en cours d`écriture
Mathématiques pour la classe de Quatrième
Chapitre 8 −Calcul littéral
Rémi CHEVAL -www.podcast-science.com
28 janvier 2015
Objectifs de ce chapitre :
1) À partir de la valeur des lettres, savoir donner la valeur d’une expression littérale.
2) Savoir enlever des parenthèses.
3) Savoir simplifier des expressions littérales.
Pour cela, nous allons utiliser la distributivité.
« L’algèbre est dans l’astronomie, et l’astronomie touche à la poésie ;
L’algèbre est dans la musique, et la musique louche à la poésie.
L’esprit de l’homme a trois clefs qui ouvrent tout :
Le chiffre, la lettre, la note. Savoir, penser, rêver. Tout est là. »
Victor Hugo
Algèbre : Branche des mathématiques ayant pour objet de simplifier et de résoudre
au moyen de formules des problèmes où les grandeurs sont représentées par des sym-
boles, et d’en généraliser les résultats.
Table des matières
1 Les expressions littérales 1
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Savoir calculer la valeur d’une expression littérale ................ 1
1.3 Rappels sur les quatre opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Exercices d’application ................................... 2
2 La distributivité 2
2.1 Présentation de la propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Savoir distribuer avec des flèches ............................ 3
2.3 Exercices d’application ................................... 3
3 Applications à la distributivité 4
3.1 Savoir enlever des parenthèses .............................. 4
3.2 Savoir réduire une expression littérale ......................... 4
3.3 Double distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 Exercices d’application ................................... 4
1 Les expressions littérales
1.1 Définition
Définition (Expression littérale). Il s’agit tout simplement d’une expression composée :
–De nombres comme 1;−3,5;1
3ou encore π.
–Des quatre opérations habituelles : +;−;×;÷.
–Des parenthèses et des crochets pour modifier l’ordre de priorité des opérations.
●Dans 3×4+5,on commence par faire l’addition 4+5.
●Dans 3×4+5,on commence par faire la multiplication 3×4.
–Et enfin, la grande nouveauté : des lettres.
●
Cette grande nouveauté a malheureusement traumatisé des élèves, et
risque également de
vous traumatiser.
Je vous demande donc d’être un peu patient et vous verrez que dans quelques
mois, ce traumatise ne sera qu’un bien mauvais souvenir.
●Pour faire simple, je vais juste vous dire que :
« Une lettre représente un nombre, mais on ne connait pas sa valeur »
Exemple. Par conséquent, vous pouvez essayer de faire tous les calculs que vous vou-
lez. Vous n’arriverez pas à trouver un nombre qui soit égale à l’une des expressions
littérales suivantes. Le problème est que vous ne connaissez pas la valeur de x.
x+2 ; 2 ×x+4 ; 3 ×4×x−2
1.2 Savoir calculer la valeur d’une expression littérale
Après la grande découverte des lettres,
passons au premier objectif de ce chapitre.
Pour
cela, je vous présente un exercice type et nous allons voir ensemble comment le résoudre.
Exercice. Calculer chacune de ces deux expressions pour x=0, puis pour x=1.
A=(x−3) (x+4)et B=x2−2x−12
Élève : « Monsieur, c’est normal qu’il n’y ait pas de symbole entre (x−
3
)et (x+
4
)?
Il faut faire quelle opération ? Addition ? Multiplication ? »
Prof. : « Sache que quand il n’y a rien d’écrit, l’opération est une multiplication. »
J’ajouterai en commentaire que vous avez déjà plus ou moins utilisé cette idée :
« la moitié de 7» = 1
2×7et 5kg = 5×1 000 g = 5 000 g
Élève : « Monsieur, vous nous avez dit que les lettres étaient des nombres dont on ne
connait pas la valeur. Or dans l’énoncé, on nous dit que x=0.
Prof. : Vous voyez, je vous ai fait peur avec cette histoire de lettres et dès le pre-
mier exercice, je vous laisse remplacer les lettres par des nombres. Néanmoins,
sachez que ma gentillesse ne durera pas.
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Savoir faire n°1(Calculer la valeur d’une expression littérale).
●Étape 1 : Je remplace chaque lettre par le nombre que l’énoncé me donne.
●Étape 2 : Les lettres ayant disparues, je termine mon calcul comme d’habitude.
BIl est possible que certaines multiplications ne soient pas écrites. B
Résolution de l’exercice type :
●Si x=0, je remplace chaque xpar 0
A=0−3×0+4B=02−2×0−12
=(−3)×4=0−0−12
A=−12 B=−12
●Si x=1, je remplace chaque xpar 1
A=1−3×1+4B=12−2×1−12
=(−2)×5=1−2−12
A=−10 =−1−12
B=−13
1.3 Rappels sur les quatre opérations
Additions et soustractions
Pour déterminer le signe du résultat :
●Globalement, a-t-on avancé ou reculé ? A-t-on gagné ou perdu ?
Pour déterminer l’opération à réaliser :
●Si les signes sont les mêmes, alors on fait une addition.
●Si les signes sont différents, alors on fait une soustraction.
Résumé des informations :
1er terme 2e terme Signe Opération
Positif Positif Positif Addition
Négatif Négatif Négatif Addition
Positif Négatif Signe de la Soustraction
Négatif Positif plus grande valeur
Multiplications et divisions
Pour déterminer le signe du résultat :
1er facteur 2e facteur Signe du résultat
Positif Positif Positif
Négatif Négatif Positif
Positif Négatif Négatif
Négatif Positif Négatif
Pour déterminer la valeur du résultat :
●Il suffit simplement de réaliser la multiplication ou la division.
1.4 Exercices d’application
Exercice (1). Calculer la valeur de l’expression A=(3x−4)(7−5x)pour x=1.
Exercice (2). On considère l’expression littérale B=−6x+5.
Calculer la valeur de cette expression Bpour :
a) x=5 ; b) x=−2 ; c) x=7 ; d) x=−5
Exercice (3). Calculer la valeur de Cpour a=3
10 :
C=47−5a+52a−3
Exercice (4). On considère l’égalité suivante : a2+2=8−a
Tester cette égalité pour :
a) a=−5 ; b) a=−3 ; c) a=2 ; d) a=8
2 La distributivité
Les choses sérieuses vont maintenant pouvoir commencer car les lettres vont devoir rester lettres.
À la place d’ajouter des nombres, je vais vous proposer d’ajouter des flèches un peu
partout. Avant cela, une petite présentation de la propriété de distributivité s’impose.
2.1 Présentation de la propriété
La propriété qui va suivre est la notion centrale de ce chapitre. Toutes les méthodes
qui vont suivre, n’en seront qu’une conséquence plus ou moins directe. Le plus drôle
dans cette histoire, c’est que cette propriété tient en une ligne.
Élève : « Et vous trouvez ça drôle ? »
Prof. : « Oui :) Et j’aurais tendance à ajouter que les problèmes les plus difficiles se
présentent souvent de manière très simples. Cherchez l’erreur. »
Propriété (Distributivité).
k×a+b=k×a+k×b
Élève : « Monsieur, pourquoi on ne peut pas avoir des nombres à la place vos lettres
? À cause de vos k;aet b, je ne comprends plus rien. »
Prof. : « Il y a un point de détail que tu n’as pas encore compris. Ces lettres ont
la puissance de pouvoir représenter n’importe quels nombres. Chaque lettre
peut donc être remplacer par l’expression littérale qui t’intéresse. »
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Exemple.
Premiers remplacements : k⇒−3;a⇒5;b⇒2x.
−3×5+2x=−3×5+(−3)×2x
Autres remplacements : k⇒5;a⇒x;b⇒−7.
5×x+(−7) =5×x+5×(−7)
Le monde de le grande distribution que vous connaissez est un lien entre les produc-
teurs (les fermiers et les éleveurs) et les consommateurs (vous et moi).
Élève : « Il est où le lien avec votre cours de Mathématiques ? »
Prof. : « Depuis toujours, vous et moi, nous manipulons des nombres et avec eux,
nous réalisons des additions, des soustractions, des multiplications et des di-
visions. Connaissez-vous des liens entre ces quatre opérations ? »
Élève : « Heu ... »
Prof. : « Ok j’ai compris, un petit rappel s’impose. Nous avons vu en début d’an-
née que soustraire un nombre, c’était comme ajouter son opposée. Et plus
récemment, diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. »
4−6=4+(−6)et 4
7÷5
3=4
7×3
5
1) Les opposées nous donnent un lien entre l’addition et la soustraction.
2) Les inverses eux nous donnent un lien entre la multiplication et la division.
3) BLa distributivité nous donne un lien entre l’addition et la multiplication.
Vous venez sans vous en rendre de compte de découvrir les propriétés de base d’une
branche des Mathématiques appelée l’Algèbre. Et moi personnellement, je trouve que
c’est cool l’Algèbre.
Élève : « Monsieur, vous ne nous avez pas annoncé des flèches ? »
Prof. : « Oui, et c’est l’objet de la partie suivante. »
2.2 Savoir distribuer avec des flèches
Dans la partie précédente, je vous ai indiqué que
distribuer, c’était appliquer la propriété
en remplacer k;aet bpar les expressions qui nous intéressent.
Dans les exercices, nous
allons voir que c’est largement plus facile d’utiliser des flèches.
Méthode (Utilisation des flèches).
k×a+b=k×a+k×b
●Le kse distribue sur le aet on obtient k×a.
●Le kse distribue sur le bet on obtient k×b.
Prof. : « Maintenant, y-a-qu’à appliquer la méthode. »
Exercice (Développer les expressions suivantes).
A=5×x+3B=−2×x+5
C=−3−x+1D=−4x2x+(−3)
Savoir faire n°2(Enlever les parenthèses en utilisant la distributivité).
●Étape 1 :
Comme pour le premier savoir faire du chapitre,
on ajoute les multiplications
si elles ne sont pas écrites.
Et pour bien identifier les expressions que l’on
développe, on n’hésite pas à ajouter des parenthèses.
●Étape 2 : On dessine nos flèches et on écrit l’expression distribuée en dessous.
●Étape 3 : On simplifie les produits obtenues (= résultats d’une multiplication).
A=5×x+3
=5×x+5×3
A=5x+15
B=−2×(−5)+x
=−2×−5+−2×x
B=10 −2x
C=−3×(−x)+1
=−3×−x+−3×1
C=3x−3
D=−4x×2x+(−3)
=−4x×2x+−4x×−3
=−4×2×x×x+4×3×x
D=−8x2+12x
BDans les multiplications, l’ordre des éléments n’a pas d’importance. B
2.3 Exercices d’application
da
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