Terminale S - Primitives et Calcul d`une intégrale

Primitives et Calcul d’une intégrale
I) Primitive
1) Définition :
Soit une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de  sur I, toute fonction  dérivable sur I dont
la dérivée ’ est égale à .
Exemple :
Soit  la fonction définie sur IR par    .
Les fonctions  et  définies sur IR par  
  et  =      sont
des primitives de .
2) Ensemble des primitives d’une fonction :
a) Propriété :
Soit  une fonction définie sur un intervalle . On suppose qu’il existe une
primitive  de  sur 
L’ensemble des primitives de  sur  est l’ensemble des fonctions  définies
sur  par    où  décrit IR.
Preuve :
Soit  une primitive de sur . On a donc  =  = .
Donc pour tout  , on a  = 0.
Donc la fonction  est constante sur l’intervalle , il existe donc un réel  tel que pour tout
, on a  =  d’où  =   pour tout 
Réciproquement soit  la fonction définie sur  par  =   où  IR.
On a  =  + 0 donc  =  pour tout   donc est une primitive de  sur .
Remarques :
Si la fonction admet une primitive sur un intervalle  alors elle en admet une infinité.
Soit et  deux primitives de  sur  tels que  = , alors dans un repère
orthogonal  la courbe représentative de  est obtenue à partir de la courbe
représentative de  par translation de vecteur  .

b) Primitive prenant une valeur donnée en un réel donné :
Propriété :
Soit  une fonction définie sur un intervalle . On suppose
queadmet des primitives sur . Soit  et  deux réels tels que
.
Il existe une unique primitive de  vérifiant  = 
Preuve :
La fonction  admet des primitives, soit  une primitive de .
On considère la fonction  définie par =   + 
 est aussi une primitive de  car =  = .
De plus on a =  +  =  Donc  existe.
Soit une autre primitive de  vérifiant =.
On sait qu’il existe un réel  tel que  =  +  pour tout  .
Donc en particulier on a  =  +  d’où = +  donc = 0 donc  = .
La fonction est donc bien unique.
Exemple :
Soit  la fonction définie pour tout    par =   
Déterminer la primitive  de  telle que  = 
On vérifie facilement que les primitives de  sont  =       
Si on veut  =  alors        d’où  = – 23
La primitive cherchée est donc  =    

3) Primitives des fonctions usuelles :
Soit  un réel quelconque.
est définie sur  par
Les primitives de  sur
 sont définies par :
L’intervalle  =
IR
IR
IR
] -  ; 0 [
ou
] 0 ; +
[
] -  ;0 [
ou
] 0 ; +
[
] 0 ; +[
] 0 ; +[
IR
IR
 + 
IR

4) Primitives et opérations sur les fonctions :
Propriétés de linéarité :
Soit et  des primitives respectives des fonctions et  sur un
intervalle I alors :
● F + G est une primitive de la fonction + sur  ;
● Pour tout réel ,  est une primitive de la fonction  sur .
Exemples :
● Les primitives de  =  sont  =3 
 + =  +  ,   
● Les primitives de  = 
  sont sur ] 0 ; +
[ :
 = 
  + ,   
Primitives et composées de fonctions
Soit  une fonction définie et dérivable sur un intervalle .
Fonction f
Primitives de f sur I
Condition sur u
Aucune condition
particulière
 + 
 + 
+
 + 
Aucune condition
particulière

Exemples :
Pour chaque fonction , déterminer ses primitives et en déduire une primitive sur l’intervalle I.
a)  =  ;  = IR ; b)  = 
 ;  =  
.
c)= 
 ; I = ]2 ; +
[ ; d)  = 
 ; I = ]0 ; +
[.
Réponses :
a)  =  en utilisant la formule  avec  on obtient :
 = 
   + 
b)  = 
 en utilisant la formule 
 avec  on obtient :
 =   + 
c) )= 
 en utilisant la formule 
 avec  on obtient :
 = 
  + 
d)  = 
 en utilisant la formule  avec 
 on obtient :
 = 
 + 
II) Calcul d’une intégrale :
1) Primitive d’une fonction continue :
a) Théorème :
Si  est une fonction continue sur un intervalle  et si  est un réel de
l’intervalle I alors la fonction F définie sur I par  = 
est l’unique primitive de  sur  s’annulant en .
Preuve :
Cas où f est une fonction continue et croissante sur I.
Soit  un réel de et soit h tel que +  appartienne à .
On a + ) –  = 
 – 
+ ) –  = 
 + 
D’après la relation de Chasles on a + ) –  = 