Exercices : Courbes paramétrées

Exercices : Courbes param´etr´ees
Trac´e de courbes
Exercice 1:
´
Etudier et tracer l’allure de la courbe param´etr´ee d´efinie par : x(t) = sin(2t)
y(t) = sin(3t), t ∈R.
Exercice 2:
On consid`ere la courbe param´etr´ee d´efinie par : x(t) = 2 cos(t) + cos(2t)
y(t) = 2 sin(t)−sin(2t), t ∈R.
1. R´eduire au maximum le domaine d’´etude de la courbe.
2. Montrer que, pour tout t∈R,x′(t) = −4 sin(3t/2) cos(t/2)
y′(t) = 4 sin(3t/2) sin(t/2) .
En d´eduire le tableau de variations des fonctions xet ysur l’intervalle d´etermin´e `a la question 1.
3. a) La courbe poss`ede-t-elle un ou plusieurs points remarquables ? Si oui, donner la nature des tan-
gentes en ce(s) point(s).
b) ` A l’aide d’un d´eveloppement limit´e d´eterminer l’allure de la courbe au voisinage du point M(0).
c) D´eterminer un vecteur directeur de la tangente au point M2π
3. On admet qu’au voisinage de
ce point la courbe prend l’allure d’un point de rebroussement de premi`ere esp`ece.
4. Tracer l’allure de la courbe.
Exercice 3:
´
Etudier et tracer l’allure de la courbe param´etr´ee d´efinie par : x(t) = t−sin(t)
y(t) = 1 −cos(t), t ∈R.
On ´etudiera la position de la courbe par rapport `a sa tangente au voisinage du ou des point(s) singu-
lier(s).
Exercice 4:
´
Etudier et tracer l’allure de la courbe d´efinie par le param´etrage : 
x(t) = 1−t2
1 + t2
y(t) = t(1 −t2)
1 + t2
.
Exercice 5:
On consid`ere un point Ade l’axe (Ox) et un point Bde l’axe
(Oy) tels que AB = 1.
On note alors Mle projet´e orthogonal de Osur le segment
[AB] et Tle lieu des points Mlorsque Aet Bse d´eplacent
sur leur axe. x
y
0 1
1
•A
•
B
•M(t)
t
1. On note tune mesure de l’angle (−→ AB, −−→ ı). Montrer que le point Ma pour coordonn´ees :
x(t) = sin2(t) cos(t)
y(t) = cos2(t) sin(t).
2. Faire l’´etude compl`ete de la courbe Tpuis la tracer.
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Autour des tangentes
Exercice 6:
On reprend la courbe Γ ´etudi´ee dans le cours dont un param´etrage est x(t) = cos3(t)
y(t) = sin3(t).
1. Pour t∈h0; π
4i, d´eterminer une ´equation cart´esienne de la tangente Dt`a Γ au point de param`etre t.
2. D´eterminer, pour t6= 0, les deux points d’intersection de Dtavec les axes de coordonn´ees, puis
calculer la longueur du segment obtenu.
Exercice 7:
On consid`ere la courbe Γ d´efinie par x(t) = 3t2
y(t) = 2t3, t ∈R.
D´eterminer et tracer sur votre calculatrice, l’ensemble Γ′des points du plan par lesquels passent deux
tangentes `a la courbe Γ perpendiculaires entre elles. (On l’appelle la courbe orthoptique de Γ.)
Longueur d’un arc param´etr´e
Exercice 8:
Calculer la longueur de la courbe de l’exercice 2.
Exercice 9:
1. ´ Etudier et tracer l’allure de la courbe param´etr´ee d´efinie par :
x(t) = cos2(t) + ln(sin(t))
y(t) = sin(t) cos(t), t ∈]0; π[.
L’´etude de la position de la courbe par rapport `a sa tangente au voisinage des points singuliers n’est
pas demand´ee ici. On d´eterminera juste un vecteur directeur de la tangente aux points singuliers.
2. Calculer la longueur de la courbe entre les deux points singuliers.
Apr`es avoir simplifi´e au maximum p(x′(t))2+ (y′(t))2, il sera judicieux d’envisager le changement
de variable u= cos(t).
Un exemple dans l’espace
Exercice 10:
On consid`ere la courbe de l’espace Γ d´efinie par 
x(t) = (1 + cos(t)) cos(t)
y(t) = (1 + cos(t)) sin(t)
z(t) = 4 sin t
2, t ∈R.
1. Quels sont les points r´eguliers de cette courbe ? En ces points, d´eterminer le vecteur tangent unitaire.
2. Montrer que la tangente `a Γ en tous les points r´eguliers fait un angle constant avec l’axe (Oz).
3. Calculer la longueur de Γ.
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Correction
Correction de l’exercice 1:
1. R´eduction du domaine d’´etude
— Les fonctions xet ysont d´efinies sur R.
— Les fonctions xet ysont 2π-p´eriodiques donc on peut restreindre notre ´etude `a [−π;π] et on
obtiendra la totalit´e de la courbe.
— On a x(−t) = −x(t)
y(−t) = −y(t)
On peut donc restreindre notre ´etude `a l’intervalle [0; π] et grˆace `a une sym´etrie centrale de centre
Oon obtiendra la courbe sur [−π; 0].
— On a x(π−t) = −x(t)
y(π−t) = y(t)
On peut donc restreindre notre ´etude `a l’intervalle h0; π
2iet grˆace `a une sym´etrie d’axe (Oy)on
obtiendra la courbe sur hπ
2;πi.
— On a x(π/2−t) = x(t)
y(π/2−t) = −cos(3t). On ne peut pas restreindre plus notre ´etude.
En r´esum´e, ´etude sur h0; π
2ipuis sym´etrie par rapport `a (Oy) et enfin sym´etrie par rapport `a O.
2. Tableaux de variations
On a x′(t) = 2 cos(2t)
y′(t) = 3 cos(3t)
On obtient le tableau suivant :
t
x′(t)
x(t)
y′(t)
y(t)
0π
6
π
4
π
2
+ + 0−
00
11
00
+0− − 0
00
11
−1−1
3. Points remarquables
Nous avons ici trois points remarquables.
— En Mπ
6, comme y′(t) = 0, la tangente sera horizontale.
— En Mπ
4, comme x′(t) = 0, la tangente sera verticale.
— En Mπ
2, comme y′(t) = 0, la tangente sera horizontale.
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4. Courbe
x
y
0 1
1
Correction de l’exercice 2:
1. — Les fonctions xet ysont d´efinies sur R.
— Les fonctions xet ysont 2π-p´eriodiques donc on peut restreindre notre ´etude `a [−π;π] et on
obtiendra la totalit´e de la courbe.
— On a x(−t) = x(t)
y(−t) = −y(t)
On peut donc restreindre notre ´etude `a l’intervalle [0; π] et grˆace `a une sym´etrie d’axe (Ox) on
obtiendra la courbe sur [−π; 0].
— Le calcul de x(π−t) ne donne rien de remarquable donc on ne peut pas plus r´eduire notre ´etude.
En r´esum´e, ´etude sur [0; π] puis sym´etrie par rapport `a (Ox).
2. On a x′(t) = −2 sin(t)−2 sin(2t)
y′(t) = 2 cos(t)−2 cos(2t)
⇒x′(t) = −4 sin(3t/2) cos(t/2)
y′(t) = 4 sin(3t/2) sin(t/2)
On a utilis´e les formules de cos(p)−cos(q)et sin(p) + sin(q).
On obtient le tableau suivant :
t
x′(t)
x(t)
y′(t)
y(t)
02π
3π
0−0+0
33
−3
2
−3
2
−1−1
0+0−
00
3√3
2
3√3
2
00
3. a) En M(π), comme x′(π) = 0 et y′(π)6= 0, la courbe poss`ede une tangente verticale.
b) Au voisinage de t= 0 `a l’aide des d´eveloppements limit´es usuels on obtient :
(x(t), y(t)) = (3,0) + (−3,0)
|{z }
−→
v2
t2+ (0,1)
|{z}
−→
v3
t3+−→ o(t3)
Au voisinage du point M(0) la courbe prend l’allure d’un point de rebroussement de premi`ere
esp`ece.
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c) On remarque que
x′′(t) = −2 cos(t)−4 cos(2t)
y′′(t) = −2 sin(t) + 4 sin(2t)=⇒x′′(2π/3) = 3
y′′(2π/3) = −3√3.
La tangente au point M2π
3est donc dirig´ee par le vecteur de coordonn´ees (3,−3√3).
4. Courbe
x
y
0 1
1
Correction de l’exercice 3:
1. R´eduction du domaine d’´etude
— Les fonctions xet ysont d´efinies sur R.
— On a x(2π+t) = 2π+x(t)
y(2π+t) = y(t)
On peut donc restreindre notre ´etude `a un intervalle de longueur 2π, par exemple [−π;π] et on
obtiendra la totalit´e de la courbe grˆace `a des translation de vecteur ~u(2π, 0)
— On a x(−t) = −x(t)
y(−t) = y(t)
On peut donc restreindre notre ´etude `a l’intervalle [0; π] et grˆace `a une sym´etrie d’axe (Oy) on
obtiendra la courbe sur [−π; 0].
— Le calcul de x(π−t) ne donne rien de remarquable donc on ne peut pas plus r´eduire notre ´etude.
2. Tableaux de variations
On a x′(t) = 1 −cos(t)
y′(t) = sin(t). Donc on a le tableau suivant :
t
x′(t)
x(t)
y′(t)
y(t)
0π
0+
00
ππ
0+0
00
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