séquence 4

96Séquence 4
SÉQUENCE 4
CALCUL LITTÉRAL
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4
1)
3
e
1)
On remplace x par 1 dans l’expression x2 – 2x + 1.
On obtient : 12 – 2× 1 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0.
2
1
0
2)
x2 – 6
x2 + x – 6
x2 – 5x + 6
x2 – 5x – 6
2)
L’expression (x + 3)(x – 2) est un produit de deux facteurs :
x + 3 et x – 2.
Elle est sous la forme d’un produit : on dit qu’elle est sous forme
factorisée.
On cherche à la développer, c’est-à-dire à l’exprimer sous la
forme d’une somme.
Pour cela, on utilise la double distributivité :
(x + 3)(x – 2) = x × x – x × 2 + 3 × x – 3 × 2
(x + 3)(x – 2) = x2 – 2x + 3x – 6 = x2 + x – 6
3(y + 5)
3)
Le produit considéré a deux facteurs : 3 et y + 5.
Attention : si on écrit 3 × y + 5 , on écrit la somme de 3y et de 5.
Il ne faut pas oublier les parenthèses !
3y + 5
Le produit considéré est donc : 3 (y + 5).
3)
3 + 5y
3 (y + 5) = 3y + 3× 5 = 3y + 15
3y + 15
4)
4)
L’expression proposée est une somme de deux termes :
8y2 et 3y
8(y + 3)
3(y + 8)
On cherche un facteur commun à ces deux termes.
y est un facteur commun à ces deux termes :
8 y× y + 3y
y(8y + 3)
8y2 + 3y = y(8y + 3)
11y
96
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Séquence97
4
EXERCICE 1
● Je calcule le volume Vcylindre en cm3 du cylindre :
Le volume d’un cylindre est le produit de l’aire de sa base par sa
hauteur.
Vcylindre = Abase × 20 = π × 22 × 20 = 4 π × 20
soit Vcylindre = 80 π cm3.
● La base est un disque de 2 cm de rayon.
● La hauteur est 20 cm.
● Je calcule le volume Vcône en cm3 du cône :
Vcône = Abase × h
3
où h est la hauteur du cône, soit 30 cm.
L’arrondi au dixième du volume en cm3 de ce cylindre est
251,3 cm3.
Cet arrondi n’était pas demandé.
Le volume d’un cône est le produit de l’aire de sa base par sa
hauteur divisé par 3.
● L’aire de la base en cm2 est 4 π.
● La hauteur est 30 cm.
L’aire de la base du cône est égale à celle du cylindre,
soit 4π cm2.
Vcône = 4π × 30 soit Vcône = 40 π cm3.
L’arrondi au dixième du volume de ce cône en cm3 est 125,7 cm3.
3
Cet arrondi n’était pas demandé.
● Je calcule le volume V total en cm3 du solide :
V = Vcône + Vcylindre = 40 π + 80 π = 120 π.
Le volume total est 120 π cm3
soit environ 376,991 cm3 (arrondi au mm3).
Le volume du solide est donc inférieur à 377 cm3.
Pauline a raison.
Pour exprimer simplement le volume total du solide, on factorise
par π :
● l’expression 40 π + 80 π est une somme de deux termes,
● π est un facteur commun à ces deux termes.
40 π + 80 π = (40 + 80) π = 120 π.
Attention : pour répondre à la question posée dans cet exercice, il
est important de déterminer le volume exact du solide (120 π).
Il faut pour cela travailler avec une lettre (la lettre π) : cela
s’appelle faire du calcul littéral.
Si on n’avait pas fait ce travail avec des expressions littérales, et
que nous ayons ajouté des valeurs approchées au dixième de cm3
on aurait pu écrire :
251,3 cm3 + 125,7 cm3 = 377 cm3
On aurait pu alors écrire qu’Andry avait raison, mais nous nous
serions trompés !
C’est pour cela que l’on travaille avec des valeurs exactes.
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–
97
98Séquence 4
EXERCICE 2
1) Le problème ne paraît pas facile. Je ne sais pas !
2)
● Pour x = 0 :
(– x + 3)(2x – 5) = 3 × (–5) = –15
–2 x2 + 11x – 15 = –2 × 02 + 11 × 0 – 15 = – 15
Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas
résoudre le problème.
1) Quand on reste bloqué devant ce type de problème, il faut
essayer de chercher de plusieurs façons :
On peut commencer par faire des tests avec différentes valeurs.
On peut également penser à utiliser le tableur, …
Il y a en fait de nombreuses pistes à explorer.
Plutôt que d’écrire « Le problème ne parait pas facile. Je ne sais
pas », il vaut mieux décrire les tentatives de résolution avec des
valeurs, le tableur, etc.
2)
Pour la valeur 0, les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont égaux.
● Pour x = 2 :
(– x + 3)(2x – 5) = (– 2 + 3)(2 × 2 – 5) = 1 × (–1)
(– x + 3)(2x – 5) = – 1
–2 x2 + 11x – 15 = –2 × 22 + 11 × 2 – 15
–2 x2 + 11x – 15 = – 8 + 22 – 15 = – 1
Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas
résoudre le problème.
● Pour x =
Pour la valeur 2, les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont encore égaux.
1
:
3
 1
 1

(– x + 3)(2x – 5) =  − + 3  2 × − 5 
3
 3


 1 9  2 15  8 −13
(– x + 3)(2x – 5) =  − +  −  = ×
 3 3  3 3  3 3
104
(– x + 3)(2x – 5) = −
9
2
1
1
–2 x2 + 11x – 15 = −2 ×   + 11 × − 15
3
3
1
11
–2 x2 + 11x – 15 = −2 × + − 15
9 3
–2 x2 + 11x – 15 =
104
−2 33 15 × 9
+ −
=−
9
9
9
9
Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas
résoudre le problème.
98
1
, les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
3
2
–2 x + 11x – 15 sont encore égaux.
Pour la valeur
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Séquence99
4
● À l’aide d’un tableur
On a écrit dans la cellule B2 la formule suivante :
« =(–A2+3)*(2*A2–5) »
On a écrit dans la cellule C2 la formule suivante :
« =–2*A2*A2+11*A2–15 »
Pour n’importe quelle valeur rentrée dans A2, les cellules B2 et
C2 afficheront alors les deux nombres voulus.
Si tu n’arrives pas à utiliser le tableur dans cet exercice, ouvre le
fichier d’animation sequence4exercice2corrigé.
On remarque que pour de nombreuses valeurs (ici par exemple les
entiers de 0 à 16), les deux nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont encore égaux.
On peut essayer avec de nombreux décimaux, on trouve encore
que les nombres (– x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont égaux.
● Voici ma conjecture : « les nombres :
(–x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont égaux ».
Quand on écrit que les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont égaux, on sous-entend que ces nombres
sont égaux pour n’importe quelle valeur de x.
Ce n’est qu’une conjecture. Il va falloir essayer de la démontrer.
3)
(– x + 3)(2x – 5) = –x × 2x + x × 5 + 3 × 2x – 3 × 5
(– x + 3)(2x – 5) = –2x2 + 5x + 6x – 15
(– x + 3)(2x – 5) = –2x2 + 11x – 15
3)
On développe (– x + 3)(2x – 5) et on obtient : – 2 x2 + 11x – 15.
les nombres : (–x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15
sont donc égaux (sous entendu : pour n’importe quelle Cela prouve bien que ces deux nombres sont égaux, c’est-à-dire
qu’ils sont égaux pour n’importe quelle valeur de x.
valeur de x).
On ne peut donc pas trouver une valeur de x pour
laquelle les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
– 2x2 + 11x – 15 sont différents.
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99
100
Séquence 4
EXERCICE 3
a)
a)
● Les expressions ci-dessous sont développées :
B = x2 + 3
E = 3u + (u+1)
● Les expressions ci-dessous sont factorisées :
A = (z + 2)(3 – z)
C = (x + 3)2
D = u(u + 1)
F = (z + 5)(1 + 3z2)
b)
A = (z + 2)(3 – z) = z × 3 – z × z + 2 × 3 – 2 × z
A = 3 z – z2 + 6 – 2 z
A = – z2 + z + 6
C = (x + 3)2 = (x + 3) (x + 3)
C=x×x+x×3+3×x+3×3
C = x2 + 3x + 3x + 9
C = x2 + 6 x + 9
B est la somme des deux termes : x2 et 3.
E est la somme des deux termes : 3u et u + 1.
A est le produit des deux facteurs : z + 2 et 3 – z.
C est le produit des deux facteurs égaux : (x + 3) et (x + 3)
D est le produit des deux facteurs : u et (u + 1)
F est le produit des deux facteurs : (z + 5) et (1 + 3z2)
b)
Lorsque l’on regroupe les termes en z2, les termes en z, et les
nombres, on dit que l’on réduit l’expression.
On écrit généralement une expression dans l’ordre des puissances
décroissantes : A = – z2 + z + 6
(plutôt que, par exemple : A = 6 – z2 + z)
On pense à réduire l’expression C (ici, on peut).
D = u(u + 1) = u × u + u × 1
D = u2 + u
F = (z + 5)(1 + 3z2)
F = z × 1 + z × 3 z2 + 5 × 1 + 5 × 3 z2
F = z + 3 z3 + 5 + 15 z2
F = 3 z3 + 15 z2 + z + 5
On pense à réduire l’expression F (ici, on ne peut pas).
EXERCICE 4
A = 3u + 7u = (3 + 7) u = 10 u
B=v+
2 2
v =
7
2 

v1 + v 
7 

C = 7l + 14 = 7(l + 2)
B=v×1+v×
2
2 

v = v 1 + v
7
7


C = 7 × l + 7 × 2= 7 (l + 2)
D = (x + 1)(x + 6) – (x + 1)( –8 + 3x)
D = ( x + 1) ( x + 6 − ( −8 + 3x ) )
L’expression D est la plus difficile à factoriser.
D est la différence des deux termes :
(x + 1)(x+6)
et
(x+1)(–8 +3x)
D = ( x + 1)( x + 6 + 8 − 3 x ) = ( x + 1) ( −2 x + 14 )
(x + 1) est un facteur commun à ses deux termes.
(x + 1)(x+6) – (x+1)(–8 +3x) = (x + 1)(x + 6 – (–8 +3x))
Il ne faut pas oublier les parenthèses autour de – 8 + 3x !
En effet, on soustrait le nombre –8 + 3x à x + 6, et pas seulement
le nombre (–8).
100
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101
Séquence
4
Séance 2
EXERCICE 5
PARTIE 1
1)
Je calcule l’aire de la surface dorée pour x = 0.
Cette surface est un disque de rayon 1 cm.
Son aire est donc : π r2 = π × 12 soit π cm2.
On ne trouve pas 0, l’aire de la surface dorée n’est
donc pas proportionnelle au rayon de la partie
argentée.
2)
1er cas
Apiece = π (1 + 0,5)2 = π ×1,52 = 2,25 π
Aargent = π × 0,52 = 0,25 π
Adorée = 2,25 π – 0,25 π soit : Adorée = 2 π cm2.
1)
Ce qui est écrit est juste.
Si deux grandeurs sont proportionnelles, quand l’une est nulle,
l’autre l’est aussi.
Ce n’est pas le cas ici : les deux grandeurs ne sont donc pas
proportionnelles.
On pouvait également remarquer que les grandeurs ne sont pas
proportionnelles de bien d’autres façons, nous allons le voir par
la suite.
2)
Pour calculer l’aire de la surface dorée, on effectue la différence :
aire du grand disque – aire du petit disque.
L’aire en cm2 d’un disque de rayon r cm est πr2.
2ème cas
Apiece = π (1 + 1)2 = π × 22 = 4 π
Aargent = π × 12 = π
Adorée = 4 π – π soit : Adorée = 3 π cm2.
Si on double le rayon de la partie argentée (en passant
de 0,5 cm à 1 cm), l’aire de la surface dorée ne double
pas (elle n’est pas égale à 2 × 2 π cm2 soit 4 π cm2).
L’aire de la surface dorée n’est donc pas
proportionnelle au rayon de la partie argentée.
On vient de voir une deuxième façon de prouver que l’aire de la
surface dorée n’est pas proportionnelle au rayon de la partie
argentée.
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101
102
Séquence 4
PARTIE 2
1)
Je ne sais pas.
1)
Il ne faut pas répondre de cette façon à ce type de question. Il faut
écrire les pistes de recherches (même si cela n’a abouti à rien).
Par exemple :
J’ai essayé de représenter d’autres pièces et de refaire le calcul
de l’aire de la surface dorée dans chaque cas.
J’ai essayé pour un rayon de 2 cm, 3 cm, 4 cm, mais je n’ai pas
trouvé 4π cm2.
2)
a)
a)
Je cherche à déplacer le point A afin d’obtenir une
aire dorée égale à 4 π cm2, c’est-à-dire environ égale à
12,57 cm2.
La géométrie dynamique permet d’établir une conjecture :
« si AB = 1,5 cm l’aire dorée est 4π cm2.
Il semble que si AB = 1,5 cm, l’aire dorée soit
environ égale à 4 π cm2.
b)
b)
Apiece est l’aire de la pièce en cm2.
Apiece = π (1 + x)2
La pièce est un disque de rayon 1 + x.
L’aire d’un disque de rayon 1 + x est π (1 + x)2.
(1 + x)2 = (1 + x)(1 + x) = 1 × 1 + 1 × x + x × 1 + x × x On développe (1 + x)2 à l’aide de la formule de double
(1 + x)2 = 1 + x + x + x2 = x2 + 2x + 1
distributivité.
Apiece = π (x2 + 2x + 1)
Aargent est l’aire de la partie argentée de la pièce
en cm2. Aargent = π x 2
A = Apiece – Aargent
A = π × (x2 + 2x + 1) – π × x 2
A = π × (x2 + 2x + 1 – x 2)
A = π (2x + 1)
102
La partie argentée est un disque de rayon x.
Les termes en x2 s’éliminent.
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103
Séquence
4
c)
● Je résous le problème en résolvant une équation.
On a vu dans la question 2c) que l’aire de la partie
dorée est π (2x + 1).
c)
Répondre au problème, c’est résoudre l’équation :
π(2 x + 1) = 4π
Pour déterminer toutes les solutions du problème (s’il y en a
plusieurs), on résout l’équation : π (2x + 1) = 4π.
On peut rapidement voir que si x = 1,5 on a :
π (2x + 1) = 4π
On en déduit donc une solution du problème.
π(2 x + 1) = 4π
π(2 x + 1) 4π
=
π
π
2x + 1 = 4
2x = 3
3
2
x = 1,5
x=
Le problème n’a qu’une solution. La valeur de x pour
laquelle l’aire de la surface dorée est égale à
4 π cm2 est 1,5 cm.
● Je résous le problème à l’aide de la méthode
graphique.
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
A
3,1
6,3
9,4
12,6
15,7
18,9
Pour x = 1,5 on obtient :
A = π (2×1,5 + 1) = 4 π
Existe-t-il d’autres valeurs de x pour lesquelles l’aire
de la surface dorée est égale à 4 π cm2 ?
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103
104
Séquence 4
D’après le graphique, il semble qu’il n’y ait aucune autre valeur que 1,5 cm pour laquelle A est environ
égale à 12,6 cm2.
Les commentaires du professeur :
Les points semblent alignés, mais pas avec l’origine. Les grandeurs x et A ne sont pas proportionnelles car les points ne sont pas
alignés avec l’origine du repère. On retrouve à l’aide de ce graphique la réponse au problème de la partie 1.
104
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105
Séquence
4
Séance 3
EXERCICE 6
1) J’ai calculé les deux expressions pour une 1ère
valeur de x. J’ai trouvé le même nombre.
J’ai calculé les deux expressions pour une 2ème valeur
de x et j’ai à nouveau trouvé le même nombre.
J’ai l’impression que les deux nombres sont égaux
pour n’importe quelle valeur de x mais je ne sais pas
comment le démontrer.
2)
● Pour x = 0
(x + 4)2 = (0 + 4)2 = 42 = 16
x2 + 8x + 16 = 02 + 8×0 + 16 = 16
1)
Il est déjà bon d’avoir trouvé une conjecture.
Comment la démontrer ? Peut-on développer (x + 4)2 ?
2)
On calcule (x + 4)2 et x2 + 8x + 16 pour différentes valeurs de x.
● Pour x = 1
(x + 4)2 = (1 + 4)2 = 52 = 25
x2 + 8x + 16 = 12 + 8×1 + 16 = 1 + 8 + 16 = 25
● Pour x = 2
(x + 4)2 = (2 + 4)2 = 62 = 36
x2 + 8x + 16 = 22 + 8×2 + 16 = 4 + 16 + 16 = 36
A chaque fois, on obtient des nombres (x + 4)2 et x2 + 8x + 16
égaux.
● Voici ce que j’obtiens à l’aide d’un tableur :
On teste un très grand nombre de valeurs à l’aide d’un tableur.
On peut aussi tester un grand nombre de valeurs décimales non
entières, comme 4,56 ou 7,8 998. On trouve à chaque fois deux
nombres égaux.
● Voici ma conjecture : « les deux nombres (x + 4)2
et x2 + 8x + 16 sont égaux pour n’importe quelle
valeur de x. »
3)
(x + 4)2 = (x + 4)( x + 4)
(x + 4)2 = x × x + x × 4 + + 4 × x + 4 × 4
(x + 4)2 = x2 + 4x + 4x + 16
(x + 4)2 = x2 + 8x + 16
Les deux nombres (x + 4)2 et x2 + 8x + 16 sont
égaux pour n’importe quelle valeur de x.
3)
On développe et on réduit (x + 4)2.
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105
106
Séquence 4
EXERCICE 7
A = (x + 3)2
A = x 2 + 2 × x × 3 + 32
A = x2 + 6x + 9
On applique la 1ère identité remarquable.
B = (2u + 5)2
B = (2u)2 + 2 × 2u × 5 + 52
B = 4u2 + 20u + 25
On applique la 1ère identité remarquable.
C = (3v + 2)2
C = (3v)2 + 2 × 3v × 2 + 22
C = 9v2 + 12v + 4
On applique la 1ère identité remarquable.
D = (z + 1)2
D = z 2 + 2 × z × 1 + 12
D = z 2 + 2 z + 12
On applique la 1ère identité remarquable.
EXERCICE 8
1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 × 100 × 1 + 12
1012 = 10 000 + 200 + 1
1012 = 10 201.
EXERCICE 9
Il suffisait de se dire : 101, c’est 100 plus 1
puis d’appliquer la 1ère identité remarquable.
On applique la 1ère identité remarquable dans les quatre cas.
2
E = (5y + 3)
E = (5y)2 + 2 × 5y × 3 + 32
E = 25y2 + 30y + 9
F = (2 + 3z)2
F = 22 + 2 × 2 × 3z + (3z)2
F = 4 + 12z + 9z2
F = 9z2 + 12z + 4
1

G =  8x + 
4

2
1 1
G = (8 x) + 2 × 8 x × +  
4 4
1
G = 64 x 2 + 4 x +
16
La 1ère égalité remarquable s’applique également avec des
fractions.
2
2
1

H =  + 7t 
3

2
2
1
1
H =   + 2 × × 7t + (7t )2
3
3
 
1 14
H = + t + 49t 2
9 3
14 1
H = 49t 2 + t +
3
9
106
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107
Séquence
4
EXERCICE 10
1)
1)
J’ai fait de nombreux essais à l’aide d’un tableur.
Ma conjecture est la suivante : « le carré d’un nombre
impair est un nombre impair ».
Pour faire des démonstrations dans ce genre de cas, il faut penser
Je ne sais pas comment la démontrer !
au calcul littéral !
2)
12 = 1
32 = 9
52 = 25
72 = 49
2)
Le carré d’un nombre impair semble être toujours impair.
Cette idée se confirme en voyant le calcul des carrés des 24
premiers nombres impairs ci-contre (de 1 à 47).
Il semble que le carré d’un nombre impair soit un nombre impair.
Voici ma conjecture :
« le carré d’un nombre impair est impair ».
3)
(2n + 1)2 = (2n)2 + 2×2n×1 + 12 = 4n2 + 4n + 1
(2n + 1)2 = 2 × (2n2 + 2n) + 1
3)
On développe (2n + 1)2 à l’aide de la 1ère identité remarquable.
Comme n est un entier, 2n2 + 2n est un entier.
(2n + 1)2 est donc de la forme :
2 × « entier » + 1
2 × « entier » est un nombre pair.
2 × « entier » + 1, c’est-à-dire l’entier que le suit, est
donc impair.
Le carré d’un nombre impair est donc un nombre
impair.
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107
108
Séquence 4
Séance 4
EXERCICE 11
1)
1)
La méthode qui consiste à « faire des tests » en construisant
différentes figures est bonne.
On cherche à construire un triangle rectangle dont un côté de
l’angle droit mesure 4 cm et l’autre mesure 3 cm de moins que
l’hypoténuse.
● 1er cas :
On construit donc un triangle dont un côté de l’angle droit mesure
4 cm, et un autre côté de mesure choisie.
Je mesure l’hypoténuse. Je trouve environ 4,5 cm.
4,5 – 2 = 2,5. Je ne trouve pas 3 cm.
●2
ème
cas :
On construit ensuite l’hypoténuse que l’on mesure.
On regarde alors si le dernier côté de l’angle droit tracé mesure
3 cm de moins que l’hypoténuse, c’est-à-dire si la différence entre
la longueur de l’hypoténuse et celle de ce côté est égale à 3 cm.
Je mesure l’hypoténuse. Je trouve environ 4,1 cm.
4,1 – 1 = 3,1. Je ne trouve pas 3 cm
● 3ème cas :
Je mesure l’hypoténuse. Je trouve environ 4,3 cm.
4,3 – 1,5 = 2,8. Je ne trouve pas 3 cm
Voici ma conjecture : « Il n’existe pas de triangle
rectangle répondant au problème ».
Je n’arrive pas à la démontrer !
2)
a)
Voir ce qui a été fait ci-dessus. Voici ci-dessous un
autre cas :
Dans chacun des trois cas, on n’a pas trouvé une différence égale
à 3 cm.
On est donc tenté de dire que le problème n’a pas de réponse.
C’est faux ! La conjecture écrite ci-contre est donc fausse.
Il faut donc faire attention et ne pas hésiter à faire un grand
nombre de tests.
Pour cela, l’idéal est la géométrie dynamique.
2)
a)
En testant d’autre cas, on peut penser que si le 2ème côté de
l’angle droit mesure 1,1 cm, on trouve bien 3 cm de différence
entre l’hypoténuse et ce côté.
Je mesure l’hypoténuse. Je trouve environ 4,1 cm.
4,1 – 1,1 = 3. Je trouve environ 3 cm.
Voici ma conjecture : « Il existe au moins un triangle
rectangle répondant au problème. Les côtés adjacents
à l’angle droit mesurent 4 cm pour l’un et environ 1,1
cm pour l’autre ».
108
Si on fait le calcul, on peut voir que si l’on choisit exactement
1,1 cm, le triangle ne répond pas au problème.
En effet, le triangle étant rectangle, d’après la propriété de
Pythagore, le carré de l’hypoténuse est égal à : 42 + 1,12
soit 17,21.
L’hypoténuse mesure donc environ 4,15 cm et non 4,1 cm comme
mesuré.
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109
Séquence
4
b)
b)
La géométrie dynamique confirme ce que nous avons vu
précédemment : il semble qu’il y ait un seul triangle rectangle
répondant au problème.
Les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 4 cm pour l’un et
environ 1,17 cm pour l’autre.
Il semble qu’il existe un triangle répondant au
problème. Le côté [AC] mesure environ 1,17 cm.
3)
a)
BC2 = x2
AC2 = (x – 3)2
3)
a)
b)
On a vu en classe de 4e, d’après la propriété de
Pythagore et sa réciproque, que le triangle ABC était
rectangle seulement dans le cas où :
BC2 = AC2 + AB2
c’est-à-dire :
On va donc chercher à résoudre l’équation : x2 = (x – 3)2 + 42
x2 = (x – 3)2 + 42
c)
Je résous l’équation :
[AC] mesure 3 cm de moins que l’hypoténuse. D’où : AC = x – 3
On a donc : AC2 = (x – 3)2
b)
c)
2
2
x = (x – 3) + 4
2
x 2 = ( x − 3) 2 + 42
x 2 = ( x − 3)( x − 3) + 16
Je développe (x – 3)2
x 2 = x × x − 3 × x − 3 × x + 3 × 3 + 16
x 2 = x 2 − 6 x + 9 + 16
x 2 = x 2 − 6 x + 25
x 2 − x 2 + 6 x − 25 = 0
6 x = 25
x=
Les termes en x2 se simplifient.
25
6
x est donc environ égale à 4,167 cm (arrondi à 10–3 près)
25
25 18 7
x–3=
−3=
− =
6
6
6 6
Il existe un seul triangle répondant au problème.
Ses côtés ont pour longueur :
25
7
4 cm ;
cm ;
cm.
6
6
L’hypoténuse mesure donc environ 4,167 cm.
Le deuxième côté adjacent à l’angle droit mesure environ
1,167 cm.
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109
110
Séquence 4
Séance 5
EXERCICE 12
( x − y )2 = ( x + (− y ) ) = x 2 + 2 × x × (− y) + (− y ) 2
2
( x − y ) = x − 2 xy + (− y ) × (− y )
2
2
( x − y )2 = x 2 − 2 xy + y 2
Cette première méthode consiste à écrire :
(x – y)2 = (x + (– y))2 puis à utiliser la 1ère identité remarquable.
On pouvait également procéder de la façon suivante :
(x – y)2 = (x – y)(x – y) = x × x – x × y – y × x + y × y
(x – y)2 = x2 – xy – yx + y2
(x – y)2 = x2 – xy – xy + y2 = x2 – 2xy + y2
Cette égalité est appelée 2ème identité remarquable.
EXERCICE 13
A = (u – 5)2
A = u2 – 2 × u × 5 + 5 2
A = u2 – 10u + 25
On applique la 2ème identité remarquable.
B = (7 – v)2
B = 72 – 2 × 7 × v + v2
B = 49 – 14v + v2
B = v2 – 14v + 49
On applique la 2ème identité remarquable.
C = (3s – 4)2
C = (3s)2 – 2 × 3s × 4 + 42
C = 9s2 – 24s + 16
On applique la 2ème identité remarquable.
D = (s – 1)2 + (s + 1)2
D = s2 – 2 × s × 1 + 12 + s2 + 2 × s × 1 + 12
D = s 2 – 2s + 1 + s 2 + 2s + 1
D = 2s 2 + 2
EXERCICE 14
992 = (100 – 1)2
992 = 1002 – 2 × 100 × 1 + 12
992 = 10 000 – 200 + 1
992 = 9 801
On applique la 2ème identité remarquable pour développer (s – 1)2
et la 1ère identité remarquable pour développer (s + 1)2.
Il fallait se dire : « 99 c’est 100 – 1 »
puis penser à utiliser la 2ème identité remarquable.
EXERCICE 15
1)
1)
J’ai calculé (x – 1)(x + 1) pour différentes valeurs de
x.
Voici ma conjecture : « (x – 1)(x + 1) est toujours
supérieur ou égal à – 1 ».
Le début de réponse proposé ci-contre est très correct.
Il aurait fallu toutefois écrire les calculs de (x – 1)(x + 1) pour
différentes valeurs de x.
(x – 1)(x + 1) = x × x + x × 1 – x × 1 – 1 × 1
(x – 1)(x + 1) = x2 + x – x – 1
(x – 1)(x + 1) = x2 – 1
Le développement de (x – 1)(x + 1) est juste.
Je n’arrive pas à conclure.
Il reste à étudier si x2 – 1 est bien supérieur ou égal à – 1.
110
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111
Séquence
4
2)
2)
Je calcule (x – 1)(x + 1) pour différentes valeurs de x :
● pour x = –1
(x – 1)(x + 1) = (– 2)×0 = 0
● pour x = 0
(x – 1)(x + 1) = (– 1)×1 = – 1
On a calculé ci-contre (x – 1)(x + 1) pour quatre valeurs
différentes de x.
● pour x = 1
(x – 1)(x + 1) = 0 × 2 = 0
● pour x = 2
(x – 1)(x + 1) = 1 × 3 = 3
Sur ces exemples, je n’ai jamais trouvé moins de – 1.
Je calcule (x – 1)(x + 1) pour différentes valeurs de x à
l’aide d’un tableur :
On pouvait également tester des valeurs décimales non entières :
– 2,478 ; 10,002 345.
On trouve à chaque fois un nombre (x – 1)(x + 1) plus grand ou
égal à – 1.
(x – 1)(x + 1) semble être égal à – 1 uniquement quand x est égal
à 0.
Il semble que l’on ne puisse jamais obtenir moins de
– 1.
Voici ma conjecture : « le nombre (x – 1)(x + 1) ne
peut pas être inférieur à – 1 ».
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111
112
Séquence 4
3)
a)
(x – 1)(x + 1) = x × x + x × 1 – x × 1 – 1 × 1
(x – 1)(x + 1) = x2 + x – x – 1
(x – 1)(x + 1) = x2 – 1
b)
Un « nombre x au carré » est toujours positif ou nul.
Ainsi, quel que soit le nombre x : x2 ≥ 0.
3)
a)
Les termes en x s’éliminent.
b)
x2 ≥ 0 donc : x2 – 1 ≥ 0 – 1 soit : x2 – 1 ≥ – 1
Un « nombre au carré » moins 1 est supérieur ou égal
à – 1.
c)
(x – 1)(x + 1) = x2 – 1
(x – 1)(x + 1) est donc toujours plus grand ou égal à
– 1.
c)
Bilan de l’exercice : On a réussi à résoudre un problème en
utilisant l’égalité : (x – 1)(x + 1) = x2 – 1
EXERCICE 16
(x + y)(x – y) = x × x – x × y + y × x – y × y
(x + y)(x – y) = x2 – xy + yx – y2
(x + y)(x – y) = x2 – xy + xy – y2
(x + y)(x – y) = x2 – y2
Les termes en xy s’éliminent.
Nous appellerons cette égalité la 3ème identité remarquable.
EXERCICE 17
98 × 102 = (100 – 2)(100 + 2)
98 × 102 = 1002 – 22
98 × 102 = 10 000 – 4
98 × 102 = 9 996
112
Il suffisait de voir que 98 = 100 – 2 et 102 = 100 + 2.
On pouvait aussi calculer le produit 98 × 102 de la façon
suivante : 98 × 102 = 98 × (100 + 2).
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113
Séquence
4
Séance 6
EXERCICE 18
périmètre en cm du carré ABCD
Le côté de ce carré est : x + 2.
Le périmètre est donc : 4(x + 2)
1)
On calcule le périmètre du carré ABCD en fonction de x.
Le périmètre d’un carré est quatre fois son côté.
On n’oublie pas les parenthèses : c’est 4(x + 2) et non 4x + 2.
périmètre en cm du rectangle KLMN
Deux côtés consécutifs de ce rectangle ont pour
longueur x et 3
Le périmètre est donc : 2(x + 3)
On calcule le périmètre du rectangle KLMN en fonction de x.
Si l et L sont la largeur et la longueur d’un rectangle, son
périmètre est 2 (l + L).
On cherche x tel que : 4(x + 2) = 2(x + 3)
On traduit le problème à l’aide d’une équation.
4( x + 2) = 2( x + 3)
On résout cette équation.
4x + 8 = 2x + 6
4x − 2x = 6 − 8
2 x = −2
x = −1
La seule valeur de x pour laquelle 4(x + 2) est égal à
2(x + 3) est – 1.
Ce nombre ne peut pas être une longueur, le
périmètre du carré ABCD ne peut donc pas être
égal au périmètre du rectangle KLMN.
On conclut.
EXERCICE 19
1
2
1
x + = 3− x
2
5
3
1
1
2
x + x = 3−
2
3
5
13
1 1
 + x =
2
3
5


5
13
x=
6
5
6 13
x= ×
5 5
78
x=
25
On regroupe les nombres qui dépendent de x.
2 15 2 13
=
− =
5 5 5 5
1 1 3 2 5
+ = + =
2 3 6 6 6
3−
On factorise par x le membre de gauche.
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113
114
Séquence 4
EXERCICE 20
1)
1)
2)
a)
(– 2)2 = (–2) × (– 2) = 4
22 = 4
2)
a)
Il est simple de vérifier que 2 et − 2 sont des solutions de
l’équation : x2 = 4.
– 2 et 2 sont solutions de l’équation : x2 = 4.
b)
Clément cherche à résoudre l’équation : x2 = 4
Il paraît « évident » qu’il n’y ait pas d’autres nombres dont le
carré soit 4, mais saurais-tu le démontrer ?
b)
Nous cherchons le lien entre l’équation : x2 = 4 et l’équation que
Clément souhaite résoudre : (x − 2)(x + 2) = 0.
x2 = 4
x2 − 4 = 0
x 2 − 22 = 0
( x + 2)( x − 2) = 0
c)
●
Si x – 2 = 0 on a :
(x + 2) × (x – 2) = (2 + 2) × (2 – 2) = 4 × 0 = 0
On factorise l’expression x2 − 22 à l’aide de la 3ème identité
remarquable : a2 − b2 = (a + b)(a − b).
Ici, on a : a égal à x b égal à 2.
On trouve : (x + 2)(x − 2).
c)
●
Si x − 2 = 0, alors on a : (x + 2)(x − 2) = 0
Si x + 2 = 0 on a :
(x + 2) × (x – 2) = (– 2 + 2) × (– 2 – 2) = 0 × (– 4) = 0
Si x + 2 = 0, alors on a : (x + 2)(x − 2) = 0
● Le produit de deux nombres différents de 0 semble
ne jamais être égal à 0. Je l’admets.
●
On admettra que le produit de deux nombres différents de 0 est
différent de 0.
Le produit (x + 2)×(x – 2) ne peut donc être égal à 0
que si : x + 2 = 0 ou : x – 2 = 0.
Les deux seules solutions de l’équation :
(x + 2)×(x – 2) = 0 sont donc – 2 et 2.
Les deux seules solutions de l’équation :
x2 = 4 sont donc – 2 et 2.
114
Bilan de l’exercice : On a réussi à résoudre une équation à l’aide
d’une factorisation. Pour factoriser, on a utilisé la 3ème identité
remarquable : a2 – b2 = (a + b)(a – b).
Ensuite, on a vu que pour résoudre une équation du type :
(a + b)(a – b) = 0
on résolvait séparément les équations :
● a+b=0
● a–b=0
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115
Séquence
4
EXERCICE 21
a)
a)
x = 36
2
x − 36 = 0
2
On applique la méthode détaillée dans la rubrique : « Je
comprends la méthode » précédente.
x 2 − 62 = 0
On factorise x2 – 62
( x + 6)( x − 6) = 0
x+6=0
d’où : x = – 6
On résout les équations : x + 6 = 0 et
x–6=0
d’où : x = 6
Je vérifie :
(– 6)2 = 36
62 = 36
Les deux solutions de l’équation : x2 = 36 sont
– 6 et 6.
b)
(2y + 1)(3y – 2) = 0
2y +1 = 0
2 y = −1
y=−
x – 6 = 0.
On vérifie que – 6 et 6 sont solutions de : (x + 6)(x – 6) = 0.
On conclut.
b)
On applique la méthode détaillée dans la rubrique : « Je
comprends la méthode » précédente.
3y − 2 = 0
3y = 2
1
2
y=
2
3
Je vérifie :
1
1
1




2
2
2




2  2
2


●  2 × + 1  3 × − 2  = (2 × + 1) × 0 = 0
3  3
3




●  2 × (− ) + 1 3 × (− ) − 2  = 0 ×  3 × (− ) − 2  = 0
Les deux solutions de l’équation :
2
1
(2y + 1)(3y – 2) = 0 sont − et − .
3
2
c)
1 
 1

 − z + 4  8 − z  = 0
4 
 3

1
1
8− z =0
− z+4=0
3
4
1
1
− z = −4
8= z
3
4
z = 4×8
z = (−3) × (−4)
z = 32
z = 12
Je vérifie :
1
1
 1




●  − × 12 + 4  8 − × 12  = 0 ×  8 − × 12  = 0
4
4
 3




1
 1

  1

●  − × 32 + 4  8 − × 32  =  − × 32 + 4  × 0 = 0
4
 3

  3

c)
On applique la méthode détaillée dans la rubrique : « Je
comprends la méthode » précédente.
12 et 32 sont les solutions de l’équation :
1 
 1

 − 3 z + 4  8 − 4 z  = 0 .



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115
116
Séquence 4
EXERCICE 22
( x − 2) 2 = 9
( x − 2) 2 − 9 = 0
( x − 2) 2 − 32 = 0
On écrit le membre de gauche sous la forme a2 – b2.
On a : ● a égal à (x – 2) ● b égal à 3
On écrit des parenthèses autour de x – 2 puis dans un deuxième
temps, on les enlève en utilisant les règles de suppression des
parenthèses.
( ( x − 2) − 3)( ( x − 2) + 3) = 0
( x − 2 − 3)( x − 2 + 3) = 0
( x − 5)( x + 1) = 0
x−5=0
x=5
On obtient alors une équation produit.
x +1 = 0
x = −1
Je vérifie :
● (5 – 2)2 = 32 = 9
● (– 1 – 2)2 = (– 3)2 = 9
– 1 et 5 sont les solutions de l’équation : (x – 2)2 = 9. On conclut.
116
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117
Séquence
4
Séance 7
EXERCICE 23
1)
1)
J’ai construit différentes figures. J’ai remarqué que si
M était au milieu de [AB], on avait la figure suivante :
Cette réponse est tout à fait correcte !
On pouvait également le voir à l’aide de la géométrie dynamique.
On en reste par contre avec cet outil à une conjecture.
Les carrés AMNO et MBRS ont le même côté
(
AB
2
soit 5 cm).
L’aire de chacun de ces carrés est donc 25 cm2.
La somme des deux aires est égale à 50 cm2.
C’est bien la moitié de 100 cm2, qui est l’aire du
grand carré.
On voit grâce à la géométrie dynamique que cette solution
semble être la seule.
On va dans la suite de l’exercice démontrer que le seul cas pour
lequel la somme des aires du carré AMNO et MBRS est égale à la
moitié de l’aire du carré ABCD est celui où M est au milieu de
[AB].
2)
a)
2)
a)
MB = 10 – x
Attention ! L’aire en cm2 du carré MBRS n’est pas 10 − x2.
● AAMNO = x2
● AMBRS = (10 – x)2
b)
b)
AABCD = 102 = 100
Le carré ABCD est un carré de 10 cm de côté.
c)
La moitié de l’aire en cm2 du carré ABCD est 50.
c)
AAMNO + AMBRS = x2 + (10 – x)2
On calcule la somme des aires des carrés AMNO et MBRS.
On cherche donc x tel que : x2 + (10 – x)2 = 50
On traduit le problème à l’aide d’une équation.
x 2 + (10 − x) 2 = 50
x 2 + 102 − 2 × 10 × x + x 2 = 50
x 2 + 100 − 20 x + x 2 = 50
2 x 2 − 20 x + 50 = 0
1
1
× (2 x 2 − 20 x + 50) = × 0
2
2
2
x − 10 x + 25 = 0
On multiplie par
1
les deux membres de l’équation.
2
On trouve bien l’équation proposée.
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117
118
Séquence 4
3)
a)
– 2 × x × 5 = – 10 x
52 = 25
3)
a)
D’où : x2 – 10x + 25 = x2 – 2 × x × 5 + 52
b)
x2 – 2 × x × 5 + 52 = (x – 5)2
Les deux nombres x2 − 10x + 25 et x2 − 2 × x × 5 + 52
sont égaux.
b)
On utilise la 2ème égalité remarquable :
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
avec :
• a égal à x
• b égal à 5
On trouve : (a − b)2 soit (x − 5)2
D’où : x2 – 10x + 25 = (x – 5)2
c)
L’équation : (x − 5)2 = 0 est une équation produit particulière :
les deux facteurs sont égaux.
c)
2
(x – 5) = 0
(x – 5) × ( x – 5) = 0
x−5=0
x−5=0
x=5
x=5
À l’avenir, on ne sera pas obligé de résoudre deux fois la même
équation comme on l’a fait ci-contre : on peut très bien l’écrire
une seule fois.
Je vérifie : (5 – 5)2 = 02 = 0.
5 est l’unique solution de l’équation : (x – 5)2 = 0.
d)
d)
D’après la question précédente, 5 est l’unique solution
Résoudre le problème, c’est déterminer s’il existe une valeur
de l’équation : (x – 5)2 = 0.
2
D’après la question 2c), 5 est donc l’unique solution
de l’équation : x2 – 10 x + 25 = 0.
5 est donc l’unique solution au problème :
La somme des aires du carré AMNO et du carré
MBRS est égale à la moitié de celle du carré ABCD
uniquement si la longueur AM est de 5 cm.
118
positive de x pour laquelle : x − 10 x + 25 = 0,
C’est-à-dire : (x − 5)2 = 0.
Conclusion :
On vient de voir qu’une identité remarquable pouvait permettre
de résoudre un problème !
En effet, la 2ème identité remarquable nous a permis de factoriser
une expression et d’obtenir alors une équation produit que l’on
sait résoudre !
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119
Séquence
4
EXERCICE 24
a)
a)
9 x 2 − 24 x + 16 = 0
(3 x)2 − 2 × (3 x) × 4 + 42 = 0
On essaie de voir si l’on peut écrire 9x2 − 24x + 16 sous la forme
a2 − 2ab + b2.
9x2 = (3x)2 16 = 42 24x = 2 × (3x) × 4
Oui, on a bien une expression de la forme a2 − 2ab + b2 avec :
a = 3x et b = 4
(3x − 4) 2 = 0
3x − 4 = 0
3x = 4
4
x=
3
b)
b)
On essaie de voir si l’on peut écrire 4y2 + 20y + 25 comme une
expression de la forme a2 + 2ab + b2.
4y2 = (2y)2 25 = 52 20y = 2 × (2y) × 5
Oui, on a bien une expression de la forme a2 + 2ab + b2 avec :
a = 2y et b = 5
4 y 2 + 20 y + 25 = 0
(2 y ) 2 + 2 × (2 y ) × 5 + 52 = 0
(2 y + 5)2 = 0
2y + 5 = 0
2 y = −5
y=−
5
2
c)
c)
4v − 1 = 0
2
On essaie de voir si l’on peut écrire 4v2 − 1 comme une
expression de la forme a2 − b2.
Oui ! On a bien une expression de la forme a2 − b2 avec :
a = 2v et b = 1
(2v) 2 − 12 = 0
(2v − 1)(2v + 1) = 0
2v − 1 = 0
2v = 1
v=
1
2
2v + 1 = 0
2v = −1
v=−
1
2
Je vérifie :
2
1
1
● 4 ×   −1 = 4 × −1 = 0
4
2
2
1
 1
● 4 ×  −  −1 = 4 × −1 = 0
4
 2
Les solutions de l’équation : 4v2 – 1 = 0
1
1
− et .
2
2
sont
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119
120
Séquence 4
EXERCICE 25
a)
a)
25 x 2 − 20 x + 4 = 0
(5 x) − 2 × (5 x) × 2 + 2 = 0
2
2
(5 x − 2)2 = 0
5x − 2 = 0
On applique le « Je comprends la méthode » précédent afin de
factoriser le membre de gauche.
On obtient alors une équation produit.
5x = 2
2
x=
5
b)
● Je vérifie :
2
4 40
2
2
25 ×   − 20 ×   + 4 = 25 × −
+ 4 = 4 −8+ 4 = 0
5
5
25
5
 
 
2
est la seule solution de l’équation : 25 x 2 − 20 x + 4 = 0 .
5
Cette question ressemble à la précédente : il y a juste un « − » au
lieu d’un « + » devant le « double produit ».
b)
25 x 2 + 20 x + 4 = 0
(5 x) 2 + 2 × (5 x) × 2 + 22 = 0
(5 x + 2)2 = 0
5x + 2 = 0
5 x = −2
2
x=−
5
● Je vérifie :
2
4 40
 2
 2
25 ×  −  + 20 ×  −  + 4 = 25 × −
+ 4 = 4−8+ 4 = 0
25 5
 5
 5
2
− est la seule solution de l’équation : 25 x 2 + 20 x + 4 = 0 .
5
EXERCICE 26
120
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121
Séquence
4
EXERCICE 27
a)
a)
x + 8 x + 16 = 0
2
x + 2 × x × 4 + 42 = 0
2
( x + 4) 2 = 0
x+4=0
x = −4
Je vérifie :
(−4) 2 + 8 × (−4) + 16 = 16 − 32 + 16 = 0
– 4 est la seule solution de l’équation : x 2 + 8 x + 16 = 0 .
b)
b)
x − 10 x + 25 = 0
2
x − 2 × x × 5 + 52 = 0
2
( x − 5)2 = 0
x−5=0
x=5
Je vérifie : 52 − 10 × 5 + 25 = 25 − 50 + 25 = 0
5 est la seule solution de l’équation : x 2 − 10 x + 25 = 0 .
c)
3x + 5 x = x − 1 − x
2
3x + x + 5 x − x + 1 = 0
2
2
2
c)
Dans un premier temps, on regroupe tout dans le membre de
gauche.
On réduit le membre de gauche.
On essaie ensuite de la factoriser.
4x2 + 4x + 1 = 0
(2 x) 2 + 2 × (2 x) × 1 + 12 = 0
(2 x + 1)2 = 0
2x + 1 = 0
2 x = −1
x=−
1
2
Je vérifie :
2
7
 1
 1  3 5 3 10
3×  −  + 5 ×  −  = − = − = −
4
 2
 2 4 2 4 4
2
3 1
6 1
7
 1
 1
 −  −1 −  −  = − − = − − = −
2 4
4 4
4
 2
 2
1
est la seule solution de l’équation :
2
3x 2 + 5 x = x − 1 − x 2 .
−
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121
122
Séquence 4
Séance 8
EXERCICE 28
J’ai construit la figure dynamique.
L’aire du disque semble être égale à celle « de la
partie hachurée » uniquement quand x est environ égal
à 1,91 cm.
Voici ma conjecture : « L’aire du disque peut être
égale à l’aire de la partie hachurée ».
La conjecture est juste.
● L’aire du disque est : π x2.
● L’aire du rectangle ABCD est 6 × 2x soit 12x.
● L’aire de la partie hachurée est : 12x – π x2.
L’aire d’un disque de rayon x est πx2.
On a : AB = 2x car le disque est tangent aux côtés [AD] et [BC].
On cherche x tel que : π x2 = 12x – π x2.
πx 2 = 12 x − πx 2
πx 2 + πx 2 − 12 x = 0
L’aire de la partie hachurée est l’aire du rectangle ABCD moins
l’aire du disque.
On cherche une valeur de x pour laquelle l’aire du disque est
égale à l’aire de la partie hachurée.
On résout l’équation.
2πx 2 − 12 x = 0
x(2πx − 12) = 0
x=0
On obtient une équation produit.
2πx − 12 = 0
2πx = 12
12
2π
6
x=
π
x=
Je vérifie :
● 0 × (2π × 0 − 12) = 0
6
6
6
6
● × (2π × − 12) = × (12 − 12) = × 0 = 0
π
π
π
π
122
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123
Séquence
4
Il y a donc deux solutions à l’équation :
6
π x2 = 12x – π x2 qui sont 0 et .
π
Le disque est un « vrai » disque quand x est différent
6
de 0. L’unique solution au problème est donc .
π
L’aire du disque peut donc être égale à l’aire de la
partie hachurée.
On entend ici par « vrai disque » un disque dont le rayon est non
nul.
EXERCICE 29
a)
a)
y 2 = 81
y 2 − 81 = 0
On factorise en appliquant la 3ème identité remarquable :
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
On obtient alors une équation produit.
y 2 − 92 = 0
( y + 9)( y − 9) = 0
y+9=0
y = −9
Je vérifie :
● (– 9)2 = 81
● 92 = 81
y −9 =0
y =9
− 9 et 9 sont les solutions de l’équation : y2 = 81.
b)
b)
u 2 − 5u = 0
u (u − 5) = 0
On factorise par u. On obtient une équation produit.
u −5=0
u=0
u =5
Je vérifie :
● 02 – 5 × 0 = 0
● 5×(5 – 5) = 5 × 0 = 0
0 et 5 sont les solutions de l’équation : u2 − 5u = 0.
c)
c)
z2 = 2z
z 2 − 2z = 0
z ( z − 2) = 0
z=0
Je vérifie :
● 02 = 0
● 22 = 4
On factorise par z. On obtient une équation produit.
z−2=0
z=2
2×0=0
2×2=4
0 et 2 sont les solutions de l’équation : z2 = 2z.
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123
124
Séquence 4
d)
d)
z + 2z + 1 = 0
2
On factorise à l’aide de la 1ère identité remarquable :
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
z + 2 × z × 1 + 12 = 0
2
( z + 1)2 = 0
z +1 = 0
z = −1
Penser que :
(z + 1)2 = (z + 1)(z + 1)
− 1 est l’unique solution de l’équation :
z2 + 2z + 1 = 0.
EXERCICE 30
a)
a)
7v = 0
2
7v 2 0
=
7
7
2
v =0
v=0
0 est l’unique solution de l’équation : 7v 2 = 0 .
b)
b)
9
=s
s
9 = s×s
On a l’égalité des produits en croix.
s2 − 9 = 0
s2 − 9 = s2 − 32
On factorise à l’aide de la 3ème identité remarquable :
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
( s + 3)( s − 3) = 0
s+3=0
s = −3
s −3= 0
s =3
Je vérifie :
9
= −3
●
−3
9
● =3
3
– 3 et 3 sont les solutions de l’équation :
124
9
= s.
s
– Cned, Mathématiques 3e
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125
Séquence
4
c)
x( x + 1)( x + 2) = 0
x=0
x +1 = 0
x = −1
x+2=0
c)
Cette équation est également une équation produit.
Si un produit de trois facteurs est nul, alors un au moins de ses
facteurs est nul.
x = −2
Je vérifie :
● 0 × 1× 2 = 0
● (– 1) × 0 × 1 = 0
● (– 2) × (– 1) × 0 = 0
– 2 ; – 1 et 0 sont les solutions de l’équation :
x ( x + 1)( x + 2) = 0 .
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–
125
126
Séquence 4
EXERCICE 31
1)
J’ai fait des tests pour différentes valeurs de x à l’aide d’un tableur : je trouve à chaque fois le même nombre
pour E et pour F. Voici ma conjecture : « E = F ». Je n’arrive pas à la démontrer !
Les commentaires du professeur :
Même si tu n’arrives pas à faire la démonstration, il faut écrire des « essais » ou tes recherches.
2)
E = (3x – 2)(13x – 8)
E = 3x × 13x – 3x × 8 – 2 × 13x + 2 × 8
E = 39x2 – 24x – 26x + 16
E = 39x2 – 50x + 16
F = (3x – 2)2 + (5x – 3)(– 4 + 6x)
F = (3x)2 – 2 × (3x) × 2 + 22 – 5x × 4 + 5x × 6x + 3 × 4 – 3 × 6x
F = 9x2 – 12x + 4 – 20x + 30x2 + 12 – 18x
F = 9x2 + 30x2 – 12x – 20x – 18x + 4 + 12
F = 39x2 – 50x + 16
D’où : E = F
Les commentaires du professeur :
Comme E et F ont exactement la même expression une fois développées, on a donc : E = F.
3)
F = (3x – 2)2 + (5x – 3)(– 4 + 6x)
F = (3x – 2)2 + (5x – 3)(6x – 4)
F = (3x – 2)2 + (5x – 3) × 2 × (3x – 2)
F = (3x – 2)(3x – 2) + (5x – 3) × 2 × (3x – 2)
F = (3x – 2)(3x – 2) + (3x – 2) × (5x – 3)× 2
F = ( 3x − 2 ) [ (3x − 2) + (5 x − 3) × 2]
F = ( 3x − 2 )( 3 x − 2 + 10 x − 6 )
F = ( 3 x − 2 ) ( 13 x − 8 )
On a également : E = (3x – 2)(13x – 8).
On retrouve à l’aide d’une factorisation le résultat de la question précédente : E = F
Les commentaires du professeur :
On peut, pour ne pas avoir des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses, utiliser des crochets.
On écrit ainsi : (3x – 2)[(3x – 2) + (5x – 3) × 2] au lieu de : (3x – 2)((3x – 2) + (5x – 3) × 2).
Un crochet n’est rien d’autre qu’une parenthèse dessinée autrement.
126
– Cned, Mathématiques 3e
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127
Séquence
4
4)
Comme d’après le 3), on a : F = (3x – 2)(13x – 8).
Je résous : (3x – 2)(13x – 8) = 0
3x − 2 = 0
3x = 2
x=
13 x − 8 = 0
13 x = 8
2
3
x=
8
13
Je vérifie :
2
2
 2
 



 3 × − 2  ×  13 × − 8  = (2 − 2) ×  13 × − 8  = 0
3
3
 3
 



8
8
8

 
 

 3 × − 2  ×  13 × − 8  =  3 × − 2  × ( 8 − 8 ) = 0
13
 13
 
  13

2 8
et
sont les solutions de l’équation : F = 0.
3 3
Les commentaires du professeur :
Il fallait penser à utiliser l’expression factorisée de F !
EXERCICE 32
a)
a)
(2 x + 1)2 + (−3 + x)(2 x + 1) = 0
(2 x + 1)(2 x + 1) + (2 x + 1)(−3 + x) = 0
( 2 x + 1) [ (2 x + 1) + (−3 + x)] = 0
( 2 x + 1)( 2 x + 1 − 3 + x ) = 0
( 2 x + 1)( 3x − 2 ) = 0
2x + 1 = 0
2 x = −1
x=−
3x − 2 = 0
3x = 2
1
2
x=
2
3
Je vérifie :
2
  1 

 1    1  
2  7
 2 ×  −  + 1 +  −3 +  −  
 2 ×  − 2  + 1 = (−1 + 1) +  − 2  × (−1 + 1) = 0
 2  
  2 


2
2
2
2 
2

 
  7   7   7  49 49
−
 2 × + 1 +  −3 +  2 × + 1 =   +  −  ×   =
3
3 
3
9

 
 3  3 3 9
(2x + 1) (2x + 1)+ (2x + 1) (− 3 + x) = 0
On factorise par (2x + 1)
Remarque :
On utilise l’égalité : k × a + k × b = k × (a + b)
Ici, :
• k est égal à (2x + 1)
• a est égal à (2x + 1)
• b est égal à (− 3 + x)
On trouve : (2x + 1) [(2x + 1) + (− 3 + x)].
On écrit les parenthèses autour de 2x + 1 et de − 3 + x.
On applique ensuite les règles de suppressions des parenthèses :
On trouve : (2x + 1) (2x + 1 − 3 + x).
1
2
et sont des solutions de l’équation :
2
3
(2x + 1)2 + (–3 + x)(2x + 1) = 0 plutôt que l’équation :
On vérifie que −
(2x + 1)(3x – 2) = 0.
−
1
2
et sont les solutions de l’équation :
2
3
(2 x + 1)2 + ( −3 + x )(2 x + 1) = 0 .
Cela permet de « vérifier » toutes les étapes de calcul depuis le
début.
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127
128
Séquence 4
b)
( x − 5)( x + 1) − ( x − 5)2 = 0
( x − 5)( x + 1) − ( x − 5)( x − 5) = 0
( x − 5) [( x + 1) − ( x − 5)] = 0
( x − 5)( x + 1 − x + 5) = 0
6 ( x − 5) = 0
On factorise par (x − 5)
On applique les règles de suppression des parenthèses.
Attention : − (x − 5) = − x + 5
x−5= 0
x=5
Je vérifie : (5 – 5)(5 + 1) – (5 – 5)2 = 0 × 6 – 02 = 0.
5 est l’unique solution de l’équation :
( x − 5)( x + 1) − ( x − 5)2 = 0 .
c)
(4 x − 3) 2 − (2 x + 1) 2 = 0
[(4 x − 3) + (2 x + 1)][(4 x − 3) − (2 x + 1)] = 0
( 4 x − 3 + 2 x + 1)( 4 x − 3 − 2 x − 1) = 0
( 6 x − 2 )( 2 x − 4 ) = 0
2x − 4 = 0
6x − 2 = 0
6x = 2
x=
Je factorise (4x −3)2 − (2x + 1)2 à l’aide de la 3ème identité
remarquable : a2 − b2 = (a + b)(a − b).
a est égal à (4x − 3)
b est égal à (2x + 1).
On n’oublie pas les parenthèses !
2x = 4
x=2
2 1
=
6 3
Je vérifie :
2
2
2
2
1
1
5
5
25 25
●  4 × − 3  −  2 × + 1 =  −  −   = − = 0

3


3

 3
 3
9
9
● ( 4 × 2 − 3)2 − ( 2 × 2 + 1)2 = 52 − 52 = 0
1
et
3
2 sont les solutions de l’équation :
(4 x − 3)2 − (2 x + 1)2 = 0 .
128
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129
Séquence
4
Séance 9
EXERCICE 33
L’aire d’un carré de côté 3x – 5 est (3x – 5)2.
On exprime l’aire du carré en fonction de x.
L’aire d’un rectangle de longueur 3x + 4 et de largeur
3x – 2 est (3x + 4)(3x – 2).
On exprime l’aire du rectangle en fonction de x.
On cherche x tel que : (3x – 5)2 = (3x + 4)(3x – 2)
On traduit le problème à l’aide d’une équation.
(3 x − 5)2 − (3x + 4)(3 x − 2) = 0
9 x 2 − 30 x + 25 − (9 x 2 − 6 x + 12 x − 8) = 0
9 x − 30 x + 25 − 9 x + 6 x − 12 x + 8 = 0
2
2
On n’oublie pas les parenthèses.
On applique la propriété de suppression des parenthèses.
9 x 2 − 9 x 2 − 30 x + 6 x − 12 x + 25 + 8 = 0
−36 x + 33 = 0
−36 x = −33
33
36
11
x=
12
x=
Le résultat est-il possible ?
Le côté du carré est 3x – 5 soit 3 ×
11
33 60
27
−5 =
−
=−
12
12 12
12
C’est impossible car le côté d’un carré est un nombre
positif !
L’aire d’un carré de côté 3x – 5 ne peut pas être
égale à l’aire d’un rectangle de longueur 3x + 4 et de
largeur 3x – 2.
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129
130
Séquence 4
EXERCICE 34
1)
A = (5x + 2)2 – (3x – 1)(5x + 2)
A = (5x)2 + 2 × 5x × 2 + 22 – (3x × 5x + 3x × 2 – 1 × 5x – 1 × 2)
A = 25x2 + 20x + 4 – (15x2 + 6x – 5x – 2)
A = 25x2 + 20x + 4 – 15x2 – 6x + 5x + 2
A = 10x2 + 19x + 6
2)
A = (5x + 2)2 – (3x – 1)(5x + 2)
A = (5x + 2) (5x + 2) – (3x – 1)(5x + 2)
A = (5 x + 2) ( (5 x + 2) − (3 x − 1) )
A = (5 x + 2)(5 x + 2 − 3 x + 1)
A = (5x + 2)(2x + 3)
Les commentaires du professeur :
Si on développe (5x + 2)(2x + 3), on doit trouver 10x2 + 19x + 6. Ceci est une façon de vérifier que l’on ne s’est pas trompé.
3)
Pour x = 0
J’utilise l’expression développée :
A = 10 × 02 + 19 × 0 + 6 soit A = 6.
3
2
J’utilise par exemple l’expression factorisée.
  3
  3    15

 15

A =  5 ×  −  + 2  2 ×  −  + 3  =  − + 2  ( −3 + 3) =  − + 2  × 0 soit A = 0.
2
2
2
2

  



 
 
Pour x = −
4)
Je résous l’équation : A = 0
Je résous donc : (5x + 2)(2x + 3) = 0
5x + 2 = 0
5 x = −2
x=−
2
5
2x + 3 = 0
2 x = −3
x=−
3
2
Je vérifie :
  2
  2  
 4

●  5 ×  −  + 2  2 ×  −  + 3  = 0 ×  − + 3  = 0
 5

  5
  5  
3
● On a vu dans la question 3 que − est solution.
2
3
2
Les solutions de l’équation : A = 0 sont − et − .
2
5
130
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131
Séquence
4
JE M’ÉVALUE
1)
1)
sous forme factorisée.
x2 + 45x est une somme de deux termes :
x2 et 45x.
sous forme développée.
2)
2)
sous forme factorisée.
x(x + 45) est un produit de deux facteurs :
x et x + 45.
sous forme développée.
3)
4x2 + 28x + 49
4x2 + 28x + 14
4x2 + 49
4x2 + 14x + 49
4)
oui
non
5)
3)
(2x + 7)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 7 + 72 = 4x2 + 28x + 49
4)
(u + 1)2 = u2 + 2 × u × 1 + 12 = u2 + 2u + 1
u2 + 2u + 1 et u2 + 1 ne sont pas égales :
pour u = 1
u2 + 2u + 1 = 12 + 2 × 1 + 1 = 4
u2 + 1 = 12 + 1 = 2
5)
9y2 – 12y – 4
3y2 – 12y + 4
9y2 – 12y + 4
9y2 – 4
(3y – 2)2 = (3y)2 – 2 × 3y × 2 + 22 = 9y2 – 12y + 4
6)
6)
9y2 – 4
9y2 – 12y + 4
9y2 – 12y – 4
3y2 – 6y + 4
7)
(z – 1)2
(z + 1)2
(z + 1)(z – 1)
2(z + 1)
(3y – 2)(3y + 2) = (3y)2 – 22 = 9y2 – 4
7)
z2 – 2z + 1 = z2 – 2 × z × 1 + 12 = (z – 1)2
8)
8)
8(z – 1)(z + 1)
(8z – 1)2
(z – 1)(8z + 1)
(8z – 1)(8z + 1)
64 z2 – 1 = (8z)2 – 12 = (8z – 1)(8z + 1)
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131
132
Séquence 4
9)
9)
(u + 10)2
(5u + 1)2
(5u + 10)2
25(u + 2)2
25u2 + 100u + 100 = (5u)2 + 2 × (5u) × 10 + 102
25u2 + 100u + 100 = (5u + 10)2
(5u + 10)2 = [5(u + 2)]2 = 52 (u + 2)2 = 25(u + 2)2
10)
10)
x 2 = −2x − 1
0
1
1 et – 1
–1
x 2 + 2x + 1 = 0
( x + 1 )2 = 0
x+1=0
x = −1
132
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133
Séquence 5
SÉQUENCE 5
RACINES CARRÉES
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1)
BC² = AB² + AC²
AC² = 16
AC² = 34
1) Le triangle ABC est rectangle en B.
On applique la propriété de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 3² + 5²
AC² = 9 + 25
AC2 = 34
AC ≈ 5,8 cm
AC ≈ 5,8 cm
2)
–8×8
(– 8) × (– 8)
2)
Le carré d’un nombre s’obtient en multipliant ce nombre par luimême.
(–8)² = (–8) × (–8) = +64 = 64
64
– 64
3)
– 10
10
50
3)
(–10)² = (–10) × (–10) = 100
10² = 10 ×10 = 100
Attention !
Le carré de 100 est égal à 10 000.
Le carré de 10 000 est égal à 100 000 000.
100 est le double de 50 et non son carré.
10 000
4)
vrai
faux
4)
On utilise la règle des signes de la multiplication des nombres
relatifs.
Le produit d’un nombre positif par un nombre positif est positif.
Quand on élève au carré un nombre positif, on obtient donc un
nombre positif.
Le produit d’un nombre négatif par un nombre négatif est positif.
Quand on élève au carré un nombre négatif, on obtient donc aussi
un nombre positif.
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133
134
Séquence 5
EXERCICE 1
1)
134 – Cned, Mathématiques 3e
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135
Séquence 5
Les commentaires du professeur :
Il existait d’autres constructions qui permettaient
d’obtenir un carré dont l’aire est deux fois plus grande
que celle d’ABCD.
Par exemple la construction ci-contre.
Toutefois, on ne pouvait pas procéder ainsi car il n’y avait
pas de place sur la feuille.
2)
a) ABCD est un carré donc le triangle ABD est
rectangle en A.
J’applique la propriété de Pythagore :
BD² = AD² + AB²
BD² = 1² + 1²
BD2 = 2
b) ABCD est un carré de 1 dm de côté donc :
A
2)
a)
b)
A
= 1² soit :
ABCD = 1 dm².
L’aire du carré que l’on doit construire est le
ABCD
double de celle de
A
ABCD
soit 2 dm².
c)
c) On construit le carré EBDF.
A
A
= BD × BD = BD² = 2 soit
EBDF = 2 dm².
Le carré EBDF répond bien au problème posé.
EBDF
3)
a)
Je mesure le côté du carré EBDF.
Je trouve environ 14,1 cm soit 1,41 dm.
Le nombre dont le carré est 2 est environ 1,41.
J’utilise ma calculatrice :
Je trouve : 1,414 (arrondi au millième)
3)
Attention : le carré de 1,4 n’est pas égal à 2.
En effet : 1,412 = 1,988 1
J’utilise une calculatrice. Je tape :
La calculatrice affiche : 1.414213562
2
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–
135
136
Séquence 5
b) J’ai l’impression qu’il n’y a qu’un seul nombre
positif dont le carré est égal à 2 : celui dont on a
trouvé une valeur approchée dans la question
précédente.
b) Effectivement, on a cette impression car il paraît impossible de
trouver un deuxième nombre positif dont le carré est 2 :
● si ce nombre est compris entre 0 et BD, son carré est plus petit
que 2.
● si ce nombre est plus grand que BD, son carré est plus grand
que 2.
On peut le voir de façon rigoureuse à l’aide d’encadrements :
Si 0 < x < BD alors :
● x × x < BD × x
soit :
●
d’où :
x2 < BD × x
x2 < BD2
●
BD × x < BD × x
●
BD × x < BD2
soit : x2 < 2
On pourrait prouver de la même façon que si x > BD, alors :
x2 > BD2 soit x2 > 2.
c)
c)
x
x²
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
d)
On cherche en fait à tracer l’ensemble de
tous les points dont l’abscisse est un
nombre positif et l’ordonnée le carré de ce
nombre positif.
d)
Si on le fait avec 20 nombres, on obtient
ceci :
Si on le fait avec 100 nombres, on obtient
ceci :
Comme on ne peut pas représenter à la
main autant de points sur une feuille, on
place quelques points (ici 5), puis on les
relie par un tracé à main levée.
136 – Cned, Mathématiques 3e
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137
Séquence 5
e)
e)
f) Il y a un nombre positif dont le carré est 2. Il est
environ égal à 1,4.
f)
On rappelle que ce nombre positif dont le carré est 2 n’est pas 1,4
car : 1,42 = 1,96.
4)
En choisissant d’afficher quatre décimales, le logiciel
affiche :
2 ≈ 1,4142.
Si tu n’as pas réussi à faire la construction dynamique, ouvre le
fichier : sequence5exercice1question4.
La calculatrice affiche :
2 ≈ 1,414213562.
Les deux valeurs approchées sont « en accord ».
La valeur approchée donnée par la calculatrice est
plus précise que la mesure effectuée par le logiciel de
géométrie.
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137
138
Séquence 5
Séance 2
EXERCICE 2
1)
1)
Résoudre un problème n’est pas toujours une chose simple ! Ce
La question n’est pas évidente ! J’ai essayé d’utiliser qu’il faut que tu apprennes, c’est à acquérir des méthodes te
permettant de chercher à résoudre des problèmes.
ma calculatrice, mais je n’arrive pas à conclure.
Ici, on pouvait essayer de voir si la valeur affichée par la
calculatrice lorsqu’on tape
2 est bien la racine carrée de 2.
1.414213562 n’est pas la racine carrée de 2 car si on multiplie ce
nombre par lui-même, le dernier chiffre sera 2× 2 (le dernier
chiffre de 1,414 213 562 multiplié par lui-même) donc 4.
On ne peut donc pas trouver 2.
2)
a) La calculatrice affiche :
1.414213562
On peut affirmer que 2 n’est pas un nombre entier.
On ne peut pas affirmer que ce nombre n’est pas un
décimal : rien ne prouve que ce nombre ne possède
pas 15 chiffres après la virgule.
2)
a)
La calculatrice travaille avec des valeurs approchées, affichant 10
chiffres seulement.
Attention, elle peut parfois afficher des résultats qui peuvent
induire en erreur.
Par exemple, si tu tapes : 15 + 10–12, la calculatrice affiche 15.
Pourtant, 15 + 10–12 n’est pas un nombre entier.
Il est égal à : 15 + 0
,
0...
...0 1 .
01 soit 15, 0
11 zéros
12 zéros
b)
« dernier chiffre non nul du nombre
2 »
« dernier chiffre non nul du carré du nombre
2 »
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
4
9
6
5
6
9
4
1
b)
2² = 4
3² = 9
1² = 1
4² = 16 donc le dernier chiffre est 6
5² = 25 donc le dernier chiffre est 5
…
Le carré de 2 est 2 par définition.
Le dernier chiffre non nul du carré de 2 doit être 2.
Or le chiffre 2 n’apparaît pas dans la deuxième ligne
de notre tableau.
C’est une contradiction.
Cela signifie que ce qu’on avait supposé au départ
était faux.
C’est-à-dire : 2 n’est pas un nombre décimal.
On a fait un raisonnement par l’absurde.
Cela signifie qu’on suppose quelque chose, puis qu’on montre que
ce n’est pas possible.
On en déduit alors que ce qu’on avait supposé au départ était
faux.
On vient de démontrer que 2 n’est pas un nombre décimal. On
montrera dans la séance 9 que ce n’est pas non plus un nombre
rationnel. On dit que 2 est un nombre réel.
138 – Cned, Mathématiques 3e
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139
Séquence 5
EXERCICE 3
1)
a) Deux nombres ont pour carré 9 : 3 et – 3.
b) Deux nombres ont pour carré 7 :
un positif (environ 2,6) et un négatif (environ – 2,6).
1)
a) En effet :
32 = 9
(–3)2 = 9
b)
c) Un seul nombre a pour carré 0 : 0.
c)
d) Aucun nombre n’a pour carré – 2.
d) La droite horizontale ne coupe pas la représentation graphique.
2)
Cela dépend de a :
● Si a est négatif : il n’y a aucun nombre dont le carré
est égal à a.
2) D’après le graphique, si a est négatif, la droite ne coupe pas la
représentation graphique. Il n’y a donc pas de nombre dont le
carré est a.
On connaissait déjà ce résultat : d’après la règle des signes, un
carré ne peut pas être négatif.
● Si a est positif : il y a deux nombres dont le carré est
égal à a.
● Si a = 0 : il n’y a qu’un seul nombre dont le carré
est 0, c’est 0.
3) Si a est positif (et différent de 0), il y a d’après le
graphique un seul nombre positif dont le carré est a.
4)
Il existe un nombre positif dont le carré est a
seulement quand a est positif ou nul.
a est donc défini quand a est positif ou nul.
3) Cet unique nombre est appelé a .
4)
En résumé :
● Si a < 0 il n’y a pas de nombre dont le carré est a.
Le nombre a n’existe pas.
● Si a = 0 le seul nombre dont le carré est 0 est 0 lui-même.
0 =0
● Si a > 0 il existe deux nombres dont le carré est a :
un négatif et un positif. Ces nombres sont opposés.
Le nombre positif s’appelle a .
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–
139
140
Séquence 5
Séance 3
EXERCICE 4
●
● L’unique nombre positif dont le carré est 0 est 0.
0 =0
● 1 =1
● 1 et –1 ont pour carré 1.
Le nombre positif dont le carré est 1 est 1. D’où :
1=1.
●
4=2
● 2 et –2 ont pour carré 4.
Le nombre positif dont le carré est 4 est 2. D’où :
4 = 2.
●
9=3
●3 et –3 ont pour carré 9.
Le nombre positif dont le carré est 9 est 3. D’où :
9 =3.
etc.
● 16 = 4
●
25 = 5
●
36 = 6
●
49 = 7
●
64 = 8
●
81 = 9
● 100 = 10
EXERCICE 5
100
– 16
0
20
1
La racine carrée n’est définie que pour les nombres positifs ou nuls.
Les commentaires du professeur :
On se souvient que le carré d’un nombre ne peut pas être négatif. La racine carrée d’un nombre négatif n’a donc aucun sens.
EXERCICE 6
● A = ( 3)² = 3
● B = − 5² = − 25 = – 5
● C = 11 × (− 11) = −( 11)² = −11
● D = 16 + 36 = 4 + 6 = 10
● Pour calculer D, on calcule dans un premier temps
16 et
36 .
●E=
98
=
2
49 = 7
● Pour calculer E, on calcule dans un premier temps le quotient
98
.
2
140 – Cned, Mathématiques 3e
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141
Séquence 5
EXERCICE 7
● Pour x = 3
A = ( 3)² + 7 × 3 − 8
A = = 3+ 7× 3 −8
●
7 × 3 est le produit de 7 et de 3 .
On peut écrire (et c’est plus rapide) ce produit sans le signe « × ».
On le note ainsi 7 3 .
A = −5 + 7 3
Attention ! Comme la multiplication a priorité par rapport à
l’addition :
–5 + 7 3 n’est pas égal à 2 3 .
Tu peux t’en convaincre en utilisant ta calculatrice.
La situation est comparable à un calcul littéral :
–5 + 7x
n’est pas égal à : (–5 + 7) x
● Pour x = 2 5
●
A = (2 5)² + 7 × 2 5 − 8
On doit écrire (2 5 )2 et non 2
A = 2 5 ×2 5 + 7×2 5 −8
différents : 2 5 = 2 ×
A = 4×
( 5)
2
2
5 ×
2
5 . Ces deux nombres sont
5 = 2 × 5 = 10
+ 7×2 5 −8
A = 4 × 5 + 14 5 − 8
7×2 5 =7× 2×
5 = 14 ×
5 = 14 5
A = 20 + 14 5 − 8
A = 12 + 14 5
Attention :
12 + 14 5 n’est pas égal à 26 5 .
EXERCICE 8
A=
●A+B=
7 + 1 et B = 3 7
7 + 1+ 3 7 = 4 7 + 1
● Pour calculer 7 + 3 7 , on factorise par
7 :
7 + 3 7 = 1 × 7 + 3 7 = 7 × (1 + 3 ) = 4 7
●A–B=
7 + 1 – 3 7 = −2 7 + 1
● Pour calculer 7 − 3 7 , on factorise par
7 :
7 − 3 7 = 1 × 7 − 3 7 = 7 × ( 1 − 3 ) = −2 7
● A × B = ( 7 + 1) × 3 7
A × B = 3( 7)² + 3 7 = 21 + 3 7
● ( 7 +1) × 3 7 =
7 × 3 7 + 1× 3 7 = 3
( 7)
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2
+3 7
–
141
142
Séquence 5
EXERCICE 9
●A=
3 × (5 − 3) =
3 × 5 − ( 3)² = 5 3 − 3
● B = ( 2 + 1) × (3 − 5 2)
● On utilise la formule de double distributivité.
(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
B = 2 × 3 − 2 × 5 2 + 1× 3 − 1× 5 2
B = 3 2 − 5 × ( 2)² + 3 − 5 2
B = 3 2 − 10 + 3 − 5 2
B = −2 2 − 7
● C = ( 6 − 10) − (8 + 6) =
C = –18
6 − 10 − 8 − 6
● Attention : – ( b + c) = – b – c
● D = (5 − 7)² + ( 7 + 5)²
D = 5² − 2 × 5 × 7 + ( 7)² + ( 7)² + 2 × 5 × 7 + 5²
● On utilise des identités remarquables :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
D = 25 − 10 7 + 7 + 7 + 10 7 + 25
D = 64
● On utilise une 3ème identité remarquable :
(a + b)(a – b) = a2 – b2
● E = (2 5 − 8) × (2 5 + 8)
E = (2 5)² − 8² = 4 × 5 − 64 = 20 − 64
E = –44
EXERCICE 10
Cas du rectangle ABCD
● P = 2×2 + 3 5 × 2 = 4 + 6 5
●
A=
2×3 5
On utilise les formules du périmètre et de l’aire d’un rectangle :
P = 4+6 5
A = 6 5 cm²
cm P = 2 × L + 2 × l
A=L×l
Cas du rectangle EFGH
EFH est un triangle rectangle en E.
J’applique la propriété de Pythagore :
Pour calculer le périmètre et l’aire du rectangle EFGH, on
calcule la longueur EH.
C’est ce que l’on fait avec la propriété de Pythagore.
EF² + EH² = FH²
20² + EH² = ( 10 5 )²
400 + EH² = 500
EH² = 500 – 400 = 100
EH = 100 soit : EH = 10 cm.
P = 10 × 2 + 20 × 2 = 20 + 40
● A = 10 × 20 = 200
●
Indique-le sur ta figure.
P = 60 cm
A = 200 cm²
142 – Cned, Mathématiques 3e
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143
Séquence 5
EXERCICE 11
D’après des valeurs approchées données par ma
calculatrice, le plus long côté est [BC].
On peut utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs
approchées de BC, AB et AC.
Ainsi, on en déduit que le côté le plus long est [BC].
BC² = ( 2 2 )² = 4 × 2 = 8
AB² + AC² = ( 5 )² + ( 3 )² = 5 + 3 = 8
BC² = AB² + AC².
D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, on
déduit que le triangle ABC est rectangle en A.
Cned, Mathématiques 3e
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–
143
144
Séquence 5
Séance 4
EXERCICE 12
1) Je détermine une valeur approchée de 3 à l’aide 1) Cette méthode permet bien d’obtenir un segment qui mesure
d’une calculatrice. Je trouve environ 1,7.
environ 3 cm, mais ce n’est pas une vraie construction.
Ce qu’on entend par vraie construction, c’est une construction
Je trace un segment d’environ 1,7 cm de longueur.
utilisant une règle non graduée et un compas.
2)
a)
Le triangle EFG est rectangle en E.
D’après la propriété de Pythagore :
GF² = EF² + EG²
( 3 ) = EF² + EG²
2)
Dans la séance 1, on a construit un triangle rectangle dont
l’hypoténuse mesure 2 cm.
L’idée est donc de construire un triangle rectangle dont
l’hypoténuse mesure cette fois 3 cm.
2
3 = EF² + EG²
Si on choisit : EF² = 1 et EG² = 2 on aura :
EF² + EG² = 3
Si EF² = 1, alors : EF = 1 = 1.
Si EG² = 2, alors : EG = 2 .
EFG est alors un triangle rectangle en E tel que :
● EF = 1
et
● EG = BC = 2 .
On choisit EF² = 1 et EG² = 2.
On aurait également pu choisir EF² = 2 et EG² = 1.
L’idée est de trouver deux nombres dont la somme des carrés est
3…
En appliquant la propriété de Pythagore dans le triangle EFG
rectangle en E, on montre que le segment [FG] mesure bien
3 cm.
b)
On se sert du triangle ABC pour
tracer un segment de longueur 2 .
On place le point G en C et le point
E en B, ainsi on a : EG = 2 .
Je construis ensuite le segment
[EF] tel que : (EF) ⊥ (EG) et
EF = 1, comme ci-contre.
Le segment [FG] mesure bien
3 cm.
3)
De la même façon, on se sert du segment [FG]
mesurant 3 cm pour construire un triangle rectangle
en F tel que l’autre côté de l’angle droit mesure 1 cm.
Ainsi, l’hypoténuse de ce triangle rectangle mesure
4 cm (c’est-à-dire 2 cm).
On poursuit la construction en utilisant le même
raisonnement. On
construit ainsi
successivement des
segments mesurant
5 cm, 6 cm et enfin
3)
En appliquant la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle
ainsi construit, on montre que la longueur de l’hypoténuse au
carré est égale à 1² + ( 3 )² = 1 + 3 = 4. Donc la longueur de
l’hypoténuse est bien égale à
Et ainsi de suite …
4 cm (c’est-à-dire 2 cm).
Cette méthode permet de construire un segment mesurant
n’importe quelle racine carrée d’un nombre entier positif.
L’inconvénient de cette méthode, par exemple si on veut construire
un segment mesurant 13 cm, c’est qu’il faut construire 12
triangles rectangles pour y parvenir.
On va donc chercher dans les exercices suivants une autre
méthode de construction plus astucieuse.
7 cm.
144 – Cned, Mathématiques 3e
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145
Séquence 5
EXERCICE 13
1)
● Je mesure la longueur AH. Je trouve environ
2,2 cm.
1)
La construction n’est pas évidente :
On trace un segment
[CB] de 6 cm.
On place H sur [CB]
tel que CH = 1 cm.
On trace le cercle de
diamètre [CB] : si le
point A est sur ce
cercle, alors le
triangle CAB est
rectangle en A.
On trace la demidroite perpendiculaire
à (CB) passant par H.
Le point A est le point
d’intersection de cette
demi-droite et du cercle.
● A l’aide d’une calculatrice, je trouve :
5 ≈ 2,236067977
Il semble que la longueur AH soit proche de 5 cm.
2)
En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, je
remarque également que la longueur AH semble être
égale à 5 .
AH est peut-être égale à
5 cm.
2)
● Lorsque je déplace le point B de façon à ce que
[HB] mesure 7 cm, la longueur AH est environ égale à
2,645 cm.
Lorsque je tape 7 à la calculatrice, je trouve aussi
un nombre proche de la longueur AH.
● Lorsque je déplace le point B de façon à ce que
[HB] mesure 10 cm, la longueur AH est environ égale
à 3,162 cm.
Lorsque je tape 10 à la calculatrice, je trouve aussi
Il semble après avoir testé l’expérience avec trois longueurs HB
un nombre proche de la longueur AH.
différentes que la longueur HA soit égale à HB cm.
Ceci est une conjecture.
Nous allons voir dans l’exercice suivant si on peut ou non
démontrer cette conjecture.
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145
146
Séquence 5
EXERCICE 14
1)
J’essaie de démontrer la conjecture suivante : « AH = a ».
Je vois trois triangles rectangles : AHC, AHB et ACB.
J’ai appliqué la propriété de Pythagore dans chacun de ces trois triangles rectangles, mais je n’arrive pas à
déterminer AH uniquement en fonction de a.
2)
Le triangle AHC est rectangle en H. En appliquant la propriété de Pythagore :
Autrement dit :
HA² + 1 = AC²
Le triangle AHB est rectangle en H. En appliquant la propriété de Pythagore :
Autrement dit :
HA² + a² = AB²
HA² + HC² = AC²
HA² + HB² = AB²
3)
a) Le triangle ABC est rectangle en A. En appliquant la propriété de Pythagore : AB² + AC² = BC²
b)
Dans l’égalité : AB² + AC² = BC² je remplace AB2 par HA² + a² et AC² par HA² + 1.
On a : HA² + a² + HA² + 1 = BC2
Soit : BC² = 2 HA² + a² + 1
c)
BC² = (1 + a)² = 1² + 2 × 1 × a + a² = 1 + 2a + a²
Je remplace BC2 par 1 + 2 a + a² dans l’égalité BC² = 2 HA² + a ² + 1.
J’obtiens :
1 + 2a + a 2 = 2HA 2 + a 2 +1
1 + 2a + a 2 = 2HA 2 + a 2 + 1
2a = 2HA 2
a = HA 2
AH 2 = a
4) a est un nombre positif.
On cherche la longueur AH, c’est-à-dire un nombre positif. Le nombre positif dont le carré est a est par
définition a . On a donc : AH = a .
Pour construire cette figure :
● on commence par construire un segment [CB] de 8 cm,
● on place H sur [CB] tel que : CH = 1 cm,
● on trace la perpendiculaire à (BC) passant par H,
● on construit le cercle de diamètre [CB]. Il coupe la
perpendiculaire précédente en A.
Le triangle ABC ainsi construit est rectangle en A car A est
sur le cercle de diamètre [CB].
5)
AH =
7 cm
Les commentaires du professeur :
La figure comporte trois triangles rectangles.
On se sert de la propriété de Pythagore appliquée à ces trois triangles pour montrer la conjecture de l’exercice précédent.
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147
Séquence 5
Séance 5
EXERCICE 15
1) Le carré de 3 est 3. Ceci étant, ce nombre n’est pas le seul
1)
dont le carré est 3 : nous le verrons par la suite.
3 est un nombre positif dont le carré est 3.
Tu t’es donc trompé(e) !
Je pense que ce nombre est le seul nombre dont le
carré est 3 mais je ne sais pas comment le démontrer !
2)
• Si je remplace x par
3 :
( 3)
2
2)
On trouve assez facilement deux nombres dont le carré est 3.
=3
• Si je remplace x par − 3 :
(− 3) = (− 3) × (− 3) =
2
3× 3 =3
3 et − 3 sont donc des solutions de cette
équation.
3) a)
x
x²
–4
16
–3
9
–2
4
Cela ne prouve pas qu’il n’y en ait pas d’autres …
C’est ce que nous allons déterminer par la suite.
–1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
Les commentaires du professeur :
(− 4)2 = 16 ; (− 3)2 = 9 ; …
b)
Les commentaires du professeur :
On place les points de coordonnées (− 4 ; 16), (− 3 ; 9), (− 2 ; 4), (− 1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 9) et (4 ; 16) en se servant du
tableau de la question a. On trace ensuite à main levée une courbe passant par ces points.
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147
148
Séquence 5
c)
J’ai tracé une droite correspondant à tous les points
dont l’ordonnée est 3.
c)
d)
La droite tracée coupe deux fois la courbe.
Cela signifie qu’il y a deux valeurs de x dont le
carré est 3.
d)
Pour trouver les valeurs de x correspondant, je regarde les points
d’intersection entre la courbe et la droite tracée question c).
On peut déterminer ainsi, par lecture graphique, une valeur
approchée de 3 :
3 ≈ 1,7.
e)
Les seuls nombres dont le carré est 3 sont
3 et
− 3.
f)
Dans la cellule B3, j’entre la formule : « =B2*B2 ».
On obtient les mêmes réponses que précédemment.
4)
a)
e)
3 et − 3 sont opposés.
f) Pour voir comment faire le graphique à l’aide d’un tableur,
ouvre le fichier sequence5exercice15corrige.
4)
a)
x2 = 3
x2 − 3 = 0
2
x2 − 3 = 0
Je factorise en utilisant une identité remarquable :
( x − 3 )( x + 3 ) = 0
b)
Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs
est nul.
On a donc : x − 3 = 0 ou : x + 3 = 0
● x − 3 = 0 , c’est-à-dire :
x=
● x + 3 = 0 , c’est-à-dire :
x=− 3
J’utilise l’identité remarquable : a² − b² = (a – b)(a + b)
Ici, a = x et b = 3 .
b)
Je résous l’équation produit. On en déduit donc les deux
solutions.
3
L’équation produit a deux solutions :
c)
Les seuls nombres dont le carré est 3 sont
3 et − 3 .
3 et
− 3.
148 – Cned, Mathématiques 3e
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149
Séquence 5
EXERCICE 16
1)
Je cherche tous les nombres x qui vérifient : x² = 0
autrement dit : x × x = 0.
Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs
est nul.
La seule possibilité est donc 0.
Il existe un seul nombre dont le carré est 0.
Ce nombre est 0.
1)
2)
2)
On applique la règle des signes du produit de nombres relatifs.
Je cherche tous les nombres x qui vérifient : x² = − 5.
Le carré d’un nombre est toujours positif donc x2 est
toujours positif.
Quelle que soit la valeur choisie pour x, le nombre x²
ne peut pas être égal à − 5.
Il n’existe pas de nombre dont le carré est –5.
EXERCICE 17
a)
x² = 144
144 > 0 donc l’équation admet deux solutions :
144 et − 144 , autrement dit 12 et − 12.
On utilise les méthodes de résolution d’une équation pour se
ramener à une écriture du type : x² = a
On applique ensuite le « Je retiens » précédent vu dans la leçon.
b)
x² = − 16
− 16 < 0 donc cette équation n’a aucune solution.
c)
x² + 2 = 2
D’où : x² = 0.
0 est l’unique solution de cette équation.
d)
x² + 1 = 0
D’où : x² = − 1
−1 < 0 donc cette équation n’a aucune solution.
e)
x² + 1 = 8
D’où : x² = 7
7 > 0 donc cette équation admet deux solutions :
7 et − 7 .
f)
5x² = 75
75
soit : x² = 15
5
15 > 0 donc l’équation : 5x² = 75 admet deux
solutions : 15 et − 15 .
D’où : x 2 =
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149
150
Séquence 5
EXERCICE 18
L’aire d’un disque de rayon r est π r2.
On cherche r tel que : π r2 = 11.
D’où :
r2 =
11
π
11
11
admet deux
> 0 , l’équation r 2 =
π
π
11
11
solutions :
et −
.
π
π
Comme
Or le rayon d’un cercle est un nombre positif (car
c’est une longueur).
La seule solution possible est donc
11
soit environ
π
1,9 cm.
EXERCICE 19
a)
( x − 5)( x + 5) + 25 = 0
c)
b)
( x + 2)( x − 7) + 5 x = 2
( x + 6) 2 + (2 x − 3)2 = 0
x 2 − 52 + 25 = 0
x 2 − 7 x + 2 x − 14 + 5 x = 2
x 2 + 12 x + 62 + 4 x 2 − 12 x + 32 = 0
x 2 − 25 + 25 = 0
x 2 − 14 = 2
5 x 2 + 45 = 0
x = 2 + 14
x =0
x=0
2
2
x 2 = 16
0 est l’unique solution de cette
équation.
5 x 2 = −45
x 2 = −9
16 > 0 donc il y a deux solutions : – 9 < 0 donc l’équation n’a pas de
solution.
16 (soit 4) et − 16 (soit – 4).
Les commentaires du professeur :
On développe en utilisant les identités remarquables ou la double distributivité.
On utilise ensuite les méthodes de résolution d’une équation pour se ramener à une écriture du type x² = a.
On résout alors les équations comme dans l’exercice précédent.
EXERCICE 20
a) (x – 5)² = 4
4 > 0 ; il y a donc deux nombres qui ont pour carré 4 :
4 et − 4 .
Ainsi : x – 5 = 4 ou : x – 5 = − 4
x–5= 4
x–5=2
x=2+5
x=7
a)
On applique le dernier « Je retiens » de la leçon.
On trouve donc deux possibilités pour x – 5.
On résout ensuite deux équations pour en déduire les valeurs de x
solutions de l’équation donnée.
x–5=– 4
x–5=–2
x=–2+5
x=3
L’équation a donc deux solutions : 7 et 3.
b) (2x + 1)² = – 3
– 3 < 0 donc cette équation n’a aucune solution.
b)
Le carré d’un nombre est toujours positif.
150 – Cned, Mathématiques 3e
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151
Séquence 5
c) (3x + 2)² = 7
7 > 0 donc il y a deux nombres qui ont pour carré 7 :
7 et − 7 .
Ainsi :
3x + 2 =
3x + 2 =
7
ou : 3x + 2 = − 7
3x + 2 = –
7
3x =
7 –2
x=
7 −2
3
7
3x = – 7 – 2
x=
L’équation a deux solutions :
− 7 −2
3
7−2
− 7−2
et
.
3
3
EXERCICE 21
On remplace dans l’équation E = MC² les lettres par les nombres donnés dans l’énoncé.
On obtient : 8,1 × 10–14 = 9 × 10–31 × C²
D’où : C² =
Donc :
C=
8,1 × 10−14 8,1
8,1
=
× 1017 = 0,9 × 1017 = 9 × 1016
× 10−14+31 =
−31
9 × 10
9
9
9 × 1016 ou : C = – 9 × 1016
Or C est une valeur positive car il s’agit d’une vitesse.
D’où : C =
9 × 1016
soit :
C = 3 × 108 m/s.
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151
152
Séquence 5
Séance 6
EXERCICE 22
1)
J’applique la propriété de Pythagore dans le triangle
ABC rectangle en B.
Je trouve : AC2 = 20
Comme AC > 0, on a donc AC = 20 .
1)
L’idée d’appliquer la propriété de Pythagore est bonne.
20 > 0 donc l’équation x2 = 20 admet deux solutions :
20 et − 20 .
Comme on cherche une longueur, donc un nombre positif, la seule
solution possible est 20 .
On a donc : AC =
J’ai essayé de comparer 20 et 2 × 5 à l’aide d’une
calculatrice. J’ai bien l’impression que ces nombres
Les nombres
sont égaux, mais je n’arrive pas à le démontrer.
20 .
20 et 2 × 5 auraient-ils le même carré ?
2)
2)
● En mesurant sur ma figure, je trouve que la
longueur AC est environ égale à 4,5 cm.
Lorsque je tape 2 5 à la calculatrice, il s’affiche :
4.472135955.
Il semblerait que la longueur AC soit égale à 2 5 cm.
● Je construis la figure à l’aide d’un logiciel de
géométrie dynamique. Je mesure AC.
Il s’affiche 4.47213
Il semble effectivement que la longueur AC soit égale
Lorsqu’on mesure sur la figure, lorsqu’on tape le calcul sur la
à 2 5 cm.
calculatrice ou lorsqu’on fait mesurer la longueur par un logiciel
de géométrie dynamique, on remarque qu’on obtient des valeurs
qui semblent égales.
On peut donc émettre la conjecture : « AC = 2 5 »
On démontre dans les questions suivantes que cette conjecture est
vraie.
3)
Le triangle ABC est rectangle en B.
J’applique la propriété de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 2² + 4²
AC² = 20
AC > 0 donc : AC = 20 cm.
4)
Je ne vois pas comment procéder !
3)
4)
Il fallait penser à comparer les carrés de
20 et de 2 × 5 .
152 – Cned, Mathématiques 3e
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153
Séquence 5
5)
(2 × 5 )² = 2² ×( 5)² = 4 × 5 = 20
5)
On utilise ce qu’on a vu dans la séance 3.
2 × 5 et
Deux nombres x et y dont les carrés sont égaux sont :
● soit égaux
● soit opposés.
En effet : si x2 = y2
alors : x2 – y2 = 0
d’où :
(x – y)(x + y) = 0
(équation produit)
●x–y=0
●x+y=0
donc x = y
donc x = – y
x et y sont donc bien soit égaux, soit opposés.
20 ont donc le même carré.
2 × 5 est donc égal soit à
20 , soit à – 20 .
Comme 2 × 5 est positif, on en déduit que :
2× 5 =
La racine carrée d’un nombre étant toujours positive, on en
déduit que 2 × 5 est positif.
2 × 5 ne peut donc pas être égal à – 20 .
20
EXERCICE 23
1)
( 7 × 2)² = ( 7)² × ( 2)² = 7 × 2 = 14
Comme
7 × 2 est positif, on en déduit :
7 × 2 = 14
On en déduit que :
7× 2 =
1)
Le carré de 7 × 2 est égal à 14.
Les nombres 7 × 2 et 14 sont donc soit égaux, soit opposés.
Comme les deux nombres sont positifs, ils sont donc égaux.
7×2 .
2)
( a × b )² = ( a )² × ( b )² = a × b
a × b est positif
a et b étant positifs, a × b est positif.
On peut en donc déduire :
a×b = a × b
EXERCICE 24
Les nombres A et D peuvent s’écrire sous forme de nombres entiers.
75
75
● A = 2 × 8 = 2 × 8 = 16 = 4
● D=
=
= 25 = 5
3
3
On ne peut pas simplifier les écritures de B et de C : il n’existe aucune règle pour la somme et la différence de
racines carrées. Je vois à l’aide de la calculatrice que ces nombres ne sont pas des entiers.
● B=
5 + 11
● C=
30 − 5
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153
154
Séquence 5
Séance 7
EXERCICE 25
1)
● A = 2 3 = 4 × 3 = 4 × 3 = 12
1)
2=
2² = 4
a× b=
Puis on utilise la propriété :
25 × 6 = 25 × 6 = 150
● B= 5 6 =
● C= 3 5=
a×b (a et b positifs)
9 × 5 = 9 × 5 = 45
2)
● D=
567 =
● E =
700 = 100 × 7 = 100 × 7 = 10 7
● F=
252 = 36 × 7 = 36 × 7 = 6 7
81 × 7 = 81 × 7 = 9 7
2)
On cherche à écrire les nombres sous la forme a 7 donc je
cherche un nombre qui, multiplié par 7 donne 567. Ici, c’est 81.
J’utilise la propriété de la racine carrée d’un produit.
Comme 81 = 9, le résultat s’écrit simplement.
● G = 2 28
G = 2 4× 7 = 2× 4 × 7 = 2× 2× 7 = 4 7
EXERCICE 26
● M = 3 5 − 2 45 + 180
● N=
108 + 7 12 − 3 75
M = 3 5 − 2 9 × 5 + 36 × 5
N=
36 × 3 + 7 × 4 × 3 − 3 × 25 × 3
M = 3 5 − 2 9 × 5 + 36 × 5
N=
36 × 3 + 7 × 4 × 3 − 3 × 25 × 3
M = 3 5 − 2×3 5 + 6 5
N = 6 3 + 7 × 2 3 − 3× 5 3
M = 3 5 −6 5 +6 5
N = 6 3 + 14 3 − 15 3
M= 3 5
N= 5 3
● P=
200 − 3 242 − 5 2
P = 100 × 2 − 3 × 121 × 2 − 5 2
P = 100 × 2 − 3 × 121 × 2 − 5 2
P = 10 2 − 3 × 11 2 − 5 2
P = 10 2 − 33 2 − 5 2
P = −28 2
Les commentaires du professeur :
On utilise la même méthode que dans le dernier « Je comprends la méthode ».
On obtient trois termes avec la même racine carrée ( 5 ) pour le nombre M, ce qui permet de factoriser la somme.
Pour le nombre P, une fois que l’on a simplifié les écritures
200 et
242 , on factorise par
10 2 − 33 2 − 5 2 = 2 × ( 10 − 33 − 5 ) = 2 × ( −28 ) = −28
:
2.
2
154 – Cned, Mathématiques 3e
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155
Séquence 5
EXERCICE 27
1)
Soit P 1 le périmètre du triangle ABC en cm.
P1 =
3 × 2 12 soit P 1 = 6 12 cm.
Soit P 2 le périmètre du rectangle EFGH en cm.
P2 =
1)
ABC est un triangle équilatéral donc son périmètre est égal à
« 3 fois la longueur d’un côté ».
EFGH est un rectangle donc son périmètre est égal à
« 2 fois sa longueur plus 2 fois sa largeur ».
2 12 + 2 48 cm
2)
2)
P 1 = 6 12 cm
P 1 = 6× 4×3 = 6×
P 1 = 12 3 cm
4 × 3 = 6× 2 3
P 2 = 2 12 + 2 48
P 2 = 2 × 4 × 3 + 2 × 16 × 3
P 2 = 2 × 4 × 3 + 2 × 16 ×
P 2 = 2× 2× 3 + 2× 4× 3
P2 = 4 3 +8 3
P 2 = 12 3 cm
On simplifie les écritures des racines carrées en utilisant la
propriété de la leçon.
3
On obtient ainsi le même périmètre pour les deux figures.
Les deux périmètres sont égaux.
EXERCICE 28
A = ( 27 − 5)² − 30(1 − 3)
A = ( 27)² − 2 × 27 × 5 + 5² − 30 × 1 + 30 × 3
A = 27 − 10 27 + 25 − 30 + 30 3
A = 22 − 10 27 + 30 3
On développe en utilisant une identité remarquable et la
distributivité vue en classe de 5ème.
On simplifie l’écriture de 27 en utilisant la propriété de la
racine d’un produit afin de pouvoir encore simplifier l’écriture de
A.
A = 22 − 10 × 9 × 3 + 30 3
A = 22 − 10 × 9 × 3 + 30 3
A = 22 − 10 × 3 3 + 30 3
A = 22 − 30 3 + 30 3
A = 22
A est un nombre entier.
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155
156
Séquence 5
EXERCICE 29
● A=
1× 3
1
3
=
=
3
3 ( 3)²
● B=
−5 × 6 −5 6
−5
=
=
6
6
( 6)²
● C=
5 − 2 (5 − 2) × 2 5 2 − ( 2)² 5 2 − 2 5 2
=
=
=
=
−1
2
2
2
2
( 2)²
Les commentaires du professeur :
On applique le « Je comprends la méthode » vu précédemment.
EXERCICE 30
● A=
A=
● B=
5
3
5 2
3 8 5 2 3 8
20 2 3 8 20 2 + 3 8
=
+
=
+
=
+
=
+
2
8
8
8
8
2
8
( 2)² ( 8)²
20 2 + 3 × 4 × 2 20 2 + 6 2 26 2 13 2
=
=
=
8
8
8
4
2
3
5
2 7
3 28 5 2 7 3 28 5
+
− =
+
− =
+
−
7
28
7
7
28 7
( 7)² ( 28)² 7
B=
8 7 3 28 20 8 7 + 3 28 − 20 8 7 + 3 × 4 × 7 − 20 8 7 + 6 7 − 20
+
−
=
=
=
28
28
28
28
28
28
B=
14 7 − 20
7 7 − 10
=
14
28
Les commentaires du professeur :
On applique le « Je comprends la méthode » vu précédemment aux différents termes de chaque somme.
On écrit les quotients avec le même dénominateur. On simplifie ensuite l’écriture des racines carrées.
On pense également à simplifier l’écriture fractionnaire à la fin, lorsque c’est possible.
156 – Cned, Mathématiques 3e
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157
Séquence 5
Séance 8
EXERCICE 31
1)
1)
J’émets les conjectures suivantes :
● Ces trois rectangles ont la même forme.
● Ce sont des agrandissements ou des réductions les
uns des autres.
On émet des conjectures en observant la figure, c’est-à-dire qu’on
énonce des propriétés concernant ces figures qui semblent vraies.
On verra par la suite que ces conjectures sont vraies.
● Les longueurs de ces rectangles sont
proportionnelles à leurs largeurs.
Si je mesure la longueur L et la largeur l de chaque
rectangle, j’obtiens :
pour le rectangle 1 :
L ≈ 4,8 cm et l ≈ 3 cm
pour le rectangle 2 :
L ≈ 3,2 cm et l ≈ 2 cm
pour le rectangle 3 :
L ≈ 1,6 cm et l ≈ 1 cm
4,8
3
3,2
2
Un rectangle d’or est un rectangle tel que le rapport de sa
longueur sur sa largeur est égal au nombre d’or (≈ 1,618)
Il semble que ce soit le cas pour nos trois rectangles !
1,6
1
4,8 3, 2 1,6
=
=
= 1,6
3
2
1
Il s’agit bien d’un tableau de proportionnalité.
2)
● Lorsqu’on divise la longueur d’une feuille de papier
au format A4 par sa largeur, on obtient :
29,7 : 21 ≈ 1,41.
On n’obtient pas environ 1,6.
Cette feuille n’est donc pas un rectangle d’or.
2)
Pour savoir si un rectangle semble être un rectangle d’or, on
divise sa longueur par sa largeur. On regarde si on obtient un
nombre environ égal à 1,6 comme dans la question 1.
● Lorsqu’on divise la longueur par la largeur (qui sont
égales !), on obtient 1.
On n’obtient pas environ 1,6.
Un carré n’est donc pas un rectangle d’or.
Cned, Mathématiques 3e
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157
158
Séquence 5
3)
a) On suit le programme de construction indiqué dans l’énoncé.
Si tu n’arrives pas à construire la figure, ouvre le fichier :
sequence5exercice31.
3)
On mesure sur la figure qu’on vient de tracer les longueurs AD et
AB.
En calculant
AB
, on obtient une valeur proche de 1,6, c’est-àAD
dire proche du nombre d’or. Il semble donc que ce programme de
construction permette de construire un rectangle d’or.
Sur la figure que j’ai tracée, [AB] mesure environ
7 cm et [AD] mesure environ 4,2 cm.
AB
≈ 1,6
AD
Il semble donc que le rectangle que j’ai tracé soit un
rectangle d’or.
b)
On construit la figure ci-dessus à l’aide d’un logiciel
de géométrie dynamique, on fait afficher les
AB
longueurs AB et AD, ainsi que le rapport
.
AD
On remarque que lorsqu’on bouge les points de la
AB
figure, le rapport
reste le même et est environ
AD
égal à 1,618033989.
Bien évidemment, tu as choisi au hasard, la longueur du côté du
carré AMND. Tu n’as donc peut-être pas trouvé les mêmes
mesures que dans la correction ci-contre. Ce n’est pas grave. En
4)
a)
Le triangle OMN est rectangle en N.
4)
a)
revanche, le rapport
AB
doit être environ égal à 1,6.
AD
En appliquant la propriété de Pythagore, on obtient :
OM² = MN² + ON²
OM² = 6² + 3²
OM² = 45
OM = 45
Or,
45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 5 .
D’où : OM = 3 5 cm.
OM = OC (d’après l’énoncé).
On a donc : OC = 3 5 cm.
DC = DO + OC = 3 + 3 5 .
DC 3 + 3 5 3(1 + 5) 1 + 5
=
=
=
.
BC
6
3× 2
2
Un rectangle d’or est donc un rectangle dont le
rapport « longueur divisé par largeur » est égal à
1+ 5
.
2
158 – Cned, Mathématiques 3e
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159
Séquence 5
b)
NC = DC – DN = 3 + 3 5 – 6 = –3 + 3 5
BC
6
3× 2
2
=
=
=
NC −3 + 3 5 3(−1 + 5) −1 + 5
Pour prouver que
●2×2=4
BC = 6
2
1+ 5
et
sont égaux, on peut calculer les produits en croix :
2
−1 + 5
2
● (−1 + 5)(1 + 5) = ( 5 + 1)( 5 − 1) = 5 − 1 = 5 − 1 = 4
2
1+ 5
et
sont égaux.
2
−1 + 5
D’après la question précédente, le rectangle NMBC est bien un rectangle d’or.
Les produits en croix sont égaux donc
Les commentaires du professeur :
On pouvait également procéder de la façon suivante :
−2 − 2 5
−2 × (1 + 5 )
BC
2 × (−1 − 5 )
=
=
=
−4
NC (−1 + 5 ) × (−1 − 5 ) (−1)² − ( 5 )²
=
−2 × (1 + 5 ) 1 + 5
=
−2 × 2
2
5)
MUTS et VWST
sont deux rectangles
d’or.
6)
Cned, Mathématiques 3e
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159
160
Séquence 5
EXERCICE 32
1)
2
1+ 5 
(1 + 5)² 1² + 5² + 2 × 1 × 5
φ² = 
=
 =
2²
4
 2 
6 + 2 5 2( 3 + 5 ) 3 + 5
=
=
4
2×2
2
1+ 5 + 2 5 6 + 2 5 3 + 5
φ² =
=
=
4
4
2
φ + 1=
D’où :
1)
On calcule séparément φ² et φ+1.
On obtient, après simplification, le même résultat.
On en déduit l’égalité.
1+ 5
1+ 5 + 2 3 + 5
+1=
=
2
2
2
φ² = φ + 1.
2)
2)
On calcule séparément
1
1
2
● =
=
ϕ 1+ 5 1+ 5
2
● ϕ −1=
1
ϕ
et
Pour simplifier l’écriture de
1+ 5
1 + 5 − 2 −1 + 5
−1 =
=
2
2
2
φ–1
1
ϕ
, on multiplie le numérateur et le
dénominateur par 1 − 5 , ainsi il n’y a plus de racine carrée au
dénominateur.
−1 + 5
2
sont égaux, on
et
2
1+ 5
peut calculer les produits en croix :
Pour prouver que
2×2=4
(1 + 5)(−1 + 5) = ( 5 + 1)( 5 − 1)
2
(1 + 5)(−1 + 5) = 5 − 1 = 5 − 1 = 4
Les produits en croix sont égaux donc
2
et
1+ 5
−1 + 5
sont égaux.
2
1
D’où :
= ϕ − 1.
ϕ
160 – Cned, Mathématiques 3e
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161
Séquence 5
Séance 9
EXERCICE 33
1)
1)
On choisit comme nombre 1 au départ et on suit le programme de
calcul.
On obtient – 6.
● Avec le nombre 1
1² = 1
1² – 7 = – 6
● Avec le nombre – 5
(– 5)² = 25
(– 5)² – 7 = 18
On fait de même avec – 5. On obtient 18.
2)
● Avec n’importe quel nombre x, j’obtiens
successivement :
x²
x² – 7
Pour savoir quel(s) nombre(s) choisir au départ afin
d’obtenir 2,61 à la fin, il suffit de résoudre l’équation :
x² – 7 = 2,61
x² = 2,61 + 7
x² = 9,61
9,61 > 0 donc il y a deux solutions : 9,61 et
2)
Grâce à la question 1, on comprend comment fonctionne le
programme de calcul.
Dans la question 2, on ne connaît pas le nombre de départ.
On l’appelle x.
– 9,61 soit : 3,1 et – 3,1.
EXERCICE 34
Départ :
x
9 × x = 9x
9x = 9 × x = 3 x
Dans cet exercice, on ne connaît pas le nombre de départ.
On l’appelle x.
On fait fonctionner le programme de calculs avec x.
On obtient 3 x − 5 .
Arrivée : 3 x − 5
On résout l’équation :
3 x −5= 7
3 x =7+5
12
x=
3
x =4
x = 16
x est le nombre positif dont le carré est égal à x.
( x )² = 4² = 16.
D’où : x = 16.
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161
162
Séquence 5
EXERCICE 35
1)
2=
p
q
2
 p
On élève au carré les deux membres de cette égalité : ( 2)² =  
q
p²
Autrement dit :
2=
d’où :
2q² = p²
q²
2)
dernier chiffre de p
dernier chiffre de p²
0
0
1
1
2
4
3
9
4
6
5
5
6
6
7
9
8
4
9
1
dernier chiffre de q
dernier chiffre de q²
dernier chiffre de 2×q²
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
8
4
6
2
5
5
0
6
6
2
7
9
8
8
4
8
9
1
2
3)
La seule possibilité pour que le dernier chiffre de p² soit aussi le dernier chiffre de 2q² est lorsque p2 se
termine par un 0.
Cela signifie que le dernier chiffre de p est 0 et que le dernier chiffre de q est 0 ou 5.
4)
Si p se termine par 0 et si q se termine par 0 ou 5, cela signifie que p et q sont tous les deux divisibles par 5.
p
Dans ce cas, la fraction
n’est pas irréductible.
q
C’est une contradiction puisqu’au départ, on avait supposé qu’elle l’était.
Cela signifie que ce que l’on a supposé au départ était faux :
d’une fraction.
2 ne peut donc pas s’écrire sous la forme
162 – Cned, Mathématiques 3e
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163
Séquence 5
JE M’ÉVALUE
1)
La racine carrée d’un nombre est toujours
positive.
On peut calculer la racine carrée de n’importe quel
nombre avec la calculatrice.
1)
La racine carrée d’un nombre est toujours positive et on ne peut
pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif.
Certaines racines carrées se calculent de tête comme 4 , 9 ,
25 …
La racine carrée d’un nombre entier positif est un
nombre entier positif.
La racine carrée d’un entier positif n’est pas nécessairement un
nombre entier positif. Par exemple, 2 n’est pas un entier.
On peut calculer la racine carrée de certains
nombres de tête.
2)
8=4
2)
On utilise la définition de la racine carrée.
C’est 16 qui est égal à 4.
( 3)² = 3
2² = 4
0 =0
2² est égal à 2.
3)
3)
–7
( −7 )² = 49 = 7
On ne peut pas obtenir – 7 car la racine carrée d’un nombre est
toujours positive !
7
49
n’existe pas
4)
L’équation : x2 = 9
4)
a deux solutions : 9 et – 9
L’équation : x2 = 0 a une seule solution : 0.
L’équation : x2 + 1 = 0 n’a pas de solution.
L’équation « x² = 9 » a deux solutions : 3 et – 3.
Si on résout : x² + 1 = 0, on obtient : x² = – 1
Il n’y a donc aucune solution.
Si on résout : x² – 6 = 0, on obtient : x² = 6
Il existe deux solutions : 6 et − 6 .
6 est l’unique solution de l’équation : x2 – 6 = 0.
5)
6 et – 6
8 et – 8
10 et – 10
5)
(x – 8)(x + 8) = 36
On développe le 1er membre : x² – 64 = 36
x² = 36 + 64
x² = 100
Il y a deux solutions : 10 et – 10.
Il n’y a aucune solution
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163
164
Séquence 5
6)
6)
29 + 12 5
( 3 + 2 5 )² = 3² + ( 2 5 )² + 2 × 3 × 2 5
( 3 + 2 5 )² = 9 + 4 × 5 + 12 5
( 3 + 2 5 )² = 29 + 12 5
19 + 12 5
29
9 + 16 5
7)
7)
5 3
3 5
75 = 25×3
75 = 25 × 3
25 × 3
75 = 5 3
25 3
8)
14
50
8)
ABC est un triangle rectangle en A.
En appliquant la propriété de Pythagore, on obtient :
BC² = AB² + AC²
D’où : BC² = ( 4 3 )² + ( 2 )²
BC² = 16 × 3 + 2 = 50
5 2
D’où : BC =
On ne peut pas calculer cette longueur
50 =
50
25×2 = 25 × 2 = 5 2
9)
9)
3 216
162 + 3 72 − 18 = 81×2 + 3 36 ×2 − 9×2
162 + 3 72 − 18 = 81 × 2 + 3 36 × 2 − 9 × 2
9 2 + 18 2 − 3 2
162 + 3 72 − 18 = 9 2 + 3 × 6 2 − 3 2
162 + 3 72 − 18 = 9 2 + 18 2 − 3 2
24 2
162 + 3 72 − 18 = 24 2
6+6 6 −2 3
10)
10)
3 5
15 5
5
3
3 5
5
3
3× 5
=
5
5× 5
3
3 5
=
5
5
164 – Cned, Mathématiques 3e
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165
Séquence 6
SÉQUENCE 6
FONCTIONS
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1)
2c
4c
2)
3)
4c2
c2
x+3×5–2
(x + 3) × (5 – 2)
(x + 3) × 5 – 2
3×5–2
25
cm
3
2,5 cm
On a exprimé le résultat du programme de calcul en fonction
de x.
7,5 cm
1) L’aire d’un carré est le produit de son côté par lui-même.
Si le côté est 3 cm, son aire est 3 × 3 soit 9 cm2.
Si le côté est 4 cm, son aire est 4 × 4 soit 16 cm2.
Si le côté est 5 cm, son aire est 5 × 5 soit 25 cm2.
Si le côté est c cm, son aire est c × c soit c2 cm2.
2) x est le nombre choisi. On lui ajoute 3. On obtient : x + 3.
On multiplie le résultat par 5. On obtient : (x + 3) × 5.
On retranche 2 au résultat. On obtient : (x + 3) × 5 – 2.
3
cm
25
4)
5s
15 s
3s
20 s
EXERCICE 1
1) Le périmètre de chacun de ces trois rectangles est
égal à 20 cm.
3) La hauteur d’eau en cm est fonction du temps écoulé en
seconde.
Pour calculer la hauteur d’eau au bout de 2,5 secondes, on
remplace t par 2,5 dans l’égalité : h = 3 × t.
On obtient : h = 3 × 2,5 = 7,5. D’où : h = 7,5 cm.
4) On cherche pour quelle valeur de t on a : h = 60.
Comme h = 3× t, on cherche t tel que 3 × t = 60.
On est donc ramené à résoudre une équation.
Le nombre qui, multiplié par 3 donne 60 est par définition
60
donc 20.
3
On pouvait aussi dire par exemple que :
• la somme des longueurs de deux côtés consécutifs est égale à
10 cm.
• le demi-périmètre de chacun des rectangles est égal à 10 cm.
2) a)
Les commentaires du professeur :
On pouvait construire bien d’autres rectangles KLMN de périmètre 20 cm.
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165
166
Séquence 6
On rappelle que le périmètre de KLMN est la longueur de son
contour, soit KL + LM + MN + NK donc : 2 × (KL + LM).
b)
KL ne peut pas être plus grande que 10 cm.
• On a vu dans le 1) que si l’on choisit KL = 9 cm, on peut
construire un rectangle KLMN de 20 cm de périmètre. Il suffit de
construire [LM] tel que LM = 1 cm.
Le périmètre du rectangle est : 2 × (KL + LM) = 2 × (9 + 1) = 20.
• Si on choisit KL = 9,99 cm, on peut encore construire un
rectangle KLMN de 20 cm de périmètre. Il suffit pour cela de
construire [LM] tel que LM = 0,01 cm.
Le périmètre du rectangle est :
2 × (KL + LM) = 2 × (9,99 + 0,01) = 20.
• Si on choisit KL = 9,999 999 cm, on peut encore construire un
rectangle de 20 cm de périmètre. On a alors LM = 0,000 001 cm.
Si on choisit KL = 0,001, on peut encore construire un rectangle
KLMN de 20 cm de périmètre. On a alors LM = 9,999 cm.
KL ne peut pas être plus petite que 0 cm.
Pour voir ceci à l’aide d’une animation, et si tu possèdes un
ordinateur, lance geogebra et ouvre le fichier
sequence7exercice1corrige1.
Déplace alors le point K.
c)
c) Je peux en construire une infinité.
Comme : KL + LM = 10 cm,
si KL = 1 cm alors LM = 9 cm
si KL = 4 cm alors LM = 6 cm
si KL = 5,5 cm alors LM = 4,5 cm.
Chaque fois que je choisis une valeur pour KL entre
0 et 10, je peux construire un rectangle KLMN de
20 cm de périmètre en prenant LM égal à
10 – KL cm.
3) a)
KL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
LM
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Les commentaires du professeur :
On peut compléter rapidement le tableau vu que KL + LM = 10.
b) x = KL
Le périmètre du rectangle est 2 × (KL + LM) donc
2 × (x + LM).
Le périmètre du rectangle KLMN est égal à 20 cm
donc on a : 2 × (x + LM) = 20.
D’où : x + LM = 10
LM = 10 – x
c)
• l(x) = 10 – x
• l(2,5) = 10 – 2,5 = 7,5
• l(4,1) = 10 – 4,1 = 5,9
166
b)
Exprimer LM en fonction de x, c’est écrire une égalité du type :
LM =
................
expression où
intervient x
c)
On lit : « l de x est égal à 10 – x »..
Pour calculer l(2,5) (on lit « l de 2,5 »), il suffit de remplacer x par
2,5 dans l’égalité l(x) = 10 – x.
On trouve alors l(2,5) = 10 – 2,5 = 7,5
L’image de 4,1 par la fonction l est l(4,1).
Pour calculer l(4,1) (on lit « l de 4,1 »), il suffit de remplacer x par
4,1 dans l’égalité : l(x) = 10 – x.
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167
Séquence 6
• l(1) = 10 – 1 = 9
1 est un antécédent de 9 par la fonction l.
On cherche un nombre dont l’image par l est 9.
On fait des essais et on remarque que l(1) = 9. On pouvait aussi le
voir dans le tableau de valeurs.
1 est donc un antécédent de 9 par l.
4) a)
Les commentaires du professeur :
Ce tracé est un segment : tous les points sont exactement alignés. Si on avait su, on aurait pu ne placer que deux points, cela aurait
suffi !
b)
b)
D’après une lecture graphique, l’image de 4,5 par la
fonction l est 5,5.
La représentation graphique d’une fonction l est en fait
l’ensemble de tous les points de coordonnées (x ; l(x)).
Pour lire sur ce graphique l’image de 4,5 on cherche l’ordonnée du
point de la représentation graphique dont l’abscisse est 4,5.
Pour cela : on trace un segment vertical passant par le point
(4,5 ; 0) qui coupe la représentation graphique de l en un point K.
On trace ensuite un segment horizontal qui passe par K et qui
coupe l’axe des ordonnées. Il faut laisser les tracés apparents.
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–
167
168
Séquence 6
c)
D’après une lecture graphique, 1,5 est un antécédent
de 8,5.
Il n’y a qu’un seul point de la représentation
graphique de l à avoir une ordonnée de 8,5.
1,5 est donc le seul antécédent de 8,5 par l.
Pour lire sur ce graphique un antécédent de 8,5 on cherche
l’abscisse du point de la représentation graphique dont l’ordonnée
est 8,5.
Pour cela : on trace un segment horizontal passant par le point L
de coordonnées (0 ; 8,5) qui coupe la représentation graphique de l
en un point. On trace ensuite un segment vertical qui passe par L et
qui coupe l’axe des abscisses. Il faut laisser les tracés apparents.
c)
• l(4,5) = 10 – 4,5 = 5,5
c) On peut calculer l’image de 4,5 par la fonction l. Le résultat est
alors exact.
• Recherche de l’antécédent de 8,5 par l :
On cherche x tel que : l(x) = 8,5
On résout :
10 − x = 8,5
− x = 8,5 − 10
− x = −1,5
x = 1,5
5)
Le logiciel a tracé une droite qui contient et prolonge
la représentation graphique de la fonction l pour x
compris entre 0 et 10.
On peut également dans ce cas calculer les antécédents de 8,5.
On montre ainsi que 8,5 a un seul antécédent par l qui est 1,5.
5)
Si tu n’as pas réussi à effectuer cette question à l’aide de geogebra,
ouvre la figure corrigée : sequence7exercice1corrige2.
Comme on n’a pas précisé à l’ordinateur que l’on prenait x
compris entre 0 et 10, l’ordinateur a tracé tous les points de
coordonnées (x, l(x)) pour n’importe quelle valeur de x (pour x
négatif, pour x compris entre 0 et 10, et pour x plus grand que 10).
Essaie en te déplaçant à l’aide du bouton « déplacement » de
trouver le point de la courbe dont l’abscisse est 30.
Si tu ne l’as pas déjà fait, ouvre avec geogebra le fichier
sequence7exercice1corrige2.
Déplace ensuite le point M sur la droite tracée par l’ordinateur.
Tu constates que les coordonnées du point M sont (x, 10 – x) c’està-dire (x, l(x)).
Pour avoir à l’aide de geogebra une vision d’ensemble de cet
exercice, ouvre le fichier sequence7exercice1corrige3.
Déplace le point K. Tu vois alors pour chaque position du point K
le rectangle KLMN de périmètre 20 cm obtenu, ainsi que le point
de coordonnée (x , l(x)).
168
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169
Séquence 6
EXERCICE 2
1) La fonction f est définie par :
f : x ֏ x2
On peut également écrire pour définir la fonction f :
f est la fonction définie par : f(x) = x2.
2)
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
f(x)
9
4
1
0
1
4
9
3)
Les commentaires du professeur :
Pour représenter graphiquement la fonction f, on place les points de coordonnées (–3 ; 9) , (–2 ; 4) , (–1 ; 1) , (0 ; 0) ; (1 ; 1) , (2 , 4)
et (3 ; 9).
La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).
Pour la représenter, il faudrait placer tous les points de coordonnées (x ; f(x)). Bien sûr, ce n’est pas possible car il y en a une infinité.
On en place donc quelques-uns puis on les relie par un tracé.
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169
170
Séquence 6
Attention : il ne faut pas relier les points par
des segments.
Pourquoi ? Pour mieux le comprendre, effectuons un grossissement d’une
partie du graphique, ce qui donne le nouveau graphique ci-contre.
La courbe foncée est celle obtenue en reliant les points par des segments.
La courbe claire est celle obtenue en traçant la courbe « à main levée ».
Laquelle des deux est la bonne ?
Prenons une valeur, par exemple 0,5.
f(0,5) = 0,52 = 0,25
L’image de 0,5 est donc 0,25.
Si on cherche à déterminer graphiquement l’image de 0,5 par f et
qu’on utilise la courbe foncée, on ne trouve pas 0,25 mais 0,5.
La courbe foncée n’est donc pas la représentation graphique de f.
Conclusion : Lorsqu’on trace la représentation graphique d’une fonction, on
place des points de coordonnées (x ; f(x)) puis on les relie en traçant une courbe « à main levée ».
4)a)
Les antécédents de 4 par f sont les nombres x tels que
f(x) = 4
c’est-à-dire tels que x2 = 4.
On a vu cette année que l’équation x2 = a admet deux solutions
2
On sait que l’équation x = 4 admet deux solutions
lorsque a est positif :
a et − a .
qui sont –2 et 2.
–2 et 2 sont les antécédents de 4 par f.
On retrouve sur le graphique les deux antécédents de 4 par la
fonction f.
On n’oublie pas de laisser les traits de construction apparents.
170
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171
Séquence 6
b)
b)
Les antécédents de 5 par f sont les nombres x tels que
f(x) = 5 soit tels que x2 = 5.
On sait que l’équation x2 = 5 admet deux solutions
qui sont − 5 et 5 .
− 5 et
5 sont les seuls antécédents de 5 par f.
On retrouve sur le graphique les valeurs approchées des deux
antécédents de 5 : –2,2 et 2,2.
On n’oublie pas de laisser les traits de construction apparents.
c)
Les antécédents de –2 par f sont les nombres x tels
que f(x) = –2 soit tels que x2 = –2.
On sait que l’équation x2 = –2 n’admet aucune
solution car –2 < 0.
–2 n’a donc pas d’antécédent par f.
c)
On se souvient que l’équation x2 = a n’admet pas de solution
lorsque a est négatif.
Cela se visualise graphiquement puisque si a est négatif, la droite
parallèle à l’axe des abscisses passant par le point de coordonnées
(0 ; –2) ne coupe jamais la représentation graphique de la fonction.
Si tu possèdes un ordinateur, ouvre le fichier
sequence7exercice2corrige à l’aide de geogebra et déplace le
point bleu. Tu verras alors apparaître de façon graphique les
solutions de l’équation x2 = a en fonction du nombre a.
5)
f(1 + 2) = f(3) = 32 = 9
f(1) + f(2) = 12 + 22 = 1 + 4 = 5.
On a : f(1 + 2) ≠ f(1) + f(2)
Il faut faire attention à ne pas confondre deux situations :
• Si f, a et b sont des nombres, on a :
f × (a + b) = f × a + f × b
• Si f est une fonction et a et b sont des nombres,
f(a + b) et f (a) + f(b) ne sont pas toujours des nombres égaux.
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171
172
Séquence 6
Séance 2
EXERCICE 3
1)
a)
KL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
LM
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Aire
de
KLMN
0
9
16
21
24
25
24
21
16
9
0
Les commentaires du professeur :
On a déjà calculé LM pour les valeurs de KL entières de 0 à 10 dans l’exercice 1.
L’aire du rectangle KLMN est le produit de KL et de LM.
b)
5 cm est la valeur entière de x pour laquelle l’aire de
KLMN est la plus grande. L’aire de KLMN pour
cette valeur est 25 cm2.
2)
a(x) = KL × LM = x × (10 – x)
Il suffit de regarder dans le tableau la valeur entière de KL pour
laquelle l’aire de KLMN est la plus grande.
Cela ne veut pas dire que l’aire de KLMN est la plus grande pour
x = 5 car on n’a pas étudié cette aire pour les valeurs non entières
de x.
On peut développer a(x) si l’on veut :
a(x) = 10x – x2 = –x2 + 10x
3)
a)
La représentation graphique se trouve page suivante !
172
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173
Séquence 6
Les commentaires du professeur :
On place les points en s’aidant du tableau. On peut en placer d’autres si on veut être plus précis. On trace ensuite à main levée un
tracé passant par tous ces points. Ce tracé doit représenter l’ensemble des points de coordonnées (x, a(x)).
c)
c)
D’après
une lecture graphique, on voit que l’aire semble maximale
D’après une lecture graphique, la valeur de x pour
quand le rectangle KLMN est un carré.
laquelle a(x) semble être la plus grande est 5.
Cela veut dire que l’aire du rectangle est maximale
pour KL = 5 cm. L’aire du rectangle est alors
25 cm2.
Le rectangle est alors un carré car KL = LM = 5 cm.
d) D’après une lecture graphique de la figure à
l’écran, la valeur de x pour laquelle a(x) est la plus
grande est 5. Cela veut dire que l’aire du rectangle
est maximale pour KL = 5 cm. L’aire du rectangle
est alors 25 cm2.
Le rectangle est alors un carré car KL = LM = 5 cm.
Ce résultat n’a pas été démontré : il est constaté en lisant une
représentation graphique de la fonction a.
Pour être plus sûr du résultat on peut utiliser un logiciel de
géométrie dynamique.
Si tu n’as pas réussi à faire la construction proposée : ouvre le
fichier sequence7exercice3corrige1.
On déplace le point sur la courbe tout en lisant ses coordonnées.
On voit alors que le point « au sommet de la courbe » a pour
coordonnées (5 ; 25).
Pour visualiser pour chaque position du point K le rectangle
KLMN et le point de coordonnées (x, a(x)), ouvre le fichier
Sequence7exercice3corrige2.
Pour pouvoir affirmer ce résultat, il faudrait une démonstration. Il
en existe, mais elle n’est pas au programme de 3e !
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173
174
Séquence 6
EXERCICE 4
1)
h(0) = 0
h(1) = 6 000
h(4) = 9 000
h(6) = 4 000
h(11) = 0
2)
L’altitude au bout de 3 h de vol est h(3).
1)
Comme les points sont placés sur le graphique, on peut considérer
que les valeurs sont des valeurs exactes.
2)
On détermine graphiquement l’image de 3 par la fonction h.
On n’oublie pas de laisser les traits de construction apparents.
h(3) ≈ 8 700 m
3)
3) L’altitude maximale de vol de l’avion est 9 000 m. Les
traits de lecture sont déjà tracés sur le graphique.
L’avion a volé à cette hauteur au bout de 4 h de vol.
4) Les antécédents de 6 000 m sont les nombres
d’heures de vol auxquelles l’avion a volé à 6 000 m
d’altitude.
4)
Il y en a deux : 1 h et environ 5,8 h.
174
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175
Séquence 6
Séance 3
EXERCICE 5
1)
On peut également écrire :
t est la fonction définie par : t(x) = 1,5 x.
1)
t est la fonction définie par :
t : x ֏ 1,5x
ou bien encore :
t est la fonction définie par : t(x) =
3
x
2
2)
a)
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
t(x)
– 4,5
–3
– 1,5
0
1,5
3
4,5
b)
Le tableau ci-dessus est un tableau de
proportionnalité : il suffit de multiplier chaque
nombre de la 1ère ligne par 1,5 pour obtenir le
nombre qui se trouve juste au dessous.
Les grandeurs « température à Burg » et
« température à Nantes » sont proportionnelles.
b)
c)
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175
176
Séquence 6
d) La représentation graphique de la fonction t semble
être une droite.
Je peux même affirmer que c’est une droite passant
par l’origine car j’ai vu en 4e qu’une situation de
proportionnalité est représentée graphiquement dans
un repère par une droite passant par l’origine.
e) Il n’y avait donc besoin que de deux points pour
pouvoir tracer la représentation graphique de la
fonction t car c’est une droite.
f) Les températures sont négatives à Burg quand elles
sont négatives à Nantes.
3) a) Dans chacun des trois cas, les fonctions
définissent des situations de proportionnalités.
Pour la fonction g, le coefficient de proportionnalité
est –4.
Pour la fonction h, le coefficient de proportionnalité
est 2.
Pour la fonction n, le coefficient de proportionnalité
2
est − .
3
Les représentations graphiques de ces fonctions sont
donc des droites qui passent par l’origine du
repère.
b)
g(1) = –4 × 1 = – 4
La représentation graphique Cg est la
droite qui passe par O et le point de
coordonnées (1 ; – 4).
d)
On a vu en 4e qu’une situation de proportionnalité est représentée
graphiquement dans un repère par des points alignés avec
l’origine.
e)
En plus, comme on sait qu’il y a l’origine du repère, il ne suffit
donc que d’un point en plus de l’origine !
On regarde quand les points de la représentation graphiques de t
ont une ordonnée négative. C’est le cas lorsque leur abscisse est
négative.
g(0) = –4 × 0 = 0
h(0) = 2 × 0 = 0
2
n(0) = − × 0 = 0
3
h(1) = 2 × 1 = 2
La représentation graphique Ch est la
droite passant par O et le point de
coordonnées (1 ; 2).
2
n(3) = − × 3 = −2
3
La représentation graphique Cn est la
droite passant par O et le point de
coordonnées (3 ; – 2).
176
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177
Séquence 6
Les commentaires du professeur :
Lorsqu’on veut représenter graphiquement une fonction du type : x ֏ « un nombre » × x
il suffit de calculer l’image d’un point (autre que 0).
On a alors le choix. On essaie de se simplifier les calculs afin d’obtenir des entiers (si cela est possible).
C’est pour cela que l’on a calculé n(3) et pas n(1).
n(1) =
−
2
3
. Le point de coordonnées (1 ;
−
2
3
) est plus difficile à placer que le point de coordonnées (3 ; – 2).
EXERCICE 6
1)
La fonction f est définie par : f(x) = 2x + 3
f(1) = 2×1 + 3 = 5
Elle n’est donc pas de la forme :
f(2) = 2×2 + 3 = 7
La situation n’est pas une situation de proportionnalité :
f(x) = « un nombre » × x
mais
f(2) n’est pas égal à 5 × 2.
f(1) = 5 × 1
f n’est pas une fonction linéaire.
2)
La fonction g est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du
repère et par le point de coordonnées (1 ; 2) car g(1) = 2.
Soit x l’abscisse de M1. L’ordonnée de M1 est : g(x) = 2x
L’abscisse de N1 est x. L’ordonnée de N1 est : f(x) = 2x + 3 = g(x) + 3.
L’ordonnée de N1 s’obtient en ajoutant 3 à l’ordonnée de M1.
De même l’ordonnée de N2 s’obtient en ajoutant 3 à l’ordonnée de M2.
C’est également la même chose pour
n’importe quel point de la représentation
graphique de g.
La représentation graphique de f est
donc une droite. Cette droite s’obtient
« en décalant » la représentation graphique
de g de 3 cm « vers le haut ». C’est donc la
droite (N1 N2).
3)
La représentation graphique de f s’obtient
« en décalant » la représentation graphique
de g de 3 unités « vers le haut ».
4)
Les commentaires du professeur :
Trace la droite (N1 N2) de la page précédente en traits pleins.
Dans la figure sequence7exercice6corrige, on a représenté graphiquement la fonction g, puis en cliquant dessus et en appuyant un
certain nombre de fois sur la touche ↑ on a obtenu la représentation graphique de la fonction qui à x associe 2x + 3.
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177
178
Séquence 6
Séance 4
EXERCICE 7
1)
Je n’arrive pas à calculer le côté du carré !
2)
Sans ordinateur :
(la figure n’est pas à l’échelle 1)
Ce problème semble difficile …
On commence par construire le triangle ABC à l’aide d’une règle
et d’un compas.
Ensuite, on cherche à placer EFGH.
Il y a de nombreuses façons qui permettent de placer «à peu près »
le rectangle EFGH, par exemple la suivante :
Pour des raisons de symétrie, le milieu de [HE] doit être le milieu
de [BC].
On place le milieu de [BC]. Puis on place un peu au hasard le
point E.
Ensuite, on construit les points F, G et H à l’aide d’un équerre.
On mesure alors HE et EF. S’ils ne sont pas égaux, on efface le
rectangle et on place E de façon à chercher à obtenir un carré.
Je trouve que le carré a pour côté environ 5 cm mais
je n’en suis pas sûr(e).
L’aire du carré est donc d’environ 25 cm2.
Avec ordinateur :
Je déplace lentement le point E sur [BC] en regardant
la valeur de x et celle de f(x).
Je trouve que les deux sont égales quand x = 4,8 cm.
D’après le logiciel de géométrie, il semble que le
côté du carré soit 4,8 cm, donc que l’aire du carré
soit environ 23,04 cm2.
3)
a)
Le triangle ABC est
isocèle en O donc (AO)
la hauteur issue de A
est aussi la médiane
issue de A.
Le point O est donc le
milieu de [BC].
D’où : OC =
178
On trouve environ 5 cm de côté, mais c’est juste une valeur
approchée…
Si tu n’as pas réussi à construire la figure, ouvre la figure corrigée
sequence7exercice7corrige1.
Tu vois que pour chaque position du point E, on obtient un
rectangle EFGH inscrit dans le triangle ABC, et que le rectangle
est un carré pour x environ égal à 4,8 cm.
On sait que dans un triangle isocèle en A :
• la médiane issue de A,
• la hauteur issue de A,
• la bissectrice de A ,
• la médiatrice de [BC],
sont des droites confondues.
BC 12
=
soit OC = 6 cm.
2
2
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179
Séquence 6
Dans le triangle ACO rectangle en O, d’après la
propriété de Pythagore :
CA2 = CO2 + OA2
102 = 62 + OA2
100 = 36 + OA2
OA2 = 100 – 36 = 64
OA = 64 = 8
OA = 8 cm
On en déduit AO à l’aide de la propriété de Pythagore.
b)
b)
x
O est le milieu de [HE] donc : OE = .
2
On sait que :
• E ∈ [CO)
• F ∈ [CA)
• (EF) // (OA) car (EF) ⊥ (OC) et (OA) ⊥ (OC)
En fait, on devrait démontrer que O est le milieu de [HE]. Voilà
comment on pouvait procéder :
EFGH est un rectangle donc : (HE) // (GF).
Comme de plus G ∈ [AB) et F ∈ [AC), on a
d’après la propriété de Thalès :
AG
AF
=
AB
AC
Comme AB = AC on a donc AG = AF.
Le triangle AGF est donc isocèle en A.
La droite (AO) est perpendiculaire à (GF) car :
(AO) ⊥ (BC) et (HE) // (GF).
La droite (AO) est la hauteur issue de A du triangle AGF isocèle en
A donc (AO) est la médiatrice de [GF].
La médiatrice d’un des côtés d’un rectangle est un axe de symétrie
de ce rectangle.
(AO) est donc un axe de symétrie de EFGH, c’est donc aussi la
médiatrice de [HE]. O est donc le milieu de [HE].
D’après la propriété de Thalès :
CE CF EF
=
=
CO CA OA
x
2 = CF = EF
6
10
8
6−
x
2 = EF
6
8
6−
D’où :
x
2 = 8 ×  12 − x  = 4 × 12 − x


6
6  2 2 3
2
6−
EF = 8 ×
EF =
2
× (12 − x )
3
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179
180
Séquence 6
c)
On cherche à obtenir : HE = EF.
2
(12 − x)
3
On multiplie les deux membres de l’équation par 3.
On obtient :
2
3x = 3 × (12 − x)
3
3 x = 2(12 − x)
3 x = 24 − 2 x
On résout donc l’équation : x =
c)
On se sert de l’expression de EF en fonction de x pour résoudre le
problème.
On traduit le problème à l’aide d’une équation.
Ensuite, on résout l’équation.
5 x = 24
24
x=
5
Il y a un seul carré EFGH inscrit dans le triangle
24
cm c’est-à-dire 4,8 cm.
ABC, qui a pour côté
5
L’aire de ce carré est 4,82 cm2 soit 23,04 cm2.
C’est ce que l’on avait conjecturé à l’aide de la figure dynamique.
Cette fois, nous avons fait une démonstration : nous sommes donc
sûrs de ce résultat.
Il y a un seul carré EFGH inscrit dans le triangle isocèle d’Alkhwarizmi », et ce carré a pour aire 23,04 cm2.
Séance 5
EXERCICE 8
1)
Ce problème semble difficile. Je pense que l’aire va
être maximale quand le rectangle est un carré, mais
je ne sais pas pourquoi !
2)
Sans ordinateur :
J’ai l’impression que l’aire maximale est environ
24 cm2.
Avec ordinateur :
Je déplace lentement E sur [BC] en regardant la
valeur de l’aire de EFGH.
Je trouve que la plus grande valeur de l’aire est
24 cm2. Cette aire correspond à EH = 6 cm.
1)
Ce problème semble difficile …
2)
Comme dans l’exercice précédent, on construit plusieurs rectangles
EFGH inscrits dans le triangle ABC, puis on mesure la longueur et
la largeur de chaque rectangle et on calcule son aire.
Il semble que l’aire la plus grande soit environ 24 cm2, mais ce
n’est pas sûr car ces constructions ne sont pas très précises.
On a déjà construit une figure dynamique correspondant à cette
situation dans l’exercice précédent. Cette construction ne devrait
plus te poser de problème.
L’aire maximum semble être atteinte quand le segment [HE]
mesure la moitié de [BC].
Cette aire n’est pas l’aire du carré du problème
d’« Al-Khwarizmi ».
3)
a) Les points affichés ont pour coordonnées (x ; s(x)).
Si on déplace E sur le segment [BC], on fait donc
apparaître la courbe représentative de la fonction
s.
180
3)
On peut ainsi visualiser à la fois la figure dynamique
correspondant à la situation et le tracé de la représentation
graphique de la fonction qui à toute longueur HE associe l’aire du
rectangle EFGH.
– Cned, Mathématiques 3e
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181
Séquence 6
b) Lorsqu’on regarde la courbe, on voit que
l’ordonnée du point le plus haut de la courbe est 24.
s(x) semble être maximal pour x = 6.
b) On retrouve à nouveau ce que l’on avait déjà remarqué dans la
question précédente.
4)
a)
HE = x
2
EF = (12 − x)
3
L’aire s(x) du rectangle EFGH est HE × EF soit :
2
2
s(x) = x × (12 − x) = x (12 − x )
3
3
4)
a)
On exprime la largeur et la longueur du rectangle en fonction de x.
Ensuite, on multiplie ces deux dimensions pour obtenir l’aire du
rectangle.
b) Je tape dans la barre de saisie :
«s(x)=2/3*x*(12-x)»
La représentation graphique de la fonction s
s’affiche.
Si on déplace le point E sur [BC], on remarque que
les points placés sont exactement sur la courbe
tracée : cela veut dire qu’il y a de fortes chances pour
que le calcul de s(x) de la question précédente soit
exact.
b)
Si tu n’a pas réussi à tracer la représentation graphique à l’aide de
geogebra, ouvre le fichier sequence7exercice8corrige1.
On ne demande pas de développer l’expression de l’aire en
fonction de x. On peut donc laisser le résultat sous forme
factorisée.
Effectivement, la trace rouge de la position du point M coïncide
exactement avec le tracé de la courbe représentative de la fonction
s.
Remarque : on n’a pas démontré que l’aire maximale est 24 cm2.
En effet, la démonstration ne peut pas être faite avec les
compétences du collège. Par contre, en utilisant la représentation
graphique d’une fonction, on a quand même réussi à obtenir
graphiquement une solution à ce problème.
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181
182
Séquence 6
Séance 6
EXERCICE 9
1)
a)
1)
a)
Dans le cas où le conducteur réagit instantanément sur une route
sèche, la distance d’arrêt en m s’exprime en fonction de la vitesse
en m/s de telle sorte que : D(v) = 0,06 v2.
Pour calculer la distance d’arrêt à une vitesse donnée, par exemple
10 m/s, on remplace v par 10 dans l’expression D(v) = 0,06 v2.
La distance d’arrêt d’une voiture qui roule à 10 m/s
est : D(10) = 0,06 × 102 = 6 soit 6 m.
Pour mieux se représenter ce que cela représente, convertissons la
vitesse en km/h.
3 600
km/h = 36 km/h
10 m/s = 10 × 3 600 m/h = 10 ×
1 000
La distance d’arrêt d’une voiture qui roule à 20 m/s
est : D (20) = 0,06 × 202 = 24 soit 24 m.
20 m/s =2 × 10 m/s = 2 × 36 km/h = 72 km/h
La distance d’arrêt d’une voiture qui roule à 30 m/s
est : D (30) = 0,06 × 302 = 54 soit 54 m.
30 m/s = 3 × 10 m/s = 3 × 36 km/h = 108 km/h
La distance d’arrêt n’est pas proportionnelle à la On pouvait voir cela directement en regardant l’expression de D.
vitesse car par exemple D (20) n’est pas le double de La fonction D définie par :
D : v ֏ 0,06 v2
D (10).
En effet : 2 × D (10) = 2 × 6 = 12 et D (20) = 24. n’est pas une fonction linéaire car le v « est au carré ».
b)
On cherche la valeur de v pour laquelle D (v) = 46.
On est amené à résoudre :
0,06 v 2 = 46
46
v2 =
0,06
Comme on cherche un nombre positif, on a :
46
v =
0,06
v ≈ 27,69 m/s (arrondi au centième)
Si le conducteur conduit à plus d’environ 27,69 m/s,
il va percuter l’arbre.
2)
a)
Le conducteur roule à une vitesse v.
Le conducteur voit l’arbre et met 2 s avant de réagir.
A la vitesse v, la distance d parcourue en 2 s est :
d = v × t = v × 2 soit 2v m.
Une fois que le conducteur commence à freiner, la
distance parcourue jusqu’à l’arrêt total du véhicule
est 0,06 v2 m.
b)
On résout une équation qui se ramène à une équation du type
x2 = a.
Il y a en fait deux solutions à l’équation v 2 =
46
qui sont
0, 06
46
46
et −
.
0, 06
0, 06
On cherche une vitesse, donc un nombre positif.
On ne conserve donc que la solution positive.
27,69 m/s = 27,69 × 3,6 km/h soit environ 99,68 km/h.
2)
a)
Pendant 2s, le conducteur roule à une vitesse constante égale à v.
Il parcourt donc pendant ce temps une distance égale à 2v.
La distance d’arrêt est donc :
D(v) = 0,06 v2 + 2v
182
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183
Séquence 6
b) Je n’arrive pas à résoudre le problème car je ne
sais pas résoudre l’équation : 0,06 v2 + 2v = 46.
b)
On ne sait pas, avec les compétences de 3e, résoudre une telle
équation ! On peut par contre chercher une solution graphique à ce
problème en étudiant la représentation graphique de la fonction D.
c)
v
en m/s
D(v)
en m
x
0
5
10
15
20
25
30
35
D(x)
0
11,5
26
43,5
64
87,5
114
143,5
d)
Je trouve environ 15,6 m/s. Si le conducteur roule à moins d’environ 15,6 m/s (c’est-à-dire 56,16 km/h), il ne
percutera pas l’arbre.
Les commentaires du professeur :
Si tu n’as pas réussi à utiliser le tableur, ouvre le fichier sequence7exercice9corrige1 à l’aide de ton tableur.
On cherche la vitesse pour laquelle la distance d’arrêt est égale à 46.
On cherche donc un antécédent de 46 par la fonction D. Pour cela, on applique la méthode graphique de lecture d’un antécédent.
Si tu as imprimé la représentation graphique obtenue à l’aide du tableur, il faut faire attention à l’échelle.
En ordonnées : 77 mm représentent 160 m donc 1 mm représente 160 : 77 soit environ 2 m.
On a donc tracé ci-dessus un segment horizontal passant par le point A de l’axe des ordonnées situé à 2,3 cm de O.
On a fait un autre calcul d’échelle pour l’axe des abscisses.
On trouve une distance d’arrêt environ égale à 15,6 m/s.
e)
On trouve environ 15,65 m/s.
Si le conducteur roule à moins d’environ 15,65 m/s
(c’est-à-dire 56,34 km/h), il ne percutera pas l’arbre.
e)
Si tu n’as pas réussi à utiliser le logiciel, ouvre la figure corrigée
sequence7exercice9corrige2.
Le logiciel de géométrie nous permet d’avoir une estimation un peu
plus précise du résultat.
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183
184
Séquence 6
Séance 7
EXERCICE 10
1)
a)
Le périmètre du tricercle est la somme :
• du périmètre du demi-cercle de diamètre [AC],
• du périmètre du demi-cercle de diamètre [CB],
• du périmètre du demi-cercle de diamètre [AB].
Il est donc égal à :
1
1
1
× ( π × AC ) + × ( π × CB ) + × ( π × AB )
2
2
2
1
1
1
soit :
× ( π × 2 ) + × ( π × 6 ) + × ( π × 8)
2
2
2
c’est-à-dire : π + 3π + 4π donc 8π cm
1)
a)
On sait que la longueur d’un cercle de diamètre D est π × D.
On divise le résultat par 2 pour obtenir la longueur d’un demicercle.
Pour calculer le périmètre du tricercle, on calcule la somme des
périmètres des trois demi-cercles.
Remarque
On pouvait aussi utiliser la formule donnant la longueur d’un
cercle en fonction du rayon r : L = 2π × r.
On calculait alors :
1 
AC  1 
CB  1 
AB 
× 2π ×
+ × 2π ×
+ × 2π ×
2 
2  2 
2  2 
2 
On trouve également 8π cm. Le calcul est cependant un peu plus
lourd.
b)
Le périmètre en cm de ce tricercle est :
1
1
1
3 5 8
× ( π × 3 ) + × ( π × 5 ) + × ( π × 8 ) = π ×  + +  = π × 8 = 8π
2
2
2
2 2 2
c)
Le périmètre en cm de ce tricercle est :
1
1
1
4 4 8
× ( π × 4 ) + × ( π × 4 ) + × ( π × 8 ) = π ×  + +  = π × 8 = 8π
2
2
2
2 2 2
Les commentaires du professeur :
On trouve 8 π dans les trois cas. On se demande si c’est toujours le cas…
d)
d)
Je peux émettre la conjecture suivante : « le périmètre On a écrit une conjecture, mais attention, cela ne veut pas dire
qu’elle est toujours vraie ! Pour s’en assurer, il faut faire une
en cm des tricercles de Mohr tels que AB = 8 cm est
démonstration.
égal à 8π ».
184
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185
Séquence 6
2)
a)
On a calculé dans les questions a, b et c les nombres :
p(2), p(3) et p(4).
La conjecture du d est :
« pour toute valeur de x comprise entre 0 et 8 on a :
p(x) = 8π
π. »
b)
La figure dynamique nous conforte dans l’idée que la
conjecture est vraie. Le périmètre semble en effet
toujours être égal à un même nombre qui est une
valeur approchée de 8π
π.
c)
La représentation graphique de la fonction p est un
segment horizontal.
2)
a)
b)
Si tu n’as pas réussi à effectuer la construction dynamique, ouvre
le fichier sequence7exercice10corrige1.
Le périmètre affiché (25,132 7 cm) est une valeur approchée de
8π.
Pour autant, tant que nous ne l’avons pas démontrée, nous ne
pouvons pas dire que la conjecture soit toujours vraie.
c)
En effet, si l’on a bien p(x) = 8π, la fonction ne dépend pas de x.
Cela veut dire que l’ordonnée des points de la représentation
graphique de p est toujours la même. Cette représentation
graphique est donc un segment.
3)
3)
a)
a)
Le point C est sur le segment [AB] donc x est compris
entre 0 et 8 cm.
b)
La longueur du cercle de diamètre [AC] est π x.
La longueur du demi-cercle de diamètre [AC] est
πx
donc
.
2
b)
c)
c)
La longueur du cercle de diamètre [BC] est :
π×(8 – x) soit (8 – x)π.
La longueur du demi-cercle de diamètre [BC] est
(8 − x)π
.
donc
2
d)
πx (8 − x)π π × 8
p(x) =
+
+
2
2
2
πx (8 − x)π 8π
p(x) =
+
+
2
2
2
π ( x + (8 − x) + 8 )
p(x) =
2
π × 16
p(x) =
= 8π
2
Pour n’importe quelle valeur de x le nombre p(x) est
égal à 8π.
d)
Ce calcul n’est pas évident.
Une bonne méthode consiste à tout mettre au dénominateur 2.
On a démontré la conjecture : le périmètre du tricercle de Mohr
tel que AB = 8 cm ne dépend pas de x. Il est toujours égal à 8π..
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185
186
Séquence 6
Séance 8
EXERCICE 11
1)
• J’ai fait deux ou trois figures sur ma feuille et j’ai
calculé l’aire du tricercle pour les deux figures que
j’ai représentées dans l’exercice précédent.
Cas où AC = 3 cm
L’aire en cm2 du disque de diamètre 8 cm est :
π × 42 = 16 π.
L’aire en cm2 du demi-disque de diamètre 8 cm est :
16π
= 8π .
2
1)
Quand on cherche un problème, on commence par essayer d’avoir
une idée de la solution.
On peut construire des figures et faires des tests, utiliser un logiciel
de géométrie dynamique pour essayer d’obtenir une conjecture.
Ensuite, pour pouvoir être sûr du résultat, on fait une
démonstration.
On propose ici une méthode qui consiste à commencer par faire
des constructions sur du papier ; ce n’était bien sûr pas
obligatoire.
On sait que l’aire en cm2 d’un disque de rayon r cm est π r2.
Pour obtenir l’aire d’un demi-disque, on divise l’aire ci-dessus par
2.
L’aire en cm2 du demi-disque de diamètre 3 cm est :
2
3
9
π× 
π×
2 =
4 = 9π
2
2
8
L’aire en cm2 du demi-disque de diamètre 5 cm est :
2
5
25
π× 
π×
2 =
4 = 25 π
2
2
8
L’aire en cm2 du tricercle est donc :
9
25
9 25 

 64 9 25 
8π − π − π =  8 − −  π =  − −  π
8
8
8 8 

 8 8 8 
9
25
30
8π − π − π = π = 3,75π
8
8
8
186
L’aire du tricercle est l’aire du demi-disque de diamètre [AB]
moins la somme de l’aire du demi-disque de diamètre [AC] et de
celle du demi-disque de diamètre [CB].
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187
Séquence 6
Cas où AC = 4 cm
• L’aire totale en cm2 des deux demi-disques de 4 cm
de diamètre est égale à l’aire d’un disque de 4 cm de
diamètre soit : π × 22 = 4π
• L’aire en cm2 du tricercle est :
8π – 4π = 4π.
Conclusion
L’aire du tricercle n’est pas constante comme le
périmètre.
• J’essaie de calculer cette aire en fonction de AC,
c’est-à-dire de x, mais ensuite, je n’arrive pas à
conclure !
• J’ai réussi à construire la figure dynamique.
J’ai l’impression que l’aire maximale est
12,566 4 cm2.
Elle est obtenue quand x = 4 cm.
2)
a) Comme dans l’exercice précédent, x est compris
entre 0 et 8 cm.
On aurait pu croire que l’aire, tout comme le périmètre, du cercle,
était constante, mais ce n’est pas le cas !
Il semble que l’aire maximale soit environ 12,5 cm2.
2)
a)
b) L’aire du demi-disque de diamètre AC est :
2
 AC 
AC2
AC 2
π×
π× 2
π×

2
 2  =
2 =
4 = π × AC
2
2
2
8
Comme AC = x, l’aire du demi-disque de diamètre
πx 2
.
AC est
8
c) L’aire du demi-disque de diamètre BC est :
π × BC 2
π × (8 − x )2
soit
.
8
8
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187
188
Séquence 6
b)
d) L’aire f(x) du tricercle est l’aire du grand demidisque moins la somme des aires des deux petits.
f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =
π × 42 π × x 2 π × (8 − x)2
−
−
2
8
8
2
π× x
π × (8 − x) 2
64
π−
−
8
8
8
π
2
2
64 − x − (8 − x)
8
π
64 − x 2 − (64 − 16 x + x 2 )
8
π
64 − x 2 − 64 + 16 x − x 2
8
π
π
−2 x 2 + 16 x = × 2 x(− x + 8)
8
8
π
π
x(− x + 8) = x(8 − x )
4
4
(
)
(
)
(
)
(
c)
)
d)
Ce calcul n’est pas évident.
Pour essayer de simplifier les calculs, on a factorisé par
188
π
8
.
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189
Séquence 6
e)
AC
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
5,5
9,4
11,8
12,6
11,8
9,4
5,5
0
2
Aire du tricercle en cm
arrondie au dixième
f)
Le maximum semble être atteint pour x = 4 cm. L’aire du tricercle est alors environ 12,6 cm2.
J’ai ensuite ouvert le logiciel geogebra. J’ai entré « f(x)=pi/4*x*(8-x) » dans le champ de saisie. La courbe
représentative de f s’est alors affichée. Ensuite, j’ai créé un point sur cette courbe, j’ai fait afficher ses
coordonnées, puis je l’ai déplacé le long de la courbe. Il semble en effet que l’aire du tricercle soit maximale
pour x = 4 cm et que l’aire soit alors d’environ 12,6 cm2.
3) On retrouve le résultat précédent : il semble que
l’aire du tricercle soit maximale pour x = 4 cm et que
l’aire soit alors d’environ 12,6 cm2.
Si tu n’as pas réussi à tracer la représentation graphique de f,
ouvre le fichier sequence7exercice11corrige1.
On a trouvé une solution graphique au problème de l’aire du
tricercle.
Ceci étant, on n’a pas démontré le résultat.
La démonstration est faisable, mais pas avec les compétences de
collège !
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189
190
Séquence 6
Séance 9
EXERCICE 12
Partie 1 : je m’exerce
1)
A partir de 0
Andry : ((0 × 5) : 4) – 6 = 0 – 6 = – 6
Nadia : ((0 × 0) : 4) + 3 = 0 + 3 = 3
1)
On a écrit des parenthèses inutiles. On aurait pu aussi très bien
écrire pour Andry (à partir de 0) :
0×5
0 × 5 : 4 – 6 = –6 ou
− 6 = −6 (par exemple)
4
A partir de –1
Andry : ((–1 × 5) : 4) – 6 = (–5 : 4) – 6 = – 7,25
Nadia : ((–1) × (–1)) : 4) + 3 = 0,25 + 3 = 3,25
A partir de 2
Andry : ((2 × 5) : 4) – 6 = (10 : 4) – 6 = – 3,5
Nadia : ((2 × 2) : 4) + 3 = 1 + 3 = 4
2)
2)
A(x) = ((x × 5) : 4) – 6 = x × 5 : 4 – 6 =
5
x−6
4
La fonction A est donc une fonction affine.
N(x) = ((x × x) : 4) + 3 = x × x : 4 + 3 =
x2
+3
4
La fonction N n’est pas une fonction affine.
3)
A(1) est le résultat obtenu par Andry s’il part du
nombre 1.
5
5
5 24
19
A(1) = × 1 − 6 = − 6 = −
= − = −4,75
4
4
4 4
4
N(1) est le résultat obtenu par Nadia si elle part du
nombre 1.
12
1
1 12
N(1) =
+ 3 = + 3 = + = 3,25
4
4
4 4
4)
5
5 18
13
4 5 4
A  = × − 6 = − 6 = − = −
3
3 3
3
3 4 3
3)
On remarque que pour l’instant, on a calculé :
Dans le 1)
• A(0) et N(0)
• A(–1) et N(–1)
• A(2) et N(2)
Dans le 3)
• A(1) et N(1)
On n’a jamais trouvé pour l’instant la même chose (ce qui aurait
pu être une réponse au problème posé au début de l’exercice).
4)
2
4
16
 
4
16
4 27 31
3
 
N =   +3= 9 +3=
+3= +
=
4
4
4×9
9 9
9
3
190
On a :
4
4
A  ≠ N  
3
3
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191
Séquence 6
5)
• On cherche x tel que A(x) = 3 c’est-à-dire tel que :
5)
• On est amené à résoudre une équation de la forme ax + b = c.
5
x−6=3
4
5
x=9
4
4
x = ×9
5
36
x=
5
x = 7,2
Le seul antécédent de 3 par la fonction A est 7,2.
• Nadia, d’après la question 1) a obtenu 3 à partir de
0. A-t-elle obtenu 3 à partir d’un autre nombre ?
Si x est le nombre de départ, le résultat de Nadia
x2
est
+ 3.
4
Pour répondre à la question, on cherche donc x tel
que :
x2
+3=3
4
x2
=0
4
x2 = 0
• On est amené à résoudre une équation de la forme ax2 + b = c.
Chercher pour quelle(s) valeur(s) de départ Nadia a obtenu 3
comme résultat revient à déterminer (s’il en existe) le ou les
antécédents de 3 par la fonction N.
La seule valeur qui permette à Nadia d’obtenir 3
est 0.
Partie 2 : je résous le problème
1)
Je cherche la ou les valeurs de x pour laquelle
(lesquelles) on a :
5
x2
x−6=
+3
4
4
Je n’arrive pas à résoudre cette équation !
1)
Rechercher s’il existe un (ou des, ou aucun) nombre(s) de départ
pour lequel (lesquels) Andry et Nadia obtiennent le même résultat,
c’est chercher un (ou des) nombre(s) x tel(s) que :
A(x) = N(x)
On n’a pas les compétences pour résoudre cette équation en
classe de 3e.
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191
192
Séquence 6
2)
J’ai représenté graphiquement les fonctions A et N à l’aide de geogebra.
Pour cela, j’ai entré « A(x)=5/4*x-6 » puis « N(x)=x²/4+3 ».
J’obtiens une courbe et une droite. Je vois en me déplaçant et en changeant le zoom que la droite et la courbe
«ne vont jamais se rencontrer ». Il semble qu’il n’y ait aucune valeur de x pour laquelle :
A(x) = N(x)
Il semble que le problème n’ait pas de solution !
Les commentaires du professeur :
Il suffit de placer deux points pour construire la représentation graphique de la fonction A. En effet, la fonction A est affine donc sa
représentation graphique est une droite.
On peut essayer de choisir des valeurs de x pour lesquelles le calcul de A(x) est simple.
Si x = 0
A(x) = –6
Si x = 4
A(x) = 5 – 6 = –1
On place alors les points de coordonnées (0 ; –6) et (4 ; –1). On trace la droite passant par ces deux points.
Pour représenter N, on peut dresser un tableau de valeurs :
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
7
5,25
4
3,25
3
3,25
4
5,25
7
Conclusion :
Il semble, en regardant le graphique, que les deux représentations graphiques ne vont pas se couper. D’après une lecture
graphique, il semble donc que le problème n’ait pas de solution.
192
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193
Séquence 6
JE M’ÉVALUE
1)
1)
f : x ֏ x3 – 2
f est telle que f(x) = 3 + x – 2
f : x ֏ 3x – 2
f est telle que f(x) = 3x – 2
Le triple de x est 3x.
Si on retranche 2 à 3x on obtient 3x – 2.
2)
2)
La fonction f n’est pas linéaire car elle n’est pas de la forme :
x ֏ ax (où a est un nombre fixé).
oui
non
En effet, elle est de la forme x ֏ ax + b (a est égal à 3 et b est
égal à – 2).
3)
Revois éventuellement le dernier « Je retiens » de la séance 3.
3)
oui
non
4)
4)
est une droite passant par l’origine.
n’est pas une droite.
est une droite.
5)
2
3
3
2
−
3
2
–2
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Comme f n’est pas une fonction linéaire, la droite ne passe pas
par l’origine.
6)
On cherche le (les) nombre(s) x tel(s) que :
3x − 2 = 0
3x = 2
x=
2
3
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193
194
Séquence 6
6)
6)
0
1
2
Comme l’équation 3x – 2 = 0 n’a qu’une seule solution, 0 n’a
qu’un seul antécédent par la fonction f.
oui
non
7)
La représentation graphique de la fonction n’est pas une droite.
On a admis dans la séance 3 que seules les fonctions affines sont
représentées par des droites.
Cette fonction n’est donc pas une fonction affine.
8)
8)
7)
2
3
1
0
9)
9)
8
4
1
5
10)
10)
6
7
4
3
194
On cherche un ou des antécédent(s) de 6 par f. Il n’y a que 7.
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