en cours d`écriture

1
Mathématiques pour la classe de Quatrième
Chapitre 8
Rémi CHEVAL
−
-
1.1
Calcul littéral
Les expressions littérales
Définition
Définition (Expression littérale). Il s’agit tout simplement d’une expression composée :
1
ou encore π ) .
– De nombres ( comme 1 ; −3, 5 ;
3
– Des quatre opérations habituelles : + ; − ; × ; ÷.
www.podcast-science.com
28 janvier 2015
– Des parenthèses et des crochets pour modifier l’ordre de priorité des opérations.
● Dans 3 × ( 4 + 5 ), on commence par faire l’addition 4 + 5.
Objectifs de ce chapitre :
● Dans 3 × 4 + 5, on commence par faire la multiplication 3 × 4.
1) À partir de la valeur des lettres, savoir donner la valeur d’une expression littérale.
2) Savoir enlever des parenthèses.
– Et enfin, la grande nouveauté : des lettres.
● Cette grande nouveauté a malheureusement traumatisé des élèves, et risque également de
vous traumatiser. Je vous demande donc d’être un peu patient et vous verrez que dans quelques
mois, ce traumatise ne sera qu’un bien mauvais souvenir.
3) Savoir simplifier des expressions littérales.
Pour cela, nous allons utiliser la distributivité.
● Pour faire simple, je vais juste vous dire que :
« Une lettre représente un nombre, mais on ne connait pas sa valeur »
« L’algèbre est dans l’astronomie, et l’astronomie touche à la poésie ;
L’algèbre est dans la musique, et la musique louche à la poésie.
Exemple. Par conséquent, vous pouvez essayer de faire tous les calculs que vous voulez. Vous n’arriverez pas à trouver un nombre qui soit égale à l’une des expressions
littérales suivantes. Le problème est que vous ne connaissez pas la valeur de x.
L’esprit de l’homme a trois clefs qui ouvrent tout :
Le chiffre, la lettre, la note. Savoir, penser, rêver. Tout est là. »
Victor Hugo
x + 2
;
2×x + 4
;
3 × ( 4×x − 2 )
Algèbre : Branche des mathématiques ayant pour objet de simplifier et de résoudre
au moyen de formules des problèmes où les grandeurs sont représentées par des symboles, et d’en généraliser les résultats.
1.2
Table des matières
Après la grande découverte des lettres, passons au premier objectif de ce chapitre. Pour
cela, je vous présente un exercice type et nous allons voir ensemble comment le résoudre.
1 Les
1.1
1.2
1.3
1.4
expressions littérales
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Savoir calculer la valeur d’une expression littérale
Rappels sur les quatre opérations . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Savoir calculer la valeur d’une expression littérale
.
.
.
.
1
1
1
2
2
2 La distributivité
2.1 Présentation de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Savoir distribuer avec des flèches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
Prof. : « Sache que quand il n’y a rien d’écrit, l’opération est une multiplication. »
J’ajouterai en commentaire que vous avez déjà plus ou moins utilisé cette idée :
3 Applications à la distributivité
3.1 Savoir enlever des parenthèses . . . . .
3.2 Savoir réduire une expression littérale
3.3 Double distributivité . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Exercices d’application . . . . . . . . . .
4
4
4
4
4
Élève : « Monsieur, vous nous avez dit que les lettres étaient des nombres dont on ne
connait pas la valeur. Or dans l’énoncé, on nous dit que x = 0.
Prof. : Vous voyez, je vous ai fait peur avec cette histoire de lettres et dès le premier exercice, je vous laisse remplacer les lettres par des nombres. Néanmoins,
sachez que ma gentillesse ne durera pas.
http://www.podcast-science.com
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Exercice. Calculer chacune de ces deux expressions pour x = 0, puis pour x = 1.
A = (x − 3) (x + 4)
B = x2 − 2x − 12
et
Élève : « Monsieur, c’est normal qu’il n’y ait pas de symbole entre (x − 3) et (x + 4) ?
Il faut faire quelle opération ? Addition ? Multiplication ? »
« la moitié de 7 » =
Page 1/4
1
× 7
2
et
5 kg = 5 × 1 000 g = 5 000 g
Quatrième - Chapitre 8 - Calcul littéral
1.4
Exercices d’application
Savoir faire n° 1 (Calculer la valeur d’une expression littérale).
● Étape 1 : Je remplace chaque lettre par le nombre que l’énoncé me donne.
Exercice (1). Calculer la valeur de l’expression A = (3x − 4)(7 − 5x) pour x = 1.
● Étape 2 : Les lettres ayant disparues, je termine mon calcul comme d’habitude.
B
Il est possible que certaines multiplications ne soient pas écrites.
B
Exercice (2). On considère l’expression littérale
Résolution de l’exercice type :
● Si x = 0,
a) x = 5
A
=
=
=
B
(0 − 3) × (0 + 4)
(−3) × 4
−12
B
=
=
=
02 − 2 × 0 − 12
0 − 0 − 12
− 12
c) x = 7
;
d) x = −5
;
A
=
=
=
C
B
(1 − 3) × (1 + 4)
(−2) × 5
−10
B
=
=
=
=
12 − 2 × 1 − 12
1 − 2 − 12
− 1 − 12
− 13
3
:
10
Exercice (3). Calculer la valeur de C pour a =
je remplace chaque x par 1
A
1.3
b) x = −2
;
je remplace chaque x par 0
A
● Si x = 1,
B = −6x + 5.
Calculer la valeur de cette expression B pour :
=
4 ( 7 − 5a )
+
Exercice (4). On considère l’égalité suivante :
5 ( 2a − 3 )
a2 + 2
=
8 − a
Tester cette égalité pour :
Rappels sur les quatre opérations
a) a = −5
;
b) a = −3
;
c) a = 2
;
d) a = 8
Additions et soustractions
Pour déterminer le signe du résultat :
2
La distributivité
● Globalement, a-t-on avancé ou reculé ? A-t-on gagné ou perdu ?
Les choses sérieuses vont maintenant pouvoir commencer car les lettres vont devoir rester lettres.
À la place d’ajouter des nombres, je vais vous proposer d’ajouter des flèches un peu
partout. Avant cela, une petite présentation de la propriété de distributivité s’impose.
Pour déterminer l’opération à réaliser :
● Si les signes sont les mêmes, alors on fait une addition.
● Si les signes sont différents, alors on fait une soustraction.
2.1
Résumé des informations :
1er terme
Positif
Négatif
Positif
Négatif
2e terme
Positif
Négatif
Négatif
Positif
Signe
Positif
Négatif
Signe de la
plus grande valeur
Opération
Addition
Addition
Soustraction
Présentation de la propriété
La propriété qui va suivre est la notion centrale de ce chapitre. Toutes les méthodes
qui vont suivre, n’en seront qu’une conséquence plus ou moins directe. Le plus drôle
dans cette histoire, c’est que cette propriété tient en une ligne.
Élève : « Et vous trouvez ça drôle ? »
Prof. : « Oui :) Et j’aurais tendance à ajouter que les problèmes les plus difficiles se
présentent souvent de manière très simples. Cherchez l’erreur. »
Multiplications et divisions
Propriété (Distributivité).
Pour déterminer le signe du résultat :
1er facteur
Positif
Négatif
Positif
Négatif
2e facteur
Positif
Négatif
Négatif
Positif
Signe du résultat
Positif
Positif
Négatif
Négatif
Pour déterminer la valeur du résultat :
● Il suffit simplement de réaliser la multiplication ou la division.
http://www.podcast-science.com
k × (a + b)
=
k × a
+
k × b
Élève : « Monsieur, pourquoi on ne peut pas avoir des nombres à la place vos lettres
? À cause de vos k ; a et b, je ne comprends plus rien. »
Prof. : « Il y a un point de détail que tu n’as pas encore compris. Ces lettres ont
la puissance de pouvoir représenter n’importe quels nombres. Chaque lettre
peut donc être remplacer par l’expression littérale qui t’intéresse. »
Page 2/4
Quatrième - Chapitre 8 - Calcul littéral
Exemple.
Méthode (Utilisation des flèches).
Premiers remplacements :
k ⇒ −3 ; a ⇒ 5 ; b ⇒ 2x.
k × (a + b)
− 3 × ( 5 + 2x )
Autres remplacements :
−3 × 5
=
+
k × a
=
k × b
+
(− 3) × 2x
● Le k se distribue sur le a et on obtient k × a.
k ⇒ 5 ; a ⇒ x ; b ⇒ − 7.
● Le k se distribue sur le b et on obtient k × b.
5 × ( x + (− 7) )
=
5 × x
+
5 × (− 7)
Prof. : « Maintenant, y-a-qu’à appliquer la méthode. »
Le monde de le grande distribution que vous connaissez est un lien entre les producteurs (les fermiers et les éleveurs) et les consommateurs (vous et moi).
Exercice (Développer les expressions suivantes).
Élève : « Il est où le lien avec votre cours de Mathématiques ? »
Prof. : « Depuis toujours, vous et moi, nous manipulons des nombres et avec eux,
nous réalisons des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions. Connaissez-vous des liens entre ces quatre opérations ? »
Élève : « Heu ... »
Prof. : « Ok j’ai compris, un petit rappel s’impose. Nous avons vu en début d’année que soustraire un nombre, c’était comme ajouter son opposée. Et plus
récemment, diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. »
A
=
5 × (x + 3)
B
=
−2 × (x + 5)
C
=
− 3 (− x + 1 )
D
=
− 4x ( 2x + (− 3) )
Savoir faire n° 2 (Enlever les parenthèses en utilisant la distributivité).
● Étape 1 : Comme pour le premier savoir faire du chapitre, on ajoute les multiplications
si elles ne sont pas écrites. Et pour bien identifier les expressions que l’on
développe, on n’hésite pas à ajouter des parenthèses.
● Étape 2 : On dessine nos flèches et on écrit l’expression distribuée en dessous.
● Étape 3 : On simplifie les produits obtenues (= résultats d’une multiplication).
4−6
=
4 + (− 6)
et
4
5
÷
7
3
=
4
3
×
7
5
1) Les opposées nous donnent un lien entre l’addition et la soustraction.
A
2) Les inverses eux nous donnent un lien entre la multiplication et la division.
3)
B La distributivité nous donne un lien entre l’addition et la multiplication.
Vous venez sans vous en rendre de compte de découvrir les propriétés de base d’une
branche des Mathématiques appelée l’Algèbre. Et moi personnellement, je trouve que
c’est cool l’Algèbre.
Élève : « Monsieur, vous ne nous avez pas annoncé des flèches ? »
=
5 × (x + 3)
=
5 × x + 5 × 3
A
=
5x + 15
C
=
( − 3) × ( ( − x) + 1 )
=
=
C
=
( − 2) × ( ( − 5) + x )
=
( − 2) × ( − 5) + ( − 2) × x
B
=
10 − 2x
D
=
( − 4x ) × ( 2x + (− 3) )
( − 3) × ( − x) + ( − 3) × 1
=
( − 4x) × 2x + ( − 4x) × ( − 3)
3x − 3
=
− 4×2×x×x + 4×3×x
=
− 8x2 + 12x
D
Prof. : « Oui, et c’est l’objet de la partie suivante. »
2.2
B
Savoir distribuer avec des flèches
Dans la partie précédente, je vous ai indiqué que distribuer, c’était appliquer la propriété
en remplacer k ; a et b par les expressions qui nous intéressent. Dans les exercices, nous
allons voir que c’est largement plus facile d’utiliser des flèches.
http://www.podcast-science.com
B
2.3
Page 3/4
Dans les multiplications, l’ordre des éléments n’a pas d’importance.
B
Exercices d’application
da
Quatrième - Chapitre 8 - Calcul littéral
3
Applications à la distributivité
3.1
Savoir enlever des parenthèses
3.2
Savoir réduire une expression littérale
3.3
Double distributivité
3.4
Exercices d’application
http://www.podcast-science.com
Page 4/4
Quatrième - Chapitre 8 - Calcul littéral