VIII

Exercices de 4ème – Chapitre 8 – Géométrie dans l'espace
Énoncés
Exercice 1
1.
Pour chaque pyramide ci-contre, colorier :
• en bleu, son sommet ;
• en vert, ses arêtes latérales ;
• en rouge, sa hauteur ;
• en jaune, le polygone représentant sa base.
2.
Compléter alors le tableau suivant :
P1
Nom
P2
P1
P2
P3
P3
Nombre de côtés de la base
Nombre de faces
Nombre d'arêtes
Nombre de sommets
Exercice 2
1.
Compléter le tableau suivant qui concerne des pyramides.
Nombre de sommets
Nombre de faces
7
4
Nombre d'arêtes
2.
14
La base d'une pyramide a x côtés. Exprimer en fonction de x le nombre de faces, de sommets et d'arêtes de la pyramide.
Exercice 3
1. Compléter les dessins ci-contre pour obtenir des
représentations en perspective cavalière d'une pyramide
de sommet S à base triangulaire.
S
S
S
2. Le quadrillage ci-contre est composé de carrés de
0,5cm de côté. Représenter en perspective cavalière un cône
de révolution de hauteur 3 cm et dont le rayon de la base est
2 cm.
éducmat
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Exercice 4
On considère le parallélépipède rectangle ci-contre.
Dessiner en perspective cavalière les pyramides ADCHE ; BDCH et ODCHE.
Exercice 5
Un artisan confectionne des lampes coniques de 10cm de rayon et 50cm de hauteur qu'il
souhaite conditionner dans des boîtes individuelles en forme de parallélépipède rectangle
avec les dimensions les plus petites possibles.
1.
Donner, sans justifier, les dimensions de la boîte.
2.
Quel est alors le pourcentage de remplissage d'une boîte, arrondi à l'unité ?
Exercice 6
Dire pour chacun des dessins ci-contre s'il est un patron de
solide, dont on précisera alors la nature.
Exercice 7
RSTUMNVH est un cube de 4cm d'arête. On considère la pyramide SNRUV.
1.
Nommer la base de cette pyramide puis donner sa nature.
2.
Quelle est la nature des faces latérales de cette pyramide ?
3.
Construire et coder le patron de la pyramide SNRUV.
Exercice 8
Tracer le patron de la pyramide régulière à base carrée SMNPR ci-contre.
L'unité est le centimètre.
éducmat
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Exercice 9
Calculer les volumes des solides suivants.
a]
b]
c]
Exercice 10
Calculer les volumes des solides suivants.
a]
Une pyramide à base rectangulaire de longueur 4 cm et de largeur 2,5 cm ; de hauteur 72 mm.
b]
Un cône de révolution de hauteur 6 cm et dont la base a pour diamètre 20 mm.
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm3.
c]
Une pyramide de hauteur 0,8 m et pour base le parallélogramme ci-contre.
Exercice 11
Calculer les volumes des solides suivants.
a] Pyramide IJDHK avec
ABCDEFGH qui est un cube
d'arête 8 cm.
b] Pyramide ORST où
LMNOPQRS est un pavé droit avec
LM = 5 cm ; LO = 5,6 cm et
LP = 8,7 cm.
Exercice 12
On considère des cônes de révolution de
rayon r, de diamètre D et de hauteur h.
Compléter le tableau sans justifier les
réponses.
r
D
h
Volume exact
Volume arrondi au mm 3
35 π cm3
5 cm
3 cm
7 cm
2 cm
54 π cm3
Exercice 13
1.
Exprimer le volume Vdu tétraèdre EABC en fonction de AB, BC et BE.
2.
Quelle conséquence le choix de la base a-t-il eu sur la formule obtenue en 1. ?
3.
Calculer Ven prenant : AB = 3 cm ; BC = 2 cm et BE = 4 cm.
éducmat
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Exercice 14
Calculer les volumes des solides suivants.
a]
Un cube surmonté d'une pyramide de même hauteur
b]
Un cylindre amputé d'un cône de révolution.
Exercice 15
Amandine et Benoît disposent chacun d'un bloc de cire cubique d'arête 5 cm.
1.
Calculer le volume du bloc de cire.
Pour chaque question suivante, on réalisera un schéma en perspective cavalière.
2.
Amandine a un moule pour réaliser une bougie conique.
Le diamètre de la base est 8 cm et la hauteur est 12 cm. Va-t-elle utiliser toute la cire ?
3.
Benoît veut réaliser une bougie pyramidale. Sa base est un carré de côté 5 cm.
Quelle est la hauteur de son moule, sachant qu'il a utilisé toute la cire ?
Exercice 16
ABCDEFGH est un pavé droit tel que AB = 8 cm ; AE = 6 cm et AD = 4,5 cm.
1.
Donner, sans justifier, la nature précise des triangles EBF ; BGF ; BGH et BEH.
2.
On considère la pyramide BEFGH.
Calculer le volume de cette pyramide.
3.
Calculer EB et BG.
4.
Calculer l'aire latérale puis l'aire totale de la pyramide BEFGH.
éducmat
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Exercice 17
Une cloche conique transparente sert à protéger une plante. La hauteur de la cloche est 30 cm, le diamètre de sa
base est 18 cm et celui du pot de fleur cylindrique est 12 cm.
1.
Calculer la valeur exacte du volume de la cloche.
2.
Observer le schéma ci-contre pour calculer la hauteur du pot de fleur.
[SO] est la hauteur du cône et [BO] est un rayon de sa base.
[AP] est un rayon du cylindre.
Calculer les longueurs SP et PO.
3.
Calculer la valeur exacte du volume du pot de fleur.
4.
Calculer le volume d'air restant sous la cloche.
Donner la valeur exacte en litres puis la valeur arrondie au cL.
Exercice 18
Sur cette figure : SM = 9,6 cm ; MN = 7,2 cm ; L est le milieu de [SN] et (KL) et (MN) sont
parallèles.
1.
On considère le cône de révolution de sommet S et de base le disque de centre M.
a] Déterminer la valeur exacte du volume du cône.
b] Calculer sa valeur arrondie au cm3.
2.
Que représente le segment [SN] pour le cône précédent ? Calculer sa longueur.
3.
Calculer la mesure arrondie au degré de ̂
MSN .
4.
Prouver que SK = 4,8 cm et que KL = 3,6 cm.
5.
Calculer le volume du cône de révolution de sommet S, de base le disque de centre K et de rayon [KL].
Calculer le rapport entre ce volume et celui calculé en 1.
Exercice 19
On considère un cône de révolution de hauteur [SM], de base un disque de centre M et de rayon MN avec SN = 6 cm et ̂
MSN =35 ° .
1.
Faire un schéma complet du cône en perspective cavalière.
2.
Calculer le volume (arrondi au cm3) du cône.
Exercice 20
Soit un cône de révolution de hauteur 15 m dont le rayon de base est 8 m.
1.
Dessiner un patron du cône à l'échelle
2.
Calculer l'aire totale du patron.
éducmat
1
.
200
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Corrigés
Exercice 1
1.
2.
P1
P2
P3
Nombre de côtés de la base
4
3
5
Nombre de faces
5
4
6
Nombre d'arêtes
8
6
10
Nombre de sommets
5
4
6
Nom
Exercice 2
1.
2.
Nombre de sommets
4
7
8
Nombre de faces
4
7
8
Nombre d'arêtes
6
12
14
Une pyramide dont la base a x côtés possède (x+1) faces, (x+1) sommets et 2x arêtes.
Exercice 3
1.
2.
S
S
S
Exercice 4
Exercice 5
1.
Chaque boîte aura pour dimensions minimales 50cm × 20cm × 20cm.
2.
•
•
•
La boîte a pour volume 50×20×20 = 20 000 cm3.
Chaque lampe a une base circulaire de rayon 10 cm et d'aire π×10² = 100π cm².
100×π×50 5000 π
3
=
cm .
Leur volume vaut donc
3
3
5000 π
: 20000= π soit environ 26 %.
Le pourcentage de remplissage vaut
3 12
éducmat
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Exercice 6
a]
b]
c]
Prisme droit à base pentagonale.
Pyramide à base carrée.
Cylindre de révolution.
d]
e]
f]
Patron non valable.
Cône de révolution.
Patron non valable.
Exercice 7
1.
La base de la pyramide est le rectangle VNRU.
2.
Les faces latérales de la pyramide sont des triangles isocèles.
3.
Voir ci-contre.
4 cm
Exercice 8
Exercice 9
a]
•
•
La base de la pyramide est un carré de côté 2,4cm et d'aire 2,4×2,4 = 5,76 cm².
5,76×5
=9,6 cm 3 .
Le volume de la pyramide vaut
3
b]
•
La base de la pyramide est un triangle de base 4 cm, de hauteur 3cm et d'aire
•
Le volume de la pyramide vaut
•
La base du cône est un disque de rayon
•
Le volume du cône vaut
6×5,1
=10,2 cm 3 .
3
4×3
=6cm 2 .
2
c]
éducmat
8,4
= 4,2 cm et d'aire π×4,2² = 17,64π cm².
2
17,64 π×5,6
=32,928 π cm 3 .
3
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Exercice 10
a]
La base de la pyramide a pour aire 4×2,5 = 10 cm². Son volume vaut donc
b]
La base du cône est un disque de rayon
Son volume vaut
c]
10×7,2
=24 cm3 .
3
20
=10 mm (soit 1 cm) et d'aire π×1² = π cm².
2
π×6
=2 π cm 3 soit environ 6,283 cm3.
3
La base de la pyramide est un parallélogramme de base 5 dm, de hauteur 3 dm et d'aire 5×3 = 15 dm².
15×8
=40 dm 3 .
Le volume de la pyramide de hauteur 8 dm vaut donc
3
Exercice 11
a]
La base de la pyramide est un rectangle de longueur 8 cm,
8
de largeur =4 cm et d'aire 8×4 = 32 cm².
2
Le volume de la pyramide de hauteur 8 cm vaut donc
32×8 256
=
cm3 .
3
3
b]
La base de la pyramide est un triangle de base RS = 5 cm,
5,6
5×2,8
=7 cm 2 .
de hauteur TS=
soit 2,8 cm et d'aire
2
2
Le volume de la pyramide de hauteur OS = 8,7 cm vaut donc
7×8,7
=20,3 cm3 .
3
Exercice 12
r
D
h
Volume exact
Volume arrondi au mm3
5 cm
10 cm
4,2 cm
35 π cm3
109,956 cm3
1,5 cm
3 cm
7 cm
5,25 π cm
9 cm
18 cm
2 cm
54 π cm3
16,493 cm3
3
169,646 cm3
Exercice 13
Comme ABC est un triangle rectangle de base AB et de hauteur BC alors son aire vaut AABC =
AB× BC
.
2
1 AB× BC
AB× BC × BE
× BE d'où V =
Le tétraèdre EABC a pour base ABC et pour hauteur BE. Son volume vaut donc ×
.
3
2
6
1.
2.
Dans la formule obtenue, les grandeurs AB, BC et BE jouent des rôles symétriques et peuvent commuter.
Par conséquent, le choix de la base (ici ABC) n'a eu aucune conséquence sur le résultat final.
On a V =
3.
3×2×4
donc V= 4 cm3.
6
Exercice 14
a]
•
•
Le solide est composé de :
un cube d'arête 5 cm et de volume 5×5×5 = 125 cm3.
une pyramide dont la base est un carré d'aire
5×5 = 25 cm², de hauteur 5 cm et de volume
25×5 125 3
=
cm .
3
3
125 500
3
=
cm .
Le volume du solide vaut donc 125+
3
3
éducmat
b]
Le solide est composé de :
un cylindre de base un disque d'aire π×3² = 9π cm², de
hauteur 7 cm et de volume 9π×7 = 63π cm3.
•
moins un cône de base d'aire 9π cm², de hauteur 7 cm et
9 π×7
=21 π cm 3 .
de volume
3
Le volume du solide vaut donc 63 π−21π=42 π cm3 .
•
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Exercice 15
1.
Le bloc de cire est un cube d'arête 5 cm et de volume 5×5×5 = 125 cm3.
2.
Le moule conique a pour base un cercle de rayon
8
=4 cm et d'aire π×4² = 16π cm². Son volume vaut
2
16 π×12
=64 π cm 3 soit environ 201 cm3. Comme Amandine dispose de seulement 125 cm3 de cire,
3
alors elle utilisera toute la cire.
alors
La pyramide a pour base un carré d'aire 5×5 = 25 cm2 et une hauteur notée h. Son
25
25
3
h=125 soit 25h = 375 d'où h = 15.
h cm . On cherche h pour que
volume vaut donc
3
3
La hauteur du moule est au moins 15 cm.
3.
Exercice 16
1.
EBF et BGF sont des triangles rectangles en F ; BGH est un triangle rectangle en G et BEH est un triangle rectangle en E.
2.
La base de la pyramide BEFGH est le rectangle EFGH de longueur 8 cm, de largeur 4,5 cm et d'aire 8×4,5 = 36 cm².
36×6
=72cm 3 .
Le volume de cette pyramide de hauteur 6 cm vaut donc
3
3.
4.
Comme le triangle EBF est rectangle en F alors on a EB² = BF² + EF² donc EB² = 6² + 8² d'où EB² = 100 donc EB = 10 cm.
Comme le triangle GBF est rectangle en F alors BG² = BF² + FG² donc BG² = 6² + 4,5² d'où BG² = 56,25 donc BG = 7,5 cm.
L'aire latérale de la pyramide BEFGH est la somme de :
BF× EF 6×8
=
•
l'aire de BEF qui vaut
soit 24 cm².
2
2
BF× FG 6×4,5
=
•
l'aire de BGF qui vaut
soit 13,5 cm².
2
2
BG×GH 7,5×8
=
•
l'aire de BGH qui vaut
soit 30 cm².
2
2
BE× EH 10×4,5
=
•
l'aire de BEH qui vaut
soit 22,5 cm².
2
2
L'aire latérale de BEFGH vaut donc 24 + 13,5 + 30 + 22,5 = 90 cm².
Son aire totale vaut alors 90 + 36 = 126 cm².
Exercice 17
1.
La cloche a pour base un cercle de rayon
2.
On a AP=
18
81 π×30
=9 cm et d'aire π×9² = 81π cm². Son volume vaut alors
=810 π cm3 .
2
3
12
soit 6 cm et BO = 9 cm.
2
On admet que (AP) est parallèle à (OB). Comme, en plus, P ∈[ SO ) et A∈[ SB ) alors
On a donc SP=
SA SP AP
SA SP 6
= = .
=
=
donc
SB SO OB
SB 30 9
6×30
soit SP = 20 cm. De plus PO = SO – SP d'où PO = 30 – 20 soit PO = 10 cm.
9
3.
Le pot est un cylindre de base un disque d'aire π×6² = 36π cm² et de hauteur 10 cm. Son volume est donc 36π×10 = 360π cm3.
4.
L'air restant sous la cloche a un volume de 810π – 360π = 450π cm3 soit 0,45π L, ce qui fait environ 1,41 L.
éducmat
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Exercice 18
1.
a]
b]
Le cône a pour hauteur 9,6 cm et pour base un cercle de rayon 7,2 cm et d'aire π×7,2² = 51,84π cm².
51,84 π×9,6
=165,888 π cm3
Son volume vaut alors
3
Le volume vaut environ 521 cm3.
2.
[SN] est une génératrice du cône.
Comme SMN est rectangle en M alors on a SN² = SM² + MN² donc SN² = 9,6² + 7,2² d'où SN² = 144 donc SN = 12 cm.
3.
MSN )=
Comme le triangle SMN est rectangle en M alors on a cos( ̂
SM
9,6
MSN )=
donc cos( ̂
d'où ̂
MSN ≈37 ° .
SN
12
4.
Dans le triangle SMN, comme la droite (KL) passe par le milieu L du côté [SN] en étant parallèle au côté [MN] alors elle coupe
9,6
le troisième côté [SM] en son milieu. Donc K est le milieu de [SM] et SK =
d'où SK = 4,8 cm.
2
Comme [KL] a pour extrémités les milieux de deux côtés du triangle SMN alors il mesure la moitié du troisième côté.
MN
7,6
D'où KL=
donc KL=
soit KL = 3,6 cm.
2
2
5.
Le cône a pour hauteur 4,8 cm et pour base un cercle de rayon 3,6 cm et d'aire π×3,6² = 12,96π cm².
165,888 π
12,96 π×4,8
=20,736 π cm 3 . Le rapport entre les volumes des deux cônes vaut
=8 .
Son volume vaut alors
20,736 π
3
Exercice 19
1.
Voir ci-contre.
2.
MSN )=
Comme le triangle SMN est rectangle en M alors on a cos( ̂
SM
d'où SM = 6cos(35°).
6
Comme SMN est rectangle en M alors on a SN² = SM² + MN².
On a donc 6² = (6cos(35°))² + MN² d'où MN² = 36 – 36(cos(35°))².
SM
.
SN
Donc cos(35°)=
Le cône a pour hauteur SM et pour base un cercle de rayon MN et d'aire π×MN².
2
π×MN 2×SM π×[36 – 36(cos (35 °)) ]×6 cos (35° )
Son volume vaut alors
soit environ 61 cm3.
=
3
3
Exercice 20
1
les dimensions du cône sont divisées par 200.
200
1500
800
=7,5 cm et son rayon
=4 cm.
Sa hauteur devient
200
200
Soit g la génératrice. D'après le théorème de Pythagore on a g 2=4 2 +7,52 donc g = 8,5 cm.
La face latérale du cône est un secteur de disque de rayon 8,5 cm, la longueur de l'arc étant égale à
la circonférence de la base, soit 2π×4 = 8π cm.
Comme l'angle d'un secteur de disque est proportionnel à la longueur de l'arc alors :
360° → 2π×8,5
8×π×360
≈169 ° .
?° → 8π
L'angle vaut donc
17 π
1.
À l'échelle
2.
•
8,5 cm
169°
4 cm
Le patron est constitué de :
un disque de rayon 4 cm et d'aire 16π cm².
un secteur de disque de rayon 8,5 cm et d'angle
•
°
( )
2880
17
. Comme l'aire du secteur est proportionnelle à son angle alors :
360° → π×8,5² cm²
°
1
2880
2880
2
×
×π×8,5 =34 π cm².
→ ? cm²
L'aire du secteur vaut
360
17
17
( )
( )
L'aire totale du patron vaut 16π + 34π = 50π cm².
éducmat
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