Représentation de sous espaces comme intersection d`hyperplans

16 septembre 2001
16 septembre 2001
→
−
→
−
→
→
– H ∩ D = { 0 } car, si λ −
u = 0 , φ(λ −
u ) = 0 ie λ = 0 puisque
→
φ( −
u ) 6= 0.
→
– E = H + D car H + D ⊂ E et, si −
x ∈ E, on peut "régler" un
→
−
→
−
scalaire λ tel que x − λ u ∈ H. λ est déterminé par :
→
φ( −
x)
→
→
φ( −
x − λ−
u ) = 0 soit λ = −
φ( →
u)
Représentation de sous espaces comme
intersection d’hyperplans
JPB
∈H
∈D
z }| { z}|{
→
→
→
→
Donc −
x =(−
x − λ−
u ) + λ−
u ∈ H + D.
– Soit maintenant H un sous espace de E admettant un supplémentaire
qui est une droite D. Soit p le projecteur l’image D et de noyau H et
π la forme coordonnée sur D relativement à une base de D. Il vient,
puisque π est un isomorphisme de D sur K :
16 septembre 2001
Table des matières
Ker π ◦ p = Ker p = H
1 Hyperplans
1
Donc φ est une forme linéaire (non nulle car π 6= 0) de noyau H.
2 Intersection d’un nombre fini d’hyperplans
2.1 Sous espace comme intersection d’hyperplans . . . . . . . . . .
3
6
Les deux questions suivantes ont pour but d’assimiler cette preuve que
vous referez sur ces exemples :
1
Hyperplans
Question 1. Montrer que :
Définition 1. L’image d’une forme linéaire non nulle sur un K-espace vectoriel E est K. Si H est un sous espace de E, les propriétés suivantes sont
équivalentes :
– H est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
– Il existe une droite D de E telle que :
E =H ⊕D
Un tel sous espace de E s’appelle un hyperplan de E.
Démonstration. soit φ une forme linéaire non nulle. Im φ est un sous espace
de K non réduit à {0} donc égal à K.
Prouvons maintenant l’équivalence des propriétés :
– Soit H = Ker φ, où φ est une forme linéaire non nulle sur E. Il existe
→
→
donc −
u ∈ E tel que φ( −
u ) 6= 0. Prouvons que :
→
E = H ⊕ D avec D = Vect( −
u)
Page 1/8
Jean-Pierre Barani
{(x, y, z) ∈ R3 , −x + 2y + 5z = 0}
est un hyperplan. En donner un supplémentaire.
Question 2. Montrer que :
Z
y ∈ C 0 (R, R) ,
0
1
y(t)dt =
y(0) + y(1)
2
est un hyperplan de C 0 (R, R). En préciser un supplémentaire.
Proposition 1. Soit H = Ker φ un hyperplan de E où φ une forme linéaire
non nulle sur E. Alors l’ensemble des formes linéaires qui s’annulent sur H
est la droite vectorielle de E ∗ engendrée par φ. En particulier :
∀φ, ψ ∈ E ∗ , Ker φ = Ker ψ ⇔ ∃λ ∈ K − {0} , ψ = λφ
Une forme linéaire non nulle qui s’annule sur H s’appelle une équation de
H.
Page 2/8
Jean-Pierre Barani
16 septembre 2001
Démonstration. Soit ψ une forme linéaire qui s’annule sur H = Ker φ. Soit
→
−
→
u un vecteur tel que φ( −
u ) 6= 0. On a vu précedemment que :
E =H ⊕D
→
avec D = Vect( −
u)
Pour montrer que ψ est multiple de φ, il suffit de "régler" un scalaire λ tel
qu’on ait :
→
ψ( −
u)
→
→
ψ( −
u ) = λφ( −
u ) soit λ = −
φ( →
u)
Avec un tel scalaire λ, les formes λφ et ψ coı̈ncident sur H et D qui sont
supplémentaires donc sur tout E. Le résultat annoncé s’en déduit aisément.
Question 3. Vous avez déja rencontré cette situation en géométrie. Donnez des exemples.
Exercice 1. Soit u ∈ C 0 ([0, 1], R) telle que :
Z 1
Z
f (t)dt = 0 ⇒
∀f ∈ C 0 ([0, 1], R),
0
1
0
f (t)u(t)dt = 0
Montrer que f est constante.
2
Intersection d’un nombre fini d’hyperplans
Il s’agit de généraliser une situation courante en géométrie de l’espace à
trois dimensions. Une droite (que l’on prendra vectorielle puisqu’on traite de
l’algèbre linéaire) 1 peut s’écrire (de beaucoup de façons) comme intersection
de deux plans. De surcroı̂t, les équations de ces plans sont indépendantes (ce
qui, dans ce cas, revient à dire qu’elles ne sont pas proportionnelles puisqu’elles définiraient les deux mêmes plans dont l’intersection ne saurait être
une droite). Traitons un exemple :
Exemple 1. On considère un R-espace vectoriel E de dimension 5 rapporté
→
→
→
→
→
à une base (e) = ( −
e1 , −
e2 , −
e3 , −
e4 , −
e5 ). On note (e∗ ) = (π1 , π2 , π3 , π4 , π5 ) la
base de E ∗ constituée des formes coordonnées relativement à (e). On note
1
16 septembre 2001
→ −
−
→
− −
→
→
F le sous espace Vect( f1 , f2 ) où le système (f ) = ( f1 , f2 ) est défini par sa
matrice M relativement à (e) :


1
2
 2 −1 


5 
M =
 0

 −1
7 
3
2
P
→
→
ei et on se propose de trouver des
On considère un vecteur −
x = 5i=1 xi −
→
x ∈ F . Puisque
conditions nécessaires et suffisantes sur (x1 , . . . , x5 ) pour que −
→ −
−
→
→ −
−
→ −
→ −
−
→
→
→
−
Vect( f1 , f2 ) ⊂ Vect( f1 , f2 , x ), x ∈ F si et seulement si rg( f1 , f2 ) =
→ −
→ −
−
→
rg( f1 , f2 , x ) c’est à dire si et seulement si les rangs des deux matrices M et
A:


1
2 x1
 2 −1 x2 


5 x3 
A=
 0

 −1
7 x4 
3
2 x5
sont égaux On effectue une opération de pivôt sur les lignes de A à partir du
coefficient a1,1 on remarque que la même opération s’exécute sur les lignes
de M qui est une sous matrice de A :
B:=pivot(A,1,1)

1
2
x1
 0 −5 −2 x1 + x2

5
x3
B=
 0
 0
9
x1 + x4
0 −4 −3 x1 + x5






Puis enfin :
C:=pivot(B,1,1)
cependant la situation est tout à fait analogue en géométrie affine
Page 3/8
Jean-Pierre Barani
Page 4/8
Jean-Pierre Barani
16 septembre 2001

1
0


 0 −5

 0
0
C=

 0
0



0
0
On en déduit rg M = 2 et rg A
seulement si :

1
2
x1 + x2

5
5


−2 x1 + x2

−2 x1 + x2 + x3 


13
9
−
x1 + x2 + x4 

5
5


7
4
− x1 − x2 + x5
5
5
−
= rg C donc dim F = 2 et →
x ∈ F si et
dont la matrice, relativement au couple de bases (e), () est :


−2
1 0 0 0
N =  −13 9 0 5 0 
−7 −4 0 0 5
On constate, via les relations (4), (5), (6), que les lignes de N sont constituées
des coordonnées des formes φi dans (e∗ ), ou, ce qui revient au meme, que la
matrice t M est la matrice du système (φ1 , φ2 , φ3 ) dans (e∗ ). Il découle, de
tout cela, que :
rg u = rg(φ1 , φ2 , φ3 )
or Ker u = F donc rg u = 3 et donc que le système des formes linéaires
(φ1 , φ2 , φ3 ) est libre.
rg(C) = 2
Soit :
− 2 x1 + x2 + x3
13
9
−
x1 + x2 + x4
5
5
7
4
− x1 − x2 + x5
5
5
→
−
En se rappelant que πi ( x ) = xi , il vient par
16 septembre 2001
= 0
(1)
= 0
(2)
= 0
(3)
exemple :
Exercice 2. Dans l’exemple précédent, prouvez qu’un l’hyperplan H d’équation φ contient F si et seulement si φ est combinaison linéaire de (φ1 , φ2 , φ3 ).
Quelle situation géométrique cela rappelle-t-il ? La généralisation de tout cela
est proposée dans ce qui suit.
2.1
Sous espace comme intersection d’hyperplans
Proposition 2 (Calcul de la dimension par contraintes linéaires).
Soit (φ1 , φ2 , . . . , φn ) un système de forme linéaires sur E de dimension finie
ou non et u ∈ L(E, Kn ) défini par :
−
x)
−2x1 + x2 = (−2π1 + π2 )( →
Ce qui conduit à introduire les trois formes linéaires :
x 7→ (φ1 (x), φ2 (x), . . . , φn (x))
φ1 = −2π1 + π2
φ2 = −13π1 + 9π2 + 5π4
φ3 = −7π1 − 4π2 + 5π5
(4)
(5)
(6)
Ces formes linéaires sont non nulles, notons Hi l’hyperplan Ker φi , on a
prouvé que :
F = H 1 ∩ H2 ∩ H3
Notons () la base canonique de R3 .
On a donc réalisé l’espace F comme intersection d’hyperplans ou, si l’on
préfère, comme noyau de l’application linéaire :
u:E→R
Page 5/8
3
−
→
→
→
→
x 7→ (φ1 ( −
x ), φ2 ( −
x ), φ3 ( −
x ))
Jean-Pierre Barani
alors : rg(φ1 , φ2 , . . . , φn ) = rg u On en déduit que, si E est de dimension
finie :
n
\
dim Ker φi = dim(E) − rg(φ1 , φ2 , . . . , φn )
i=1
On peut interpréter informellement ce fait en disant que la dimension d’un
sous espace défini par des contraintes (équations) linéaires est égal à la dimension de E (nombre de paramètres dont dépend un vecteur de E) moins
"nombre de contraintes" indépendantes (cf l’idée de variance)
Démonstration. On limite la preuve à la dimension finie. Soit p = dim(E)
→
→
et munissons E d’une base ( −
e1 , . . . , −
ep ). Soit (e∗ ) = (π1 , . . . , πp ) la base des
Page 6/8
Jean-Pierre Barani
16 septembre 2001
formes coordonnées correspondantes. Exprimons φi dans la base (e∗ ). Pour
1≤i≤n:
p
X
aij πj
φi =
16 septembre 2001
qui sont bien indépendantes. Soit φ ∈ E ∗ . Il vient :
φ=
→
u( −
ej ) =
n
X
→
φi ( −
e j ) i =
i=1
donc :
n
X
→
φ( −
ei ) πi
i=1
j=1
→
Soit () = (1 , . . . , n ) la base canonique de Kn ; calculons u( −
ej ) :
n
X
donc H = Ker φ contient F si et seulement si :
→
→
ep ) = 0 ie φ ∈ Vect(πp+1 , . . . , πn )
φ( −
e1 ) = · · · = φ( −
aij i
i=1
Mat (u, (e), ()) = A = (aij )(i,j)∈[1,n]×[1,p]
et donc rg(u) = rg(A) mais t A est la matrice de présentation du système de
vecteurs (φ1 , . . . , φn ) dans la base (e∗ ) et donc :
rg(φ1 , . . . , φn ) = rg t A = rg(A) = rg(u)
Exercice 3. Trouver la dimension et une base du sous espace de M3 (R)
constitué des matrices dont la somme des éléments de chaque ligne est égale
à la somme des éléments de chaque colonne.
Exercice 4. Montrer que, si F est intersection de r hyperplans alors les
formes linéaires qui les définissent sont indépendantes et que toute forme
linéaire qui s’annule sur H est combinaison linéaire d’icelles.
Exemple 2. Trouver la dimension et une base de l’intersection de deux sous
espaces. cf feuilles de calcul Maple
Exercice 5. (X) Soit u ∈ C 0 ([a, b], R) telle que :
∀f ∈ C 2 ([a, b], R), f (a) = f 0 (a) = f (b) = f 0 (b) = 0 ⇒
Z
1
0
f ”(t)u(t)dt = 0
Montrer que f est polynômiale de degré au plus 1.
Proposition 3. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et F un sous
espace de E de dimension p avec 0 ≤ p ≤ n − 1. Il existe alors r = n − p
formes linéaires indépendantes ((φ1 , φ2 , . . . , φr )) telles que :
F =
r
\
Ker φi
i=1
De plus, H = Ker φ est un hyperplan qui contient F si et seulement si :
φ ∈ Vect(φ1 , φ2 , . . . , φr )
Démonstration. On choisit une base de F qu’on complête en une base de E :
→
→
→
→
en ) et F = Vect( −
e1 , . . . , −
ep ). En notant (π1 , . . . , πn ) la base duale
(−
e1 , . . . , −
associée, il vient :
n
\
F =
Ker πi
i=p+1
Page 7/8
Jean-Pierre Barani
Page 8/8
Jean-Pierre Barani