TES Exercice fonction exponentielle : x → (ax + b)eu(x) 2013

TES Exercice fonction exponentielle : x  (ax + b)e
u(x)
2013-2014
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1) a) A l'instant initial, la concentration du médicament est d'environ 1,3 g/l.
b) On lit les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est inférieure égale à
0,5. On lit environ 5.
La concentration est inférieure à 0,5 g/l après 5 heures.
c) On lit les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure égale
à 0,1. On lit environ 11.
Le médicament est resté actif pendant environ 11 heures.
2) a) f(0) = (0,5×0 + 1,25)e
-0,4×0
= 1,25×1 = 1,25
A l'instant initial, la concentration du médicament est égale à 1,25 g/l.
b) Pour étudier le sens de variation de la fonction f, on étudie le signe de sa dérivée.
f est dérivable sur [0; + ∞[ en tant que produit de 2 fonctions dérivables sur cet
intervalle (une fonction affine et une fonction de type e
u
).
f(t) = u(t)×v(t) en posant u(t) = 0,5t + 1,25 et v(t) = e
-0,4t
.
f'(t) = u'(t)×v(t) + u(t)×v'(t)
Or u'(t) = 0,5 et v'(t) = -0,4×e
-0,4t
Donc f'(t) = 0,5×e
-0,4t
+(0,5t + 1,25)×(-0,4×e
-0,4t
)
f'(t) = e
-0,4t
×(0,5 – 0,4×0,5t + 0,4×1,25) = -0,2×e
-0,4t

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u(x)
2013-2014
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Or pour tout t réel, e
-0,4t
> 0; donc f'(t) < 0.
Et donc f est strictement décroissante sur l'intervalle [0;15].
c) f(0) = 1,25 et f(15) = (0,5×15 + 1,25)×e
-0,4×15
= 8,75×e
-6
≈ 0,02.
f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0;15] et f(0) > 0,1 et
f(15) < 0,1, donc d'après la propriété des valeurs intermédiaires l'équation f(t) = 0,1
admet une solution unique α appartenant à l'intervalle [0;15].
d) f(10,5) ≈ 0,097 < 0,1.
On peut donc affirmer que le médicament n'est plus actif 10 heures et 30 minutes après
l'instant initial.