Les fonctions de la forme ln( u)

Les fonctions de la forme ln(u)
1 Condition d’existence et dérivée
ln désigne la fonction logarithme népérien, et u désigne une fonction « a priori » quelconque. Il en résulte que ln(u) est une « fonction de
fonction » : plus précisément, c’est le logarithme népérien de la fonction u. On parle alors de composition de fonctions.
On a donc l’enchaînement suivant :
[
]
u
ln
x−
→ u(x) −→ ln u(x)
On est donc ramené à calculer le logarithme népérien de u(x), il faut donc nécessairement que pour tout x
népérien n’est pas défini pour des valeurs négatives ou nulles.
■
∈ R on ait u(x) > 0, car le logarithme
Condition sur la fonction u
Dans toute la suite, u désigne une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R.
■
Proposition 1 : condition d’existence
[
]
La fonction x 7−→ ln u(x)
on a u(x) > 0).
■
est définie sur l’intervalle I si et seulement si la fonction u est strictement positive sur I (pour tout x
Soit la fonction f : x 7−→ ln(3x − 5).
Exemple :
Cette fonction n’est définie que si 3x − 5 > 0, c’est à dire pour x >
■
f
Df =]
5
; +∞ [
3
Proposition 2 : dérivabilité
La fonction ln(u) est dérivable sur I et sa dérivée est :
■
5
. L’ensemble de définition de f est donc
3
[
]′
u′
ln(u) =
u
Soit la fonction f : x 7−→ ln(3x − 5).
Exemple :
est de la forme
ln(u) avec u(x) = 3x − 5 et donc u′ (x) = 3. On a finalement
f ′ (x) =
3
.
3x − 5
2 Limites d’une fonction de la forme ln(u)
■
Proposition 3
u désigne une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I, et a désigne soit un nombre réel, soit −∞, soit +∞.
[
]
lim u(x) = ℓ avec ℓ > 0
u si
lim ln u(x) = ln(ℓ)
alors
x→a
u
si
u
si
x→a
alors
lim u(x) = +∞
x→a
lim u(x) = 0+
alors
x→a
[
]
lim ln u(x) = +∞
x→a
[
]
lim ln u(x) = −∞
x→a
On peut aussi apprendre ce résultat comme suit :
u
a et c désignent soit un nombre réel, soit −∞, soit +∞.
u
b désigne soit un nombre réel strictement positif, soit +∞.
Si
■
Exemple :
u
u
lim u(x) = b > 0
x→a
et si
lim ln(X) = c
X→b
alors
(
)
lim ln u(x) = c
x→a
Soit la fonction f : x 7−→ ln(x2 − 4) définie sur I =] 2 ; +∞ [. Déterminons les limites de f aux bornes de I.
[
]
[ (
)]
lim x2 − 4 = 0+ et lim ln(X) = −∞ donc lim ln x2 − 4 = −∞.
x→2+
lim
x→+∞
X→0+
[
]
x2 − 4 = +∞ et
lim
X→+∞
x→2+
ln(X) = +∞ donc
lim
x→+∞
[ ( 2
)]
ln x − 4 = +∞.
∈I
3 Résolutions d’équations et d’inéquations
3.1 Les équations
Il s’agit de résoudre les équations du type ln(u) = ln(v) et ln(u) = λ où λ
de ces équations, on a :
∈ R. Sans s’attarder pour le moment sur les conditions d’existence
Pour ln(u) = ln(v)
ln(u) = ln(v) ⇐⇒ ln(u) − ln(v) = 0 ⇐⇒ ln
Pour ln(u) = λ
(u)
v
= 0.
Or(l’unique
valeur qui annule le logarithme népérien est 1, donc :
u
u)
ln
= 0 ⇐⇒
= 1 ⇐⇒ u = v.
v
v
Donc résoudre ln(u) = ln(v)é revient à résoudre u = v.
On sait qu’il existe un unique nombre x tel que ln(x) = 1 : c’est
le nombre d’Euler noté e. On a donc : ln(e) = 1. Les propriétés
algébriques de
( la)fonction logarithme nous permettent donc d’écrire
que : λ = ln eλ
( )
L’équation ln(u) = λ devient alors ln(u) = ln eλ et cette
équation n’a qu’une solution u = eλ (voir le calcul ci-contre à
gauche).
Il existe bien entendu des conditions sur u et v pour justifier l’existence de ces équations : u et v doivent être des fonctions définies et strictement
positives.
■
Proposition 4
Soit une fonction définie et strictement positive sur I. Alors :
u
u
■
pour toute fonction v définie et strictement positive sur le même ensemble I, on a ln(u) = ln(v) si et seulement si u = v. Les
solutions de l’équation ln(u) = ln(v) sont donc les mêmes que celles de l’équation u = v.
pour tout réel λ, l’équation ln(u) = λ si et seulement si u = eλ . Les solutions de l’équation ln(u) = λ sont donc les mêmes que
celles de l’équation u = eλ .
Exemples :
u
u
( )
Résoudre l’équation ln(2x − 1) = ln x2 dans ]1/2 ; +∞[ :
( )
les solutions de l’équation ln(2x − 1) = ln x2 sont les mêmes que les solutions de l’équation 2x − 1 = x2 .
( )
Or x2 − 2x + 1 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 = 0 ⇐⇒ x = 1 donc l’équation ln(2x − 1) = ln x2 a pour unique solution x = 1.
Résoudre l’équation ln(2x) = 5 dans R∗+ :
les solutions de l’équation ln(2x) = 5 sont les mêmes que les solutions de l’équation 2x = e5 .
L’unique solution de l’équation ln(2x) = 5 est donc x =
u
e5
.
2
Résoudre l’équation 2 ln(x) − 3 ln(x) = −9 dans R∗+ :
( )
1
x
( )
1
donc les solutions de l’équation 2 ln(x) − 3 ln(x) = −9 sont les mêmes que les solutions de l’équation ln
= −9, qui sont les mêmes
x
1
que celles de l’équation
= e−9 . On trouve donc x = e9 .
x
( )
( )
il faut tout d’abord transformer l’expression de gauche : 2 ln(x) − 3 ln(x) = ln x2 − ln x3 = ln
(
x2
x3
)
= ln
3.2 Les inéquations
Sur le même principe que précédemment, on aboutit à la proposition suivante :
■
Proposition 5
Pour toutes fonctions u et v strictement positives, on a :
u
ln(u) < 0 si et seulement si 0 < u < 1,
u
ln(u) > 0 si et seulement si u > 1,
u
ln(u) < ln(v) si et seulement si u < v,
( )
3
Exemples : Résoudre l’inéquation ln x2 < ln(2x + 3) dans I =] − ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ :
2

{ ( )
{
{
x ∈ ] − 1 ; 3[
2
2
2
ln x < ln(2x + 3)
x < 2x + 3
x − 2x − 3 < 0
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
3
x ∈ ] − ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
x ∈ I
x ∈ I
x ∈ I
2
■
et on en déduit donc que x
∈ ] − 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 3[