Exercices : Rudiments d`Arithmétique - PCSI

PCSI : Math´ematiques 2014-2015
Exercices : Rudiments d’Arithm´etique
Exercice 1. La somme des n premiers entiers se calcule par la formule de Gauss S=
n
P
k=0
k=n(n+1)
2.
S est donc divisible par n donc le reste dans la division euclidienne de Spar nvaut 0 .
Exercice 2. qest le reste dans la division euclidienne de a−1 par bdonc il existe rtels que a−1 = bq +r
avec 0 ≤r < b. Calculons alors abn−1.
abn−1=(bq +r+ 1)bn−1 = bn+1q+rbn+bn−1 = bn+1q+bn(r+ 1) −1. On a bien une ´ecriture
de la forme A=BQ +Ro`u A=abn−1, B=bn+1,Q=qet R=bn(r+ 1) −1. Il reste alors `a v´erifier
la deuxi`eme condition du th´eor`eme sur la division euclidienne, c’est `a dire 0 ≤R < B.
On sait que 0 ≤r < b donc 1 ≤r+ 1 < b + 1 donc 1 ≤r+ 1 ≤bdonc 1 ≤bn(r+ 1) ≤bn+1 donc
0≤bn(r+ 1) −1≤bn+1 −1 donc 0 ≤bn(r+ 1) −1< bn+1. On a donc bien la deuxi`eme condition du
th´eor`eme sur la division euclidienne. Le quotient dans la division de abn−1 par bn+1 est donc q.
Exercice 3. Soient (a, b)∈N∗. On a envie d’utiliser la formule de factorisation vue dans le cours sur les
sommes.
2ab −1 = (2a)b−1 = (2a−1)
b
P
k=1
(2a)kdonc 2a−1 divise 2ab −1 .
Exercice 4. On va le d´emontrer par r´ecurrence.
Si n= 1, 5n3+n= 6 qui est bien divisible par 6.
Si n= 2, 5n3+n= 5.8 + 2 = 42 qui est aussi divisible par 6.
Supposons alors le r´esultat vrai au rang n. Il existe donc un entier c tel que 5n3+n= 6c.
5(n+1)3+(n+1) = 5(n3+3n3+3n+1)+(n+1) = 5n3+16n+15n2+6 = 6c−n
|{z }
hyp. de rec.
+16n+15n2+6
= 6c+ 15n+ 15n2+ 6 = 6c+ 15n(n+ 1) + 6.
6 divise 6cet 6 divise 6 donc pour montrer que 6 divise 5(n+ 1)3+n+ 1 il reste `a montrer que 6
divise 15n(n+ 1).
Si nest pair, n= 2pdonc 15n(n+ 1) = 30p(2p+ 1) = 6 ×5p(2p+ 1) donc 6|5(n+ 1)3+n+ 1.
Si nest impair, n= 2p+ 1 donc 15n(n+ 1) = 15(2p+ 1)(2p)=6×5p(2p−1) donc 6|5(n+ 1)3+n+ 1.
Dans tous les cas (quelque soit la parit´e de n) 6 divise 5(n+1)3+(n+1) ce qui conclut la d´emonstration
de l’h´er´edit´e.
On a donc d´emontr´e par r´ecurrence que ∀n∈N6|5n3+n.
Exercice 5. On applique l’algorithme d’Euclide.
230 = 126 ×1 + 104
126 = 104 ×1 + 22
104 = 22 ×4 + 16
22 = 16 ×1+6
16 = 6 ×2+4
6=4×1+2
4=2×2+0.
1

donc pgcd(126,230)=2.
On peut retrouver ce r´esultat par la d´ecomposition en ´el´ement simple:
126 = 2 ×63 = 2 ×7×9=2×32×7.
230 = 2 ×115 = 2 ×5×23
Donc pgcd(126,230)=2 ×30×50×70×230= 2.
Exercice 6. Il manque en fait une question dans l’´enonc´e: ”Si r est le reste dans la division euclidienne
de a par b, quel est le reste dans la division euclidienne de 2a−1 par 2b−1?” Commen¸cons par r´epondre
`a cette question.
rest le reste dans la division euclidienne de apar bdonc il existe qtel que a=bq +ret 0 ≤r < b.
2a−1=2bq+r−1=2bq .2r−1 = (2bq −1)2r+2r−1 = ((2b)q−1)2r+2r−1 = (2b−1)(
q
P
k=1
2bk).2r+2r−1
On retrouve alors une forme 2a−1 = 2b.Q +Ro`u Q= (
q
P
k=1
2bk).2ret R= 2r−1. Il reste `a v´erifier la
deuxi`eme condition de la division euclidienne `a savoir que 0 ≤R < 2b−1. 0 ≤r < b donc 20≤2r<2b
donc 0 ≤2r−1<2b−1. Ainsi le reste dans la division euclidienne de 2a−1 par 2b−1 est 2r−1 .
On applique alors l’algorithme d’Euclide:
pgcd(2a−1,2b−1) = pgcd(2b−1,2r−1)
= pgcd(2r−1,2r1−1) o`u r1est le reste dans la D.E. de bpar r
= pgcd(2r1−1,2r2−1) o`u r2est le reste dans la D.E. de rpar r1
=...
= pgcd(20−1,2rN−1) o`u rNest le dernier reste non nul.
= 2pgcd(a,b)−1 car rN=pgcd(a, b).
Exemple: pgcd(2120 −1,220 −1) = 220 −1.
Exercice 7. On va utiliser ici la d´ecomposition en facteurs premiers de aet de b. On note p1, ..., pNles
nombres premiers qui sont pr´esents dans la d´ecomposition de aou dans celle de b. Alors, a=pi1
1....piN
Net
b=pj1
1....pjN
N.
Calculons d’abord pgcd(a, b)n. Par la formule du cours, on sait alors que
pgcd(a, b) = pmin(i1,j1)
1×... ×pmin(iN,jN)
N
donc pgcd(a, b)n=pn.min(i1,j1)
1×... ×pn.min(iN,jN)
N
Calculons maintenant pgcd(an, bn).
Comme a=pi1
1....piN
Non a an=pni1
1....pniN
N. De mˆeme, bn=pnj1
1....pnjN
N. Toujours par la formule du
cours,
pgcd(an, bn) = pmin(ni1,nj1)
1×... ×pmin(niN,njN)
N
=pn.min(i1,j1)
1×... ×pn.min(iN,jN)
N
On a donc bien pgcd(a, b)n=pgcd(an, bn) .
Exercice 8. On a d´emontr´e dans l’exercice 3 que ∀c, d, 2c−1 divise 2cd −1.
On va raisonner ici par l’absurde. Supposons que 2a−1 soit premier mais que ane le soit pas. an’est
pas premier donc il y a au moins 2 termes dans sa d´ecomposition en facteurs premiers a=pq.
2

Alors, 2a−1 = 2pq −1 = (2p−1)
q
P
k=1
2pk. On en d´eduit donc que 2p−1 divise 2a−1. C’est impossible
puisque 2a−1 est un nombre premier. L’hypoth`ese formul´ee est donc fausse et donc
Si 2a−1 est premier alors a est aussi premier .
Exercice 9. On cherche `a r´esoudre le syst`eme suivant x+y= 360
pgcd(x, y) = 18.
Traduisons alors ces hypoth`eses. pgcd(x, y) = 18 entraine que x= 12x0et y= 18y0. On sait de plus
que (x0, y0) = 1. Le syst`eme devient donc 18(x0+y0) = 360
pgcd(x0, y0)=1 c’est `a dire x0+y0= 20 pgcd(x0, y0)=1.
On cherche donc des couples de points (x0, y0) tels que x0+y0= 20 et pgcd(x0, y0) = 1. Les couples
(x0, y0) possibles sont donc {(19,1),(17,3),(13,7),(11,9),(9,11),(7,13),(3,17),(1,19)}.
Les couples (x, y) solution sont donc
S={(342,18),(306,54),(234,126),(198,162),(162,198),(126,234),(54,306),(342,18)}.
Exercice 10. On cherche `a r´esoudre le syst`eme pgcd(x, y)=5
ppcm(x, y) = 60.C’est un peu le mˆeme principe.
pgcd(x, y)=5 donc il existe x0et y0tels que x= 5x0,y= 5y0et pgcd(x0, y0) = 1.
Ensuite, on sait aussi que ppcm(x, y)×pgcd(x, y) = xy ce qui donne 60×5 = xy = (5x0)(5y0) = 25x0y0.
Finalement, on cherche des couples (x0, y0) tels que x0y0= 12 et pgcd(x0, y0) = 1.
Les couples (x0, y0) possibles sont donc {(1,12),(3,4),(5,7),(7,5),(4,3),(12,1)}.
Les couples (x, y) solutions sont donc S={(5,60),(15,20),(25,35),(35,25),(20,15),(60,5)}.
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