PLANCHE-MATH15-LE THEOREME DE THALES

-1-
PLANCHE
PLANCHEPLANCHE
PLANCHE-
--
-MATH
MATHMATH
MATH1
11
14
44
4-
--
- Calcul des durées
Calcul des duréesCalcul des durées
Calcul des durées
Le théorème de
Le théorème de Le théorème de
Le théorème de THALES
THALES THALES
THALES est un théorème
est un théorème est un théorème
est un théorème qui sert à calculer des distances
qui sert à calculer des distances qui sert à calculer des distances
qui sert à calculer des distances
et qui sert à contrôler que des droites sont parallèles.
et qui sert à contrôler que des droites sont parallèles.et qui sert à contrôler que des droites sont parallèles.
et qui sert à contrôler que des droites sont parallèles.
I.
I. I.
I. Préliminaires
PréliminairesPréliminaires
Préliminaires
Le théorème qui suit sert à contrôler que deux rapports sont égaux.
THEOREME
THEOREMETHEOREME
THEOREME (PRODUIT EN CROIX)
(PRODUIT EN CROIX)(PRODUIT EN CROIX)
(PRODUIT EN CROIX)
Soit a, b, c et d quatre nombres non nuls. Alors l’égalité
Soit a, b, c et d quatre nombres non nuls. Alors l’égalitéSoit a, b, c et d quatre nombres non nuls. Alors l’égalité
Soit a, b, c et d quatre nombres non nuls. Alors l’égalité
d
c
b
a=
e
ee
est vraie
st vraie st vraie
st vraie si et seulement si
si et seulement sisi et seulement si
si et seulement si cbda
×
=
×
.
..
.
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°1
11
1 :
::
:
Calculer
Calculer Calculer
Calculer le nombre
le nombre le nombre
le nombre x tel que
x tel que x tel que
x tel que
7
5
28
=
x
.
..
.
On a immédiatement
On a immédiatement On a immédiatement
On a immédiatement 20
7
528
=
×
=x .
..
.
M
MM
METHODOLOGIE
ETHODOLOGIEETHODOLOGIE
ETHODOLOGIE (A SUIVRE
(A SUIVRE(A SUIVRE
(A SUIVRE !)
!)!)
!)
On multiplie les deux nombres connus sur une diagonale et on divise par le
On multiplie les deux nombres connus sur une diagonale et on divise par le On multiplie les deux nombres connus sur une diagonale et on divise par le
On multiplie les deux nombres connus sur une diagonale et on divise par le
troisième nombre connu.
troisième nombre connu.troisième nombre connu.
troisième nombre connu.
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°2
22
2 :
::
:
Calculer
Calculer Calculer
Calculer le nombre x tel que
le nombre x tel que le nombre x tel que
le nombre x tel que
x
2,25
25
42
= .
..
.
 Les deux nombres connus sur une diagonale sont 25 et 25,2.
 Le troisième nombre connu est alors 42.
On a alors très vite 15
42
2,2525
=
×
=x .
MISE EN GARDE
MISE EN GARDEMISE EN GARDE
MISE EN GARDE :
::
:
Cette manipulation sera effectuée à chaque fois que vous appliquerez l
Cette manipulation sera effectuée à chaque fois que vous appliquerez lCette manipulation sera effectuée à chaque fois que vous appliquerez l
Cette manipulation sera effectuée à chaque fois que vous appliquerez le
e e
e
théorème de Thalès. Il sera donc très difficile de continuer si vous ne
théorème de Thalès. Il sera donc très difficile de continuer si vous ne théorème de Thalès. Il sera donc très difficile de continuer si vous ne
théorème de Thalès. Il sera donc très difficile de continuer si vous ne
maîtrisez pas complètement le produit en croix.
maîtrisez pas complètement le produit en croix.maîtrisez pas complètement le produit en croix.
maîtrisez pas complètement le produit en croix.

-2-
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°3
33
3 :
::
:
Calculer les longueurs AB et EF sachant que
Calculer les longueurs AB et EF sachant queCalculer les longueurs AB et EF sachant que
Calculer les longueurs AB et EF sachant que :
::
:
5
96,3
=
AB
et
et et
et
15
6
8,2 EF
= .
..
.
En suivant à la
En suivant à la En suivant à la
En suivant à la lettre nos techniques on obtient sans résistance
lettre nos techniques on obtient sans résistancelettre nos techniques on obtient sans résistance
lettre nos techniques on obtient sans résistance :
: :
: 2
9
56,3
=
×
=AB
et
et et
et 7
6
158,2
=
×
=EF .
..
.
EXERCICE DE TRES
EXERCICE DE TRES EXERCICE DE TRES
EXERCICE DE TRES H
HH
HAUTE PREPARATION
AUTE PREPARATIONAUTE PREPARATION
AUTE PREPARATION :
::
:
Calculer les longueurs OE et EF telles
Calculer les longueurs OE et EF tellesCalculer les longueurs OE et EF telles
Calculer les longueurs OE et EF telles :
::
:
EF
OE 12
4,1
4
5,3
== .
..
.
En masquant (cachant) successivement le dernier
En masquant (cachant) successivement le dernier En masquant (cachant) successivement le dernier
En masquant (cachant) successivement le dernier rapport puis le premier on
rapport puis le premier on rapport puis le premier on
rapport puis le premier on
obtient facilement
obtient facilementobtient facilement
obtient facilement :
::
:
10
4,1
5,34 =
×
=OE et
et et
et 2,4
4
4,112 =
×
=EF .
..
.
II
IIII
II.
. .
. Le théorème de THALES (Enoncé direct)
Le théorème de THALES (Enoncé direct)Le théorème de THALES (Enoncé direct)
Le théorème de THALES (Enoncé direct)
Soit ABC un triangle
Soit ABC un triangleSoit ABC un triangle
Soit ABC un triangle ;
;;
;
M un point du segment [A B]
M un point du segment [A B]M un point du segment [A B]
M un point du segment [A B] ;
;;
;
N un point du segment
N un point du segment N un point du segment
N un point du segment [A C].
[A C].[A C].
[A C].
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors on a
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors on aSi les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors on a
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors on a :
::
:
BC
MN
AC
AN
AB
AM
==
N
M
C B
A

-3-
Analysons
AnalysonsAnalysons
Analysons tout de suite de très près, ce que dit ce théorème.
tout de suite de très près, ce que dit ce théorème.tout de suite de très près, ce que dit ce théorème.
tout de suite de très près, ce que dit ce théorème. Nous avons
Nous avons Nous avons
Nous avons
les égalités
les égalitésles égalités
les égalités :
::
:
Le théorème de Thalès traduit donc une égalité
Le théorème de Thalès traduit donc une égalitéLe théorème de Thalès traduit donc une égalité
Le théorème de Thalès traduit donc une égalité entre les rapports (il y
entre les rapports (il y entre les rapports (il y
entre les rapports (il y
en a
en a en a
en a 3
33
3) des côtés de deux triangles.
) des côtés de deux triangles.) des côtés de deux triangles.
) des côtés de deux triangles.
MISE EN GARDE (ATTENTION
MISE EN GARDE (ATTENTIONMISE EN GARDE (ATTENTION
MISE EN GARDE (ATTENTION !)
!)!)
!)
Les numérateurs (ou les dénominateurs) des trois rapports ne doivent
Les numérateurs (ou les dénominateurs) des trois rapports ne doivent Les numérateurs (ou les dénominateurs) des trois rapports ne doivent
Les numérateurs (ou les dénominateurs) des trois rapports ne doivent
contenir que des côtés d’un seul triangle et même triangle
contenir que des côtés d’un seul triangle et même trianglecontenir que des côtés d’un seul triangle et même triangle
contenir que des côtés d’un seul triangle et même triangle. Par exemple si
. Par exemple si . Par exemple si
. Par exemple si
vous mettez un cô
vous mettez un côvous mettez un cô
vous mettez un côté du petit triangle au numérateur, tous les côtés de ce
té du petit triangle au numérateur, tous les côtés de ce té du petit triangle au numérateur, tous les côtés de ce
té du petit triangle au numérateur, tous les côtés de ce
triangle devront impérativement se mettre au numérateur. L’erreur
triangle devront impérativement se mettre au numérateur. L’erreur triangle devront impérativement se mettre au numérateur. L’erreur
triangle devront impérativement se mettre au numérateur. L’erreur
malheureusement très fatale la plus courante
malheureusement très fatale la plus courantemalheureusement très fatale la plus courante
malheureusement très fatale la plus courante est le non respect règle.
est le non respect règle.est le non respect règle.
est le non respect règle.
En plus, lorsque vous former vos rapports vous restez dans l
En plus, lorsque vous former vos rapports vous restez dans lEn plus, lorsque vous former vos rapports vous restez dans l
En plus, lorsque vous former vos rapports vous restez dans l’alignement
’alignement ’alignement
’alignement
(on reste en ligne
(on reste en ligne(on reste en ligne
(on reste en ligne !).
!).!).
!).
METHODOLOGIE (A SUIVRE
METHODOLOGIE (A SUIVREMETHODOLOGIE (A SUIVRE
METHODOLOGIE (A SUIVRE !)
!)!)
!)
Ce théorème sert à calculer des longueurs sous trois conditions
Ce théorème sert à calculer des longueurs sous trois conditionsCe théorème sert à calculer des longueurs sous trois conditions
Ce théorème sert à calculer des longueurs sous trois conditions :
::
:
M un point du segment [A B]
M un point du segment [A B]M un point du segment [A B]
M un point du segment [A B] (ou les points A, M et B sont alignés dans
(ou les points A, M et B sont alignés dans (ou les points A, M et B sont alignés dans
(ou les points A, M et B sont alignés dans
cet ordre)
cet ordre)cet ordre)
cet ordre) ;
;;
;
N un point du segment [A C]
N un point du segment [A C]N un point du segment [A C]
N un point du segment [A C] (ou les
(ou les(ou les
(ou les points A, N et C sont alignés dans
points A, N et C sont alignés dans points A, N et C sont alignés dans
points A, N et C sont alignés dans
cet ordre)
cet ordre)cet ordre)
cet ordre) ;
;;
;
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Ce théorème traduit une égalité entre trois rapports.
Ce théorème traduit une égalité entre trois rapports.Ce théorème traduit une égalité entre trois rapports.
Ce théorème traduit une égalité entre trois rapports.
Côtes du triangle ABC
(Grand triangle)
Côtes du triangle AMN
(Petit triangle)
BC
MN
AC
AN
AB
AM
==

-4-
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°4
44
4 :
::
:
Sur la figure ci
Sur la figure ciSur la figure ci
Sur la figure ci-
--
-contre on donne
contre on donnecontre on donne
contre on donne
AB = 35 cm
AB = 35 cmAB = 35 cm
AB = 35 cm ; AC = 28 cm
; AC = 28 cm; AC = 28 cm
; AC = 28 cm ; AN = 6 cm
; AN = 6 cm; AN = 6 cm
; AN = 6 cm et
etet
et
BC = 21 cm.
BC = 21 cm.BC = 21 cm.
BC = 21 cm.
On p
On pOn p
On précise que (MN)
récise que (MN) récise que (MN)
récise que (MN) //
////
// (BC).
(BC).(BC).
(BC).
Calculer AM et MN.
Calculer AM et MN.Calculer AM et MN.
Calculer AM et MN.
Dans le triangle ABC, on a
Dans le triangle ABC, on aDans le triangle ABC, on a
Dans le triangle ABC, on a :
: :
:
M est un point de [A B]
M est un point de [A B]M est un point de [A B]
M est un point de [A B] ;
;;
;
N est un point de [A C]
N est un point de [A C]N est un point de [A C]
N est un point de [A C] ;
;;
;
(MN)
(MN) (MN)
(MN) //
////
// (BC)
(BC)(BC)
(BC) ;
;;
;
D’après le théorème de Thalès, on a
D’après le théorème de Thalès, on a D’après le théorème de Thalès, on a
D’après le théorème de Thalès, on a
BC
MN
AC
AN
AB
AM ==
(attention aux
(attention aux (attention aux
(attention aux
mélanges et on reste en ligne
mélanges et on reste en lignemélanges et on reste en ligne
mélanges et on reste en ligne !
!!
!). En remplaçant par les longueurs connues
). En remplaçant par les longueurs connues ). En remplaçant par les longueurs connues
). En remplaçant par les longueurs connues
(il faut penser à reporter vos longueurs sur la figure), on obtient
(il faut penser à reporter vos longueurs sur la figure), on obtient(il faut penser à reporter vos longueurs sur la figure), on obtient
(il faut penser à reporter vos longueurs sur la figure), on obtient :
: :
:
21
28
6
35
MNAM ==
.
..
.
D’après ce qui a été fait en préliminaires (voir §
D’après ce qui a été fait en préliminaires (voir §D’après ce qui a été fait en préliminaires (voir §
D’après ce qui a été fait en préliminaires (voir §1
11
1), on a alors
), on a alors), on a alors
), on a alors :
::
:
cmAM 5,7
28
635 =
×
= et
et et
et cmMN 5,4
28
621 =
×
= .
..
.
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°5
55
5 :
::
:
On donne la figure ci
On donne la figure ciOn donne la figure ci
On donne la figure ci-
--
-contre
contrecontre
contre :
::
:
A
AA
AQ =
Q = Q =
Q = 5 cm
5 cm5 cm
5 cm ;
; ;
; QF
QFQF
QF =
= =
= 10
1010
10 cm
cmcm
cm ; A
; A; A
; AE
EE
E =
= =
= 12
1212
12 cm
cmcm
cm et
etet
et
PQ
PQPQ
PQ =
= =
= 7,5
7,57,5
7,5 cm
cmcm
cm ;
;;
;
et
etet
et (
((
(PQ
PQPQ
PQ)
) )
) //
////
// (
((
(EF
EFEF
EF).
).).
).
Calculer
Calculer Calculer
Calculer AP
APAP
AP et
et et
et EF
EFEF
EF.
..
.
On utilise le théorème de Thalès. Dans le triangle AEF, nous avons
On utilise le théorème de Thalès. Dans le triangle AEF, nous avonsOn utilise le théorème de Thalès. Dans le triangle AEF, nous avons
On utilise le théorème de Thalès. Dans le triangle AEF, nous avons :
::
:
P est un point de [A E]
P est un point de [A E]P est un point de [A E]
P est un point de [A E] ;
;;
;
Q est un poin
Q est un poinQ est un poin
Q est un point de [A F]
t de [A F]t de [A F]
t de [A F] ;
;;
;
La droite (PQ) est parallèle à (EF).
La droite (PQ) est parallèle à (EF).La droite (PQ) est parallèle à (EF).
La droite (PQ) est parallèle à (EF).
M
N
C
B
A
A
Q P
F
E

-5-
Par Thalès, on a alors
Par Thalès, on a alors Par Thalès, on a alors
Par Thalès, on a alors
EF
PQ
AF
AQ
AE
AP ==
avec
avec avec
avec AE = 12 cm
AE = 12 cmAE = 12 cm
AE = 12 cm ; AQ = 5 cm
; AQ = 5 cm; AQ = 5 cm
; AQ = 5 cm ; PQ =
; PQ = ; PQ =
; PQ =
7,5 cm
7,5 cm 7,5 cm
7,5 cm cmQFAQAF 15105
=
+
=
+
=
. On a alors
. On a alors . On a alors
. On a alors
EF
AP 5,7
15
5
12
== .
..
.
On a enfin
On a enfin On a enfin
On a enfin cmAP 4
15
512 =
×
= et
et et
et cmEF 5,22
5
155,7 =
×
= .
..
.
REMARQUE
REMARQUEREMARQUE
REMARQUE :
::
:
Dans certains sujets de CAP, la place laissée ne permet pas une rédaction
Dans certains sujets de CAP, la place laissée ne permet pas une rédaction Dans certains sujets de CAP, la place laissée ne permet pas une rédaction
Dans certains sujets de CAP, la place laissée ne permet pas une rédaction
complète. Dans ce cas
complète. Dans ce cascomplète. Dans ce cas
complète. Dans ce cas, on laisse de côté les trois première
, on laisse de côté les trois première, on laisse de côté les trois première
, on laisse de côté les trois premières
ss
s lignes de
lignes de lignes de
lignes de
cette correction (autrement dit, on écrit directement les rapports puis on
cette correction (autrement dit, on écrit directement les rapports puis on cette correction (autrement dit, on écrit directement les rapports puis on
cette correction (autrement dit, on écrit directement les rapports puis on
fait le produi
fait le produifait le produi
fait le produit en croix).
t en croix).t en croix).
t en croix).
III
IIIIII
III.
. .
. La configuration papillon (théorème de
La configuration papillon (théorème de La configuration papillon (théorème de
La configuration papillon (théorème de
Thalès bis)
Thalès bis)Thalès bis)
Thalès bis)
Soit (AA’) et (BB’) deux droites sécantes en O
Soit (AA’) et (BB’) deux droites sécantes en OSoit (AA’) et (BB’) deux droites sécantes en O
Soit (AA’) et (BB’) deux droites sécantes en O
Si les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles (figure papillon), alors on a
Si les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles (figure papillon), alors on aSi les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles (figure papillon), alors on a
Si les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles (figure papillon), alors on a :
::
:
'
'
'
AB
AB
OB
OB
OA
OA ==
.
..
.
NOTE
NOTENOTE
NOTE : Il s’agit là auss
: Il s’agit là auss: Il s’agit là auss
: Il s’agit là aussi des égalités des rapports entre les côtés de deux
i des égalités des rapports entre les côtés de deux i des égalités des rapports entre les côtés de deux
i des égalités des rapports entre les côtés de deux
triangles.
triangles.triangles.
triangles.
MISE EN GARDE
MISE EN GARDEMISE EN GARDE
MISE EN GARDE :
::
: Dans ce théorème les distances sont notées au
Dans ce théorème les distances sont notées au Dans ce théorème les distances sont notées au
Dans ce théorème les distances sont notées au
point de croisement O et on reste en ligne.
point de croisement O et on reste en ligne.point de croisement O et on reste en ligne.
point de croisement O et on reste en ligne.
O
A’
B’
A
B