DM4 Mécanique – Diffusion thermique

o
Devoir maison n 4
Diusion thermique - Mécanique
Partie I
Impact d'un bolide avec la Terre (d'après Centrale PSI 2012)
L'objet de ce problème est d'étudier l'impact d'un bolide (astéroïde ou comète) avec la Terre. Dans
tout l'énoncé, on supposera que le bolide ne possède aucun mouvement de rotation propre dans son
référentiel barycentrique.
Certaines données numériques sont rassemblées à la n du sujet.
A
Vitesse orbitale de la Terre
On se place dans le référentiel de Kepler, supposé galiléen, dont l'origine est confondue avec le
centre du Soleil et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles xes très éloignées. La Terre et le Soleil
présentent une symétrie sphérique. La masse de la Terre est négligeable devant celle du Soleil. La Terre
décrit approximativement une orbite circulaire de rayon R0 = 1,5 · 1011 m autour du Soleil et on exclut
toute inuence des autres planètes ou objets célestes.
A.1
Qu'est-ce qu'un référentiel galiléen ?
A.2
Montrer que le mouvement circulaire de la Terre est uniforme. Exprimer la vitesse orbitale de
la Terre, notée vT , en fonction de la constante gravitationnelle G, de la masse du soleil MS et de R0 .
Faire l'application numérique.
B
Vitesse d'impact du bolide
Les astéroïdes qui peuvent approcher la Terre possèdent des vitesses, dans le référentiel de Kepler, de
l'ordre de 30 km · s−1 . On qualiera ces objets de bolides. La Terre est assimilée à une sphère homogène
de rayon RT = 6,4 · 106 m. On rappelle que le référentiel géocentrique a pour origine le centre O de la
Terre et que ses axes sont parallèles à ceux du référentiel de Kepler.
B.1
On note vb la vitesse d'un bolide dans le référentiel de Kepler et vr sa vitesse dans le référentiel
géocentrique (vitesse relative par rapport à la Terre). Donner un encadrement de la vitesse vr en
−
−
fonction de vb et vT . Faire l'application numérique pour les astéroïdes. On écrira →
vb = →
vr + −
v→
T.
On travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Le bolide, assimilé à un point matériel
pour le moment, possède une masse mb très négligeable devant celle de la Terre. Le bolide, depuis une
région très éloignée de la Terre, arrive avec une vitesse ~vr = vr~ex et sa trajectoire est portée par une
droite située à une distance b du centre de la Terre (1). Le système {Terre + bolide} est considéré
comme isolé.
Figure 1 Trajectoire du bolide dans le champ gravitationnel de la Terre
1
B.2
Rappeler l'expression de l'énergie mécanique Em du bolide en un point quelconque de sa trajectoire en fonction de sa vitesse v , de sa distance r au centre de la Terre, de sa masse mb , de la masse de
la Terre MT et de la constante gravitationnelle G. Préciser la nature de la trajectoire du bolide dans
le champ gravitationnel de la Terre.
B.3
On note A le point de la trajectoire le plus proche de la Terre. dmin = OA représente donc la
distance minimale entre le centre de la Terre et le bolide. Rappelons qu'en ce point, la vitesse du bolide,
−→
notée ~vA , est perpendiculaire au vecteur OA. Montrer que le moment cinétique du bolide est conservé
au cours de son mouvement. En déduire une relation simple entre vr , b, dmin et vA = ||~vA ||.
B.4
Déterminer l'expression de dmin en fonction de G, MT , vr et b.
B.5
Pour que le bolide entre en collision avec la Terre, montrer que le paramètre d'impact b doit être
inférieur à une valeur maximale, notée bmax , que l'on exprimera en fonction de RT , G, MT et vr .
B.6
En cas de collision, montrer que l'expression de la vitesse au moment de l'impact, notée vi , peut
se mettre sous la forme
q
vi = vr2 + vl2
où l'on exprimera la vitesse vl en fonction de G, MT et RT . Calculer la valeur numérique de la
vitesse vl et préciser sa signication physique.
B.7
Quel est l'intervalle numérique des valeurs possibles de la vitesse d'impact vi d'un astéroïde avec
la Terre ?
C
Énergie cinétique du bolide
Le bolide est à présent modélisé par une sphère pleine de rayon rb = 80 m et de masse volumique
ρb = 2,5 · 103 kg · m−3 (matériau rocheux).
C.1
Calculer l'énergie cinétique du bolide pour une vitesse d'impact vi = 20 km · s−1 .
C.2
Une tonne d'explosif de TNT (trinitrotoluène) libère une énergie de 4,18 · 109 J. Par ailleurs,
une kilotonne de TNT représente 103 tonnes de TNT et une mégatonne représente 106 tonnes de
TNT. Exprimer l'énergie cinétique précédente du bolide en terme d'équivalent en TNT. Comparer
cette énergie à la bombe atomique d'Hiroshima (6 août 1945) qui a produit une énergie équivalente à
l'explosion de 15 kilotonnes de TNT.
Cette comparaison avec une bombe atomique a bien un sens car le bolide libère son énergie cinétique,
au moment de l'impact avec le sol, sous la forme d'une explosion.
D
Traversée de l'atmosphère par le bolide Cratère d'impact
Dans cette partie, on s'intéresse à la traversée de l'atmosphère terrestre par le bolide précédent
(sphère pleine de rayon rb = 80 m et de masse volumique ρb = 2, 5e3kg · m−3 ). La courbure locale de
la Terre est négligée et on confond sa surface, dans la région de l'impact, avec son plan tangent. On
utilise une base orthonormée directe (~ex , ~ey , ~ez ) et un point de l'espace est repéré par ses coordonnées
cartésiennes (x, y, z). On se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Le champ de pesanteur,
dirigé suivant la verticale descendante est supposé uniforme : ~g = −g~ez avec g = 9,0 m · s−2 .
L'atmosphère terrestre est supposée être à l'équilibre isotherme de température uniforme T0 . L'air
est assimilé à un mélange de gaz parfaits. ρ(z) et P (z) représentent respectivement la masse volumique
et la pression de l'air à l'altitude z . Ces grandeurs sont notées ρ0 et P0 au niveau du sol (z = 0).
D.1
Exprimer P (z) en fonction de ρ(z), T0 , de la constante des gaz parfaits R et de la masse molaire
de l'air Mair .
D.2
Montrer, en utilisant l'équilibre hydrostatique, que la masse volumique ρ(z) vérie la loi
z
ρ(z) = ρ0 exp −
Ha
où l'on exprimera la hauteur caractéristique Ha en fonction de Mair , T0 , R et g .
2
Applications numériques. Calculer la masse volumique de l'air ρ0 au niveau du sol et la hauteur
Ha . Données : P0 = 1,0 · 105 Pa et T0 = 290 K.
Le bolide entre dans l'atmosphère avec une vitesse vi = 20 km · s−1 . Durant la traversée de l'atmosphère, il est soumis à son poids et à la force de traînée de norme Ft = 12 Cρπrb2 v 2 où C = 2 est le
coecient de traînée, ρ la masse volumique de l'air et v la vitesse instantanée du bolide. On suppose
que le bolide conserve sa masse au cours de sa chute.
D.4
On utilisera ρ0 comme valeur caractéristique de la masse volumique de l'air. Montrer qu'en terme
d'ordres de grandeur, le poids du bolide est négligeable devant la force de traînée.
D.5
Dans ces conditions, il est possible de modéliser la trajectoire du bolide dans l'atmosphère par
une droite inclinée d'un angle θ par rapport à la verticale ~ez . On choisit les axes du repère de telle
manière que la trajectoire se situe dans le plan y = 0 (gure 2).
D.3
Figure 2 Trajectoire du bolide dans l'atmosphère terrestre
Exprimer l'accélération du bolide, a = dv/dt, en fonction de C , ρb , rb , ρ(z) (masse volumique de
l'air à l'altitude z ) et v(t) (vitesse instantanée du bolide).
D.6
Exprimer dv/dz en fonction de l'accélération a = dv/dt et de la composante verticale de la
vitesse du bolide vz = dz/dt. En remarquant que vz = −v cos θ, exprimer dv/dz en fonction de C , ρb ,
rb , ρ(z), v et θ.
D.7
En utilisant la condition limz→+∞ v(z) = vi (vitesse d'entrée dans l'atmosphère), déterminer la
loi de variation de la vitesse du bolide en fonction de l'altitude z : v = f (z).
D.8
Applications numériquesOn pose θ = 45 °.
Calculer la vitesse du bolide lorsqu'il atteint le sol (z = 0). L'atmosphère freine-t-elle ecacement
ce bolide ?
Calculer l'énergie dissipée par le bolide dans l'atmosphère. La comparer avec l'énergie cinétique du
bolide à l'entrée de l'atmosphère.
E
Cratère d'impact transitoire
Entre le moment où le bolide touche le sol et celui où il est stoppé, il ne s'écoule que quelques
fractions de seconde pendant lesquelles son énergie cinétique est convertie en énergie interne. Cette
énergie interne vaporise le bolide et des matériaux de la croûte terrestre, amenant l'ensemble à une
température de l'ordre de 1 · 104 K sous une pression de plusieurs mégabars. Cette pression est très
supérieure à ce que peuvent supporter les matériaux de la croûte terrestre. Puisque rien ne peut
contenir la vapeur produite, il se produit une énorme explosion. Cette explosion provoque une intense
onde de choc qui se propage à partir de la zone d'impact en pulvérisant les strates rocheuses et en
éjectant les matériaux en partie sous la forme d'un magma ultra-chaud. L'intensité de l'onde de choc
s'atténuant au cours de sa propagation, elle nit par se transformer en une simple onde sismique. La
phase d'excavation s'achève par la formation d'un cratère transitoire qui évolue par la suite vers le
cratère dénitif. L'objectif de cette partie est d'estimer le diamètre D du cratère provisoire modélisé
par une hémisphère (demi-sphère de la ). Pour cela, on considère que l'énergie cinétique du bolide sert,
en première approximation, à fracturer les matériaux et à les éjecter en dehors du cratère.
E.1
Calculer numériquement l'énergie cinétique massique du bolide. La comparer avec l'enthalpie
massique de vaporisation des matériaux rocheux hv ' 8 MJ · kg−1 .
3
Figure 3 Formation du cratère
L'énergie servant à fracturer les matériaux de la croûte, notée Ecoh (énergie de cohésion), peut
être estimée en multipliant le volume de la demi-sphère pleine de diamètre D de la gure par une
grandeur Y caractéristique de la résistance des matériaux constitutifs. Quelle est l'unité de Y ?
E.3
Le barycentre G0 de la demi-sphère pleine (gure ) se trouve à la profondeur δ = 3D
16 . On estime
que l'énergie Eg nécessaire pour éjecter les matériaux est égale au travail du poids pour amener ce
barycentre au niveau du sol. Exprimer Eg en fonction de la masse volumique de la croûte terrestre ρc ,
du diamètre D et du champ de pesanteur g .
E.4
Etablir l'équation permettant de déterminer le diamètre D.
E.5
Données pour la croûte terrestre : Y = 3.107 SI et ρc = 2,7 · 103 kg · m−3 . Résoudre de manière
numérique ou graphique l'équation précédente. On pourra limiter la recherche de D à l'intervalle
[2 km; 8 km]. Comparer le diamètre du cratère provisoire avec celui du bolide.
E.2
Données :
Masse de la Terre MT = 6,0 · 1024 kg ;
Masse du Soleil MS = 2,0 · 1030 kg ;
Constante gravitationnelle G = 6,67 · 10−11 N · m2 · kg−2 ;
Constante des gaz parfaits R = 8,31 J · K−1 · mol−1 ;
Masse molaire moyenne de l'air Mair = 29 g · mol−1 .
Partie II
Thermique d'un habitacle d'automobile (d'après e3a MP
2011)
Ce problème est consacré à l'étude des échanges thermiques entre un habitacle d'automobile et
l'environnement extérieur. Elle est composée de deux sections consacrées à l'étude des vitrages : pertes
thermiques et limitation de l'eet de serre grâce à l'utilisation de vitrages teintés.
Les véhicules automobiles actuellement commercialisés sont pratiquement tous équipés d'une climatisation de l'habitacle. Cet élément de confort induit un surcoût énergétique en termes de consommation
en carburant. Les concepteurs de véhicules sont donc amenés à innover, en réalisant des vitrages qui
participent à l'abaissement de température dans l'habitacle.
A
Echanges thermiques à travers les vitres
Vitrage simple
Une vitre plane, d'épaisseur e, de surface S et de conductivité thermique λV isole l'intérieur de
l'extérieur d'une automobile (gure 4). Tous les transferts thermiques s'eectuent de manière unidimensionnelle, dans la direction Ox, et les eets de bord sont négligés.
Le régime est stationnaire. La température de la face interne x = 0− de la vitre est notée : T (x =
−
0 ) = T0 ; celle de la face externe x = e− est notée : T (x = e− ) = Te .
Dans un premier temps, seuls les transferts par conduction thermique sont pris en compte. La
température sur la face intérieure de la vitre est supposée égale à la température Tint dans l'habitacle :
4
Figure 4 Vitrage simple
T0 = Tint . De même, il est supposé que Te = Text . La puissance thermique P traversant la vitre, de
l'intérieur vers l'extérieur du véhicule, s'exprime alors comme
P = Gc (Tint − Text ) =
Tint − Text
Rc
où Gc est la conductance thermique de la vitre et Rc sa résistance thermique.
A.1
Donner les équivalents, en électricité, de P et de Tint − Text . Rappeler l'expression de Gc , en
fonction de S , e et λV et donner son unité (dans le système international).
T0 n'est en réalité pas exactement égale à Tint , si bien que la vitre reçoit, par conducto-convection,
de la part de l'air intérieur, un ux d'énergie thermique par unité de surface hint (Tint − T0 ). Ce ux
est orienté de l'intérieur vers l'extérieur du véhicule. De même, les échanges par conducto-convection
avec l'air extérieur, au niveau de la face x = e, se traduisent par un ux d'énergie thermique par unité
de surface hint (Te − Text ), toujours orienté de l'intérieur vers l'extérieur du véhicule.
A.2
Montrer que ce phénomène peut être pris en compte à l'aide de conductances thermiques supplémentaires Gconv,int et Gconv,ext , placées en série avec Gc , dont les expressions seront à préciser.
Le verre est opaque pour les rayonnements électromagnétiques du domaine infrarouge (noté I.R.
par la suite). Il se comporte donc comme un corps noir idéal vis-à-vis du rayonnement thermique émis
à température ambiante.
A l'intérieur comme à l'extérieur de la voiture règne un rayonnement d'équilibre thermique correspondant respectivement aux températures Tint = 293 K et Text = 308 K.
A.3
Rappeler la loi de Stefan relative à la puissance surfacique, notée ϕ, rayonnée par un corps noir
de température T . La constante de Stefan-Boltzmann est notée σ .
A.4
Montrer que la puissance thermique totale Pr,int échangée par rayonnement au niveau de la face
x = 0 est
4
Pr,int = σS(Tint
− T04 )
La puissance thermique Pr,int est orientée de l'intérieur vers l'extérieur du véhicule, et prend en
compte aussi bien la puissance reçue par cette face de la vitre
que celle qu'elle rayonne.
Tint − T0 est petit devant 1.
A.5
Justier, vu les valeurs de Tint et Text , que Tint T0 4
Tint − T0 4
En eectuant un développement limité de (
) = (1 −
) , déduire l'expression approTint
Tint
chée :
Pr,int = Gr,int (Tint − T0 )
où Gr,int est une constante à déterminer en fonction de σ , Tint et S .
La puissance échangée par rayonnement au niveau de la face d'abscisse x = e, toujours orientée de
l'intérieur vers l'extérieur du véhicule, est notée Pr,ext .
A.6
Exprimer Pr,ext , puis donner son expression approchée en fonction de Text , Te , et d'une conductance Gr,ext à préciser.
5
Représenter le schéma électrique équivalent de la vitre. Y faire gurer les températures et conductances associées à tous les phénomènes de transfert thermique étudiés précédemment.
A.7
Vitrage feuilleté
La majorité des pare-brise de voiture sont constitués de deux vitres épaisseur e, collées par une
couche de polyvinylebutyral (PVB), d'épaisseur eP V B , et de conductivité thermique λP V B (gure 5).
Ces vitrages feuilletés sont moins cassants et bien adaptés à l'ajout de colorants ou de matériaux
électro- ou photochromiques.
Figure 5 Vitrage feuilleté
Représenter le schéma électrique équivalent d'un tel vitrage feuilleté. Y faire gurer les températures Tint , Text , ainsi que les conductances associées à l'ensemble des phénomènes de transfert
thermique impliqués. La conductance de la couche de PVB est notée Gc,P V B .
A.9
Déterminer l'expression de la conductance thermique totale Gtot de la vitre.
A.8
Données numériques (pour le pare-brise uniquement, et pour un véhicule à l'arrêt) :
S = 1,5 m2 ;
hint = 3,6 W · m2 · K−1 ;
hext = 19 W · m2 · K−1 ;
e = 2,1 mm ;
eP V B = 0,78 mm ;
Text = 308 K (été) ;
Tint = 293 K
λv = 1,0 W · m−1 · K−1 ;
λP V B = 0,2 W · m−1 · K−1 ;
σ = 5,67 · 10−8 W · m−2 · K−4 .
A.10
Calculer la valeur de chacune des sept conductances thermiques listées précédemment. En
déduire la valeur de la puissance totale P échangée à travers le pare-brise.
Au niveau de la face intérieure, la puissance échangée par rayonnement thermique représente une
Pr,int
fraction f =
de la puissance totale P échangée au niveau de cette face.
P
A.11
Exprimer f en fonction de Gconv,int et Gr,int , puis calculer sa valeur.
Vitrages à isolation thermique renforcée : un revêtement rééchissant les rayonnements I.R est maintenant déposé sur l'une des faces du vitrage. Il permet de supprimer presque totalement les échanges
par rayonnement au niveau de cette face.
A.12
Calculer numériquement la conductance totale du vitrage dans le cas d'un dépôt sur la face
interne de la vitre, puis dans celui d'un dépôt sur la face externe. Préciser le cas à choisir en pratique.
Interpréter brièvement ce résultat au vu des valeurs de Gconv,int et Gconv,ext .
B
Limitation de l'eet de serre grâce à un vitrage teinté
Le toit de certaines automobiles est ajouré et comporte une vitre. L'été, celle-ci peut être masquée par un rideau amovible situé au ras du vitrage. Ce rideau, noir, bloque le rayonnement solaire
direct, mais, en conséquence, s'échaue. Le but de cette section est de déterminer si un vitrage teinté
6
(par exemple par eet photochromique) permet de réduire cet échauement. La vitre (gure 6) reçoit
de l'extérieur un ux d'énergie par unité de surface noté ϕs ; ce ux correspond principalement au
rayonnement solaire direct, dont le spectre est supposé uniquement constitué de longueurs d'onde du
domaine visible.
La vitre teintée est partiellement transparente pour les longueurs d'onde du domaine visible : une
fraction (1 − A) de ϕS est transmise par la vitre, et une fraction A y est absorbée (le coecient de
réexion de la vitre est supposé nul).
Figure 6 Rideau
Elle est en revanche entièrement opaque et assimilable à un corps noir dans le domaine infrarouge.
Le ux d'énergie émis par unité de surface par chaque face de la vitre est noté ϕv .
Le rideau est assimilé à un corps noir idéal pour toutes les longueurs d'ondes. Sa température est
notée TR . Le ux d'énergie émis par unité de surface par chaque face du rideau est noté ϕR . Il reçoit
de l'habitacle de la voiture un ux d'énergie par unité de surface ϕa .
Les échanges thermiques par convection et conduction sont négligeables devant les échanges radiatifs. Le régime est stationnaire.
B.1
Préciser le domaine de longueurs d'ondes (infrarouge ou visible) correspondant au rayonnement
émis par le rideau. Reproduire sommairement la gure 6, et y représenter les diérents ux rayonnés.
En exploitant la stationnarité du régime pour la vitre, puis pour le rideau, établir deux équations
reliant ϕr , ϕv , A, ϕs et ϕa .
B.2
En déduire les expressions de ϕr et de ϕv en fonction de A, ϕs et ϕa .
Vérier que ϕr + ϕv = ϕs + ϕa et l'interpréter simplement.
Déterminer si la puissance rayonnée par le rideau vers l'intérieur de la voiture est augmentée ou
diminuée par l'utilisation d'un vitrage teinté.
B.3
Déterminer l'expression de TR et calculer sa valeur pour A = 0, 00 et A = 0, 60.
−2 , ϕ = 400 W · m−2 , σ = 5,67 · 10−8 W · m−2 · K−4 .
Données : ϕs = 900 W · m
a
B.4
En s'inspirant des questions précédentes, déterminer l'expression du ux ϕ0 qui pénètre à l'intérieur de la voiture en l'absence de rideau, en fonction de ϕs , ϕa et A. Conclure sur les avantages et
inconvénients du rideau.
Partie III
Isolation thermique d'une canalisation d'eau (d'après CCP
MP 2015)
Après avoir transité dans l'échangeur thermique, l'eau alimente le réseau d'une habitation. An de
limiter les pertes thermiques dans les canalisations, on se propose de comparer deux solutions d'isolation
thermique.
La canalisation est cylindrique, d'axe Oz , de rayon ri et de longueur L >> ri . L'eau y circulant est
à la température Ti . L'objectif de cette partie est de comparer les pertes latérales de la canalisation
sans ou avec un isolant.
On adopte le modèle suivant :
seule la conduction thermique radiale, c'est-à-dire dans une direction perpendiculaire à l'axe Oz ,
est prise en compte. On néglige donc la conduction selon l'axe Oz ;
7
(7).
la température de l'eau dans la canalisation est supposée uniforme. La conduction radiale s'opère
donc pour r ≥ ri uniquement ;
l'étude est menée en régime stationnaire ;
on néglige l'épaisseur de la paroi de la canalisation.
Sans isolant, la canalisation est en contact avec l'air intérieur de l'habitation, de température T0
Figure 7 Canalisation sans isolant
1. La densité surfacique de puissance thermique échangée par transfert conducto-convectif au niveau
−
→
−
de la surface latérale de la canalisation est donnée par jQ = h(Ti − T0 )→
ur (loi de Newton), où h
→
−
est une constante dimensionnée appelée coecient d'échange et ur le vecteur unitaire radial de la
base cylindrique. Exprimer la puissance thermique Pth transférée au niveau de la surface latérale
du système.
On applique désormais un isolant thermique sur la canalisation précédente. L'isolant possède un
rayon intérieur ri et un rayon extérieur re (gure 8). En un point situé à une distance r de l'axe
Oz et situé à l'intérieur de l'isolant, c'est-à-dire pour ri ≤ r ≤ re en repérage cylindrique, la
température est notée T (r). On note Te = T (re ) et Ti = T (ri ).
Figure 8 Canalisation avec isolant
Dans la suite, l'échange conducto-convectif au niveau de la surface intérieure de l'isolant n'est
pas pris en compte. La température de part et d'autre de la surface intérieure de l'isolant est
continue :
T (ri− ) = T (ri+ ) = Ti
2. On suppose que le coecient d'échange en r = re est h. Exprimer la puissance thermique Pth,isolant
échangée au niveau de la surface latérale extérieure de l'isolant par conduction-convection en
fonction de h, T0 , Te , L et re .
On note Pcond (r) la puissance thermique associée au phénomène de conduction thermique dans
l'isolant, traversant un cylindre de longueur L et de rayon r tel que ri ≤ r ≤ re . Nous allons
établir et exploiter le lien entre Pth,isolant et Pcond (r).
3. En eectuant un bilan d'énergie interne sur un cylindre de longueur L, de rayons interne r et
externe r + dr tels que ri ≤ r ≤ r + dr ≤ re (avec dr << r), montrer qu'en régime stationnaire
Pcond (r) est indépendante de r.
8
4. En déduire que : Pcond (r) = Pth,isolant .
5. Rappeler l'expression de la loi de Fourier relative à la conduction thermique en exprimant le
−→(r) = j
→
−
vecteur densité surfacique de ux de conduction thermique −
cond
cond (r)ur en fonction
notamment de la conductivité thermique de l'isolant λ, supposée uniforme. Exprimer ensuite la
puissance thermique associé, Pcond (r).
6. Déduire des questions précédentes que :
dT
hre
=
(T0 − Te )
dr
λr
7. En déduire l'expression de T (r).
Ti − T0
8. En déduire que : Te = T0 +
re .
1 + hrλe ln
ri
9. Montrer que :
Pth
1
= + α ln(x)
Pth,isolant
x
re
et α à exprimer en fonction de h, ri et λ.
ri
On envisage deux solutions d'isolation diérentes. On donne pour chacune d'elles : h = 3,0 W · m−2 · K−1
et ri = 2,0 cm.
Solution d'isolation n°1 : l'isolant est du polyuréthane, de conductivité thermique : λ1 =
0,02 W · m−1 · K−1 .
avec x =
Figure 9 Graph de la fonction
1
+ α ln x pour la valeur de α du polyuréthane
x
Solution d'isolation n°2 : l'isolant est du plâtre, de conductivité thermique λ2 .
10. En vous appuyant sur les graphes des gures 9 et 10, répondre de façon argumentée aux questions
suivantes :
Est-il toujours ecace d'isoler avec du polyuréthane ?
Est-il toujours ecace d'isoler avec du plâtre ? Le cas échéant, déterminer à partir de quelle
valeur de re l'isolation au plâtre devient ecace et commenter.
Pour quelle valeur xm de x la fonction x → x1 + α ln(x) admet-elle un minimum ?
En déduire la valeur numérique de la conductivité thermique du plâtre λ2 .
9
Figure 10 Graph de la fonction
1
+ α ln x pour la valeur de α du polyuréthane
x
10