Trigonométrie (cours 3ème) - Epsilon 2000

3
ème
Chapitre 10 - Trigonométrie
Sylvain DUCHET - http://epsilon.2000.free.fr 1 / 2
TRIGONOMETRIE
définitions
Si ABC est un triangle rectangle en C, on définit :
• le cosinus de l'angle
BAC
, noté
cos( )
BAC
, le quotient :
cos( )
AC coté adjacent à BAC
BAC AB hypoténuse = =
ɵ
;
• le sinus de l'angle
BAC
, noté
sin( )
BAC
, le quotient :
sin( )
BC coté opposé à BAC
BAC AB hypoténuse = =
ɵ
;
• la tangente de l'angle
BAC
, noté
tan( )
BAC
, le quotient :
tan( )
BC coté opposé à BAC
BAC AC
coté adjacent à BAC
= =
ɵ
ɵ
;
exemple
ABC est un triangle rectangle en B tel que
5
AB cm
=
et
33
BAC
= °
.
Calculer
BCA
, BC et AC (on arrondira les
longueurs au dixième).
90 33 57
− =
donc
57
BCA
= °
.
cos( )
AB
BAC
AC
= (car [AB] est le côté adjacent à l'angle
BAC
).
5
cos(33)
AC
=
cos(33) 5
AC
× =
5
6
cos(33)
AC
= ≈
. [AC] mesure environ 6 cm.
tan( )
BC
BAC
AB
= (car [BC] est le côté opposé à l'angle
BAC
et [AB] est le côté adjacent à l'angle
BAC
).
B
C
A
hypoténuse
côté opposé à l'angle
A
côté adjacent à l'angle
A
C
A
B

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ème
Chapitre 10 - Trigonométrie
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tan(33)
5
BC
=
5 tan(33) 3,2
BC
= × ≈
. [BC] mesure environ 3,2 cm.
Autre exemple :
ABC est un triangle rectangle en C tel que 7
AB cm
=
et 4
BC cm
=
. Calculer la mesure des angles
BAC
et
ABC
.
Dans le triangle ABC rectangle en C :
sin( )
BC
BAC
AB
=
4
sin( )
7
BAC
=
1
( ) sin (4:7) 35
mes BAC
−
= ≈ °
1
cos( )
4
cos( ) 7
( ) cos (4:7) 55
BC
ABC AB
ABC
mes ABC
−
=
=
= ≈ °
propriétés
Si x désigne la mesure d'un angle aigu, on a les relations suivantes :
( ) ( )
2 2
cos sin 1
x x
+ =
sin
tan
cos
x
x
x
=.
Preuve
On se place dans un triangle ABC rectangle en B. Appelons x la mesure en degrés de l'angle
BCA
:
sin
AB
x
AC
=, cos
BC
x
AC
= et tan
AB
x
BC
=.
2 2
2 2
2 2
2
2
2
(sin ) (cos )
1
AB BC
x x
AC AC
AB BC
AC
AC
AC
+ = +
+
=
=
=
sin
tan
cos
x AB AC AB
x
x AC BC BC
= × = = .
A
B C
C
A
B
car
2 2 2
AB BC AC
+ = d'après
le théorème de Pythagore