séquence 4

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Séquence 4
SÉQUENCE 4
CALCUL LITTÉRAL
Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1)
 3
 2
 1
 0
1)
On remplace x par 1 dans l’expression x2 – 2x + 1.
On obtient : 12 – 2 × 1 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0.
2)
 x2 – 6
 x2 + x – 6
 x2 – 5x + 6
 x2 – 5x – 6
2)
L’expression (x + 3)(x – 2) est un produit de deux facteurs :
x + 3 et x – 2.
Elle est sous la forme d’un produit : on dit qu’elle est sous forme
factorisée.
On cherche à la développer, c’est-à-dire à l’exprimer sous la
forme d’une somme.
Pour cela, on utilise la double distributivité :
(x + 3)(x – 2) = x × x – x × 2 + 3 × x – 3 × 2
(x + 3)(x – 2) = x2 – 2x + 3x – 6 = x2 + x – 6
3)
 3(y + 5)
 3y + 5
 3 + 5y
 3y + 15
3)
Le produit considéré a deux facteurs : 3 et y + 5.
Attention : si on écrit 3
× y + 5 , on écrit la somme de 3y et de 5.
Il ne faut pas oublier les parenthèses !
Le produit considéré est donc : 3 (y + 5).
3 (y + 5) = 3y + 3 × 5 = 3y + 15
4)
 8(y + 3)
 3(y + 8)
 y(8y + 3)
 11y
4)
L’expression proposée est une somme de deux termes :
8y2 et 3y
On cherche un facteur commun à ces deux termes.
y est un facteur commun à ces deux termes :
8 y × y + 3y
8y2 + 3y = y(8y + 3)
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Séquence
4
EXERCICE 1
● Je calcule le volume Vcylindre en cm3 du cylindre :
Vcylindre = base
20
×
A
= π × 22 × 20 = 4 π × 20
soit Vcylindre = 80 π cm3.
● Je calcule le volume Vcône en cm3 du cône :
Vcône = base
3
×
A
h
où h est la hauteur du cône, soit 30 cm.
L’aire de la base du cône est égale à celle du cylindre,
soit 4π cm2.
Vcône =
4 30
3
π×
soit V
VV
Vcône = 40 π cm3.
● Je calcule le volume V total en cm3 du solide :
V = Vcône + Vcylindre = 40 π + 80 π = 120 π.
Le volume total est 120 π cm3
soit environ 376,991 cm3 (arrondi au mm3).
Le volume du solide est donc inférieur à 377 cm3.
Pauline a raison.
Le volume d’un cylindre est le produit de l’aire de sa base par sa
hauteur.
● La base est un disque de 2 cm de rayon.
● La hauteur est 20 cm.
L’arrondi au dixième du volume en cm3 de ce cylindre est
251,3 cm3.
Cet arrondi n’était pas demandé.
Le volume d’un cône est le produit de l’aire de sa base par sa
hauteur divisé par 3.
● L’aire de la base en cm2 est 4 π.
● La hauteur est 30 cm.
L’arrondi au dixième du volume de ce cône en cm3 est 125,7 cm3.
Cet arrondi n’était pas demandé.
Pour exprimer simplement le volume total du solide, on factorise
par π :
● l’expression 40 π + 80 π est une somme de deux termes,
● π est un facteur commun à ces deux termes.
40 π + 80 π = (40 + 80) π = 120 π.
Attention : pour répondre à la question posée dans cet exercice, il
est important de déterminer le volume exact du solide (120 π).
Il faut pour cela travailler avec une lettre (la lettre π) : cela
s’appelle faire du calcul littéral.
Si on n’avait pas fait ce travail avec des expressions littérales, et
que nous ayons ajouté des valeurs approchées au dixième de cm3
on aurait pu écrire :
251,3 cm3 + 125,7 cm3 = 377 cm3
On aurait pu alors écrire qu’Andry avait raison, mais nous nous
serions trompés !
C’est pour cela que l’on travaille avec des valeurs exactes.
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Séquence 4
EXERCICE 2
1) Le problème ne paraît pas facile. Je ne sais pas !
2)
● Pour x = 0 :
(– x + 3)(2x – 5) = 3 × (–5) = –15
–2 x2 + 11x – 15 = –2 × 02 + 11 × 0 – 15 = – 15
Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas
résoudre le problème.
● Pour x = 2 :
(– x + 3)(2x – 5) = (– 2 + 3)(2 × 2 – 5) = 1 × (–1)
(– x + 3)(2x – 5) = – 1
–2 x2 + 11x – 15 = –2 × 22 + 11 × 2 – 15
–2 x2 + 11x – 15 = – 8 + 22 – 15 = – 1
Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas
résoudre le problème.
● Pour x =
1
3
:
(– x + 3)(2x – 5) = 1 1
3 2 5
3 3
− + × −
(– x + 3)(2x – 5) =
1 9 2 15 8 13
3 3 3 3 3 3
−
− + − = ×
(– x + 3)(2x – 5) =
104
9
−
−−
−
–2 x2 + 11x – 15 =
2
1 1
2 11 15
3 3
− × + × −
–2 x2 + 11x – 15 = 1 11
2 15
9 3
− × + −
–2 x2 + 11x – 15 = 2 33 15 9
9 9 9
− ×
+ − =
104
9
−
−−
−
Je trouve la même chose. Je ne peux donc pas
résoudre le problème.
1) Quand on reste bloqué devant ce type de problème, il faut
essayer de chercher de plusieurs façons :
On peut commencer par faire des tests avec différentes valeurs.
On peut également penser à utiliser le tableur, …
Il y a en fait de nombreuses pistes à explorer.
Plutôt que d’écrire « Le problème ne parait pas facile. Je ne sais
pas », il vaut mieux décrire les tentatives de résolution avec des
valeurs, le tableur, etc.
2)
Pour la valeur 0, les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont égaux.
Pour la valeur 2, les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont encore égaux.
Pour la valeur
1
3
, les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont encore égaux.
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Séquence
4
● À l’aide d’un tableur
● Voici ma conjecture : « les nombres :
(–x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont égaux ».
3)
(– x + 3)(2x – 5) = –x × 2x + x × 5 + 3 × 2x – 3 × 5
(– x + 3)(2x – 5) = –2x2 + 5x + 6x – 15
(– x + 3)(2x – 5) = –2x2 + 11x – 15
les nombres : (–x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15
sont donc égaux (sous entendu : pour n’importe quelle
valeur de x).
On ne peut donc pas trouver une valeur de x pour
laquelle les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
– 2x2 + 11x – 15 sont différents.
On a écrit dans la cellule B2 la formule suivante :
« =(–A2+3)*(2*A2–5) »
On a écrit dans la cellule C2 la formule suivante :
« =–2*A2*A2+11*A2–15 »
Pour n’importe quelle valeur rentrée dans A2, les cellules B2 et
C2 afficheront alors les deux nombres voulus.
Si tu n’arrives pas à utiliser le tableur dans cet exercice, ouvre le
fichier d’animation sequence4exercice2corrigé.
On remarque que pour de nombreuses valeurs (ici par exemple les
entiers de 0 à 16), les deux nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont encore égaux.
On peut essayer avec de nombreux décimaux, on trouve encore
que les nombres (– x + 3)(2x – 5) et –2 x2 + 11x – 15 sont égaux.
Quand on écrit que les nombres (– x + 3)(2x – 5) et
–2 x2 + 11x – 15 sont égaux, on sous-entend que ces nombres
sont égaux pour n’importe quelle valeur de x.
Ce n’est qu’une conjecture. Il va falloir essayer de la démontrer.
3)
On développe (– x + 3)(2x – 5) et on obtient : – 2 x2 + 11x – 15.
Cela prouve bien que ces deux nombres sont égaux, c’est-à-dire
qu’ils sont égaux pour n’importe quelle valeur de x.
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Séquence 4
EXERCICE 3
a)
● Les expressions ci-dessous sont développées :
B = x2 + 3
E = 3u + (u+1)
● Les expressions ci-dessous sont factorisées :
A = (z + 2)(3 – z)
C = (x + 3)2
D = u(u + 1)
F = (z + 5)(1 + 3z2)
b)
A = (z + 2)(3 – z) = z × 3 – z × z + 2 × 3 – 2 × z
A = 3 z – z2 + 6 – 2 z
A = – z2 + z + 6
C = (x + 3)2 = (x + 3) (x + 3)
C = x × x + x × 3 + 3 × x + 3 × 3
C = x2 + 3x + 3x + 9
C = x2 + 6 x + 9
D = u(u + 1) = u
× u + u × 1
D = u2 + u
F = (z + 5)(1 + 3z2)
F = z × 1 + z × 3 z2 + 5 × 1 + 5 × 3 z2
F = z + 3 z3 + 5 + 15 z2
F = 3 z3 + 15 z2 + z + 5
a)
B est la somme des deux termes : x2 et 3.
E est la somme des deux termes : 3u et u + 1.
A est le produit des deux facteurs : z + 2 et 3 – z.
C est le produit des deux facteurs égaux : (x + 3) et (x + 3)
D est le produit des deux facteurs : u et (u + 1)
F est le produit des deux facteurs : (z + 5) et (1 + 3z2)
b)
Lorsque l’on regroupe les termes en z2, les termes en z, et les
nombres, on dit que l’on réduit l’expression.
On écrit généralement une expression dans l’ordre des puissances
décroissantes : A = – z2 + z + 6
(plutôt que, par exemple : A = 6 – z2 + z)
On pense à réduire l’expression C (ici, on peut).
On pense à réduire l’expression F (ici, on ne peut pas).
EXERCICE 4
A = 3u + 7u = (3 + 7) u = 10 u
B = v +
2
7
v2 =
2
1
7
+
++
+
v v
C = 7l + 14 = 7(l + 2)
D = (x + 1)(x + 6) – (x + 1)( –8 + 3x)
D =
(
)
(
)
(
)
1 6 8 3
x x x
+ + − − +
D =
(
)
(
)
1 6 8 3
x x x
+ + + − =
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
1 2 14
+ − +
+ − ++ − +
+ − +x x
B = v × 1 + v ×
2
v
7
= v +
2
1 v
7
C = 7 × l + 7 × 2= 7 (l + 2)
L’expression D est la plus difficile à factoriser.
D est la différence des deux termes :
(x + 1)(x+6) et (x+1)(–8 +3x)
(x + 1) est un facteur commun à ses deux termes.
(x + 1)(x+6) – (x+1)(–8 +3x) = (x + 1)(x + 6 – (–8 +3x))
Il ne faut pas oublier les parenthèses autour de – 8 + 3x !
En effet, on soustrait le nombre –8 + 3x à x + 6, et pas seulement
le nombre (–8).
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