Chapitre Nombres entiers et rationnels 3

Chapitre Nombres entiers et rationnels 3 èm
➢Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire.
➢Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre
eux.
➢Simplifier une fraction donnée pour la rendre
irréductible.

Chapitre Nombres entiers et rationnels 3 ème
1) Diviseurs communs et P.G.C.D
a) Définition
Un diviseur commun à deux nombres entiers naturels (c'est-à-dire positifs ou nuls) est un
nombre entier qui divise chacun de ces deux nombres.
Exemples:
 3 est un diviseur commun à 27 et 45.
 Les diviseurs de 27 sont: 1, 3, 9 et 27.
Les diviseurs de 45 sont: 1, 3, 5, 9, 15 et 45.
Les diviseurs communs à 27 et 45 sont: 1, 3 et 9.
9 est le plus grand diviseur commun à 27 et à 45.
Le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres est appelé le « P.G.C.D » de ces nombres .
Pour calculer le P.G.C.D de deux entiers naturel, on peut utiliser un algorithme.
Remarque: « Algorithme » signifie « procédé de calcul », ce mot vient du nom du mathématicien arabe
Al-Khwarizmi (780-850 après J.-C.).
b) Algorithme d'Euclide
Méthode de calcul permettant de trouver le Plus Grand Commun Diviseur de deux
entiers naturels.
Exemple 1: Calculer le P.G.C.D de 2002 et 420.
On effectue des divisions euclidiennes successives.
2002=4×420 322
(le P.G.C.D de 2002 et 420 divise également le reste 322)
420=1×322 98
(le P.G.C.D de 420 et 322 divise également le reste 98)
322=3×98 28
(le P.G.C.D de 322 et 98 divise également le reste 28)
98=3×28[14]
(le P.G.C.D de 98 et 14 divise également le reste 14)
28=2×14 0
(le P.G.C.D de 2002 et 420 est donc le dernier reste non nul qui est 14)
On note P.G.C.D (2002 ; 420)=14.
Vérification:
2002
14 =143 et 420 14 =30
.
Exemple 2: Calculer le P.G.C.D de 1 573 et 11 022.
On effectue des divisions euclidiennes successives.
11 022=7×1 57311
(le P.G.C.D de 11 022 et 1 573 divise également le reste 11)
1 573=143×11 0
(le P.G.C.D de 11 022 et 1 573 est donc le dernier reste non nul qui est 11)
On note P.G.C.D (11 022 ; 1 573)=11.
Vérification:
11 022=11×1 002 et 1 573 =11 ×143
.
Remarque:
On utilise l'algorithme d'Euclide surtout pour déterminer le P.G.C.D de grands nombres.

2) Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles:
a) Définition
On dit que deux entiers naturels sont « premiers entre eux » lorsque leur seul diviseur
commun est 1.
Exemple:
Les diviseurs de 12 sont: 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Les diviseurs de 25 sont: 1, 5 et 25.
Le seul diviseur commun à 12 et à 25 est 1.
Les nombres 12 et 25 sont donc premiers entre eux.
Remarque:
Deux entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur P.G.C.D est égal à 1.
b ) Définition
On dit qu'une fraction est « irréductible » lorsque son numérateur et son dénominateur
sont premiers entre eux.
Exemples:
 Les nombres 12 et 25 sont premiers entre eux donc
12
25
est irréductible.
 La fraction
221
294
est-elle irréductible?
On cherche le P.G.C.D(294 ; 221):
294=1×221 73
221=3×73 2
73 =36 ×21
2=2×10
Le P.G.C.D de 294 et 221 est donc le dernier reste non nul qui est 1.
Le seul diviseur commun à 221 et à 294 est 1 donc La fraction
221
294
est irréductible.
 Peut-on réduire la fraction
85
221
?
On cherche le P.G.C.D de 221 et 85:
221=2×85 51
85 =1×5134
51 =1×34 17
34 =2×17 0
P.G.C.D (221 ; 85)=17.
On a
85
221 =85 : 17 221 : 17 =5 13
et on obtient une fraction irréductible.

3) Nombres entiers, nombres rationnels:
Définition
Un nombre « rationnel » est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de
deux nombres entiers relatifs.
Exemples:
 Les nombres décimaux sont des nombres rationnels.
 Les nombres 0 ;
−3
;
7
11
;
−2
3
et 3,2 sont des nombres rationnels,
en effet
0=0
2
;
−3=−3
1
;
3,2=32
10
.
 Les nombres
et
2
ne sont pas des nombres rationnels,
on dit que ces nombres sont « irrationnels ».
Remarque:(pour votre culture générale)
Les démonstrations permettant de prouver qu'un nombre est irrationnel sont souvent subtiles.
Par exemple, pour prouver que
2
n'est pas un nombre rationnel:
« Supposons que
2
est un nombre rationnel »: (on veut prouver que cette proposition est fausse)
Il existerait, dans ce cas, une fraction irréductible telle que:
2=a
b
avec
a et b
entiers.
On aurait alors
22=
a
b
2
donc
a2
b2=2
et finalement
a2=2×b2
.
Le nombre
a2
serait pair.
L'entier
a
serait également pair puisque seul un entier pair peut avoir un carré pair.
On pourrait écrire
a=2×kavec kentier
.
En reportant cette valeur dans l'égalité
a2=2×b2
, on obtiendrait:
2×k
2=2×b2 soit 4×k2=2×b2
d'où en divisant par 2 les deux membres de cette égalité,
2×k2=b2
. Le nombre
b2
serait lui aussi pair.
Par le même raisonnement, on en déduirait que
b
serait pair.
Or, si
a et b
étaient tous les deux pairs, la fraction
a
b
pourrait être simplifiée en divisant par 2 son
numérateur et son dénominateur , cette fraction ne serait donc pas irréductible.
On a donc une contradiction !C'est donc que la supposition de départ est fausse,
2
n'est pas un
nombre rationnel, c'est un nombre « irrationnel ».
Cette démonstration de l'irrationalité de
2
dite « par le pair et l'impair »
date d'Aristote (384-322 avant J.-C.) et a été reprise par Euclide (vers 300 avant J.-C.).
Remarques:
La démonstration ci-dessus est une démonstration par contradiction (on dit aussi « par l 'absurde »),
ce type de preuve est souvent utilisé en mathématique.
Vous verrez d'autres propriétés des nombres irrationnels au lycée...