16 septembre 2001 16 septembre 2001 → − → − → → – H ∩ D = { 0 } car, si λ − u = 0 , φ(λ − u ) = 0 ie λ = 0 puisque → φ( − u ) 6= 0. → – E = H + D car H + D ⊂ E et, si − x ∈ E, on peut "régler" un → − → − scalaire λ tel que x − λ u ∈ H. λ est déterminé par : → φ( − x) → → φ( − x − λ− u ) = 0 soit λ = − φ( → u) Représentation de sous espaces comme intersection d’hyperplans JPB ∈H ∈D z }| { z}|{ → → → → Donc − x =(− x − λ− u ) + λ− u ∈ H + D. – Soit maintenant H un sous espace de E admettant un supplémentaire qui est une droite D. Soit p le projecteur l’image D et de noyau H et π la forme coordonnée sur D relativement à une base de D. Il vient, puisque π est un isomorphisme de D sur K : 16 septembre 2001 Table des matières Ker π ◦ p = Ker p = H 1 Hyperplans 1 Donc φ est une forme linéaire (non nulle car π 6= 0) de noyau H. 2 Intersection d’un nombre fini d’hyperplans 2.1 Sous espace comme intersection d’hyperplans . . . . . . . . . . 3 6 Les deux questions suivantes ont pour but d’assimiler cette preuve que vous referez sur ces exemples : 1 Hyperplans Question 1. Montrer que : Définition 1. L’image d’une forme linéaire non nulle sur un K-espace vectoriel E est K. Si H est un sous espace de E, les propriétés suivantes sont équivalentes : – H est le noyau d’une forme linéaire non nulle. – Il existe une droite D de E telle que : E =H ⊕D Un tel sous espace de E s’appelle un hyperplan de E. Démonstration. soit φ une forme linéaire non nulle. Im φ est un sous espace de K non réduit à {0} donc égal à K. Prouvons maintenant l’équivalence des propriétés : – Soit H = Ker φ, où φ est une forme linéaire non nulle sur E. Il existe → → donc − u ∈ E tel que φ( − u ) 6= 0. Prouvons que : → E = H ⊕ D avec D = Vect( − u) Page 1/8 Jean-Pierre Barani {(x, y, z) ∈ R3 , −x + 2y + 5z = 0} est un hyperplan. En donner un supplémentaire. Question 2. Montrer que : Z y ∈ C 0 (R, R) , 0 1 y(t)dt = y(0) + y(1) 2 est un hyperplan de C 0 (R, R). En préciser un supplémentaire. Proposition 1. Soit H = Ker φ un hyperplan de E où φ une forme linéaire non nulle sur E. Alors l’ensemble des formes linéaires qui s’annulent sur H est la droite vectorielle de E ∗ engendrée par φ. En particulier : ∀φ, ψ ∈ E ∗ , Ker φ = Ker ψ ⇔ ∃λ ∈ K − {0} , ψ = λφ Une forme linéaire non nulle qui s’annule sur H s’appelle une équation de H. Page 2/8 Jean-Pierre Barani 16 septembre 2001 Démonstration. Soit ψ une forme linéaire qui s’annule sur H = Ker φ. Soit → − → u un vecteur tel que φ( − u ) 6= 0. On a vu précedemment que : E =H ⊕D → avec D = Vect( − u) Pour montrer que ψ est multiple de φ, il suffit de "régler" un scalaire λ tel qu’on ait : → ψ( − u) → → ψ( − u ) = λφ( − u ) soit λ = − φ( → u) Avec un tel scalaire λ, les formes λφ et ψ coı̈ncident sur H et D qui sont supplémentaires donc sur tout E. Le résultat annoncé s’en déduit aisément. Question 3. Vous avez déja rencontré cette situation en géométrie. Donnez des exemples. Exercice 1. Soit u ∈ C 0 ([0, 1], R) telle que : Z 1 Z f (t)dt = 0 ⇒ ∀f ∈ C 0 ([0, 1], R), 0 1 0 f (t)u(t)dt = 0 Montrer que f est constante. 2 Intersection d’un nombre fini d’hyperplans Il s’agit de généraliser une situation courante en géométrie de l’espace à trois dimensions. Une droite (que l’on prendra vectorielle puisqu’on traite de l’algèbre linéaire) 1 peut s’écrire (de beaucoup de façons) comme intersection de deux plans. De surcroı̂t, les équations de ces plans sont indépendantes (ce qui, dans ce cas, revient à dire qu’elles ne sont pas proportionnelles puisqu’elles définiraient les deux mêmes plans dont l’intersection ne saurait être une droite). Traitons un exemple : Exemple 1. On considère un R-espace vectoriel E de dimension 5 rapporté → → → → → à une base (e) = ( − e1 , − e2 , − e3 , − e4 , − e5 ). On note (e∗ ) = (π1 , π2 , π3 , π4 , π5 ) la base de E ∗ constituée des formes coordonnées relativement à (e). On note 1 16 septembre 2001 → − − → − − → → F le sous espace Vect( f1 , f2 ) où le système (f ) = ( f1 , f2 ) est défini par sa matrice M relativement à (e) : 1 2 2 −1 5 M = 0 −1 7 3 2 P → → ei et on se propose de trouver des On considère un vecteur − x = 5i=1 xi − → x ∈ F . Puisque conditions nécessaires et suffisantes sur (x1 , . . . , x5 ) pour que − → − − → → − − → − → − − → → → − Vect( f1 , f2 ) ⊂ Vect( f1 , f2 , x ), x ∈ F si et seulement si rg( f1 , f2 ) = → − → − − → rg( f1 , f2 , x ) c’est à dire si et seulement si les rangs des deux matrices M et A: 1 2 x1 2 −1 x2 5 x3 A= 0 −1 7 x4 3 2 x5 sont égaux On effectue une opération de pivôt sur les lignes de A à partir du coefficient a1,1 on remarque que la même opération s’exécute sur les lignes de M qui est une sous matrice de A : B:=pivot(A,1,1) 1 2 x1 0 −5 −2 x1 + x2 5 x3 B= 0 0 9 x1 + x4 0 −4 −3 x1 + x5 Puis enfin : C:=pivot(B,1,1) cependant la situation est tout à fait analogue en géométrie affine Page 3/8 Jean-Pierre Barani Page 4/8 Jean-Pierre Barani 16 septembre 2001 1 0 0 −5 0 0 C= 0 0 0 0 On en déduit rg M = 2 et rg A seulement si : 1 2 x1 + x2 5 5 −2 x1 + x2 −2 x1 + x2 + x3 13 9 − x1 + x2 + x4 5 5 7 4 − x1 − x2 + x5 5 5 − = rg C donc dim F = 2 et → x ∈ F si et dont la matrice, relativement au couple de bases (e), () est : −2 1 0 0 0 N = −13 9 0 5 0 −7 −4 0 0 5 On constate, via les relations (4), (5), (6), que les lignes de N sont constituées des coordonnées des formes φi dans (e∗ ), ou, ce qui revient au meme, que la matrice t M est la matrice du système (φ1 , φ2 , φ3 ) dans (e∗ ). Il découle, de tout cela, que : rg u = rg(φ1 , φ2 , φ3 ) or Ker u = F donc rg u = 3 et donc que le système des formes linéaires (φ1 , φ2 , φ3 ) est libre. rg(C) = 2 Soit : − 2 x1 + x2 + x3 13 9 − x1 + x2 + x4 5 5 7 4 − x1 − x2 + x5 5 5 → − En se rappelant que πi ( x ) = xi , il vient par 16 septembre 2001 = 0 (1) = 0 (2) = 0 (3) exemple : Exercice 2. Dans l’exemple précédent, prouvez qu’un l’hyperplan H d’équation φ contient F si et seulement si φ est combinaison linéaire de (φ1 , φ2 , φ3 ). Quelle situation géométrique cela rappelle-t-il ? La généralisation de tout cela est proposée dans ce qui suit. 2.1 Sous espace comme intersection d’hyperplans Proposition 2 (Calcul de la dimension par contraintes linéaires). Soit (φ1 , φ2 , . . . , φn ) un système de forme linéaires sur E de dimension finie ou non et u ∈ L(E, Kn ) défini par : − x) −2x1 + x2 = (−2π1 + π2 )( → Ce qui conduit à introduire les trois formes linéaires : x 7→ (φ1 (x), φ2 (x), . . . , φn (x)) φ1 = −2π1 + π2 φ2 = −13π1 + 9π2 + 5π4 φ3 = −7π1 − 4π2 + 5π5 (4) (5) (6) Ces formes linéaires sont non nulles, notons Hi l’hyperplan Ker φi , on a prouvé que : F = H 1 ∩ H2 ∩ H3 Notons () la base canonique de R3 . On a donc réalisé l’espace F comme intersection d’hyperplans ou, si l’on préfère, comme noyau de l’application linéaire : u:E→R Page 5/8 3 − → → → → x 7→ (φ1 ( − x ), φ2 ( − x ), φ3 ( − x )) Jean-Pierre Barani alors : rg(φ1 , φ2 , . . . , φn ) = rg u On en déduit que, si E est de dimension finie : n \ dim Ker φi = dim(E) − rg(φ1 , φ2 , . . . , φn ) i=1 On peut interpréter informellement ce fait en disant que la dimension d’un sous espace défini par des contraintes (équations) linéaires est égal à la dimension de E (nombre de paramètres dont dépend un vecteur de E) moins "nombre de contraintes" indépendantes (cf l’idée de variance) Démonstration. On limite la preuve à la dimension finie. Soit p = dim(E) → → et munissons E d’une base ( − e1 , . . . , − ep ). Soit (e∗ ) = (π1 , . . . , πp ) la base des Page 6/8 Jean-Pierre Barani 16 septembre 2001 formes coordonnées correspondantes. Exprimons φi dans la base (e∗ ). Pour 1≤i≤n: p X aij πj φi = 16 septembre 2001 qui sont bien indépendantes. Soit φ ∈ E ∗ . Il vient : φ= → u( − ej ) = n X → φi ( − e j ) i = i=1 donc : n X → φ( − ei ) πi i=1 j=1 → Soit () = (1 , . . . , n ) la base canonique de Kn ; calculons u( − ej ) : n X donc H = Ker φ contient F si et seulement si : → → ep ) = 0 ie φ ∈ Vect(πp+1 , . . . , πn ) φ( − e1 ) = · · · = φ( − aij i i=1 Mat (u, (e), ()) = A = (aij )(i,j)∈[1,n]×[1,p] et donc rg(u) = rg(A) mais t A est la matrice de présentation du système de vecteurs (φ1 , . . . , φn ) dans la base (e∗ ) et donc : rg(φ1 , . . . , φn ) = rg t A = rg(A) = rg(u) Exercice 3. Trouver la dimension et une base du sous espace de M3 (R) constitué des matrices dont la somme des éléments de chaque ligne est égale à la somme des éléments de chaque colonne. Exercice 4. Montrer que, si F est intersection de r hyperplans alors les formes linéaires qui les définissent sont indépendantes et que toute forme linéaire qui s’annule sur H est combinaison linéaire d’icelles. Exemple 2. Trouver la dimension et une base de l’intersection de deux sous espaces. cf feuilles de calcul Maple Exercice 5. (X) Soit u ∈ C 0 ([a, b], R) telle que : ∀f ∈ C 2 ([a, b], R), f (a) = f 0 (a) = f (b) = f 0 (b) = 0 ⇒ Z 1 0 f ”(t)u(t)dt = 0 Montrer que f est polynômiale de degré au plus 1. Proposition 3. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et F un sous espace de E de dimension p avec 0 ≤ p ≤ n − 1. Il existe alors r = n − p formes linéaires indépendantes ((φ1 , φ2 , . . . , φr )) telles que : F = r \ Ker φi i=1 De plus, H = Ker φ est un hyperplan qui contient F si et seulement si : φ ∈ Vect(φ1 , φ2 , . . . , φr ) Démonstration. On choisit une base de F qu’on complête en une base de E : → → → → en ) et F = Vect( − e1 , . . . , − ep ). En notant (π1 , . . . , πn ) la base duale (− e1 , . . . , − associée, il vient : n \ F = Ker πi i=p+1 Page 7/8 Jean-Pierre Barani Page 8/8 Jean-Pierre Barani