TD - Olivier Lader

TSI 1
Lycée Heinrich-Nessel
2016/2017
TD3 : Nombres complexes
mercredi 21 septembre 2016
3.1
Nombres complexes
Exercice 3.1. Calculer les parties réelle et imaginaire des complexes suivants :
1. (3 + 2i)2 (2 − i)
2.
(3+2i)(1+i)
1−i
√
3. (1 + i 3)4
4.
1
i
5+7i
2+3i
5. i +
(1+i)2
(1−i)3
6.
Exercice 3.2.
1. Calculer (1 + i)n pour n = 0, 1, 2, 3, 4 et 5.
2. En déduire (1 + i)n en fonction de n un entier naturel.
Exercice 3.3. Trouver a et b réels tels que (2a − b − i(a + b))(−a − i(a + b)) ∈ R.
Exercice 3.4. Soit z = x + iy un nombre complexe. On note z1 = x − 4 + i(y + 5) et z2 =
x + 4 + i(1 − y). A quelle condition a-t-on :
1. z1 = 3z2 ?
2. z1 − z2 ∈ R ?
3. z1 z2 imaginaire pur ?
Exercice 3.5.
√
√
1. Soit z = ( 3 + 1) + i( 3 − 1). Ecrire z 2 sous forme algébrique. Déterminer |z 2 | et arg(z 2 )
puis en déduire |z| et arg(z).
q
q
√
√
2. Soit z = 2 − 3 − i 2 + 3. Calculer z 2 puis déterminer module et argument de z.
Exercice 3.6. Calculer le conjugué de z =
(3 − 2i)(5 + i)
.
3i(7 + 2i)
Exercice 3.7. Montrer que pour tout nombre complexe z non nul, on a z +
1
z
−
1+z
z̄
= z̄ − 1.
Exercice 3.8. Résoudre dans C l’équation z̄ 2 + 2|z|2 − 3 = 0.
Exercice 3.9. Quels sont les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué ?
Exercice 3.10. Soient z et z 0 deux nombres complexes de même module. Montrer que le nombre
(z+z 0 )2
est un nombre réel.
zz 0
Exercice 3.11. Soit z ∈ C \ {1}. Calculer les parties réelles et imaginaires de
2+z̄
1−z̄ .
Exercice 3.12. Mettre sous forme trigonométrique les quantités suivantes :
1. e2i
3. e2i + e−2i
5. e2i − ei
7. e2+2i + e2+i
2. e2
4. e2i + ei
6. e2+2i
8.
Exercice 3.13.
1. Donner la forme algébrique et trigonométrique de a =
π
1+ei 4
π
1−ei 4
.
2. Soit n ∈ N. À quelle condition an est-il un réel ?
Exercice 3.14.
√
3
1. Calculer le module et un argument de z = 1+i
1+i .
π
π
2. En déduire les valeurs exactes de cos( 12
) et sin( 12
).
Exercice 3.15. Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on
√
n
(1−i 3)5
(1−i)3
∈ R?
Exercice 3.16. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que :
1
(1+i)2
(1−i)3
TSI 1
Nombres complexes
2016/2017
1. |z − 1| = |z − i|
8. |z| = |z − 6 + 5i|
2. |z| = z1 = |1 − z|
9.
3. arg(z − 2i) =
π
4
10. arg
[2π]
4. |(1 + i)z − 2i| = 2
5.
6.
7.
z+i
z−2i
z+i
z−2i
z+i
z−2i
z+4i
5z−3
12. Re
soit imaginaire pur
13.
π
2
z+i
z−i
= − π4
[π]
11. z(2z + 1) = 1
soit réel
ait
∈R
comme argument
14.
z−1
z+1
z−1
z+1
z−1
z+1
=0
soit réel
soit imaginaire pur
Exercice 3.17. Dans le plan complexe,
1. On considère les points A(−2 + i), B(−3 − i) et C( 21 − 2i). Déterminer l’affixe de D tel
que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
i
−1
2. On considère les points A( 3+i
2 ), B(−2 − 2 ) et C( 2 − 2i). Tracer la figure, émettre une
conjecture et déterminer sa validité.
Exercice 3.18. On considère le quadrilatère ABCD où les sommets sont d’affixes :
zA = −1 − 5i,
zB = 4 − 3i,
zC = 3 + 3i
et
zD = −2 + i
1. Vérifier que ABCD est un parallélogramme.
2. Déterminer l’affixe du point C 0 symétrique de C par rapport au point D.
−−→ −−→ −−→
3. Déterminer l’affixe du point A0 vérifiant DA0 = DB + DC.
4. Quelle est la nature du quadrilatère A0 BC 0 D ?
Exercice 3.19.
1. Soit z et z 0 deux nombres complexes. Démontrer l’égalité ci-dessous appelée identité du parallélogramme :
|z + z 0 |2 + |z − z 0 |2 = 2(|z|2 + |z 0 |2 )
2. Quel rapport avec un parallélogramme ?
Exercice 3.20 (d’après CCP 2011 - épreuve 2). On rappelle que j =
trois nombres réels et les trois nombres complexes suivants :
a+b+c
a + bj + cj 2
√
−1+i 3
.
2
Soit a, b et c
a + bj 2 + cj
1. Calculer j 3 et j + j 2 .
2. a) Préciser les parties réelles et imaginaires de chacun de ces complexes.
b) Démontrer que ces nombres complexes sont tous réels si et seulement si b = c.
3. a) À quelle condition ces complexes sont-ils égaux à un même réel ? Déterminer en
particulier a, b et c de sorte que ces trois réels soient égaux à 1.
b) Déterminer les valeurs des réels a, b et c pour lesquelles l’ensemble de ces trois nombres
complexes est exactement {0, 1}.
Exercice 3.21.
1. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a
| Re(z) + Im(z)|
√
≤ |z|
2
2. Représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que l’inégalité précédente soit une
égalité.
Exercice 3.22. Dans cet exercice, a, b et z de forme algébrique x + iy désignent trois nombres
complexes quelconques.
1. Démontrer que 2 Re(z) ≤ 1 + |z|2 ;
2. a) En déduire que |a + b|2 ≤ (1 + |a|)(1 + |b|) ;
b) Étudier le cas d’égalité.
2
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3.2
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Trigonométrie
Exercice 3.23. A l’aide de formules de trigonométrie, développer les expressions suivantes :
1.
2.
3.
4.
cos (x + π)
sin (x + π)
cos x + π2
sin x + π2
5. cos x −
π
2
8. sin
π
3
6. sin x −
π
2
9. cos
π
24
10. sin
π
24
7. cos
π
3
π
4
−
−
π
4
Exercice 3.24. Déterminer le module et l’argument des complexes suivants :
1. z1 = cos(θ) − i sin(θ) ;
3. z3 = sin(θ) + i cos(θ) ;
2. z2 = − sin(θ) + i cos(θ) ;
4. z4 = − cos(θ) + i sin(θ).
Exercice 3.25. À l’aide de formules de trigonométrie, simplifier et/ou factoriser les expressions
suivantes :
√
1. 2 (sin(x) + cos(x))
2. 1 − 2 sin2 (x)
3. cos4 (x) − 2 sin2 (x) cos2 (x) + sin4 (x)
√
Exercice 3.27.
1. Déterminer les valeurs exactes de cos
5+1
4 .
π
8
π
8,
3π
8
, sin
5π
8
7π
8
+
√
π
8
3 sin
π
5.
2π
3 x
Calculer également le
.
2
π
π
= 2 sin( ) cos( )
2
8
8
et
p
√
2− 2
2
et sin
√
2
π
= 1 − 2 sin2 ( )
2
8
2π
3 x
pour obtenir
√
2. En déduire sin
Calculer le sinus de
et sin
On applique la formule de duplication avec a =
π
sin( ) =
8
3 cos(3x) − sin(3x)
5. 3 cos
Exercice 3.26. On admet que cos π5 =
π 6π 3π
cosinus et le sinus de 4π
5 , − 5 , 5 , 10 .
D’où
√
4.
π
cos( ) =
8
et
p
2+
2
√
2
.
p
√
3π
π π
π
2+ 2
sin( ) = sin( − ) = cos( ) =
8
2
8
8
p2 √
5π
3π
3π
2+ 2
sin( ) = sin(π −
) = sin( ) =
8
8
8 p
2
√
7π
π
π
2− 2
sin( ) = sin(π − ) = sin( ) =
8
8
8
2
3. Vérifier que
sin
2
π
8
3π
+ sin
8
2
5π
+ sin
8
2
7π
+ sin
8
2
=2
Exercice 3.28. Résoudre dans R les équations ou inéquations trigonométriques d’inconnue x
suivantes :
3
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Nombres complexes
2016/2017
1. cos(x) = 1
18. 2 cos(x) =
2. sin(x) = 1
cos(x)2
4. sin(x) = 0
5. cos(x) = −1
22. sin x ≤ − 12
6. sin(x) = −1
8.
9.
10.
14.
24. sin2 x + 3 cos x − 1 ≥ 0
√
25. cos(2x) − 3 sin(2x) = 1
cos(x) = − 12
√
cos(x) = 22
| sin(x)| = 12
√
26. sin2 2x +
2π
5
π
sin(x) = sin 7
cos(x) = sin 3π
8
15. sin(x) = cos
2π
9
π
6
= cos2 x +
π
3
27. 2 cos2 (x) + 3 cos(x) + 1 = 0
√
√
28. 3 sin(2x) + 3 cos(2x) = 6
√
29. cos(2x) + sin(2x) > 3
3
2
12. cos(x) = cos
13.
23. sin2 x + 3 cos x − 1 = 0
1
2
11. sin(x) = −
2 (sin(x) + cos(x))
− 3 cos(x) + 2 = 0
√
√
20. 4 sin(x)2 − 2(1 + 3) sin(x) + 3 = 0
√
21. 2 cos 2x + π3 = 3
19.
3. cos(x) = 0
7. cos(x) =
√
30. cos(x) + cos x + π3 > 0
√
√
31. 3 cos(x) + sin(x) − 2 < 0
√
32. −3 sin(3x) + 3 3 cos(3x) < 3
16. cos(x) = sin(x)
33. 4 sin(x)2 − 3 = 0
17. cos(x) = − sin(x)
q
√
√ 35. 2 cos2 (x) −
3 + 2 cos(x) + 32 > 0
34. 2 cos(x)2 − 1 = 0
Exercice 3.29.
1. Soit θ ∈ [0; 2π[. Déterminer module et argument de eiθ + 1 et eiθ − 1.
2. Simplifier les nombres complexes (1 + ei
2π
3
)5 et
1
(1+ei
2π
3 )4
puis déterminer leurs formes
algébriques.
Exercice 3.30.
1. On pose a = 1 + i et b =
√
3 − i.
a) Déterminer le module et un argument des nombres a, b et a × b.
b) En déduire les valeurs exactes de cos
2.
π
12
a) Déterminer le module et un argument de
b) En déduire les valeurs de cos
5π
12
π
12
et sin
= U1 cos(ωt + φ)
u2 (t) = U2 cos(ωt + φ +


u (t) = U cos(ωt + φ +
3
3
et de sin
2π
3 )
4π
3 )
puis de cos
7π
12
et sin
5π
12
.
.
2iπ
3
. On appelle système de ten-
où U1 , U2 , U3 , ω, t ∈ R+ et φ ∈ R
2. Supposons que ω 6= 0, démontrer que
u1 (t) + u2 (t) + u3 (t) = 0)
4
7π
12
1. Écrire u1 (t) + u2 (t) + u3 (t) comme partie réelle d’un nombre complexe.
(∀t ∈ R+
1+i√
.
−1+i 3
Exercice 3.31 (Système triphasé équilibré). On pose j = e
sions triphasées tois tensions définies par :



u1 (t)
⇐⇒
U1 = U2 = U3
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Exercice 3.32. Montrer que pour tout x ∈]0; π[, on a :
x
sin(x)
1 − cos(x)
tan( ) =
=
=
2
1 + cos(x)
sin(x)
s
1 − cos(x)
1 + cos(x)
Exercice 3.33. Soit 0 < a < π4 .
1. Résoudre cos(α) =
q
1
2
+ cos(a) sin(a).
π
cos( − a) =
4
2. En déduire la forme trigonométrique de
r
p
1
+ cos(a) sin(a)
2
p
1 + sin(2a) + i 1 − sin(2a).
3. Simplifiez le nombre complexe
1 + cos(a) + i sin(a)
p
z=p
1 + sin(2a) + i 1 − sin(2a)
√
Z=
2
(1 + cos(a) + sin(a) + i(1 + cos(a) − sin(a)))
4
Exercice 3.34. Résoudre l’équation ez = 2 + 2i.
5
TSI 1
Nombres complexes
3.3
2016/2017
Linéarisation
Exercice 3.35. À l’aide de formules de trigonométrie, simplifier et/ou factoriser les expressions
suivantes :
1. cos(x) + cos(5x)
3. cos(2x) − cos(7x)
2. sin(x) − sin(3x)
4. sin(3x) + sin(4x)
Exercice 3.36. Factoriser sin(x) + sin(3x) puis résoudre sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0.
sin(x) + sin(3x) = 2 sin(x) cos2 (x) = cos(x) sin(2x)
Exercice 3.37. Exprimer sin(2x), cos(2x) et cos(3x) à l’aide sin(x), cos(x) et de leurs puissances.
Exercice 3.38.
1. Justifier qu’il existe θ0 ∈ R tel que 4 − 3i = 5eiθ0 et donner une valeur approchée au
millième de θ0 (à l’aide de la calculatrice).
2. Écrire sous la forme A cos(t+φ) puis sous la forme B sin(t+ψ) la quantité 4 cos(t)−3 sin(t).
Exercice 3.39. Pour α et β dans l’intervalle − π2 ; π2 , déterminer le module et un argument
des nombres complexes suivants :
1.
2.
3.
4.
5.
z1
z2
z3
z4
z5
= (cos(α) − i sin(α))5
= cos(−α) + i sin(α)
= sin(α) + i cos(α)
= 1 + i tan(α)
= eiα + eiβ
6. z6 = eiα − eiβ
7. z7 =
1+eiα
1+eiβ
8. z8 =
eiα +eiβ
1+ei(α+β)
1+cos(α)−i sin(α)
1+cos(β)−i sin(β)
9. z9 =
Exercice 3.40. Linéariser les expressions trigonométriques suivantes :
1. cos(x)2
2. sin(x)2
3. cos(x)3
4. cos(2x) sin3 (x)
ix
3
e2ix + e−2ix
e − e−ix
2
2i
1
(e2ix + e−2ix ) e3ix − 3e2ix e−ix + 3eix e−2ix − e−3ix
2
2 × (2i)
1
2ix
−2ix
3ix
ix
−ix
−3ix
(e
+
e
)
e
−
3e
+
3e
−
e
2 × (2i)2
−1 2ix+3ix
e
− 3e2ix+ix + 3e2ix−ix − e2ix−3ix
16i
3
cos(2x) sin (x) =
=
=
=
e−2ix+3ix − 3e−2ix+ix + 3e−2ix−ix − e−2ix−3ix
−1 1 5ix
=
e − 3e3ix + 3eix − e−ix
8 2i
eix − 3e−ix + 3e−3ix − e−5ix
−1 e5ix − e−5ix
e3ix − e−3ix
eix − e−ix =
−3
+4
8
2i
2i
2i
−1 =
sin(5x) − 3 sin(3x) + 4 sin(x)
8
6
TSI 1
Lycée Heinrich-Nessel
5. cos3 (2x) × sin3 (x) =
1
32
2016/2017
− sin(9x) + 3 sin(7x) − 6 sin(5x) + 10 sin(3x) − 12 sin(x)
6. cos2 x sin(2x) cos(3x) = 18 sin(7x) + 2 sin(5x) − sin(x)
7. cos4 (x) = 18 cos(4x) + 4 cos(2x) + 3 cos(x)
Exercice 3.41. À l’aide de linéarisations, montrer l’identité
sin(3x) sin3 (x) + cos(3x) cos3 (x) = cos3 (2x)
Exercice 3.42. Soit n ∈ N et θ ∈ R.
1. Développer (1 + eiθ + e2iθ )(1 − eiθ ). Comment généraliser cette propriété ?
2. Supposons que θ 6≡ 0 [2π], montrer que
1 + eiθ + . . . + eniθ =
)
sin( (n+1)θ
2
sin( 2θ )
e
niθ
2
3. Calculer Cn = 1 + cos(θ) + cos(2θ) + . . . + cos(nθ).
4. Calculer Sn = 1 + sin(θ) + sin(2θ) + . . . + sin(nθ).
Exercice 3.43.
1. Pour tout réel x, mettre sous forme exponentielle le nombre z = ei3x + ei5x + ei7x .
2. Résoudre l’équation d’inconnue réelle x : sin(3x) + sin(5x) + sin(7x) = 0.
3. Résoudre l’équation d’inconnue réelle x : sin(5x) = 0.
4. Montrer que, pour tout x réel qui n’est pas solution des deux équations précédentes, on a
l’identité :
sin(x) + sin(3x) + sin(5x)
sin(3x)
=
sin(3x) + sin(5x) + sin(7x)
sin(5x)
Exercice 3.44. Soit p et q deux nombres réels.
1.
a) Factoriser eip + eiq pour en déduire une expression factorisée de cos(p) + cos(q).
b) Donner également une forme factorisée de cos(p) − cos(q).
2. Calculer I =
Rπ
0
sin( π8 + x2 ) sin( π8 − x2 ) dx.
Exercice 3.45. Résoudre l’équation sin(x) + cos(3x) = 0 dans R.
3.4
Équations polynomiales
Exercice 3.46. Déterminer les racines carrées complexes de 1 + i, de e2i et de e2+2i .
Exercice 3.47. Calculer les racines carrées complexes de −8 − 6i. ±(1 − 3i)
Exercice 3.48. On considère l’équation z 3 − 6z 2 + 13z − 10 = 0 dans C.
1. Déterminer une racine évidente.
2. En déduire les solutions de l’équation.
Exercice 3.49. Résoudre dans C les équations suivantes :
1. z 2 + z + 1 = 0
3. 2z 2 − (9i + 1)z − 7 + 11i = 0
2. iz 2 + (i + 3)z + 2 − 2i = 0
4. z 2 − 2z cos(θ) + 1 = 0 où θ ∈ R
7
TSI 1
Nombres complexes
5. 2z 2 − 10z + 13 = 0
6. (2z 2 − 3z + 2)2 + (z 2 − 3z + 2)2 = 0.
7.
z+i
z−i
2016/2017
4
+
z+i
z−i
2
+1=0
8. (1 + z)2n = (1 − z)2n , où n est un entier naturel non nul
Exercice 3.50. On désigne par (E) l’équation d’inconnue complexe z :
z 4 + 4z 2 + 16 = 0
1. Résoudre dans C l’équation Z 2 + 4Z + 16 = 0. On écrira les solutions de cette équation
sous une forme exponentielle.
√
2. Déterminer les racines carrées de −2 + 2i 3. On écrira les solutions sous forme algébrique.
3. Démontrer que si z est une solution de l’équation (E) alors son conjugué z est également
une solution de (E).
En déduire les solutions dans C de l’équation (E). On admettra que (E) admet au plus
quatre solutions.
Exercice 3.51. Pour t ∈ R, résoudre dans C l’équation (E) : z 2 + 2tz + 1 = 0 d’inconnue z.
Quel est l’ensemble Ω des points Mz d’affixe z solution de (E) lorsque t décrit R ?
Exercice 3.52.
1. Déterminer δ ∈ C tel que δ 2 = −2(4 + 3i).
2. En déduire les solutions dans C de l’équation 2z 2 − (1 + 5i)z − 2(1 − i) = 0.
Exercice 3.53. Déterminer les racines quatrièmes de 28 − 96i sous forme algébrique.
Exercice 3.54. *
1. Résoudre, en détaillant, l’équation d’inconnue z complexe : z 5 = 1.
2. En déduire, sous forme de tangente, les solutions de l’équation suivante d’inconnue z
complexe :
(1 + iz)5 = (1 − iz)5
On a
(1 + iz)5
=1
(1 − iz)5
5
1 + iz
=1
1 − iz
Donc il existe 0 ≤ k ≤ 4 tel que
2ikπ
1 + iz
=e 5
1 − iz
1 + iz = e
i(1 + e
2ikπ
5
)z = e
z=
2ikπ
5
2ikπ
5
e
(1 − iz) = e
2ikπ
5
z = tan(
− ie
2ikπ
5
z
−1
2ikπ
5
i(e
2ikπ
5
−1
+ 1)
=
e
ikπ
5
(e
kπ
)
5
8
ikπ
5
− e−
2i
ikπ
5
)
2
e
ikπ
5
(e
ikπ
5
+e
−ikπ
5
=
)
sin( kπ
5 )
cos( kπ
5 )
TSI 1
Lycée Heinrich-Nessel
2016/2017
3. On admet que pour tout nombre complexe x, on a (1+x)5 = 1+5x+10x2 +10x3 +5x4 +x5 .
Développer (1 + iz)5 et (1 − iz)5 .
(1 + iz)5 = 1 + 5iz − 10z 2 − 10iz 3 + 5z 4 + iz 5
(1 − iz)5 = 1 − 5iz − 10z 2 + 10iz 3 + 5z 4 − iz 5
q
√
4. En déduire les valeurs de tan π5 et tan 2π
que
l’on
exprimera
sous
la
forme
n+p r
5
où n, p et r sont trois entiers. D’après les questions précédentes z = tan( kπ
5 ) est solution
(1 + iz)5 − (1 − iz)5 = 0
(1 + 5iz − 10z 2 − 10iz 3 + 5z 4 + iz 5 ) − (1 − 5iz − 10z 2 + 10iz 3 + 5z 4 − iz 5 ) = 0
10iz − 20iz 3 + 2iz 5 = 0
z(5 − 10z 2 + z 4 ) = 0
Supposons z 6= 0. Posons Z = z 2 , alors on a
√
√
√
√
10 − 80
2
z = Z1 =
= 5 − 20 = 5 − 4 5
ou
z 2 = Z2 = 5 + 4 5
2
q
q
√
√
z =± 5−4 5
ou
z =± 5+4 5
2π
4π
D’autre part, comme tan(π − x) = − tan(x), on déduit que tan( 3π
5 ) = − tan( 5 ) et tan( 5 ) =
π
2π
π
2π
π
π
tan( 5 ). De plus, 0 ≤ tan( 5 ) ≤ tan( 5 ) (car 0 ≤ 5 ≤ 5 ≤ 2 et la fonction tangente est croissante).
Ainsi, on en déduit que
q
q
√
√
π
2π
tan( ) = 5 − 4 5
et
tan( ) = 5 + 4 5
5
5
Exercice 3.55. Pour α ∈ R, résoudre dans C :
1. (Eα ) : z 2 − 2z cos(α) + 1 = 0 d’inconnue z. Quel est l’ensemble des solutions lorsque α
décrit [0; π] ?
0 = z 2 − 2z cos(α) + cos2 (α) + sin2 (α)
0 = (z − cos(α)2 + sin2 (α)
0 = z − cos(α) + i sin(α) z − cos(α) − i sin(α)
z = cos(α) − i sin(α)
ou
z = cos(α) + i sin(α)
−iα
ou
z = eiα
z=e
S = {eiα ; e−iα }.
2. (E) : z 4 − 2z 2 cos(α) + 1 = 0. On note z 2 est solution (Eα , d’où l’on déduit 4 racines :
α
α
α
α
S = {ei 2 ; −ei 2 ; e−i 2 ; −e−i 2 }
3. (E 0 ) : z 2 + 2(1 − cos(α))z + 2(1 − cos(α)) = 0. Donner les solutions sous forme trigonométrique.
Comme précédemment, on peut retenter la même astuce :
(1 − cos(α))2 = 1 − 2 cos(α) + cos2 (α) = 1 − 2 cos(α) + 1 − sin2 (α) = 2(1 − cos(α)) − sin2 (α)
(1 − cos(α))2 + sin2 (α) = 2(1 − cos(α))
Ainsi, l’équation (E 0 ) équivaut à
0 = z 2 + 2(1 − cos(α))z + (1 − cos(α))2 + sin2 (α)
0 = (z + 1 − cos(α))2 + sin2 (α)
0 = (z + 1 − cos(α) + i sin(α)) (z + 1 − cos(α) − i sin(α))
Donc S = {1 − e−iα ; 1 − eiα }.
9
TSI 1
Nombres complexes
2016/2017
Exercice 3.56. Résoudre dans C les équations suivantes :
1. z 4 = i
2. z 3 = −(2 + i)3
3. z 3 = −16z̄ 7
4. z 4 + (3 − 6i)z 2 − 2(4 + 3i) = 0
5.
z−2i
z+2i
3
+
z−2i
z+2i
2
+
z−2i
z+2i
+1=0
6. (z − 1)6 + (z + 1)6 = 0
7. z = ei
8.
z+1
z−1
2π
3
3
z2
+
z−1
z+1
3
=0
Exercice 3.57. Déterminer les racines ne de 1 + i, de e2i et de e2+2i .
Exercice 3.58.
1. Résoudre dans C le système


 x+y =2

 xy = 2
2π
2. On pose ω = ei 7 , u = ω + ω 2 + ω 4 et v = ω 3 + ω 5 + ω 6 .
Calculer u + v et u × v puis en déduire la valeur de u et v.
Exercice 3.59. Soit Z ∈ C∗ fixé. Résoudre dans C l’équation ez = Z d’inconnue z.
Exercice 3.60.
1. Pour quelles valeurs du paramètre m l’équation x2 + 4 cos(m)x + 2 + 4 cos(2m) = 0 d’inconnue x a-t-elle deux solutions réelles ? Pour m = π6 , déterminer le module et l’argument
de chaque racine.
2.
a) Résoudre l’équation z 2 =
1+i
√
2
de deux manières différentes.
b) En déduire les valeurs de cos π8 et sin π8 .
c) Calculer
q
2+
√
q
2+i 2−
√ 32
2 .
3. Déterminer les solutions de l’équation z 3 − (3 + 2i)z 2 + (3 + 5i)z − 2(1 + 3i) = 0 sachant
qu’il admet une racine imaginaire pure.
Indication : déterminer la solution de la forme z0 = ir avec r ∈ R puis factoriser par
z − z0 .
Exercice 3.61. Calculer sans calculatrice :
π
10
1. A = cos
2. B = sin
2π
5
+ cos
2π
5
+ sin
+ cos
3π
5
+ cos
9π
10
+ sin
6π
5
+ sin
8π
5
4π
5
Exercice 3.62. Calculer les sommes suivantes :
1. A = sin
π
8
2. B = cos
π 2
8
3. C = cos
3π
8
− sin
+ cos
sin
3π
8
π
8
3π
8
+ sin
2
5π
8
+ cos
+ cos
25π
8
− sin
5π
8
2
sin
7π
8
+ cos
11π
8
10
7π
8
2
TSI 1
3.5
Lycée Heinrich-Nessel
2016/2017
Problèmes
Exercice 3.63 (Trois points alignés).
1. Soit Ω le point d’affixe ω =
un point d’affixe z ∈ C.
1+i
2
et C le cercle de centre Ω et passant par O. Soit enfin M
a) Traduire à l’aide d’un module le fait que M ∈ C.
b) En déduire que M ∈ C si et seulement si 2z z̄ = (1 − i)z + (1 + i)z̄.
2. On considère le point M 0 d’affixe iz et L et A les points d’affixes i et 1.
a) Montrer que si M = O ou M = L ou M = A alors les points L, M et M 0 sont alignés.
b) Démontrer que L, M, M 0 alignés ⇐⇒ M ∈ C.
Exercice 3.64. Soient A, B et C les points d’affixes respectives 4 + i, 4 − i et −i.
1. Calculer l’image S de A par l’application z 7→ iz + 2 − 2i.
2. Montrer que les points A, B, C et S appartiennent à un même cercle C.
3. Soit f l’application de C \ {2} dans C définie par f (z) =
iz+10−2i
z−2 .
a) Calculer l’affixe de l’image A0 , B 0 et C 0 par f des points A, B et C et vérifier que A0 ,
B 0 et C 0 appartiennent à un même cercle C 0
b) Calculer |f (z) − i| en fonction de z. En déduire l’image par f de C.
√
Exercice 3.65. Soit A le point d’affixe 3 + i. Soit B le symétrique de A par rapport à l’axe
des abscisses.
√
1. Résoudre l’équation z 2 − 2 3z + 4 = 0. On donnera les solutions sous forme exponentielle.
2. Déterminer l’affixe (sous forme algébrique) de l’image A0 de A par la rotation de centre O
et d’angle π3 .
3. Déterminer l’affixe de l’image B 0 de B par l’homothétie de centre O et de rapport − 23 .
4. Déterminer l’affixe du centre C du cercle circonscrit au triangle OA0 B 0 .
Exercice 3.66. Soit z ∈ C \ {0}. On note p et q les deux racines carrées de z.
1. Exprimer p, q et z en fonction de p.
2. A quelle condition les points d’affixes sont-ils deux à deux distincts ?
3. A quelle condition les points d’affixe z, p et q forment-ils un triangle rectangle ?
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