CHAPITRE 11 : Calcul littéral. I. Introduction au calcul littéral : Activités. Problème n°1 : Un programme de calcul. Je choisis un nombre. Je le multiplie par 4. J’ajoute 7 au résultat. 1) Effectuer ce programme en choisissant le nombre 5. 5×4 = 20 et 20 + 7 = 27 2) Ecrire l’expression littérale qui correspond à ce programme de calcul. 4×x + 7 = 4x + 7 3) Effectuer ce programme pour x = 3. 4×3 + 7 = 12 + 7 = 19 Problème n°2 : Les longueurs sont en centimètres. 7 4 x 1) Ecrire en fonction de x l’aire du rectangle hachuré. A = l×L = 4×(7 – x) 2) Calculer l’aire du rectangle hachuré en prenant x = 2. A = 4×(7 – 2) = 4×5 = 20 cm2. Problème n°3 : Hélène (H) a 3 ans de plus que Charlotte (C) et 6 ans de moins que Pierre (P). 1) Ecrire l’âge de Charlotte C en fonction de l’âge d’Hélène H. C=H–3 2) Ecrire l’âge de Pierre P en fonction de l’âge d’Hélène H. P=H+6 II- Simplifications d’écritures. Pour marquer la priorité de la multiplication, le symbole « × » peut être supprimé dans certains cas. 3 × a s’écrit 3a a × b s’écrit ab 4 × (a – 2) s’écrit 4(a – 2) 15 + 4 × a s’écrit 15 + 4a Attention : -) 2×3 ne s’écrit pas 23 ! -) on écrit 2a, on n’écrit pas a2. Le nombre s’écrit toujours devant la lettre. Nombres au carré, nombres au cube : 3×3 s’écrit 32 6×6 s’écrit 62 5×5×5 s’écrit 53 x×x s’écrit x2 et se lit « x au carré ». x×x×x s’écrit x3 et se lit « x au cube ». III. La distributivité. 1) Avec des nombres (Rappel de 5ème : calcul mental). Calculer mentalement 32 × 101 Méthode : 32 × 101 = 32×100 + 32×1 = 3 200 + 32 = 3 232 Applications : Calculer (sans calculatrice) : 47×1 002 = 47×1 000 + 47×2 = 47 000 + 94 = 47 094 38×99 = 38×100 – 38×1 = 3 800 – 38 = 3 762 2) Développement simple (avec des lettres). Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence). Activité : a b k Calculer l’aire des deux rectangles. 1ère méthode : A = k×(a + b) 2nde méthode : A = k×a + k×b Formules : a, b et k désignent 3 nombres relatifs. k(a + b) = k×a + k×b k(a – b) = k×a – k×b Applications: Développer : A = 6(x + 4) = 6×x + 6×4 = 6x + 24 C = x(x – 5) = x×x – x×5 = x2 – 5x E= B = 11(8 – x) = 11×8 – 11×x = 88 – 11x D = (5 + x)×3 = 3(5 + x) = 3×5 + 3×x = 15 + 3x 3) Factorisation. Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit. Formules : a, b et k désignent 3 nombres relatifs. k×a + k×b = k(a + b) k×a – k×b = k(a – b) k est le facteur commun Applications (avec des nombres : calcul mental) : Factoriser les expressions suivantes puis les simplifier le plus possible : A = 131×13 + 131×87 = 131×(13 + 87) = 131×100 = 13 100 B = 37×13 – 37×3 = 37×(13 – 3) = 37×10 = 370 C = 8,536,5 + 8,533,5 = 8,53×(6,5 + 3,5) = 8,53×10 = 85,3 D = 0,0819 – 0,084 = 0,08×(19 – 4) = 0,08×15 = 1,2 Applications (avec des lettres) : Factoriser les expressions suivantes : A = 4x + 4×5 = 4(x + 5) B = 3×8 – 8x = 8(3 – x) C = 7x + 42 = 7x + 7×6 = 7(x + 6) D = 6x – 18 = 6x – 6×3 E = 15 – 6x = 3×5 – 3×2x = 3(5 – 2x) F = 5x – 5y = 5(x – y) IV. Tester une égalité. 1) Vocabulaire. Inconnue : C’est une lettre qui désigne un nombre qu’on ne connaît pas. Exemple : x Egalité ou équation : C’est une « opération à trous » dont les « trous » sont remplacés par des inconnues. Exemples : 11x – 7 = 6 ou 4x + 7 = 2x – 13 Membres : Une équation est composée de deux membres séparés par un signe « = ». Exemple : 11x – 7 = 6 1er membre 2nd membre 2) Tester une égalité. L’égalité 5x + 3 = 3x + 13 est-elle vraie dans les cas suivants ? a) x = 1 b) x = 5 Réponses : a) Pour x = 1 : 1er membre : 5×1 + 3 = 5 + 3 = 8 2nd membre : 3×1 + 13 = 3 + 13 = 16 Les deux membres ne sont pas égaux. Donc, l’égalité est n’est pas vraie pour x = 1. b) Pour x = 5 : 1er membre : 5×5 + 3 = 25 + 3 = 28 2nd membre : 3×5 + 13 = 15 + 13 = 28 Les deux membres sont égaux. Donc, l’égalité est vraie pour x = 5.