Les fonctions de la forme ln( u)

Les fonctions de la forme ln(u)
1Condition d’existence et dérivée
ln désigne la fonction logarithme népérien, et udésigne une fonction « a priori » quelconque. Il en résulte que ln(u)est une « fonction de
fonction » : plus précisément, c’est le logarithme népérien de la fonction u. On parle alors de composition de fonctions.
On a donc l’enchaînement suivant : xu −→ u(x)ln −→ lnu(x)
On est donc ramené à calculer le logarithme népérien de u(x), il faut donc nécessairement que pour tout x∈Ron ait u(x)>0, car le logarithme
népérien n’est pas défini pour des valeurs négatives ou nulles.
■Condition sur la fonction u
Dans toute la suite, udésigne une fonction définie et dérivable sur un intervalle Ide R.
■Proposition 1 : condition d’existence
La fonction x7−→ lnu(x)est définie sur l’intervalle Isi et seulement si la fonction uest strictement positive sur I(pour tout x∈I
on a u(x)>0).
■Exemple : Soit la fonction f:x7−→ ln(3x−5).
Cette fonction n’est définie que si 3x−5>0, c’est à dire pour x > 5
3. L’ensemble de définition de fest donc Df=] 5 3; +∞[
■Proposition 2 : dérivabilité
La fonction ln(u)est dérivable sur Iet sa dérivée est : ln(u)′=u′
u
■Exemple : Soit la fonction f:x7−→ ln(3x−5).
fest de la forme ln(u)avec u(x)=3x−5et donc u′(x)=3. On a finalement f′(x) = 3
3x−5.
2Limites d’une fonction de la forme ln(u)
■Proposition 3
udésigne une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I, et adésigne soit un nombre réel, soit −∞, soit +∞.
usi lim
x→au(x) = ℓavec ℓ > 0alors lim
x→alnu(x)= ln(ℓ)
usi lim
x→au(x)=+∞alors lim x→alnu(x)= +∞
usi lim
x→au(x)=0+alors lim x→alnu(x)=−∞
On peut aussi apprendre ce résultat comme suit :
uaet cdésignent soit un nombre réel, soit −∞, soit +∞.
ubdésigne soit un nombre réel strictement positif, soit +∞.
Si lim
x→au(x) = b > 0et si lim
X→bln(X) = calors lim
x→alnu(x)=c
■Exemple : Soit la fonction f:x7−→ ln(x2−4) définie sur I=] 2 ; +∞[. Déterminons les limites de faux bornes de I.
ulim
x→2+x2−4= 0+et lim X→0+ln(X) = −∞ donc lim x→2+lnx2−4=−∞.
ulim
x→+∞x2−4= +∞et lim
X→+∞
ln(X)=+∞donc lim
x→+∞lnx2−4= +∞.

3Résolutions d’équations et d’inéquations
3.1 Les équations
Il s’agit de résoudre les équations du type ln(u) = ln(v)et ln(u) = λoù λ∈R. Sans s’attarder pour le moment sur les conditions d’existence
de ces équations, on a :
Pour ln(u) = ln(v)
ln(u) = ln(v)⇐⇒ ln(u)−ln(v)=0 ⇐⇒ ln u
v= 0.
Or l’unique valeur qui annule le logarithme népérien est 1, donc :
ln u
v= 0 ⇐⇒ u v= 1 ⇐⇒ u=v.
Donc résoudre ln(u) = ln(v)é revient à résoudre u=v.
Pour ln(u) = λ
On sait qu’il existe un unique nombre xtel que ln(x) = 1 : c’est
le nombre d’Euler noté e. On a donc : ln(e) = 1. Les propriétés
algébriques de la fonction logarithme nous permettent donc d’écrire
que : λ= ln eλ
L’équation ln(u) = λdevient alors ln(u) = ln eλet cette
équation n’a qu’une solution u=eλ(voir le calcul ci-contre à
gauche).
Il existe bien entendu des conditions sur uet vpour justifier l’existence de ces équations : uet vdoivent être des fonctions définies et strictement
positives.
■Proposition 4
Soit une fonction définie et strictement positive sur I. Alors :
upour toute fonction vdéfinie et strictement positive sur le même ensemble I, on a ln(u) = ln(v)si et seulement si u=v. Les
solutions de l’équation ln(u) = ln(v)sont donc les mêmes que celles de l’équation u=v.
upour tout réel λ, l’équation ln(u) = λsi et seulement si u= eλ. Les solutions de l’équation ln(u) = λsont donc les mêmes que
celles de l’équation u= eλ.
■Exemples :
uRésoudre l’équation ln(2x−1) = ln x2dans ]1/2 ; +∞[:
les solutions de l’équation ln(2x−1) = ln x2sont les mêmes que les solutions de l’équation 2x−1 = x2.
Or x2−2x+ 1 = 0 ⇐⇒ (x−1)2= 0 ⇐⇒ x= 1 donc l’équation ln(2x−1) = ln x2a pour unique solution x= 1.
uRésoudre l’équation ln(2x)=5 dans R∗
+:
les solutions de l’équation ln(2x)=5 sont les mêmes que les solutions de l’équation 2x=e5.
L’unique solution de l’équation ln(2x)=5 est donc x=e5
2.
uRésoudre l’équation 2 ln(x)−3 ln(x) = −9dans R∗
+:
il faut tout d’abord transformer l’expression de gauche : 2 ln(x)−3 ln(x) = ln x2−ln x3= ln x2
x3= ln 1 x
donc les solutions de l’équation 2 ln(x)−3 ln(x) = −9sont les mêmes que les solutions de l’équation ln 1
x=−9, qui sont les mêmes
que celles de l’équation 1
x=e−9. On trouve donc x=e9.
3.2 Les inéquations
Sur le même principe que précédemment, on aboutit à la proposition suivante :
■Proposition 5
Pour toutes fonctions uet vstrictement positives, on a : uln(u)<0si et seulement si 0<u<1,
uln(u)>0si et seulement si u > 1,
uln(u)<ln(v)si et seulement si u<v,
■Exemples :Résoudre l’inéquation ln x2<ln(2x+ 3) dans I=] −3
2; 0[ ∪]0 ; +∞[:
ln x2<ln(2x+ 3)
x∈I⇐⇒ x2<2x+ 3 x∈I⇐⇒ x2−2x−3<0 x∈I⇐⇒ 
x∈]−1 ; 3[
x∈]−3
2; 0[ ∪]0 ; +∞[
et on en déduit donc que x∈]−1 ; 0[ ∪]0 ; 3[