Chapitre 6 Effectuer et factoriser

Chapitre 6 : Calcul littéral
1. Propriétés de l’addition et de la soustraction
Définition. L’addition est l’opération qui fait correspondre à deux nombres a et b
leur somme a + b . a et b sont les termes de cette somme.
Définition. La soustraction est l’opération qui fait correspondre à deux nombres a
et b leur différence a − b . a et b sont les termes de cette différence.
Remarques :
a) L’oppose de a est −a . Par exemple : l’opposé de 4 est –4, l’opposé de − 23 est
2
3
.
b) La différence de a et de b est la somme de a et de l’opposé de b :
a − b = a + (−b )
c) L’opposé de −b est − (−b ) = +b , donc :
a − (−b ) = a + b
d) Lorsqu’une somme comporte plusieurs termes précédés de + ou de –, on dit que
c’est une somme algébrique.
Exemples :
•
a + b − c est une somme algébrique de 3 termes et
•
−x + y + z − k est une somme algébrique de 4 termes.
L'addition est commutative :
a +b = b +a
C+
La commutativité permet d'échanger l'ordre des termes dans une somme.
Exemples.
•
x +2 = 2+x
•
−7 +
3
4
=
3
4
+ (−7)
La soustraction n’est pas commutative :
a −b ≠ b −a .
Contre-exemple : 8 − 3 = 5 , mais 3 − 8 = −5 .
1
En général : a − b et b − a sont opposés. Donc :
b − a = − (a − b )
Exemples :
•
x − 2 = − (2 − x )
•
− (4 − y ) = y − 4
Plus généralement :
L’opposé d’une somme est la somme des opposés de chacun de ses termes.
− (a + b + c ) = −a − b − c
− (a − b + c ) = −a + b − c
− (−a − b + c ) = a + b − c
etc.
L'addition est associative :
(a + b ) + c = a + (b + c ) = a + b + c
A+
On peut grouper les termes comme on veut dans le calcul d’une somme. Voilà
pourquoi on peut laisser de côté les parenthèses lorsqu'on écrit des sommes.
Exemples.
•
2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
(
et = 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 .
5
•
7
x + (x + y ) = (x + x ) + y = 2x + y
La soustraction n’est pas associative :
(a − b ) − c ≠ a − (b − c ) .
Contre-exemple : (18 − 2) − 4 = 12 , mais 18 − (2 − 4 ) = 18 − (−2) = 20 .
En général :
(a − b ) − c = a − b − c
Si les () sont précédés de + on peut laisser les () de côté !
a − (b − c ) = a − b + c
Si les () sont précédés de – on peut les supprimer à condition
de changer le signe de chaque terme entre ()
2
0 est l'élément neutre de l'addition :
a + 0 = 0 +a = a
N+
Exemple. 5 + 0 = 0 + 5 = 5 .
0 n’est pas élément neutre de la soustraction :
a − 0 = a mais 0 − a = −a .
L’addition est symétrique : tout nombre a admet un et un seul opposé −a . C’est le
nombre qui ajouté à a donne une somme égale à 0.
∀a , a + (−a ) = −a + a = 0
S+
Exemples.
•
L'opposé de −3 est − (−3) = 3 : −3 + 3 = 0
•
L’opposé de 2x est −2x : 2x + (−2x ) = 0
2. Propriétés de la multiplication et de la division
Définition. La multiplication est l’opération qui fait correspondre à deux nombres
a et b leur produit a ⋅ b = ab . a et b sont les facteurs de cet produit.
Définition. La division est l’opération qui fait correspondre à deux nombres a et b
( b ≠ 0 ) leur quotient a : b = ab . a est le dividende et b le diviseur de ce quotient.
Dans l’écriture fractionnaire a est le numérateur et b le dénominateur.
Remarques :
a) L’inverse d’un nombre non nul a est 1 : a =
1
1
. L’inverse de
est de nouveau a.
a
a
Exemples :
•
L’inverse de 3 est
•
L’inverse de 0, 2 est 5
•
L’inverse de
•
L’inverse de − 57 est − 75 .
5
7
est
1
3
.
7
5
Un nombre et son inverse
ont même signe !
.
b) Le quotient de a par b est le produit de a par l’inverse de b :
a :b =
a
1
=a⋅
b
b
3
Exemples.
•
•
•
3
1
= 3 ⋅ = 3 ⋅ 0, 25
4
4
1
7
7:x = 7⋅ =
x
x
5 3 5 2 10
: = ⋅ =
a 2 a 3 3a
3:4=
b) Lorsqu’une expression comporte plusieurs facteurs précédés de ⋅ ou de : on dit
encore que c’est un produit. On préfère l’écriture fractionnaire dans ce cas.
Exemples :
ab
c
•
a ⋅b : c =
•
1
1 xz
x :y ⋅z :a = x ⋅ ⋅z ⋅ =
y
a
ay
•
Les facteurs précédés de
⋅ sont au
numérateur
Les facteurs précédés de
: sont au
dénominateur
1
b
⋅b : c : d =
a
acd
La multiplication est commutative :
a ⋅b = b ⋅a
C⋅
La commutativité permet d'échanger l'ordre des facteurs dans un produit.
Exemples.
•
x ⋅ 2 = 2 ⋅ x = 2x
•
y ⋅ (−7) = −7y
La division n’est pas commutative :
a :b ≠ b :a
a
b .
≠
b
a
8
4 1
Contre-exemple : = 2 , mais = = 0, 5 .
4
8 2
En général :
a
b
et
sont inverses. Donc :
b
a
a b
⋅ =1
b a
4
La multiplication est associative :
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) = a ⋅ b ⋅ c = abc
A⋅
On peut grouper les facteurs comme on veut dans le calcul d’un produit. Voilà
pourquoi on peut laisser de côté les parenthèses lorsqu'on écrit des produits.
Exemples.
•
•
(2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 6 ⋅ 4 = 24 et = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 2 ⋅ 12 = 24 .
x ⋅ (x ⋅ y ) = (x ⋅ x ) ⋅ y = x y
2
La division n’est pas associative :
(a : b ) : c ≠ a : (b : c )
a
b ≠a.
b
c
c
Contre-exemple : (16 : 4 ) : 2 = 4 : 2 = 2 , mais 16 : ( 4 : 2) = 16 : 2 = 8 .
En général :
a
a 1
a
(a : b) : c = b : c = b ⋅ c = bc
a : (b : c ) = a :
b
c ac
=a⋅ =
c
b
b
1 est l'élément neutre de la multiplication :
N⋅
a ⋅1 = 1 ⋅a = a
Exemples.
•
•
5 ⋅1 = 1 ⋅ 5 = 5
1 ⋅ (a ⋅ 1 ⋅ b ) = ab
1 n’est pas élément neutre de la division car :
1
a : 1 = a mais 1 : a = est l’inverse de a..
a
La multiplication est symétrique : tout nombre non nul a admet un et un seul
inverse
S⋅
1
a
. C’est le nombre qui multiplié par a donne un produit égal à 1.
∀a ≠ 0 , a ⋅
5
1 1
= ⋅a = 1
a a
3. Opposés
a) Opposés d'une somme et d'une différence :
− (a + b ) = −a − b
Le – se distribue sur les 2
− (a − b ) = −a + b
termes entre ()
b) Opposés d'un produit et d'un quotient :
− (a ⋅ b ) = (−a ) ⋅ b = a ⋅ (−b )
Le – se rapporte à un seul
a
−a
a
− =
=
b
b
−b
facteur !
Exemples :
•
− (2x + 4y − 5) = −2x − 4y + 5
•
− (2ax ) ⋅ 6 = −12ax
•
− (a + b ) ⋅ (x − y ) = (−a − b )(x − y ) = (a + b ) ⋅ (y − x )
•
x −1
x −1 1 − x
=−
=
−2
2
2
4. Distributivité
a) Distributivité simple :
La multiplication est distributive par rapport à l'addition et la soustraction :
D⋅/+
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
D⋅/−
a ⋅ (b − c ) = a ⋅ b − a ⋅ c
Démonstration géométrique de la 1re formule :
L’aire du grand rectangle est :
•
d’une part : a (b + c )
•
d’autre part : ab + ac
Donc : a (b + c ) = ab + ac
Démonstration algébrique de la 2e formule :
(
)
a (b − c ) = a b + (−c )
= ab + a (−c ) = ab − ac
1re formule
6
Exemples :
•
4 (a + b ) = 4a + 4b
•
(3x + 8) ⋅ x = 3x ⋅ x + 8x = 3x + 8x
−0, 5 (x − 6y ) = −0, 5x + 3y
(−3x + 6y ) ⋅ (−7) = 21x − 42y
⋅( − ) = − = −
6 ⋅ 107 = 6 ⋅ (100 + 7) = 6 ⋅ 100 + 6 ⋅ 7 = 600 + 42 = 642
999 ⋅ 17 = (1000 − 1) ⋅ 17 = 17 ' 000 − 17 = 16 ' 983
15, 8 ⋅ 7 + 4, 2 ⋅ 7 = (15, 8 + 4, 2) ⋅ 7 = 20 ⋅ 7 = 140
•
•
•
•
•
•
2
4
5
x
2
7
3
4x
10
28
15
2x
5
28
15
CALCUL MENTAL
b) Distributivité double :
(a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd
(a + b )(c − d ) = ac − ad + bc − bd
(a − b )(c + d ) = ac + ad − bc − bd
(a − b )(c − d ) = ac − ad − bc + bd
Démonstration géométrique de la 1re formule :
L’aire du grand rectangle est :
•
d’une part : (a + b )(c + d )
•
d’autre part : ac + ad + bc + bd
Donc : (a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd
Démonstration algébrique de la dernière formule :
(a − b )(c − d ) = (a + (−b))(c + (−d ))
= ac + a (−d ) + (−b ) c + (−b )(−d )
= ac − ad − bc + bc
Exemples :
•
•
(4a + 3b )(2a − b ) = 8a
(3x + 8) ⋅ (2x − 1) = 6x
2
− 4ab + 6ab − 3b 2 = 8a 2 + 2ab − 3b 2
2
− 3x + 16x − 8 = 6x 2 + 13x − 8
7
5. Réduire une expression littérale
Une expression littérale ou une somme algébrique peut comporter des termes
semblables : ce sont des termes avec la même partie littérale.
Exemples :
•
2x , −5x et 17x sont des termes semblables.
•
3ab , 56 ab et 7ab sont des termes semblables.
•
4x 2y et x 2y sont des termes semblables.
Mais :
•
3x et 5y ne sont pas des termes semblables.
•
6x 2 et −7x ne sont pas des termes semblables.
•
x 2y et 8xy 2 ne sont pas des termes semblables.
Réduire une somme algébrique, c’est l’écrire avec le moins de termes possible.
Pour cela on additionne les termes semblables.
Exemples :
•
•
2x − 5x + 17x =
D⋅/+
et -
(2 − 5 + 17) x = 14x
3ab + 56 ab + 7ab =
D⋅/+
et -
(3 +
5
6
+ 7)ab =
•
4x 2y + x 2y = 5x 2y
•
3x + 9y + 4 + 4x − 6y = 7x + 3y + 4
65
6
ab
Ne mélangez pas :
a + a = 2a
a ⋅ a = a2
a + a + a = 3a
a ⋅a ⋅a = a3
a + a + a + a = 4a
a ⋅a ⋅a ⋅a = a4
etc.
6. Développer ou effectuer une expression littérale
La distributivité permet de transformer un produit en une somme :
a ⋅ (b + c ) = a
⋅ b
+ a ⋅c
somme
produit
On dit qu’on effectue ou développe le produit.
8
Définition. Développer ou effectuer une expression littérale, c’est transformer
tous les produits de ( ) en des sommes algébriques, puis réduire.
Avant d’effectuer une expression, habituez-vous à souligner
les
termes ! Les différents termes doivent être effectués d’abord, car ce sont
des produits (règles de priorité) !
Attention lorsqu’un terme est précédé du signe – !
Exemples :
•
3 (a − 8b ) + 5a ( 4 + b ) = 3a − 24b + 20a + 5ab = 23a − 24b + 5ab
1er terme
•
2e terme
x + 2) ⋅ 4x − 6x (x − 1) = 4x
(
1er terme
•
2
+ 8x − 6x 2 + 6x = −2x 2 + 14x
2e terme
x
⋅ 3x − (x − 1) ⋅ 2x − (7x + 8) + 5 ⋅ (3x + 2)
e er
1 terme
3 terme
2e terme
4e terme
= 3x 2 − 2x 2 + 2x − 7x − 8 + 15x + 10
= x 2 + 10x + 2
•
−2 (x + 4 ) ⋅ (3x + 1)
(
1er terme
2
)
= −2 3x + x + 12x + 4
réduire d'abord !!
(
= −2 3x 2 + 13x + 4
)
2
= −6x − 26x − 8
•
a − 2b ) ⋅ (a − 3b ) − (2a + b ) ⋅ (5a + 2b )
(
1er terme
2
2e terme
2
(
2
= a − 3ab − 2ab + 6b − 10a + 4ab + 5ab + 2b 2
(
= a 2 − 5ab + 6b 2 − 10a 2 + 9ab + 2b 2
2
2
2
= a − 5ab + 6b − 10a − 9ab − 2b
= −9a 2 − 14ab + 4b 2
9
2
)
)
Le 2e terme est précédé du signe –,
on l’effectue d’abord entre (), puis
on supprime les ().
7. Factoriser une expression littérale
La distributivité permet aussi de transformer une somme en un produit :
a
⋅ b
+ a ⋅c = a ⋅ (b + c )
somm e
produit
On dit qu’on a mis le facteur commun a en évidence. Plus généralement :
Définition. Factoriser une expression, c’est la transformer en un produit.
Exemples de mises en évidence:
•
5x + 5y = 5 (x + y )
•
−7a − 14b = −7a + (−7) ⋅ 2 ⋅ b = −7 (a + 2b )
•
36a − 60b = 12 ⋅ 3 ⋅ a − 12 ⋅ 5 ⋅ b = 12 ⋅ (3a − 5b )
•
42x 2 − 77xy = 7 ⋅ 6 ⋅ x ⋅ x − 7 ⋅ 11 ⋅ x ⋅ y = 7x (6x − 11y )
•
6 ⋅ 2, 7 + 4 ⋅ 2, 7 = (6 + 4) ⋅ 2, 7 = 10 ⋅ 2, 7 = 27
•
4a (x + 1) − 5 (x + 1) = (x + 1)(4a − 5)
8. Produits / identités remarquables
a) Carré d’une somme :
2
(a + b)
= a 2 + 2
⋅ a ⋅ b + b 2
double produit
trinôme carré parfait
b) Carré d’une différence :
2
(a − b )
= a 2 − 2
⋅ a ⋅ b + b 2
double produit
trinôme carré parfait
c) Produit d’une somme par une différence :
(a + b ) ⋅ (a − b ) =
2
a
− b2
différence de deux carrés
Démonstration :
a)
2
(a + b )
= (a + b )(a + b )
= a 2 + ab + ba + b 2
= a 2 + ab + ab + b 2
= a 2 + 2ab + b 2
10
pgcd(36, 60) = 12
b)
2
(a − b )
= (a − b )(a − b )
= a 2 − ab − ba + b 2
= a 2 − ab − ab + b 2
= a 2 − 2ab + b 2
c)
(a + b)(a − b ) = a
2
−ab +ba − b 2
= a 2 − b2
Les élèves font toujours
les mêmes fautes …
Attention :
2
(a + b )
(a − b )
2
≠ a 2 + b2
≠ a2 − b2
Donnez des contre-exemples numériques :
Exemples :
a) Effectuer :
•
•
•
•
•
2
(x + 3) = x + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 = x + 6x + 9
(2a − 7) = (2a ) − 2 ⋅ 2a ⋅ 7 + 7 = 4a − 28a + 49
96 = (100 − 4) = 100 − 2 ⋅ 100 ⋅ 4 + 4 = 10 ' 000 − 800 + 16 = 9 ' 216
(5 − 8x )(5 + 8x ) = 5 − (8x ) = 25 − 64x
52 ⋅ 48 = (50 − 2)(50 + 2) = 50 − 2 = 2 ' 500 − 4 = 2 ' 496
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b) Factoriser :
2
•
x 2 + 8x + 16 = x 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x + 42 = (x + 4 )
•
9a 2 − 6ab + b 2 = (3a ) − 2 ⋅ 3a ⋅ b + b 2 = (3a − b )
•
132 + 26 ⋅ 17 + 17 2 = 132 + 2 ⋅ 13 ⋅ 17 + 172 = (13 + 17) = 302 = 900
•
z 2 − 9k 2 = (z − 3k )(z + 3k )
•
81a 4 − 36a 2 + 4 = 9a 2
•
8042 − 7962 = (804 − 796)(804 + 796) = 8 ⋅ 1 ' 600 = 6 ' 400
2
2
2
2
( )
(
− 2 ⋅ 9a 2 ⋅ 2 + 22 = 9a 2 − 2
11
2
)