F - PanaMaths

France métropolitaine – Septembre 2005 - Exercice
Partie A
On dispose d’un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face
bleue, deux faces rouges et une face verte ; on suppose le dé
parfaitement équilibré.
Une partie consiste à effectuer deux lancers successifs et indépendants
de ce dé. A chaque lancer, on note la couleur de la face cachée.
On considère les événements suivants :
E est l’événement « à l’issue d’une partie, les deux faces notées sont
vertes »,
F est l’événement « à l’issue d’une partie, les deux faces notées sont
de la même couleur ».
1. Calculer les probabilités des événements E et F, ainsi que la
probabilité de E sachant F.
2. On effectue dix parties identiques et indépendantes.
Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux fois l’événement F
au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approchée
décimale à 10−3 près).
Partie B
On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme
parfaitement équilibré.
Pour cela, on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on
lance ce dé 156 fois en notant ni le nombre de fois où chaque face i
est cachée ; on obtient les résultats suivants :
Face i
Effectif ni
1
30
2
48
3
46
4
32
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4 ⎛
2
⎞
le réel ∑ ⎜⎜ f i − 1 ⎟⎟ .
On note f i la fréquence relative à la face i et
4⎠
i =1 ⎝
On simule 1000 fois l’expérience consistant à tirer un chiffre au
2
dobs
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hasard 156 fois dans l’ensemble
4 ⎛
{1,2,3,4}
puis, pour chaque
2
⎞
simulation, on calcule d 2 = ∑ ⎜⎜ Fi − 1 ⎟⎟ , où Fi est la fréquence
4⎠
i =1 ⎝
d’apparition du nombre i.
Le 9ème décile de la série statistique des 1000 valeurs de d 2 est égal à
0,009 8.
Au vu de l’expérience réalisée et au risque de 10%, peut-on considérer
le dé comme parfaitement équilibré ?
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Analyse
La première partie consiste en des calculs simples de probabilités, la deuxième question
faisant intervenir une loi binomiale.
La seconde partie est une question simple de test d’adéquation à une loi équirépartie.
Résolution
Partie A
Æ Question 1.
On note V1 l’événement « Au premier lancer, la couleur obtenue est la couleur verte » et V2
l’événement « Au second lancer, la couleur obtenue est la couleur verte ».
Dans ces conditions, on a : E = V1 ∩ V2 .
Les lancers étant indépendants, il vient immédiatement : p ( E ) = p (V1 ∩ V2 ) = p (V1 ) × p (V2 ) .
Le dé étant tétraédrique et parfaitement équilibré, la probabilité d’obtenir la face verte est
1
simplement égale au nombre de faces vertes divisé par le nombre total de faces, soit .
4
2
1
1
⎛1⎞
On a donc : p (V1 ) = p (V2 ) = et p ( E ) = p (V1 ) × p (V2 ) = ⎜ ⎟ = .
4
⎝ 4 ⎠ 16
p(E) =
1
16
On note maintenant B1 , B2 , R1 et R2 respectivement les événements « Au premier lancer, la
couleur obtenue est la couleur bleue », « Au second lancer, la couleur obtenue est la couleur
bleue », « Au premier lancer, la couleur obtenue est la couleur rouge » et « Au second lancer,
la couleur obtenue est la couleur rouge ».
Dans ces conditions, on a : F = (V1 ∩ V2 ) ∪ ( B1 ∩ B2 ) ∪ ( R1 ∩ R2 ) .
Les événements V1 ∩ V2 , B1 ∩ B2 et R1 ∩ R2 étant deux à deux incompatibles, on a :
p ( F ) = p (V1 ∩ V2 ) + p ( B1 ∩ B2 ) + p ( R1 ∩ R2 )
Le dé a une face verte et une face bleue. On a donc immédiatement :
1
p ( B1 ∩ B2 ) = p (V1 ∩ V2 ) =
16
Le dé ayant, en revanche, deux faces rouges, on a : p ( R1 ) = p ( R2 ) =
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1
.
2
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2
⎛1⎞ 1
D’où : p ( R1 ∩ R2 ) = p ( R1 ) × p ( R2 ) = ⎜ ⎟ = .
4
⎝2⎠
Finalement :
p ( F ) = p (V1 ∩ V2 ) + p ( B1 ∩ B2 ) + p ( R1 ∩ R2 ) =
p(F ) =
1 1 1 1 1 3
+ + = + =
16 16 4 8 4 8
3
8
En tenant compte de E ⊂ F , il vient :
1
p ( E ∩ F ) p ( E ) 16 1 8
1
1
pF ( E ) =
=
=
= × =
=
p(F )
p ( F ) 3 16 3 2 × 3 6
8
pF ( E ) =
p( E) =
1
6
3
1
1
, p ( F ) = et pF ( E ) = .
8
6
16
Æ Question 2.
La partie décrite à la question précédente correspond à une expérience de Bernoulli de
3
paramètre p = p ( F ) = (dans la mesure où on s’intéresse plus spécifiquement, dans cette
8
seconde question, à l’événement F, événement génériquement baptisé « SUCCES »).
Puisqu’on effectue ici dix parties identiques et indépendantes, la loi de la variable aléatoire X
donnant le nombre de « SUCCES » obtenus (c'est-à-dire le nombre de fois où l’événement F a
3
été réalisé), est la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = .
8
On cherche ici p ( X ≥ 2 ) :
p ( X ≥ 2 ) = 1 − p ( X = 0 ou X = 1) = 1 − ⎡⎣ p ( X = 0 ) + p ( X = 1) ⎤⎦
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On a classiquement :
⎛ 10 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎛5⎞
⎛5⎞
p ( X = 0 ) = ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ × ⎜ 1 − ⎟ = 1× 1× ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝8⎠
⎝8⎠
⎝ 0 ⎠ ⎝8⎠ ⎝ 8⎠
0
10
10
10
Et :
⎛10 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
3 ⎛ 5 ⎞ 15 ⎛ 5 ⎞
p ( X = 1) = ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ × ⎜1 − ⎟ = 10 × × ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
8 ⎝8⎠
4 ⎝8⎠
⎝ 1 ⎠ ⎝8⎠ ⎝ 8⎠
1
9
9
9
Il vient alors :
p ( X ≥ 2 ) = 1 − ⎡⎣ p ( X = 0 ) + p ( X = 1) ⎤⎦
⎛ ⎛ 5 ⎞10 15 ⎛ 5 ⎞9 ⎞
= 1− ⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟
⎜⎝ 8 ⎠
4 ⎝ 8 ⎠ ⎟⎠
⎝
9
⎛ ⎛ 5 ⎞10
5⎛5⎞ ⎞
= 1− ⎜ ⎜ ⎟ + 6 ⎜ ⎟ ⎟
⎜⎝ 8 ⎠
8 ⎝ 8 ⎠ ⎟⎠
⎝
10
⎛5⎞
= 1 − ⎜ ⎟ × (1 + 6 )
⎝8⎠
10
⎛5⎞
= 1− 7 × ⎜ ⎟
⎝8⎠
0,936
La probabilité d’obtenir au moins deux fois l’événement F au cours des dix parties
10
⎛ 5⎞
est égale à 1 − 7 × ⎜ ⎟ , soit environ 0,936 à 10−3 près.
⎝ 8⎠
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Partie B
Dans un premier temps, nous pouvons calculer les fréquences Fi :
F1 =
30
5
48
4
46 23
32
8
=
, F2 =
= , F3 =
=
et F4 =
=
156 26
156 13
156 78
156 39
2
Nous pouvons alors calculer d obs
.
2
d
2
obs
2
2
⎛ 5 1 ⎞ ⎛ 4 1 ⎞ ⎛ 23 1 ⎞ ⎛ 8 1 ⎞
= ⎜ − ⎟ +⎜ − ⎟ +⎜ − ⎟ +⎜ − ⎟
⎝ 26 4 ⎠ ⎝ 13 4 ⎠ ⎝ 78 4 ⎠ ⎝ 39 4 ⎠
2
⎛ 5 × 6 − 39 ⎞ ⎛ 4 ×12 − 39 ⎞ ⎛ 2 × 23 − 39 ⎞ ⎛ 8 × 4 − 39 ⎞
=⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟
⎝ 156 ⎠ ⎝ 156 ⎠ ⎝ 156
⎠ ⎝ 156 ⎠
1 ⎡
2
2
=
−9 ) + 92 + 7 2 + ( −7 ) ⎤
2 ⎣(
⎦
156
2
2
2
2
2
( 81 + 49 )
1562
2 ×130
=
1562
65
= 2
78
65
=
6084
=
2
=
On a : d obs
65
0, 010 7 à 10−4 près.
6084
Or, l’énoncé précise que le 9ème décile, que nous notons classiquement D9 , de la série
statistique des 1000 valeurs de d 2 est égal à 0,009 8. Pour un dé parfaitement équilibré, au
moins 90% des valeurs de d 2 sont donc inférieures ou égales à 0,009 8.
2
> D9 .
Or, ici on a : d obs
On va donc rejeter l’hypothèse « le dé est bien équilibré » avec un risque d’erreur de 10%.
Au vu de l’expérience réalisée et au risque de 10%,
nous ne considérons pas le dé comme parfaitement équilibré.
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