TD - Olivier Lader

TSI 1 Lycée Heinrich-Nessel 2016/2017
TD3 : Nombres complexes
mercredi 21 septembre 2016
3.1 Nombres complexes
Exercice 3.1. Calculer les parties réelle et imaginaire des complexes suivants :
1. (3 + 2i)2(2 −i)
2. (3+2i)(1+i)
1−i
3. (1 + i√3)4
4. (1+i)2
(1−i)3
5. i+1
i
6. 5+7i
2+3i
Exercice 3.2.
1. Calculer (1 + i)npour n= 0,1,2,3,4et 5.
2. En déduire (1 + i)nen fonction de nun entier naturel.
Exercice 3.3. Trouver aet bréels tels que (2a−b−i(a+b))(−a−i(a+b)) ∈R.
Exercice 3.4. Soit z=x+iyun nombre complexe. On note z1=x−4 + i(y+ 5) et z2=
x+4+i(1 −y). A quelle condition a-t-on :
1. z1= 3z2? 2. z1−z2∈R? 3. z1z2imaginaire pur ?
Exercice 3.5.
1. Soit z= (√3 + 1) + i(√3−1). Ecrire z2sous forme algébrique. Déterminer |z2|et arg(z2)
puis en déduire |z|et arg(z).
2. Soit z=q2−√3−iq2 + √3. Calculer z2puis déterminer module et argument de z.
Exercice 3.6. Calculer le conjugué de z=(3 −2i)(5 + i)
3i(7 + 2i).
Exercice 3.7. Montrer que pour tout nombre complexe znon nul, on a z+1
z−1+z ¯z= ¯z−1.
Exercice 3.8. Résoudre dans Cl’équation ¯z2+ 2|z|2−3=0.
Exercice 3.9. Quels sont les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué ?
Exercice 3.10. Soient zet z0deux nombres complexes de même module. Montrer que le nombre
(z+z0)2
zz0est un nombre réel.
Exercice 3.11. Soit z∈C\ {1}. Calculer les parties réelles et imaginaires de 2+¯z
1−¯z.
Exercice 3.12. Mettre sous forme trigonométrique les quantités suivantes :
1. e2i
2. e2
3. e2i+e−2i
4. e2i+ei
5. e2i−ei
6. e2+2i
7. e2+2i+e2+i
8. (1+i)2
(1−i)3
Exercice 3.13.
1. Donner la forme algébrique et trigonométrique de a=1+eiπ
4
1−eiπ
4.
2. Soit n∈N. À quelle condition anest-il un réel ?
Exercice 3.14.
1. Calculer le module et un argument de z=1+i√3
1+i.
2. En déduire les valeurs exactes de cos( π
12 )et sin( π 12 ).
Exercice 3.15. Pour quelles valeurs de l’entier na-t-on (1−i√3)5
(1−i)3n∈R?
Exercice 3.16. Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que :
1

TSI 1 Nombres complexes 2016/2017
1. |z−1|=|z−i|
2. |z|=
1
z=|1−z|
3. arg(z−2i) = π
4[2π]
4. |(1 + i)z−2i|= 2
5. z+i
z−2isoit réel
6. z+i
z−2isoit imaginaire pur
7. z+i
z−2iait π 2comme argument
8. |z|=|z−6+5i|
9. z+4i
5z−3∈R
10. arg z+i
z−i=−π 4[π]
11. z(2z+ 1) = 1
12. Re z−1
z+1 = 0
13. z−1
z+1 soit réel
14. z−1
z+1 soit imaginaire pur
Exercice 3.17. Dans le plan complexe,
1. On considère les points A(−2 + i),B(−3−i)et C(1
2−2i). Déterminer l’affixe de Dtel
que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
2. On considère les points A(3+i
2),B(−2−i 2)et C(−1 2−2i). Tracer la figure, émettre une
conjecture et déterminer sa validité.
Exercice 3.18. On considère le quadrilatère ABCD où les sommets sont d’affixes :
zA=−1−5i, zB= 4 −3i, zC= 3 + 3iet zD=−2 + i
1. Vérifier que ABCD est un parallélogramme.
2. Déterminer l’affixe du point C0symétrique de Cpar rapport au point D.
3. Déterminer l’affixe du point A0vérifiant −−→ DA0=−−→ DB +−−→ DC.
4. Quelle est la nature du quadrilatère A0BC0D?
Exercice 3.19. 1. Soit zet z0deux nombres complexes. Démontrer l’égalité ci-dessous ap-
pelée identité du parallélogramme :
|z+z0|2+|z−z0|2= 2(|z|2+|z0|2)
2. Quel rapport avec un parallélogramme ?
Exercice 3.20 (d’après CCP 2011 - épreuve 2).On rappelle que j=−1+i√3
2. Soit a,bet c
trois nombres réels et les trois nombres complexes suivants :
a+b+c a +bj +cj2a+bj2+cj
1. Calculer j3et j+j2.
2. a) Préciser les parties réelles et imaginaires de chacun de ces complexes.
b) Démontrer que ces nombres complexes sont tous réels si et seulement si b=c.
3. a) À quelle condition ces complexes sont-ils égaux à un même réel ? Déterminer en
particulier a,bet cde sorte que ces trois réels soient égaux à 1.
b) Déterminer les valeurs des réels a,bet cpour lesquelles l’ensemble de ces trois nombres
complexes est exactement {0,1}.
Exercice 3.21. 1. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a
|Re(z) + Im(z)|
√2≤ |z|
2. Représenter l’ensemble des points Md’affixe ztels que l’inégalité précédente soit une
égalité.
Exercice 3.22. Dans cet exercice, a,bet zde forme algébrique x+iydésignent trois nombres
complexes quelconques.
1. Démontrer que 2 Re(z)≤1 + |z|2;
2. a) En déduire que |a+b|2≤(1 + |a|)(1 + |b|);
b) Étudier le cas d’égalité.
2

TSI 1 Lycée Heinrich-Nessel 2016/2017
3.2 Trigonométrie
Exercice 3.23. A l’aide de formules de trigonométrie, développer les expressions suivantes :
1. cos (x+π)
2. sin (x+π)
3. cos x+π
2
4. sin x+π
2
5. cos x−π
2
6. sin x−π
2
7. cos π
3−π 4
8. sin π
3−π 4
9. cos π
24 
10. sin π
24 
Exercice 3.24. Déterminer le module et l’argument des complexes suivants :
1. z1= cos(θ)−isin(θ);
2. z2=−sin(θ) + icos(θ);
3. z3= sin(θ) + icos(θ);
4. z4=−cos(θ) + isin(θ).
Exercice 3.25. À l’aide de formules de trigonométrie, simplifier et/ou factoriser les expressions
suivantes :
1. √2 (sin(x) + cos(x))
2. 1−2 sin2(x)
3. cos4(x)−2 sin2(x) cos2(x) + sin4(x)
4. √3 cos(3x)−sin(3x)
5. 3 cos 2π
3x+√3 sin 2π 3x
Exercice 3.26. On admet que cos π
5=√5+1 4. Calculer le sinus de π 5. Calculer également le
cosinus et le sinus de 4π
5,−π 5,6π 5,3π 10 .
Exercice 3.27.
1. Déterminer les valeurs exactes de cos π
8et sin π 8.
On applique la formule de duplication avec a=π
8, pour obtenir
√2
2= 1 −2 sin2(π 8)et √2 2= 2 sin(π 8) cos(π 8)
D’où
sin(π
8) = p2−√2 2et cos(π 8) = p2 + √2 2
2. En déduire sin 3π
8,sin 5π 8et sin 7π 8.
sin(3π
8) = sin(π 2−π 8) = cos(π 8) = p2 + √2 2
sin(5π
8) = sin(π−3π 8) = sin(3π 8) = p2 + √2 2
sin(7π
8) = sin(π−π 8) = sin(π 8) = p2−√2 2
3. Vérifier que
sin π
82+ sin 3π 82+ sin 5π 82+ sin 7π 82= 2
Exercice 3.28. Résoudre dans Rles équations ou inéquations trigonométriques d’inconnue x
suivantes :
3

TSI 1 Nombres complexes 2016/2017
1. cos(x)=1
2. sin(x)=1
3. cos(x)=0
4. sin(x)=0
5. cos(x) = −1
6. sin(x) = −1
7. cos(x) = 1
2
8. cos(x) = −1
2
9. cos(x) = √2
2
10. |sin(x)|=1
2
11. sin(x) = −√3
2
12. cos(x) = cos 2π
5
13. sin(x) = sin π
7
14. cos(x) = sin 3π
8
15. sin(x) = cos 2π
9
16. cos(x) = sin(x)
17. cos(x) = −sin(x)
18. 2 cos(x) = √2 (sin(x) + cos(x))
19. cos(x)2−3 cos(x) + 2 = 0
20. 4 sin(x)2−2(1 + √3) sin(x) + √3=0
21. 2 cos 2x+π
3=√3
22. sin x≤ −1
2
23. sin2x+ 3 cos x−1=0
24. sin2x+ 3 cos x−1≥0
25. cos(2x)−√3 sin(2x)=1
26. sin22x+π
6= cos2x+π 3
27. 2 cos2(x) + 3 cos(x) + 1 = 0
28. 3 sin(2x) + √3 cos(2x) = √6
29. cos(2x) + sin(2x)>√3
30. cos(x) + cos x+π
3>0
31. √3 cos(x) + sin(x)−√2<0
32. −3 sin(3x)+3√3 cos(3x)<3
33. 4 sin(x)2−3=0
34. 2 cos(x)2−1=0
35. 2 cos2(x)−√3 + √2cos(x) + q3
2>0
Exercice 3.29.
1. Soit θ∈[0; 2π[. Déterminer module et argument de eiθ+ 1 et eiθ−1.
2. Simplifier les nombres complexes (1 + ei2π
3)5et 1
(1+ei2π
3)4puis déterminer leurs formes
algébriques.
Exercice 3.30.
1. On pose a= 1 + iet b=√3−i.
a) Déterminer le module et un argument des nombres a,bet a×b.
b) En déduire les valeurs exactes de cos π
12 et sin π 12 puis de cos 7π 12 et sin 7π 12 .
2. a) Déterminer le module et un argument de 1+i
−1+i√3.
b) En déduire les valeurs de cos 5π
12 et de sin 5π 12 .
Exercice 3.31 (Système triphasé équilibré).On pose j=e2iπ
3. On appelle système de ten-
sions triphasées tois tensions définies par :
u1(t) = U1cos(ωt +φ)
u2(t) = U2cos(ωt +φ+2π
3)où U1, U2, U3, ω, t ∈R+et φ∈R
u3(t) = U3cos(ωt +φ+4π
3)
1. Écrire u1(t) + u2(t) + u3(t)comme partie réelle d’un nombre complexe.
2. Supposons que ω6= 0, démontrer que
(∀t∈R+u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0) ⇐⇒ U1=U2=U3
4

TSI 1 Lycée Heinrich-Nessel 2016/2017
Exercice 3.32. Montrer que pour tout x∈]0; π[, on a :
tan(x
2) = sin(x) 1 + cos(x)=1−cos(x) sin(x)=s1−cos(x) 1 + cos(x)
Exercice 3.33. Soit 0<a<π
4.
1. Résoudre cos(α) = q1
2+ cos(a) sin(a).
cos(π
4−a) = r1 2+ cos(a) sin(a)
2. En déduire la forme trigonométrique de p1 + sin(2a) + ip1−sin(2a).
3. Simplifiez le nombre complexe
z=1 + cos(a) + isin(a)
p1 + sin(2a) + ip1−sin(2a)
Z=√2
4(1 + cos(a) + sin(a) + i(1 + cos(a)−sin(a)))
Exercice 3.34. Résoudre l’équation ez= 2 + 2i.
5