1 Arithmétique

classe de Seconde 2007-2008 Arithmétique
1 Arithmétique
on appelle "arithmétique" tout ce qui concerne l’étude des entiers naturels.
1.1 Vocabulaire
Dans cette partie, on considère les nombres entiers naturels et pour simpli…er on parlera de nombre.
Dé…nition 1.1.1 On dit qu’un nombre dest un diviseur d’un autre nombre n, si le quotient de npar dest un nombre
entier. On dit alors que ddivise n, ou que nest divisible par d
Exemple 1.1.2 13 est un diviseur de 52 car 52
13 = 4 qui est un nombre entier.Donc 52 est divisible par 13.
12 n’est pas un diviseur de 52 car 52
12 =26 6=13 3n’est pas un nombre entier
Dé…nition 1.1.3 On dit qu’un nombre mest un multiple d’un autre nombre n, si le quotient de mpar nest un
nombre entier.
Exemple 1.1.4 Les nombres parfaits
Les nombres parfaits sont des nombres entiers qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs stricts comme par
exemple :
6=1+2+3ou 28=1+2+4+7+14.
Entre 0 et 10 000, il n’existe que 4 nombres parfaits : 6 ; 28 ; 496 et 8128. ce sont les grecs qui les ont découvert.
Euclide a établi une proposition qui permet d’en trouver quelques-uns :
Proposition 1.1.5 Pour tout nombre n, si 1+2+22 + ::: + 2nest un nombre premier, alors le nombre 2n(1+2+
22 + ::: + 2n)est un nombre parfait.
Ce n’est que 1500 ans plus tard que le cinquième nombre parfait fut découvert : 33 550 336.
Le sixième est 8 589 869 056. Nous en connaissons quarante. En voici un qui est formé de 1373 chi¤res :
2216091(2216090 1).
(Euclide, en grec ancien Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) était un mathématicien de la
Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme l’un des textes fondateurs des mathématiques
modernes. Il partit en Égypte pour y enseigner les mathématiques sous le règne de Ptolémée 1er et il mourut vers
265 avant J.C.)
1.2 Critères de divisibilité
Voici quelques critères permettant de savoir si un nombre est divisible par un autre : (en gras, à connaitre par ~)
Un nombre est divisible par 2s’il est pair
Un nombre est divisible par 3si la somme de ses chi¤res est divisible par 3
Un nombre est divisible par 4si le nombre formé par ses deux derniers chi¤res est divisible par 4
Un nombre est divisible par 5s’il se termine par 0ou 5
Un nombre est divisible par 6s’il est divisible par 2et par 3
Un nombre est divisible par 9si la somme de ses chi¤res est divisible par 9
un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.
Exemple 1.2.1 4893 est divisible par 3 car 4 + 8 + 9 + 3 = 24 et 24 = 8 3. Par contre, il n’est pas divisible par
9 car 24
9=2N.
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1.3 Nombres premiers
1.3.1 Dé…nition et exemples
Dé…nition 1.3.1 On dit d’un nombre qu’il est premier s’il n’a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Exemple 1.3.2 Crible d’Ératosthène (3ème siècle av. J.-C.)
On regroupe dans un tableau tous les entiers inférieurs à 100 (par exemple), on barre 1, puis on entoure 2. On
barre alors tous les multiples de 2. Le premier entier suivant non barré est premier : il s’agit de 3. On barre tous
les multiples de 3; le premier entier suivant 3 non barré est premier : c’est 5 etc.. . .
12345678910
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Les nombres premiers inférieurs à 100 sont donc : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,
67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Théorême 1.3.3 (Admis)
Pour savoir si un nombre nest premier, on teste sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à
pn.
Si aucun de ces nombres ne divise n, alors nest un nombre premier, sinon, il ne l’est pas.
Exemple 1.3.4 1069 est - il premier?
Nous aurons besoin de la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 (voir 1.3.2). Ainsi, il faut tester
la divisibilité de ce nombre par tous les nombres premiers dont le carré est inférieur à 1069. A la calculatrice,
on calcule p1069 ::::::::::::::::::::::::::::. On va donc tester la divisibilité de 1069 par tous les nombres premiers
inférieurs à ................... :
par 2 ............ par 3 ............ par 5 ............ par 7 ............ par 11 ............ par 13 ............ par 17 ............ par
19 ............ par 23 ............ par 29 ............ par 31 ............
Conclusion: 1069 ................................ un nombre premier.
Exercice 1.3.5 Déterminez de cette façon si les nombres 737, 351, 499 sont premiers ou pas.
Théorême 1.3.6 il y a une in…nité de nombres premiers
1.3.2 Décomposition en produit de nombres premiers
Théorême 1.3.7 (Admis)
Un entier naturel n supérieur ou égal à 2 peut toujours s’écrire sous la forme d’un produit de facteurs premiers. Cette
décomposition est unique, à l’ordre près des facteurs. On l’appelle la décomposition en facteurs premiers de n
Exemple 1.3.8 315 = 3 357ou 15 = 3 5ou 16 = 2 222 = 24
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Pour trouver la décomposition d’un nombre en facteurs premiers, on e¤ectue des divisions successives par les
nombres premiers qui divisent n, du plus petit au plus grand
Exemple 1.3.9
83160 2
41580 2
20790 2
10395 3
3465 3
1155 3
385 5
77 7
11 11
1
Donc, 83160 = 23335711
Utilisation 1.3.10 on peut utiliser la décomposition en produit de nombres premiers pour :
Simpli…er une fraction : Par exemple 660
702 =223511 23313 =2511 3213 =110 117
Extraire un carré d’un radical :540 = 22335donc p540 = p22335 = 2 3p35 = 6p15
Exercice 1.3.11 utilisation de la décomposition (A …nir)
1. Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers suivants: 84, 420, 264, 8 820, 3 468.
2. Déduire de la question 1 la décomposition en facteurs premiers de 35280 = 84 420, de 30587760 = 8820 
3468.
3. Déduire de la question 1 une écriture plus simple (sous la forme apb) de p8820 et p3468.
4. Déduire de la question 1 la forme simpli…ée des fractions 264
84 , puis 8820 420
Exercice 1.3.12 Déterminer la liste des diviseurs d’un nombre entier
Déterminer la liste entière des diviseurs de 20, de 45, de 84. (il peut être pratique de commencer par décomposer
ces entiers en produit de facteurs premiers).
Exemple 1.3.13 Les nombres amicaux ou amiables :
(220 ; 284) est un couple de nombres amicaux car 284 est égal à la somme des diviseurs stricts de 220, et
réciproquement.
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110;
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142.
220 et 284 est le premier couple amiable.
Pythagore connaissait ce couple de nombres ; il aurait dit : Un ami est celui qui est l’autre comme sont 220 et
284 .
Le couple de nombres amiables suivant n’a été trouvé qu’en 1636 par Pierre de Fermat : 17 296 et 18 416 (4e
paire).
Descartes découvre la paire n7 en 1638 : 9 363 584 & 9 437 056.
Mais curieusement, le vrai n2 a attendu 1867 pour être déniché par un jeune Italien de 16 ans, Nicolo Paganini
: il s’agit du couple 1 184 & 1 210.
Aujourd’hui, on a recherché par ordinateur de nouveaux couples et on en a trouvé plus de 2 000 000.
Méthode 1.3.14 Déterminer le PGCD de deux nombres entiers : 660 et 702
On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers puis on prend les facteurs premiers communs aux
deux nombres, avec la plus faible puissance : Ici, PGCD(660; 702) = 2 3 = 6
Exercice 1.3.15 Déterminer le PGCD d’un couple de nombres entiers
1. Déterminer le PGCD de aet bgrâce à la décomposition en facteurs premiers, en prenant d’abord a= 882 et
b= 420, puis en prenant a= 455 et b= 264.
2. Utiliser les résultats des questions précédentes pour rendre irréductibles les fractions 882
420 et 455 264 .
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1.3.3 Nobres premiers entre eux
Dé…nition 1.3.16 Les nombres premiers entre eux
Deux nombres entiers sont premiers entre eux s’ils n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1.
Exemple 1.3.17 7 et 13 n’ont que 1 comme diviseur commun donc 7 et 13 sont premiers entre eux.
12 et 32 ont plusieurs diviseurs communs : 1 ; 2 et 4 donc 12 et 32 ne sont pas premiers entre eux.
Dé…nition 1.3.18 Une fraction a
best dite irreductible si aet bsont premiers entre eux
Exercice 1.3.19 1. Décomposer 1400 en produit de facteurs premiers.
2. Ecrire tous les diviseurs de 1400.
3. Compléter par un nombre entier :
4. 1400. . . . . . . . . est le carré d’un nombre entier.
5. 1400. . . . . . . . . est le cube d’un nombre entier.
Exercice 1.3.20 1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1.
Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais)
2. Montrer que, pour tout réel x, on a a(a+ 1)(a+ 2)(a+ 3) + 1 = (a2+ 3a+ 1)2
Expliquer le résultat observé à la question 1.
Exercice 1.3.21 1. Calculer la somme de 5 entiers consécutifs. Que remarque-ton ? (Faire plusieurs essais)
2. Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5
Exercice 1.3.22 1. Un nombre pair s’écrit sous la forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Un nombre impair s’écrit sous la forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2. Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair
3. Montrer que le carré d’un nombre impair est un nombre impair
(a) Calculer la somme de trois entiers impairs consécutifs. Le résultat est-il un nombre premier ? (Faire
plusieurs essais)
(b) Démontrer ce que vus avez observé à la question précédentes
(a) Développer et réduire l’expression (n+ 1)2n2
(b) En déduire que tout nombre impair s’écrit comme la di¤érence des carrés de deux entiers consécutifs.
(c) Appliquer ce résultat aux entiers 13, 45 et 101
Exercice 1.3.23 Dans chacun des cas suivants, déterminer le(s) chi¤re(s) a, b, c sachant que :
1. 23a4 est divisible par 3.
2. 23a4 est divisible par 3 mais pas par 9.
3. 23b5c est divisible par 3 et par 5.
Exercice 1.3.24 Deux voitures font des tours sur un circuit fermé ; elles partent toutes deux à midi de la ligne
de départ. L’une parcourt le circuit en 30 minutes, l’autre en 36 minutes.
1. A quelle heure les deux voitures repasseront-elles en même temps la ligne de départ ?
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2. Combien auront-elles fait de tours ?
Exercice 1.3.25 On note p un nombre premier plus grand ou égal à 3.
1. Expliquer pourquoi a=p+ 1
2et a=p1 2sont des nombres entiers.
2. Expliquer pourquoi p21
2est un nombre entier.
Exercice 1.3.26 Nombres premiers d’Euler
On montre que, pour tous les entiers n allant de 40 à40,n2n+ 41 est un nombre premier.
1. Véri…er cette formule pour tous les entiers n de 0 à 20. (utilisation de la calculette, touche TABLE)
2. Montrer que pour n= 41, le nombre n2n+ 41 n’est pas premier.
Exercice 1.3.27 Nombres premiers de Mersenne ( Savant Français 1588-1648 ) :
Mersenne nous dit que : "Si n est un nombre premier, alors 2n1l’est aussi."
1. Véri…er que cette formule donne des nombres premiers, en prenant pour n les premiers nombres premiers.
2. Quelle est la première valeur de n qui ne donne pas un nombre premier par cette formule ?
Exercice 1.3.28 Nombres premiers de Fermat ( Mathématicien Français 1601-1665 ) :
Fermat nous dit que :"Si n est un nombre entier naturel, alors 22n+ 1 est un nombre premier.
1. Calculer les nombres obtenus avec n entier allant de 0 à 3.
2. En revanche, montrer que la valeur n = 5 donne un nombre divisible par 641.
1.4 Objectifs du chapitre
1. Connaître les tables de multiplications de 1 à 12.
2. Connaître les carrés des nombres de 1 à 15.
3. Connaître les cubes de 1 à 5.
4. Connaître les 10 premières puissances de 2.
5. Connaître les 6 premières puissances de 3.
6. Connaître les critères de divisibilité par 2, 3, et 5.
7. Savoir traduire qu’un nombre a est diviseur (multiple) d’un nombre b.
8. Savoir énoncer la dé…nition d’un nombre premier.
9. Savoir justi…er qu’un nombre n’est pas premier.
10. Savoir justi…er qu’un nombre est premier.
11. Connaître la liste des nombres premiers plus petits que 50.
12. Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
13. Savoir rendre une fraction irréductible en utilisant une des méthodes suivantes :
(a) recherche du PGCD du numérateur et du dénominateur par un algorithme, puis simpli…cation,
(b) recherche de la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur puis
simpli…cation,
(c) simpli…cation par utilisation successive de la formule ka
kb =a b
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