→ x∈Fsi et
seulement si :
rg(C)=2
Soit :
−2x1 +x2 +x3 = 0 (1)
−13
5x1 +9 5x2 +x4 = 0 (2)
−7
5x1 −4 5x2 +x5 = 0 (3)
En se rappelant que πi(−→
x) = xi, il vient par exemple :
−2x1+x2= (−2π1+π2)(−→
x)
Ce qui conduit `a introduire les trois formes lin´eaires :
φ1 = −2π1+π2(4)
φ2=−13π1+ 9π2+ 5π4(5)
φ3=−7π1−4π2+ 5π5(6)
Ces formes lin´eaires sont non nulles, notons Hil’hyperplan Ker φi, on a
prouv´e que :
F=H1∩H2∩H3
Notons () la base canonique de R3.
On a donc r´ealis´e l’espace Fcomme intersection d’hyperplans ou, si l’on
pr´ef`ere, comme noyau de l’application lin´eaire :
u:E→R3−→
x7→ (φ1(−→
x), φ2(−→ x), φ3(−→ x))
Page 5/8Jean-Pierre Barani
16 septembre 2001
dont la matrice, relativement au couple de bases (e),() est :
N=
−2 1 0 0 0
−13 9 0 5 0
−7−4005
On constate, via les relations (4), (5), (6), que les lignes de Nsont constitu´ees
des coordonn´ees des formes φidans (e∗), ou, ce qui revient au meme, que la
matrice tMest la matrice du syst`eme (φ1, φ2, φ3) dans (e∗). Il d´ecoule, de
tout cela, que :
rg u= rg(φ1, φ2, φ3)
or Ker u=Fdonc rg u= 3 et donc que le syst`eme des formes lin´eaires
(φ1, φ2, φ3) est libre.
Exercice 2.Dans l’exemple pr´ec´edent, prouvez qu’un l’hyperplan Hd’´equa-
tion φcontient Fsi et seulement si φest combinaison lin´eaire de (φ1, φ2, φ3).
Quelle situation g´eom´etrique cela rappelle-t-il ? La g´en´eralisation de tout cela
est propos´ee dans ce qui suit.
2.1 Sous espace comme intersection d’hyperplans
Proposition 2 (Calcul de la dimension par contraintes lin´eaires).
Soit (φ1, φ2,...,φn)un syst`eme de forme lin´eaires sur Ede dimension finie
ou non et u∈ L(E, Kn)d´efini par :
x7→ (φ1(x), φ2(x),...,φn(x))
alors : rg(φ1, φ2,...,φn) = rg uOn en d´eduit que, si Eest de dimension
finie :
dim
n
\
i=1
Ker φi= dim(E)−rg(φ1, φ2,...,φn)
On peut interpr´eter informellement ce fait en disant que la dimension d’un
sous espace d´efini par des contraintes (´equations) lin´eaires est ´egal `a la di-
mension de E(nombre de param`etres dont d´epend un vecteur de E) moins
"nombre de contraintes"ind´ependantes (cf l’id´ee de variance)
D´emonstration. On limite la preuve `a la dimension finie. Soit p= dim(E)
et munissons Ed’une base (−→ e1,...,−→
ep). Soit (e∗)=(π1,...,πp) la base des
Page 6/8Jean-Pierre Barani

16 septembre 2001
formes coordonn´ees correspondantes. Exprimons φidans la base (e∗). Pour
1≤i≤n:
φi=
p
X
j=1
aij πj
Soit ()=(1,...,n) la base canonique de Kn; calculons u(−→ ej) :
u(−→ ej) =
n
X
i=1
φi(−→ ej)i=
n
X
i=1
aij i
donc :
Mat (u, (e),()) = A= (aij )(i,j)∈[1,n]×[1,p]
et donc rg(u) = rg(A) mais tAest la matrice de pr´esentation du syst`eme de
vecteurs (φ1,...,φn) dans la base (e∗) et donc :
rg(φ1,...,φn) = rg tA= rg(A) = rg(u)
Exercice 3. Trouver la dimension et une base du sous espace de M3(R)
constitu´e des matrices dont la somme des ´el´ements de chaque ligne est ´egale
`a la somme des ´el´ements de chaque colonne.
Proposition 3. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension net Fun sous
espace de Ede dimension pavec 0≤p≤n−1. Il existe alors r=n−p
formes lin´eaires ind´ependantes ((φ1, φ2,...,φr)) telles que :
F=
r
\
i=1
Ker φi
De plus, H= Ker φest un hyperplan qui contient Fsi et seulement si :
φ∈Vect(φ1, φ2,...,φr)
D´emonstration. On choisit une base de Fqu’on complˆete en une base de E:
(−→ e1,...,−→
en) et F= Vect(−→ e1,...,−→ ep). En notant (π1,...,πn) la base duale
associ´ee, il vient :
F=
n
\
i=p+1
Ker πi
Page 7/8Jean-Pierre Barani
16 septembre 2001
qui sont bien ind´ependantes. Soit φ∈E∗. Il vient :
φ=
n
X
i=1
φ(−→ ei)πi
donc H= Ker φcontient Fsi et seulement si :
φ(−→ e1) = ···=φ(−→
ep)=0 ie φ ∈Vect(πp+1,...,πn)
Exercice 4. Montrer que, si Fest intersection de rhyperplans alors les
formes lin´eaires qui les d´efinissent sont ind´ependantes et que toute forme
lin´eaire qui s’annule sur Hest combinaison lin´eaire d’icelles.
Exemple 2.Trouver la dimension et une base de l’intersection de deux sous
espaces. cf feuilles de calcul Maple
Exercice 5. (X) Soit u∈C0([a, b],R) telle que :
∀f∈C2([a, b],R), f(a) = f0(a) = f(b) = f0(b)=0⇒Z1
0
f”(t)u(t)dt = 0
Montrer que fest polynˆomiale de degr´e au plus 1.
Page 8/8Jean-Pierre Barani