Espaces préhilbertiens

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Espaces préhilbertiens
Espace préhilbertien réel
Exercice 1 [ 00504 ] [correction]
Soient A, B ∈ Sn(R). Montrer
(tr(AB +BA))264tr(A2)tr(B2)
Exercice 2 [ 00505 ] [correction]
Démontrer que la boule unité fermée Bd’un espace préhilbertien réel est
strictement convexe i.e. que pour tout x, y ∈Bdifférents et tout t∈]0,1[,
k(1 −t)x+tyk<1.
Exercice 3 [ 00507 ] [correction]
Soit (e1, e2, . . . , en)une famille de vecteurs unitaires d’un espace préhilbertien réel
Etelle que
∀x∈E, kxk2=
n
X
i=1
(ei|x)2
Montrer que (e1, e2, . . . , en)constitue une base orthonormée de E.
Exercice 4 [ 00508 ] [correction]
Soient Eun espace préhilbertien réel et f, g :E→Etelles que
∀x, y ∈E, (f(x)|y)=(x|g(y))
Montrer que fet gsont linéaires.
Exercice 5 [ 00509 ] [correction]
Soient Eun espace préhilbertien réel et f:E→Eune application surjective telle
que pour tout x, y ∈E, on ait
(f(x)|f(y)) = (x|y)
Montrer que fest un endomorphisme de E.
Exercice 6 [ 00510 ] [correction]
Soient x, y deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Etablir
x
kxk2−y kyk2
=kx−yk
kxkkyk
Exercice 7 [ 00511 ] [correction]
On munit E=C([a, b],R)du produit scalaire défini par
(f|g) = Zb
a
f(t)g(t) dt
En exploitant le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass, établir que
l’orthogonal du sous-espace vectoriel Fde Eformé des fonctions polynomiales est
réduit à {0}.
Exercice 8 [ 00512 ] [correction]
Soit Eun espace de Hilbert réel.
a) Montrer que pour x, y ∈E,
x+y
2
2
+
x−y
2
2
=kxk2+kyk2
2
b) Soit Fun sous-espace vectoriel fermé de Eet a∈E. Montrer qu’il existe x∈F
vérifiant d(a, F ) = kx−ak.
c) Etablir que si Hest un hyperplan fermé de E, il existe a∈Evérifiant :
∀x∈E,x∈H⇔(a|x)=0
Exercice 9 [ 00513 ] [correction]
Soit Eun espace préhilbertien réel.
a) Etablir que pour tout sous-espace vectoriel Fde E,¯ F⊂F⊥⊥.
Désormais, on suppose E=R[X]muni du produit scalaire défini par
(P|Q) = Z1
−1
P(t)Q(t) dt
b) Montrer que
H=P∈R[X]/Z1
−1|t|P(t) dt= 0
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est un hyperplan fermé de E.
c) Soit Q∈H⊥. Etablir que pour tout P∈R[X],
Z1
−1
P(t)Q(t) dt=Z1
−1|t|P(t) dtZ1 −1
Q(t) dt
d) Etablir que H⊥={0}et conclure qu’ici l’inclusion ¯ H⊂H⊥⊥ est stricte.
Exercice 10 [ 02666 ] [correction]
a) Montrer l’existence et l’unicité de A∈Rn[X]tel que
∀P∈Rn[X], P (0) = Z1
0
A(t)P(t) dt
b) Montrer que Aest de degré n.
Exercice 11 [ 03024 ] [correction]
On définit sur R[X]le produit scalaire
hP|Qi=Z1
0
P(t)Q(t) dt
Existe-t-il A∈R[X]tel que
∀P∈R[X], P (0) = hA|Pi?
Exercice 12 [ 03079 ] [correction]
On définit
Qn(X) = 1
2nn!(X2−1)n(n)
a) Soit n>1. Montrer que Qnpossède nracines simples dans ]−1,1[.
b) Montrer que
Qn=Xn+ (X2−1)Rn(X)
avec Rn∈R[X]. En déduire Qn(1) et Qn(−1).
c) On pose, pour (P, Q)∈R[X]2,
hP, Qi=Z1
−1
P(t)Q(t) dt
Montrer que Qnest orthogonal à Rn−1[X].
d) Calculer kQnk2.
Exercice 13 [ 03081 ] [correction]
Soit E=C([−1,1] ,R)muni du produit scalaire défini par
hf|gi=Z1
−1
f(t)g(t) dt
On pose
F={f∈E/∀t∈[−1,0] , f(t)=0}et G={g∈E/∀t∈[0,1] , g(t)=0}
a) Montrer que F⊥=G.
b) Les sous-espaces vectoriels Fet Gsont-ils supplémentaires ?
Exercice 14 [ 03157 ] [correction]
Soit F= (x1, . . . , xn)une famille de n>2vecteurs d’un espace préhilbertien réel.
On suppose
∀16i6=j6n, (xi|xj)<0
Montrer que toute sous famille de n−1vecteurs de Fest libre.
Exercice 15 [ 03180 ] [correction]
Soit Sl’ensemble des vecteurs de norme 1 d’un espace préhilbertien réel. Montrer
∀x, y ∈S, x 6=y⇒ ∀λ∈R\{0,1},(1 −λ)x+λy /∈S
Exercice 16 [ 03318 ] [correction]
Soient x1, . . . , xndes vecteurs d’un espace préhilbertien réel E.
On suppose qu’il existe M∈Rtel que
∀(ε1, . . . , εn)∈ {1,−1}n,
n
X
k=1
εkxk 6M
Montrer n
X
k=1 kxkk26M2
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Exercice 17 [ 03321 ] [correction]
On munit l’espace E=C([0,1] ,R)du produit scalaire
hf, gi=Z1
0
f(x)g(x) dx
Pour f∈E, on note Fla primitive de fqui s’annule en 0
∀x∈[0,1] , F (x) = Zx
0
f(t) dt
et on considère l’endomorphisme vde Edéterminé par v(f) = F.
a) Déterminer un endomorphisme v?vérifiant
∀f, g ∈E, hv(f), gi=hf, v?(g)i
b) Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme v?◦v.
Exercice 18 [ 03322 ] [correction]
Soient aun vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel E,kun réel et
ϕ:E×E→Rl’application déterminée par
ϕ(x, y) = hx, yi+khx, aihy, ai
Donner une condition nécessaire et suffisant pour que ϕsoit un produit scalaire.
Exercice 19 [ 03325 ] [correction]
Soit Fun sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien réel E. Etablir
F⊥=¯ F⊥
Exercice 20 [ 03480 ] [correction]
On note E=R[X]et on considère l’application ϕ:E×E→Rdonnée par
ϕ(P, Q) = Z+∞
0
P(t)Q(t)e−tdt
a) Justifier que l’application ϕest bien définie de E×Evers R.
b) Montrer que l’application ϕdéfinit un produit scalaire sur E.
c) Pour p, q ∈N, calculer ϕ(Xp, Xq).
d) Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille (1, X, X2).
Exercice 21 [ 03478 ] [correction]
Soit Eun espace de Hilbert réel et Cune partie convexe fermée non vide de E.
a) Soient uet vdeux vecteurs de E. Calculer
ku+vk2+ku−vk2
b) Soit (wn)une suite d’éléments de Ctelle que
kwn−xk → d(x, C)
Montrer que (wn)est une suite de Cauchy.
c) Montrer que, pour tout xde E, il existe un unique vecteur ude Ctel que
kx−uk=d(x, C)
On note u=pC(x).
d) Montrer que pC(x)est l’unique vecteur vde Ctel que
∀w∈C, (x−v|w−v)60
e) Montrer que l’application pCest lipschitzienne.
Exercice 22 [ 03657 ] [correction]
On munit R[X]du produit scalaire
hP, Qi=Z1
−1
P(t)Q(t) dt
a) Etablir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes (Pn)formée de
polynômes deux à deux orthogonaux avec chaque Pnde degré net de coefficient
dominant 1.
b) Etudier la parité des polynômes Pn.
c) Prouver que pour chaque n>1, le polynôme Pn+1 −XPnest élément de
l’orthogonal à Rn−2[X].
d) En déduire alors qu’il existe λn∈Rtel que
Pn+1 =XPn+λnPn−1
Exercice 23 [ 03805 ] [correction]
a) Enoncer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
b) Orthonormaliser la base canonique de R2[X]pour le produit scalaire
(P, Q)7→ Z1
−1
P(t)Q(t) dt
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Exercice 24 [ 02494 ] [correction]
a) Montrer que dans R3euclidien
a∧(b∧c)=(a|c)b−(a|b)c
(on pourra utiliser les coordonnées de a, b, c dans une base où elles comportent un
maximum de 0)
b) Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de f(x) = a∧(a∧x)où aest
un vecteur unitaire puis reconnaître f.
Exercice 25 [ 03883 ] [correction]
Soit A= (ai,j )16i,j6nune matrice réelle vérifiant
∀i∈ {1, . . . , n}, ai,i >1et
n
X
i=1
n
X
j=1,j6=i
a2
i,j <1
a) Montrer
∀X∈Rn\{0},tXAX > 0
b) En déduire que la matrice Aest inversible.
Exercice 26 [ 03923 ] [correction]
Soit A∈ Mn(R)vérifiant
A3=AtA
Montrer que la matrice Aest diagonalisable sur C.
Exercice 27 [ 03926 ] [correction]
Soient Aet Bdans On(R)telle que (A+ 2B)/3appartienne à On(R). Que dire de
Aet B?
Espace préhilbertien complexe
Exercice 28 [ 00514 ] [correction]
On définit une application ϕ:C[X]×C[X]→Cpar
ϕ(P, Q) = 1
2πZπ
−π
P(eiθ)Q(eiθ)dθ
a) Montrer que ϕest un produit scalaire hermitien sur C[X].
b) Montrer que la famille (Xk)k∈Nest une base orthonormée pour le produit
scalaire précédent.
c) Soit Q=Xn+an−1Xn−1+··· +a0. Calculer kQk2.
d) On pose
M= sup
|z|=1 |Q(z)|
Montrer que M>1et étudier le cas d’égalité
Exercice 29 [ 00515 ] [correction]
Soient Eun espace préhilbertien complexe et u∈ L(E)tel que pour tout x∈E,
(u(x)|x)=0
Montrer que u=˜ 0.
Exercice 30 [ 03080 ] [correction]
On pose
H=((xn)∈CN/
+∞
X
n=0 |xn+1 −xn|2<+∞)
Montrer que Hest un espace préhilbertien
Exercice 31 [ 03319 ] [correction]
Soit (x1, . . . , xn)des nombres complexes.
Préciser image et noyau de l’endomorphisme fde Cndont la matrice dans la base
canonique est
A= (xi¯xj)16i,j6n
Espaces euclidiens et hermitiens
Exercice 32 [ 00516 ] [correction]
On munit Mn(R)du produit scalaire défini par
(A|B) = tr(tAB)
a) Montrer que la base canonique (Ei,j )16i,j6nde Mn(R)est orthonormée.
b) Observer que les espaces Sn(R)et An(R)sont supplémentaires orthogonaux.
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c) Etablir que pour tout A∈ Mn(R)on a
tr(A)6√nptr(tAA)
et préciser les cas d’égalité.
Exercice 33 [ 00517 ] [correction]
Soit aun vecteur normé d’un espace vectoriel euclidien E. Pour tout α∈R, on
considère l’endomorphisme
fα:x7→ x+α(a|x)a
a) Préciser la composée fα◦fβ. Quelles sont les fαbijectives ?
b) Déterminer les éléments propres de fα.
Exercice 34 [ 00518 ] [correction]
Soient a, b deux vecteurs unitaires d’un espace vectoriel euclidien Eet f
l’application de Evers Edonnée par
f:x7→ x−(a|x)b
a) A quelle condition la fonction fest-elle bijective ?
b) Exprimer f−1(x)lorsque c’est le cas.
c) A quelle condition l’endomorphisme fest-il diagonalisable ?
Exercice 35 [ 03320 ] [correction]
Soit aun vecteur non nul d’un espace euclidien orienté de dimension 3.
On considère l’endomorphisme
f:x∈E7→ x+a∧x
a) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
b) Déterminer un polynôme annulateur de f.
Exercice 36 [ 00519 ] [correction]
Montrer que dans R3euclidien : a∧(b∧c)=(a|c)b−(a|b)c. (on pourra utiliser
les coordonnées de a, b, c dans une base où elles comportent un maximum de 0)
Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de f(x) = a∧(a∧x)où aest un
vecteur unitaire puis reconnaître f.
Exercice 37 [ 00520 ] [correction]
Soient x1, x2, ..., xn+2 des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien Ede dimension
n∈N?.
Montrer qu’il est impossible que
∀i6=j, (xi|xj)<0
On pourra commencer par les cas n= 1 et n= 2
Exercice 38 [ 00521 ] [correction]
Soit (e1, e2, . . . , en)une famille de vecteurs unitaires d’un espace euclidien réel E
telle que
∀x∈E,
n
X
k=1
(ek|x)2=kxk2
Montrer que (e1, . . . , en)est une base orthonormée de E.
Exercice 39 [ 00523 ] [correction]
Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien Etel que
∀x∈E, (f(x)|x)=0
Comparer ker fet Imf.
Exercice 40 [ 02396 ] [correction]
Soit (E, h|i)un espace euclidien non nul et u∈ L(E)tel que tr(u)=0.
a) Montrer qu’il existe x∈E\{0}tel que hu(x)|xi= 0.
b) Montrer qu’il existe une base orthonormée de Edans laquelle la matrice de u
est à diagonale nulle.
Exercice 41 [ 02733 ] [correction]
Soient c∈R,(E, h., .i)un espace euclidien de dimension n>2,v1, . . . , vndes
vecteurs unitaires de Edeux à deux distincts tels que :
∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2, i 6=j⇒ hvi, vji=c
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur cpour que (v1, . . . , vn)soit
nécessairement liée.
Exercice 42 [ 03979 ] [correction]
Soient a, b deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien E.
Déterminer le maximum sur la boule unité fermée de f:x7→ (a|x) (b|x)
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