Fonctions

Collège Calvin
2015 – 2016
Fonctions
F ONCTIONS
1
2MA
Notions de base
Rappelons quelques définitions.
D ÉFINITION 1.1.
F ONCTION
Soient E et F deux ensembles.
Une fonction définie sur E à valeur dans F (ou aussi : de E dans F ), notée
f :EæF
est une relation entre les éléments de l’ensemble E (l’ensemble de départ ou l’ensemble source) et les
éléments de l’ensemble F (l’ensemble d’arrivée ou l’ensemble cible), qui à chaque élément x œ E fait
correspondre un et un seul élément y œ F .
D ÉFINITION 1.2.
I MAGE ET PR ÉIMAGE
Soit une fonction f : E æ F .
i. Si f fait correspondre à un élément x œ E un élément y œ F , c’est-à-dire que l’on a : f (x) = y, on
appelle cet élément y l’image de x par f . On peut alors écrire la fonction f sous la forme suivante.
f: E æ F
x ‘æ f (x)
ii. Inversement, si pour un élément y œ F il existe un élément x œ E tel que y = f (x), cet élément x est
appelé la préimage ou l’antécédent de y par f .
D’après la D ÉFINITION 1.1, pour qu’une relation f : E æ F soit une fonction, il faut ainsi à la fois que
i) tout élément x œ E possède une image y œ F par f ;
ii) aucun élément x œ E ne possède plus d’une image y œ F par f .
Considérons les graphes de la Figure 1 ci-dessous. Parmi ces trois graphes, on constate qu’il n’y a que
la figure (a) qui représente
Ô la graphe d’une fonction de R dans R. En effet, la figure (b) montre clairement que
l’expression f (x) = x2 ≠ 1 n’est pas définie sur l’intervalle ] ≠ 1 ; 1 [ . Ainsi, les éléments ≠1 < x < 1
n’ont pas d’image par f , ce qui ne satisfait pas la condition i. ci-dessus. Enfin, dans le graphe de la figure
(c) on observe que tout x œ R possède plusieurs images (en l’occurrence une infinité), ce qui ne vérifie pas la
condition ii.
1
(a) f (x) = x4 ≠ 2x2
(b) f (x) =
Ô
x2 ≠ 1
(c) Courbe d’une spirale
Figure 1: Parmi ces courbes, lesquelles représentent une fonction de R dans R ?
Exercice 1.
Montrer que l’expression
f (x) =
x2
définit une fonction de Q dans Q, mais pas de R dans R.
1.1
x
≠2
Ensemble de définition d’une fonction
Dans cette section, nous ne considérerons que des fonctions réelles, c’est-à-dire définie sur une sous-ensemble
de R.
D ÉFINITION 1.3.
E NSEMBLE DE D ÉFINITION
L’ensemble de définition d’une fonction est le plus grand sous-ensemble de R sur lequel la fonction f est
définie. En d’autres termes, l’ensemble de définition de f , noté Df , est défini par
Df = {x œ R | f (x) est défini}
Exemple 1
Représenter la fonction suivante à l’aide d’un tableau de valeurs.
f (x) =
x2 x
+ ≠ 1,
2
2
Puis déterminer son ensemble de définition.
2
Tableau de valeurs
Exemple 2
Représenter la fonction suivante à l’aide d’un tableau de valeurs.
f (x) =
Puis déterminer son ensemble de définition.
Tableau de valeurs
3
1
,
x≠2
Exemple 2
Représenter la fonction suivante à l’aide d’un tableau de valeurs.
Ô
f (x) = x ≠ 3 ,
Puis déterminer son ensemble de définition.
Tableau de valeurs
Exercice 2.
Déterminer algébriquement l’ensemble de définition des fonctions suivantes, puis les représenter graphiquement, à l’aide d’une tableau de valeur.
Ò
Ô
2
f (x) = 3x2 ≠ 3x ≠ 36 ,
g(x) =
,
h(x) = 3 ≠ x ,
j(x) = (x ≠ 1)(x + 2) .
x+3
Exercice 3.
Déterminer algébriquement le domaine de définition des fonctions suivantes.

Ô
f1 (x) = x4 ≠ 5x3 + 2x2 ≠ x + 4 , f2 (x) = 3x + 4 , f3 (x) = x2 ≠ 11x + 28 ,
f5 (x) =
1
,
2
2x ≠ 36x + 18
f6 (x) =
2x + 3
,
2
2x ≠ 4x + 5
f7 (x) =

3x2 + 6x + 1 ,
x≠1
,
5x + 6
1
f8 (x) = Ô
,
x≠4
f4 (x) =
Exercice 4.
Déterminer algébriquement le domaine de définition des fonctions suivantes.
f1 (x) =
f4 (x) =
x3
≠
3
,
+ 2x + 1
4x2
1
,
2
x +9
f5 (x) =

1
f2 (x) = 
,
(x + 3)(3 ≠ 2x)
1 ≠ x + x2 .
4
f3 (x) = Ô
x2
1
,
+ 6x + 8
1.2
Ensemble des images d’une fonction
Une fonction réelle f : E æ R (définie sur un sous-ensemble
E de R) peut ne pas atteindre tous les éléments de l’ensemble
d’arrivée R. Considérons l’exemple de la fonction
f: R æ R
x ‘æ x2 + 2
dont la courbe Cf est une parabole de sommet S(0 ; 2). Le
graphe ci-contre montre clairement que la fonction f n’atteint
que les éléments y œ [ 2 ; +Œ [ . L’ensemble de toutes les images de x œ R par f est appelé l’ensemble des images de f sur
R.
De manière générale, on a la définition suivante pour
l’ensemble des images d’une fonction f (sur un ensemble de
définition E ™ R).
D ÉFINITION 1.4.
E NSEMBLE DES IMAGES
Soit une fonction f : E æ R (définie sur un sous-ensemble E de R). L’ensemble des images de cette
fonction sur E est l’ensemble formé de tous les éléments y = f (x), lorsque l’on considère tout x œ E.
Cet ensemble, noté
If = {y œ R | y = f (x) , ’x œ E}
peut être plus petit que l’ensemble d’arrivée R.
Exercice 5.
1) Pour la fonction f (x) = x3 ,
– établir son ensemble de définition, ses zérons et représenter la fonction graphiquement (sur l’intervalle
[ ≠3 ; 3 ]) ;
– calculer les images de 2 et ≠2 et les représenter dans le graphe de la fonction. Que constate-t-on ?
– calculer les préimages de 2 et de ≠1 et les représenter dans le graphe de la fonction.
– d’après le graphe de f , établir l’ensemble des images If de f sur R.
x2
+ x ≠ 4,
2
établir son ensemble de définition, ses zéros et représenter la fonction graphiquement ;
calculer les images de ≠3 et 1 et les représenter dans le graphe de la fonction. Que constate-t-on ?
calculer les préimages de ≠4, 2 et ≠5 et les représenter dans le graphe de la fonction.
d’après le graphe de f , établir l’ensemble des images If de f sur R.
2) Pour la fonction f (x) =
–
–
–
–
Exercice 6.
Pour les fonctions suivantes, déterminer l’ensemble de définition, esquisser leur graphe, puis déterminer l’ensemble
des images.
Ô
Ô
Ô
Ô
Ô
f1 (x) = 3 ≠ x , f2 (x) = ≠ x + 2 , f3 (x) = x ≠ 1 + 3 , f4 (x) = 3 x ,
f5 (x) = ≠ 3 x ≠ 2 .
Exercice 7.
Discuter les différentes possibilités d’ensemble des images pour des fonctions polynomiales, en fonction du
degré du polynôme.
5
2
Opérations sur les fonctions
Les fonctions que nous considérons dans ce cours sont à valeur dans R ou dans ou sous-ensemble de R, c’està-dire sont des fonctions réelles. Pour une valeur de x donnée, on peut ainsi définir pour des fonctions réelles
les mêmes opérations que pour les nombres réels.
D ÉFINITION 2.1.
S OMME ET PRODUIT DE FONCTIONS R ÉELLES
Soient deux fonctions réelles f et g définies sur le même ensemble de départ E.
i. La somme (addition) de ces deux fonctions est une fonction s définie sur E :
s(x) = f (x) + g(x) ,
’x œ E .
Comme pour les nombres réels, l’addition de deux fonctions est commutative et associative :
[Commutativité] f + g = g + f ,
[Associativité]
(f + g) + h = f + (g + h) .
i. Le produit (multiplication) de ces deux fonctions est une fonction p définie sur E :
p(x) = f (x) · g(x) ,
’x œ E .
Comme pour les nombres réels, la multiplication de deux fonctions est commutative et associative :
[Commutativité]
f ·g =g·f,
[Associativité]
(f · g) · h = f · (g · h) .
Exemples
Pour les deux fonctions f (x) = x2 ≠ 2 et g(x) = x(3 ≠ x) de R dans R, la somme et le produit sont donnés
par les fonctions :
• s(x) = f (x) + g(x) = (x2 ≠ 2) + x(3 ≠ x) = x2 ≠ 2 + 3x ≠ x2 = 3x ≠ 2 ,
• p(x) = f (x) · g(x) = (x2 ≠ 2) · x(3 ≠ x) = (x2 ≠ 2) · (3x ≠ x2 ) = ≠x4 + 3x3 + 2x2 ≠ 6x .
On vérifie que les fonctions obtenues s et p sont aussi des fonctions de R dans R, car se sont des fonctions
polynomiales.
2.1
Composition de fonctions
Activité introductive
Cette activité permet de motiver l’introduction d’une nouvelle opération sur les fonctions, qui n’existe pas pour
les nombres réelles, et que l’on nomme composition.
“Deux plongeoirs sont côte à côte. Le premier fait 10 mètres de haut, le second 12 mètres. Au
temps t = 0 s, deux plongeurs sautent chacun d’un plongeoir, verticalement et sans vitesse initiale. Un troisième plongeur saute 1 minute plus tard, du premier plongeoir.”
Sachant qu’un corps en chute libre subit une accélération constante g ƒ 9, 81[m/s2 ], due à la force d’attraction
terrestre.
a) Trouver l’expression algébrique de la fonction h1 (t) décrivant la hauteur à laquelle se trouve le premier
plongeur après avoir sauté, en fonction du temps t mesuré en secondes. Esquisser le graphe de h1 (t).
6
b) Faire de même pour le deuxième plongeur, en appelant cette fois la fonction h2 (t). Réexprimer le résultat
en fonction de la trajectoire du premier plongeur. Esquisser le graphe de h2 (t).
c) Faire de même pour le troisième plongeur, en appelant cette fois la fonction h3 (t). Réexprimer le résultat
en fonction de la trajectoire du premier plongeur. Esquisser le graphe de h3 (t).
Quelle(s) opération(s) avez-vous appliquées à la fonction h1 (t) pour obtenir les fonctions h2 (t) et h3 (t) ?
Composition de fonctions et fonction composée
L’activité précédente a révélé l’existence d’une nouvelle opération sur les fonctions, qui n’est ni l’addition ni
la multiplication. Cette opération se nomme la composition.
D ÉFINITION 2.2.
C OMPOSITION DE FONCTIONS R ÉELLES
Soit deux fonctions réelles f et g, dont l’ensemble d’arrivée de g coı̈ncide avec l’ensemble de départ de f :
g : E ≠æ F ,
f : F ≠æ G ,
on définit la composition f ¶ g de f avec g comme l’opération définie par le diagramme suivant.
f ¶g
E
g
f
/F
'
/G
L’opération composition consiste ainsi à remplacer la variable x de la première fonction f (x) par l’image
y = g(x) de la seconde fonction. Le résultat de cette opération est une fonction de E dans G, qui se nomme
la composée de f et de g :
f ¶ g : E ≠æ G
.
x ‘≠æ f (g(x))
Remarque 2.1. Attention. Le sens dans lequel on écrit la fonction composée f ¶ g est le sens inverse dans
g
f
lequel on effectue la composition E ≠≠æ F ≠≠æ G.
Exemple
Soient les fonctions f et g suivantes.
g : R ≠æ R
x ‘≠æ 2x + 1
f : R ≠æ R
,
x ‘≠æ (x ≠ 1)2
,
La composition de f avec g donne la fonction suivante.
!
"
(f ¶g)(x) = f g(x) = (g(x)≠1)2 = (2x + 1≠1)2 = (2x)2 = 4x2 .
qui est une fonction de R dans R. On peut ainsi écrire :
f ¶ g : R ≠æ R
x ‘≠æ 4x2
,
Associativité mais non-commutativité de la composition
La composition de fonctions est associative, mais contrairement à l’addition ou à la multiplication de fonctions,
cette opération n’est pas commutative.
7
P ROPOSITION 2.1.
P ROPRI ÉT É DE LA COMPOSITION : ASSOCIATIVIT É
La composition de trois fonctions : h : E æ F , g : F æ G et f : G æ H est associative, ce qui signifie que
(f ¶ g) ¶ h = f ¶ (g ¶ h) .
L’unique fonction de E dans H obtenue par ces opérations se note simplement :
f ¶ g ¶ h : E ≠æ H
x
‘≠æ f (g(h(x)))
.
Exemple
Soient les fonctions suivantes.
h : R+ ≠æ R+
Ô ,
x ‘≠æ
x
g : R+ ≠æ [ 1 ; +Œ[
x
• Calculons d’abord (f ¶ g) ¶ h.
‘≠æ
x2
+1
,
f : [ 1 ; +Œ[ ≠æ [ 2 ; +Œ[
‘≠æ 2x
x
,
(f ¶ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 + 1) = 2(x2 + 1) = 2x2 + 2 ,
Ô
Ô
((f ¶ g) ¶ h)(x) = (f ¶ g)(h(x)) = (f ¶ g)( x) = 2( x)2 + 2 = 2|x| + 2 .
• Calculons à présent f ¶ (g ¶ h).
Ô
Ô
(g ¶ h)(x) = g(h(x)) = g( x) = ( x)2 + 1 = |x| + 1 ,
(f ¶ (g ¶ h))(x) = f ((g ¶ h)(x)) = f (|x| + 1) = 2(|x| + 1) = 2|x| + 2 .
On vérifie ainsi que les deux procédures de calcul donnent le même résultat, à savoir la fonction :
f ¶ g ¶ h : R+ ≠æ [ 2 ; +Œ[
x
P ROPOSITION 2.2.
‘≠æ 2|x| + 2 © 2x + 1 (car x œ R+ )
.
N ON - COMMUTATIVIT É DE LA COMPOSITION
La composition de deux fonctions g : E æ F et f : F æ G n’est pas commutative, c’est-à-dire qu’en
général :
f ¶ g ”= g ¶ f .
Démonstration
Un contre-exemple suffit à démontrer la P ROPOSITION 2.2.
Soient les fonctions f et g.
g : R ≠æ R
x ‘≠æ 2x + 1
,
f : R ≠æ R
x ‘≠æ (x ≠ 1)2
,
La composition de f avec g donne la fonction suivante.
!
"
(f ¶g)(x) = f g(x) = (g(x)≠1)2 = (2x + 1≠1)2 = (2x)2 = 4x2 .
En revanche la composition de g avec f donne une tout
autre fonction.
!
"
(g ¶ f ) = g f (x) = 2f (x) + 1 = 2(x ≠ 1)2 + 1
= 2(x2 ≠ 2x + 1) + 1 = 2x2 ≠ 4x + 3 .
8
Ensemble de définition d’une fonction composée
La détermination du domaine de définition d’une fonction composée peut être assez subtile. Commençons par
quelques exemples, afin de mesurer l’étendue de la question.
Exemples
1) Considérons les deux fonctions suivantes, pour lesquelles nous avons donné l’ensemble de définition et
l’ensemble des images.
g : R ≠æ R
f : Rú ≠æ Rú
1 .
x
ú
Comme l’ensemble de définition de f est donné par Df = R , on pourrait penser que l’ensemble de
définition de la composée (f ¶ g)(x) = f (g(x)) est aussi Rú . Toutefois, si l’on calcule explicitement
celle-ci, on obtient
x ‘≠æ x ≠ 1
,
x
(f ¶ g)(x) = f (g(x)) = f (x ≠ 1) =
car la fonction (f ¶ g)(x) =
1
1
x≠1
=∆
‘≠æ
Df ¶g = R \ {1} ,
n’est pas définie en x = 1.
x≠1
En termes d’ensembles de départ et d’arrivée des fonctions f et g, on a en effet le schéma suivant.
On voit que pour obtenir l’ensemble de départ de la fonction composée f ¶ g il faut d’abord déterminer
l’intersection Ig fl Df = R fl Rú = Rú (ensemble intermédiaire orange dans le schéma ci-dessus).
L’ensemble de départ Df ¶g est alors donné par le plus grand sous-ensemble de Dg dont l’image par g
donne Ig fl Df ;
en d’autre termes :
g(Df ¶g ) = Ig fl Df .
Dans le cas présent, on obtient Df ¶g = R \ {1}, car g(R \ {1}) = Rú .
Remarque 2.2. Si l’on se réfère à la D ÉFINITION 2.2, on voit que pour définir une composition il faut
que l’ensemble d’arrivée de la fonction g coı̈ncide avec l’ensemble de départ de la fonction f . Il est
donc parfois nécessaire de restreindre ces deux ensembles à leur intersection commune, lorsqu’ils ne
coı̈ncident pas. L’ensemble de définition Df ¶g établi par la méthode ci-dessus est précisément le plus
grand ensemble de départ de g qui assure cette restriction.
Dans l’exemple considéré, on obtient ainsi la séquence
f ¶g
R \ {1}
g
conformément à la D ÉFINITION 2.2.
9
/ Rú f
%
/ Rú
2) Comme deuxième exemple, considérons les fonctions suivantes, sur leur ensemble de définition et à
valeur dans leur ensemble des images.
g : [ ≠2 ; +Œ [ ≠æ R+
,
Ô
x
‘≠æ
x+2
f : R ≠æ R+
x ‘≠æ x2
.
Comme le calcul de f ¶ g donne l’expression :
Ô
Ô
(f ¶ g)(x) = f (g(x)) = f ( x + 2) = ( x + 2)2 = x + 2 ,
on pourrait penser que l’ensemble de définition de la fonction composée f ¶ g est donné par R. Le même
raisonnement que celui suivi dans l’exemple 1) nous montre que les choses ne sont pas aussi simples.
Dans le cas présent, il faut tenir compte de l’ensemble de définition de la fonction g : Dg = [ ≠2 ; +Œ [ ,
qui donne directement l’ensemble de définition de la fonction composée : Df ¶g = [ ≠2 ; +Œ [ . On
obtient alors la séquence :
f ¶g
g
[ ≠2 ; +Œ [
/ R+
f
&
/ R+
comme illustré dans le schéma ci-dessous.
Les cas particuliers que nous avons étudiés se subsument dans la proposition suivante, qui permet
d’établir l’ensemble de définition pour une fonction composée générale.
P ROPOSITION 2.3.
E NSEMBLE DE D ÉFINITION D ’ UNE FONCTION COMPOS ÉE
Soient deux fonctions sur leur ensemble de définition et à valeur dans leur ensemble des images :
g : D g æ Ig
et
f : D f æ If .
L’ensemble de définition Df ¶g de la fonction composée
(f ¶ g)(x) = f (g(x))
est donné par le plus grand sous-ensemble de Dg dont l’image par g produit l’intersection Ig fl Df , en
d’autres termes :
g(Df ¶g ) = Ig fl Df ,
comme illustré dans la Figure 2 ci-dessus.
10
Figure 2: Ensemble de définition d’une fonction composée.
Comme on le voit dans le schéma ci-dessus, la fonction f entrant dans la composée f ¶ g n’est pas forcément
définie pour tous les éléments y œ Ig . Afin de s’assurer que f ¶ g est une fonction, il faut donc restreindre
l’ensemble de départ de f à l’ensemble Ig fl Df , ce qu’assure justement le fait de prendre x œ Df ¶g , où
l’ensemble Df ¶g est construit selon la prescription de la P ROPOSITION 2.3.
Exercice 8.
Pour les couples de fonctions f et g suivants :
• déterminer les ensembles de définitions et les ensembles des images de f et g ;
• calculer f ¶ g et g ¶ f ;
• déterminer les ensembles de définition Df ¶g et Dg¶f .
1) f (x) =
1
1
et g(x) =
;
x≠2
x+3
3) f (x) =
2) f (x) = x2 ≠ x ≠ 2 et g(x) =
1
et g(x) = x2 + 2x + 3 .
x
11
Ô
x;
3
Bijection
D ÉFINITION 3.1.
B IJECTIVIT É ET BIJECTION
Une fonction f : E æ F est dite bijective, ou est dite une bijection, ssi :
• tout élément y œ F possède une et une seule préimage x œ E par la fonction f .
Exemple et contre-exemples
Remarque 3.1. On voit qu’il existe deux cas ou une fonction f : E æ F n’est pas une bijection.
1) Certains éléments de l’ensemble d’arrivée F possèdent plus d’une préimage par f .
2) Certains éléments de l’ensemble d’arrivée F ne possèdent pas de préimage par f
T EST DE LA DROITE HORIZONTALE
Afin de vérifier graphiquement si une fonction réelle f est une bijection pour un ensemble de départ et
d’arrivée donnés, on trace des droites parallèles à l’axe des abscisses et décalées les unes par rapport aux
autres.
a) Si toutes ces droites horizontales n’intersectent qu’une et une seule fois la courbe de f pour l’ensemble
d’arrivée considéré, alors la fonction f est une bijection.
a) Si une de ces droites intersecte plus d’une fois ou pas du tout la courbe de f pour l’ensemble d’arrivée
considéré, alors la fonction f n’est une bijection.
12
Exemple
Vérifier que la fonction f (x) =
3x
≠ 1 est une bijection de R dans R.
2
Contre-exemple
Vérifier que la fonction f (x) = x2 + 1 n’est pas une bijection de R dans R, en donnant deux raisons. Pour
quels ensembles de départ et d’arrivée (maximaux) est-elle une bijection ?
13
Exercice 9.
Esquisser le graphe des fonctions suivantes, puis vérifier si ce sont des bijections de R dans R. Si ce n’est
pas le cas, déterminer les ensembles de départ et d’arrivée (maximaux) pour lesquels ce sont des bijections, en
donnant toutes les possibilités.
f (x) = ≠x2 + 2 ,
g(x) = x3 ≠ 1 ,
h(x) =
Ô
x + 2,
j(x) =
1
,
x
k(x) =
Ô
3
x.
Exercice 10.
Pour la fonction
f (x) = ≠2x2 + 3x + 3 ,
• calculer la préimage de 2 ;
• calculer la préimage de 5.
La fonction f est-elle une bijection de R dans R ? Justifier la réponse en s’appuyant sur les calculs effectués.
Exercice 11.
1) Pour la fonction décrite par la courbe ci-dessus, déterminer toutes les préimages de 3. Combien y en
a-t-il ?
2) Cette fonction est-elle une bijection de R dans R. Justifier la réponse. Si ce n’est pas le cas, déterminer
le plus grand ensemble de départ et d’arrivée pour lesquels la fonction f est une bijection.
Exercice 12.
La fonction f décrite par la courbe ci-après est-elle
1) un bijection de [ 0 ; 8 ] dans [ ≠3 ; 5 ] ?
2) un bijection de ] ≠ Œ ; 1 ] dans ] ≠ Œ ; 5 ] ?
3) un bijection de [ 11 ; +Π[ dans [ 2 ; +Π[ ?
Répondre aux questions en donnant justification précise.
14
Exercice 13.
Pour les fonctions décrites par les courbes suivantes, trouver l’ensemble de départ et d’arrivée (si possible
maximaux) pour lesquels ce sont des bijections. Si c’est le cas, donner plusieurs possibilités.
15
16
Exercice 14.
1) Ecrire une bijection entre l’ensemble Z et les nombres entiers pairs.
2) Ecrire une bijection entre l’ensemble Z et les nombres entiers impairs.
Exercice 15.
1) Représenter par des diagrammes fléchés toutes les bijections de l’ensemble A = {a ; b} dans l’ensemble
B = {c ; d}. Combien y en a-t-il ?
2) Représenter par des diagrammes fléchés toutes les bijections de l’ensemble A = {a ; b ; c} dans l’ensemble
B = {d ; e ; f }. Combien y en a-t-il ?
2) A partir des points 1) et 2), développer une méthode pour compter le nombre total de bijections : de
l’ensemble A = {a ; b ; c} dans l’ensemble B = {d ; e ; f } ; puis : d’un ensemble à n éléments (n œ Nú )
dans un ensemble à n éléments .
17
4
Notions utiles à l’étude de fonction
Dans cette section, nous aborderons certaines notions fondamentales relatives aux courbes dans l’espace, qui
faciliteront l’étude des fonctions que nous traiterons dans la suite du chapitre, à savoir :
a) les fonctions homographiques, dont la courbe est une hyperbole ;
b) les fonctions exponentielles et leurs fonctions réciproques : les logarithmes ;
c) les fonctions trigonométriques.
4.1
Asymptotes horizontale et verticale
Une asymptote est une droite, dont la fonction s’approche indéfiniment sans jamais l’atteindre. On dit alors
que la fonction tend vers l’asymptote en question.
D ÉFINITION 4.1.
A SYMPTOTE VERTICALE
On dit qu’une fonction f possède une asymptote verticale d’équation x = a (avec a œ R), si lorsque x
tend vers a (par la droite ou la gauche) la fonction f tend vers +Œ ou ≠Œ.
Exemples. Les fonctions f1 et f2 possèdent toutes deux une asymptotes verticale, d’équation x = 2, car
1) lorsque x tend vers 2 par la droite, la fonction f1 tend vers +Œ, ce que l’on note :
x ≠æ 2+
=∆
f1 (x) ≠æ +Œ .
lorsque x tend vers 2 par la gauche, la fonction f1 tend vers ≠Œ, ce que l’on note :
x ≠æ 2≠
=∆
f1 (x) ≠æ ≠Œ .
2) lorsque x tend vers 2 par la droite ou par la gauche, la fonction f2 tend vers +Œ, ce que l’on note :
x ≠æ 2
=∆
f2 (x) ≠æ +Œ .
Un autre type d’asymptotes, qui comme le précédent apparaı̂t notamment dans l’étude des fonctions
homographique, sont les asymptotes horizontales. Celles-ci sont décrite par une droite constante, dont une
fonction s’approche indéfiniment sans jamais l’atteindre, lorsque x æ +Œ ou x æ ≠Œ.
18
D ÉFINITION 4.2.
A SYMPTOTE HORIZONTALE
On dit qu’une fonction f possède une asymptote horizontale d’équation y = b (avec b œ R), si lorsque x
tend vers +Œ ou ≠Œ, la fonction f tend vers b.
En particulier, on dit que
• une fonction f possède une asymptote horizontale à droite d’équation y = b , si lorsque x tend vers
+Πla fonction f tend vers b.
• une fonction fonction f possède une asymptote horizontale à droite d’équation y = bÕ , si lorsque
x tend vers ≠Œ la f tend vers bÕ .
Exemples. La fonction f suivante possède une asymptote asymptote horizontale à droite d’équation y = 4
et une asymptote horizontale à gauche d’équation y = ≠4.
4.2
Symétries diverses des fonctions
Avant de se pencher sur l’étudie des fonctions homographiques, il convient d’introduire quelques concepts
permettant de décrire les symétries dont peuvent jouir les fonctions, notamment la notion de parité.
D ÉFINITION 4.3.
S YM ÉTRIES AXIALE ET CENTRALE D ’ UNE FONCTION
Soit une fonction f : E æ F , où E et sont des sous-ensembles de R.
i. On dit que f possède un axe de symétrie d’équation x = a ssi f (2a ≠ x) = f (x).
En particulier, lorsque l’axe de symétrie coı̈ncide avec l’axe des ordonnées (x = 0), on a :
f (≠x) = f (x). La fonction f est alors dite paire.
ii. On dit que f possède un un centre de symétrie de coordonnées C(a; b) ssi f (2a ≠ x) = 2b ≠ f (x).
En particulier, lorsque le centre de symétrie coı̈ncide avec l’origine du repère O(0; 0), on a :
f (≠x) = ≠f (x). La fonction f est alors dite impaire.
19
Illustrations graphiques
(a) Toute parabole possède un axe de symétrie.
(b) Toute hyperbole possède un centre de symétrie.
Exercice 16.
Déterminer si les fonctions suivantes sont paires ou impaires.
1) f1 (x) = x2 ;
2) f2 (x) = x2 ≠ 10 ;
3) f3 (x) = 2x2 + x + 5 ;
7) f7 (x) =
x2
;
x4 + 2
8) f8 (x) =
2≠x
;
x+3
4) f4 (x) = x3 ;
9) f9 (x) = x ≠
5) f5 (x) = x3 ≠ 10 ;
6) f6 (x) =
5
1
;
x
1
;
x3
10) f10 (x) = (x ≠ 1)2 + 3 ;
Fonctions homographiques et hyperboles
Nous avons vu précédemment quelques exemples de fonctions fonctions homographiques simples, comme par
1
exemple la fonction f (x) = x≠2
du Chapitre 1.1 (p.3). De manière générale, cette famille de fonctions présente
la caractéristique de posséder une asymptote verticale et horizontale et ainsi qu’une symétrie centrale.
D ÉFINITION 5.1.
F ONCTION HOMOGRAPHIQUE
Une fonction homographique est une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur sont tous
deux des polynômes du premier degré.
Une fonction homographique est ainsi décrite par l’expression algébrique suivante.
f : x ‘≠æ
ax + b
,
cx + d
avec a, b, c, d œ R ,
b, c ”= 0 et
(a, b) non proportionnel à (c, d) .
Remarque 5.1. Une fonction homographique est décrite graphiquement par une courbe nommée hyperbole.
20
Premier exemple de fonction homographique : la fonction inverse
En fixant a = 0, b = 1, c = 1, d = 0 dans la D ÉFINITION 5.1, on obtient la fonction inverse :
f : Rú ≠æ Rú
x
‘≠æ
1
x
.
On obtient sa représentation graphique en établissant un tableau de valeurs.
x
f (x)
≠5
≠0,2
≠4
≠0,25
≠3
≠0,3̄
≠2
≠0,5
≠1
≠1
≠0,5
≠2
≠0,25
≠4
0
||
0,25
4
0,5
2
1
1
2
0,5
3
0,3̄
4
0,25
5
0,2
i. Asymptote verticale. La fonction f possède une asymptote verticale d’équation x = 0.
Grandes valeurs négatives de x
x
≠0,01 ≠0,001 ≠10≠10 ≠10≠100
f (x) ≠100 ≠1000
≠1010
≠10100
Petites valeurs positives de x
x
10≠100 10≠10 0,001 0,01
f (x) 10100
1010
1000 100
Ainsi, f (x) devient aussi petit que l’on veut
lorsque x s’approche de 0 par la gauche :
Ainsi, f (x) devient aussi grand que l’on veut
lorsque x s’approche de 0 par la droite :
x ≠æ 0≠
=∆
1
≠æ ≠Œ .
x
x ≠æ 0+
=∆
1
≠æ +Œ .
x
ii. Asymptote horizontale. La fonction f possède une asymptote horizontale d’équation y = 0.
Petites valeurs négatives de x
x
≠10100
≠1010 ≠1000 ≠100
≠100
f (x) ≠10
≠10≠6 ≠0,001 ≠0,01
Grandes valeurs positives de x
x
100 1000
1010
10100
≠10
f (x) 0,01 0,001 10
10≠100
Ainsi, f (x) s’approche de zéro par le bas
lorsque x devient aussi petit que l’on veut :
Ainsi, f (x) s’approche de zéro par le haut
lorsque x devient aussi grand que l’on veut :
x ≠æ ≠Œ
=∆
1
≠æ 0 .
x
x ≠æ +Œ
21
=∆
1
≠æ 0 .
x
iii. Ensemble de définition. Df = R \ {position de l’A.V.} = Rú .
iv. Ensemble des images. If = R \ {position de l’A.H.} = Rú .
v. Ensemble des zéros. Zf = ?.
vi. Symétrie. Centrale, de centre O(0 ; 0). Par conséquent, la fonction f (x) =
f (≠x) =
vii. Croissance. La fonction f (x) =
et sur l’intervalle ]0 ; +Œ[ .
1
est impaire, car :
x
1
1
= ≠ = ≠f (x) .
≠x
x
1
est strictement décroissante sur l’intervalle ] ≠ Œ ; 0[ et
x
Deuxième exemple de fonction homographique
En fixant a = 1, b = ≠3, c = 1, d = ≠2 dans la D ÉFINITION 5.1, on obtient la fonction homographique
suivante :
f : R \ {2} ≠æ R \ {1}
x≠3 .
x
‘≠æ
x≠2
Pour représenter aisément la fonction f , on la met sous forme canonique :
f (x) =
1
x≠3
x≠2≠1
x≠2
1
=
=
≠
=1≠
.
x≠2
x≠2
x≠2 x≠2
x≠2
A partir de cette expression, on en déduit facilement les informations suivantes.
i. Asymptote verticale. Equation : x = 2, car
x ≠æ . . . . . .
=∆
f (x) = 1 ≠
x ≠æ . . . . . .
=∆
f (x) = 1 ≠
22
1
≠æ . . . . . . . . . .
x≠2
1
≠æ . . . . . . . . . .
x≠2
ii. Asymptote horizontale. Equation : y = 1, car
x ≠æ . . . . . .
=∆
f (x) = 1 ≠
x ≠æ . . . . . .
=∆
f (x) = 1 ≠
1
≠æ . . . . . . . . . .
x≠2
1
≠æ . . . . . . . . . .
x≠2
iii. Ensemble de définition. Df = R \ {position de l’A.V.} = R \ {2}.
iv. Ensemble des images. If = R \ {position de l’A.H.} = R \ {1}.
v. Ensemble des zéros. Zf = {3}, car
x≠3
=0
x≠2
si x ≠ 3 = 0 ≈∆ x = 3 .
vi. Symétrie. Centrale, de centre O(2 ; 1).
x≠3
1
=1≠
est strictement croissante sur l’intervalle
x≠2
x≠2
] ≠ Œ ; 2[ et sur l’intervalle ]2 ; +Œ[ .
vii. Croissance. La fonction f (x) =
Exercice 17.
Soient les fonctions homographique suivantes.
1
f1 (x) = ≠ ,
x
f2 (x) =
2
,
x
f3 (x) =
1
,
2x
f4 (x) =
1
,
2x + 5
f5 (x) =
3 ≠ 2x
,
x≠3
• Faire une étude de fonction complète, en suivant les modèles du cours. Puis tracer leur graphe.
1
• Comparer leur graphe avec le graphe de la fonction inverse f (x) = . Quelles transformations permetx
tent de passer de leur graphe à celui de la fonction inverse ?
Exercice 18.
Un toit en pente s’appuie sur les murs M N et AB. Ceux-ci sont hauts de 3 m et écartés l’un de l’autre de 4 m.
Le toit peut être plus ou moins incliné. Comment varie la hauteur h du faı̂te lorsque la distance x s’approche
de 2 m ?
• Comment varie h lorsque x devient de plus en plus grand?
• Comment se traduisent sur le graphique de h en fonction de x les observations précédentes ?
N
B
h
M
A
4
23
x
6
Opération sur les graphes de fonctions
Considérons les deux fonctions homographiques suivantes
1
6x ≠ 35
1
f (x) = ,
g(x) =
=
+ 3,
x
2x ≠ 12
2(x ≠ 6)
dont les graphes sont représentés ci-après.
En comparant leurs graphes, on s’aperçoit que l’on peut obtenir le graphe de la fonction g à partir du graphe de
la fonction inverse f en faisant subir à ce dernier :
1) une translation horizontale : x æ x ≠ 6 ;
1
·y;
2
2) une translation verticale : y æ y + 3.
2) une contraction : y æ
Ces opérations sur le graphe de f se traduisent par des transformations appliquées à la fonction f , qui s’expriment
à leur tour exprimer comme des fonctions de “translation” (horizontale ou verticale) ou de “dilatation / contraction”.
D ÉFINITION 6.1.
F ONCTIONS “ TRANSLATION ” ET “ DILATATION ”
• Fonctions translation :
Ta (x) = x + a (a œ R) .
• Fonctions dilatation / contraction :
Da (x) = b · x (b œ Rú ) .
Remarque. Lorsque |b| > 1 le graphe de la fonction est dilaté par rapport à l’orginal, alors qu’il est contracté
lorsque 0 < |b| < 1. Il est inversé par rapport à l’axe Ox lorsque b < 0.
On peut alors réécrire la fonction g à partir de la fonction f , en composant cette dernière avec deux
translations (l’une verticale et l’autre horizontale) et une contraction :
1
g(x) = (T3 ¶ D1/2 ¶ f ¶ T≠6 )(x) =
+ 3.
2(x ≠ 6)
24
6.1
Transformations de fonctions
L’exemple précédent donne une éclairage nouveau à la composition de fonctions. En la composant avec des
fonctions translation ou dilatation, on peut ainsi générer à partir d’une fonction f une famille de fonctions de
même nature qu’elle.
D ÉFINITION 6.2.
T RANSFORMATIONS DE FONCTIONS
En composant une fonction de base f avec les fonctions translation (verticale et horizontale) et dilatation
/ contraction, on crée une famille de fonctions apparentées à f , dont les graphes respectifs sont une
transformation du graphe de f . Tout membre g de cette famille s’exprime alors à partir de f de la manière
suivante :
g(x) = (Tv ¶ Dk ¶ f ¶ T≠h )(x) = k · f (x ≠ h) + v ,
(1)
où les différents paramètres représentent les transformations suivantes du graphe de f .
1) h : une translation horizontale de la courbe de f .
N.B. Noter le signe négatif dans l’argument de f (x ≠ h). Ainsi, pour une translation de 2 unités vers
la droite, h prendra simplement la valeur 2, le signe négatif lié à ce type de déplacement se trouvant
déjà dans l’argument de f .
2) k : une contraction ou dilatation verticale effectuée sur la courbe de f .
3) v : une translation verticale de la courbe de f .
Remarque 6.1. Ces trois transformations appliquées à la fonction f produisent des fonctions de même nature.
Ainsi, une fonction homographique demeurera une fonction homographique, avec toutefois des asymptotes
horizontale et verticales translatées en fonction de la valeur des paramètres v et h. De même, une parabole
transformée selon la formule (1) reste une parabole, avec cependant un sommet translaté horizontalement et
verticalement selon la valeur de h et v.
6.1.1
Transformations d’hyperboles
Exercice préparatoire
a) Esquisser dans le même repère les fonctions
f (x) =
1
,
x
g(x) =
1
,
x≠2
h(x) = 1 +
2
,
x≠2
j(x) = 1 ≠
1
.
x≠2
b) Identifier les paramètres responsables de la modification des asymptotes verticale et horizontale. Quelles
transformations supplémentaires se produisent pour les graphes de h et j par rapport au graphe de f ?
T H ÉOR ÈME 6.1.
F ONCTIONS HOMOGRAPHIQUES ET HYPERBOLES
La représentation graphique d’une fonction homographique est une hyperbole avec des asymptotes parallèles
aux axes Ox et Oy. Réciproquement, toute hyperbole avec des asymptotes parallèles aux axes Ox et Oy
représente une fonction homographique.
25
Démonstration
On sait déjà que la fonction inverse f (x) = x1 a pour représentation graphique une hyperbole de centre O(0; 0)
et d’asymptotes x = 0 et y = 0. Or, la D ÉFINITION 6.2 nous dit que toute fonction transformée
g(x) = (Tv ¶ Dk ¶ f ¶ T≠h )(x) = k ·
1
+v
x≠h
(2)
est aussi représentée par un parabole, car les translations et dilatation données par la D ÉFINITION 6.1 ne
changent pas la nature de la courbe.
Il s’agit donc de montrer que l’on peut mettre toute fonction homographique
f (x) =
ax + b
,
cx + d
b, c œ Rú
avec a, d œ R ,
et (a, b) non proportionnel à (c, d)
sous la forme (2).
N.B. A la fin du calcul, on exprimera k, h et v en fonction de a, b, c et d et interprétera ces trois paramètres
en termes de la position des asymptotes d’une hyperbole, de son centre de symétrie et de sa courbure. On
expliquera aussi pourquoi le passage de quatre à trois paramètres ne réduit pas le nombre de degrés de liberté
que l’on a de transformer la courbe de la fonction.
On fait une division euclidienne de (ax + b) par (cx + d), afin de mettre la fonction f sous forme canonique.
ax + b
ad
≠(ax +
)
c
b≠
En mettant le reste sous la forme
R=b≠
cx + d
a
c
ad
c
ad
bc ≠ ad
=
c
c
on réécrit la fonction f comme suit
f (x) =
=
a
c
(cx + d) +
cx + d
a
c
¸˚˙˝
v
En identifiant
+
3
¸
bc≠ad
c
bc ≠ ad
c2
˚˙
4
k
Translation verticale :
Dilatation/contraction :
Translation horizontale :
=
a
c
bc≠ad
(cx + d)
a
c
+
= +
cx + d
cx + d
c
1
1
˝ x+
bc ≠ ad
c
4
1
(cx + d)
.
d 2
c
¸˚˙˝
≠h
a
c
bc ≠ ad
k=
c2
d
h=≠
c
v=
3
=∆ A.H. d’équation : y =
a
c
=∆ A.V. d’équation : x = ≠
On montre que l’on peut mettre toutes fonction homographique f (x) =
ax+b
cx+d
d
c
sous la forme (2).
Remarque. On constate que les trois nombres v et k et h s’expriment en termes des quotients ac ,
en particulier :
3 43 4
bc ≠ ad
b
a
d
k=
= ≠
.
2
c
c
c
c
b
c
et dc , car
Ainsi, quand bien même une fonction homographique f (x) = ax+b
cx+d semble déterminée par quatre nombres
réels a, b, c, d, elle n’est en fait caractérisée que par trois paramètres ac , cb et dc .
26
Remarque 6.2. Lorsqu’une fonction homographique est mise sous la forme
f (x) = k ·
on dit qu’elle est sous forme canonique.
1
+v
x≠h
Exercice 19.
En suivant la procédure vue plus haut, réécrire les fonctions homographiques suivantes
f1 (x) =
x+1
,
x≠3
f6 (x) =
x+7
,
2x ≠ 5
sous la forme
f2 (x) =
x≠2
,
x+5
f7 (x) =
f3 (x) =
x+2
,
x
f4 (x) =
2x ≠ 3
,
x+5
f5 (x) =
1 ≠ 3x
,
x+2
4x ≠ 9
.
3x + 1
f (x) = k ·
1
+v,
x≠h
puis esquisser leur graphe en transformant la courbe de la fonction de base f (x) = x1 .
Exercice 20.
Après avoir tracé dans les repères suivants les asymptotes des hyperboles représentées, trouver l’expression
algébrique des fonctions homographiques correspondantes .
27
6.1.2
Transformations de paraboles
T H ÉOR ÈME 6.2.
F ONCTIONS QUADRATIQUES ET PARABOLES
La représentation graphique d’une fonction quadratique est une parabole avec un axe de symétrie parallèle
à l’axe Oy. Réciproquement, toute parabole avec un axe de symétrie parallèle à l’axe Oy représente une
fonction quadratique.
Démonstration
On procède comme pour la démonstration du T H ÉOR ÈME 6.1. On sait que la fonction f (x) = x2 a pour
représentation graphique une parabole de sommet S(0; 0) et axe de symétrie x = 0. Or, par la D ÉFINITION 6.2
toute fonction transformée
g(x) = (Tv ¶ Dk ¶ f ¶ T≠h )(x) = k(x ≠ h)2 + v
(3)
est aussi représentée par un parabole, car les translations et dilatation données par la D ÉFINITION 6.1 ne modifient pas la nature de la courbe.
Il s’agit donc de montrer que l’on peut mettre toute fonction quadratique
f (x) = ax2 + bx2 + c ,
avec a œ Rú ,
b, c œ R
sous la forme (3).
N.B. A la fin du calcul, on exprimera k, h et v en fonction de a, b et c et interprétera ces trois paramètres en
termes des coordonnées du sommet de la parabole et de la position de son axe de symétrie.
On complète le carré de l’expression quadratique :
3
b
f (x) = ax + bx + c = a x +
a
2
1
= a x2 +
2
b 22
2a
≠
ab2
4a 2
En identifiant
2
4
=∆
1
k
Z
_
_
_
^
_
_
_
\
≠h
=∆
1 b 22 1 b 22 2
b
+
≠
+c
2a ¸ 2a ˚˙ 2a ˝
=0
b 22
+ c = ¸˚˙˝
a x2 +
2a
¸˚˙˝
b2 ≠ 4ac
Translation verticale :
v=≠
=≠
4a
4a
b
Translation horizontale : h = ≠
2a
Dilatation/contraction : k = a
1
+ c = a x2 + 2
+
1
¸
≠
b2 ≠ 4ac 2
˚˙4a
v
.
˝
3
b
;≠
2a
4a
b
y=≠
2a
coordonnées du sommet : S ≠
axe de symétrie :
4
courbure de la parabole
On montre ainsi que l’on peut mettre toutes fonction quadratique f (x) = ax2 + bx2 + c sous la forme (3).
Remarque 6.3. .
• Lorsqu’une fonction quadratique est sous la forme f (x) = ax2 + bx + c on dit qu’elle est sous forme
développée.
• L’écriture f (x) = k(x ≠ h)2 + v d’une fonction quadratique est désignée sous le terme de forme canonique.
28
Exercice 21.
En suivant la procédure vue plus haut, mettre les fonctions quadratiques
f1 (x) = x2 ≠ 6x ≠ 5 ,
f2 (x) = ≠x2 + x + 3 ,
f3 (x) = 2x2 + 3x ≠ 1 ,
1
f4 (x) = x2 + 3x + 7
2
sous la forme f (x) = k(x ≠ h)2 + v, puis esquisser leur graphe en transformant le graphe de la fonction de
base f (x) = x2 .
Exercice 22.
Trouver l’expression algébrique des fonctions quadratiques correspondant aux graphes suivants.
29
Exercice 19 : corrigé des graphes
Exercice 21 : corrigé des graphes
Bijections réciproques
1
Introduction
Soit un carré de côté x. Ecrire la fonction A donnant l’aire du carré en fonction de son côté x puis représenter
A dans le repère ci-dessous :
A(x) = . . . . . . . . .
Ecrire maintenant la fonction C donnant le côté du carré en fonction de son aire et représenter C graphiquement :
C(x) = . . . . . . . . .
On remarque que les fonctions A et C sont des bijections de R+ dans R+ . On appelle la bijection C la
réciproque de la bijection A car, pour deux réels positifs a et b :
si
A(a) = b
alors
C(b) = a
et
inversement.
ce qui a pour conséquence que :
A(C(a)) = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et
C(A(a)) = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ainsi la courbe C est obtenue à partir de la courbe A par une symétrie d’axe donné par la droite : Id : x 7! x.
Concrètement, si A(a) = b définit un point (a ; b), cette symétrie définit la courbe de C en échangeant
les coordonnées du point selon : (a ; b) $ (b ; a).
Remarque sur les ensembles de départ et d’arrivée de la fonction A
L’application f (x) = . . . . . . est généralement définie de . . . . . . ! . . . . . . . Alors que :
la fonction A(x) est définie de . . . . . . ! . . . . . . .
Pour rendre A(x) inversible, on a donc dû restreindre son ensemble de départ afin d’en faire une bijection.
1
C ONSTRUCTION D ’ UNE BIJECTION À PARTIR D ’ UNE FONCTION f QUELCONQUE
Soit f une fonction sur R à valeur dans R. On détermine d’abord :
a) son ensemble de définition Df ;
b) son ensemble des images If .
On construit alors les plus grands ensembles de départ E et d’arrivée F tels que f : E ! F soit une
bijection, de la manière suivante :
c) on détermine le plus grand sous-ensemble E ✓ Df tel que tous les x 2 E ont des images distinctes ;
d) on pose F = If .
Exemple
Soit la fonction :
f: R ! R
x 7! x2 + 3 .
La fonction f est définie pour tout x 2 R, par
conséquent :
Df = R .
On remarque alors que
f (x) = x2 + 3 = f ( x) = ( x)2 + 3 .
La fonction f est paire, c’est-à-dire que tout élément
x 2 R a donc la même image que son opposé ( x).
Pour avoir une bijection, il est donc nécessaire de restreindre l’ensemble de départ de f aux réels positifs :
E = R+ .
Ensuite, on observe, graphiquement ou algébriquement,
que l’on a toujours f (x)
3, ce qui permet de
déterminer :
If = [ 3 ; 1 [ .
On pose donc comme ensemble d’arrivée :
F = If = [ 3 ; 1 [ .
Figure 1: La fonction f : x ! x2 + 3.
Par cette méthode, on obtient la bijection :
+
fbij
: R+ ! [ 3 ; 1 [
x
7! x2 + 3
,
A noter que, de façon similaire, on peut définir une seconde bijection, à partir de la branche de gauche de la
parabole :
fbij : R
! [3; 1[
.
x 7! x2 + 3
2
2
Bijections réciproques
D ÉFINITION
Soit f : E ! F une bijection. La réciproque de f , notée r f , est la bijection qui à chaque élément de
l’ensemble d’arrivée y 2 F associe son unique préimage par f : x 2 E .
Remarques
a) Si f : E ! F est une bijection, sa réciproque est la bijection définie comme suit :
r
f :F !E.
La réciproque inverse donc les ensembles de départ et d’arrivée. C’est pourquoi on l’appelle parfois (par
anglicisme) la bijection inverse, et qu’on la note f 1 .
Schématiquement :
b) La réciproque d’une bijection est l’unique bijection telle que :
f ( r f (x)) = r f (f (x)) = x .
Introduisons la fonction identité, notée : Id.
F ONCTION IDENTIT É
La fonction identité d’un ensemble E dans un ensemble F est la fonction :
IdE,F : E ! F
.
x 7! x
Pour toute fonction f , on a donc par construction :
f
Id = Id f = f .
On peut dès lors reformuler la condition (1) comme suit.
T H ÉOR ÈME
1) Si f est une bijection de E dans F , alors
r
f
f = IdE,E
et
f
r
f = IdF,F .
2) Soit une bijection f : E ! F . Si une bijection g : F ! E satisfait :
g f = IdE,E
et
alors g est la réciproque de f : g = r f .
3
f
g = IdF,F ,
(1)
C OROLLAIRE
Soit deux fonctions f et g. Si la fonction composée f g est bijective, alors sa réciproque est
donnée par :
r
(f g) = r g r f .
Démonstration
Il suffit de montrer que ( r g
( rg
r
f ) (f
rf )
(f g) = Id. Comme la composition de fonctions est associative, on a
g) = r g ( r f
f ) g = r g Id g = r g Id g = r g g = Id . ⇤
Remarque
On peut généraliser ce corollaire à la composition d’un nombre arbitraire n 2 N⇤ de bijections fi ,
i = 1, . . . , n.
r (f
1
f2 · · · fn
1
fn ) = r fn
rf
···
n 1
rf
2
rf
1.
Détermination algébrique de la réciproque d’une bijection
1) 1ère étape : pour une fonction quelconque, restreindre son ensemble de départ et d’arrivée pour en faire
une bijection.
Exemple : la fonction f (x) = x2 + 3 n’est pas une bijection de R dans R. Elle en devient une si l’on
restreint son ensemble de départ et d’arrivée comme suit :
f : R+ ! [ 3 ; 1 [
7!
x
x2 + 3
.
2) 2ème étape : on détermine la réciproque de la bijection en commençant par exprimer la variable x en
fonction de la variable y :
Exemple : on considère la bijection f (x) = x2 + 3 de R+ dans [ 3 ; 1 [ :
3) 3ème étape : pour obtenir l’expression algébrique de r f , on échange les variables x $ y.
et on échange aussi E $ F :
4
Détermination graphique de la réciproque d’une bijection
Reprenons la même bijection f (x) = x2 + 3 de R+ dans [ 3 ; 1 [.
1) 1ère étape : établir le tableau de valeurs de f pour des valeurs x 2 R+ :
x
0
1
2
3
f (x)
2) 2ème étape : en déduire le tableau de valeurs de r f en inversant les coordonnées des points de la courbe
f : (a, b) ! (b, a) :
x
r f (x)
Graphiquement on obtient la courbe de la réciproque r f en symétrisant les points de la courbe de f selon
une symétrie d’axe Id(x) = x, c’est-à-dire qu’à partir d’un point A(a ; b) de la courbe f on définit un
point de la courbe r f par son symétrique r A(b ; a).
Remarque
L’axe de symétrie entre une fonction et sa réciproque est donné par par la droite d’équation y = x, car cette
droite est le lieu des points invariants sous l’échange de coordonnées x $ y.
5
Exercice 1
Le graphe de la figure ci-dessous représente une bijection de [ 2 ; 6] dans [ 3 ; 7]. Dans le même repère,
dessiner le graphe de la bijection réciproque.
Exercice 2
Construire des bijections à partir des fonctions suivantes en déterminant le plus grand ensemble de départ et
d’arrivée. Ensuite, déterminer algébriquement la réciproque de ces bijections en suivant la méthode vue au
cours.
1
f (x) = 2x 3 ,
g(x) = x2 + 2x ,
h(x) =
.
x 2
Déterminer ensuite graphiquement, par symétrisation de la courbe de ces bijections par rapport à l’axe Id, le
graphe de leur réciproque et vérifier la cohérence de celui-ci avec l’expression algébrique obtenue précédemment.
Exercice 3
Déterminer le plus grand ensemble de départ et d’arrivée pour que les fonctions suivantes soient des bijections,
puis calculer leur réciproque.
1) f (x) =
2) f (x) =
p
x
2
p
x+3
3) f (x) = (x
4) f (x) =
5) f (x) =
1 x
2x 5
6) f (x) = x +
2)3
1
x
2x2 + 16x 33
p
8) f (x) = 2 3 x 1 + 5
7) f (x) =
3x + 4
x+3
6
Exercice 4
Pour les exemples suivants, montrer que les bijections f et g sont la réciproque l’une de l’autre en vérifiant que
f g = Id = g f .
a)
b)
c)
d)
f : R !
R
x 7! 4x
8
1;1] !
f : ]
g : R !
,
x 7!
[ 4 ; +1 [
7! x2
x
2x
3
,
f : R⇤ ! R ⇤
x
7!
1 ,
x
7!
.
x
+2
4
g : [ 4 ; +1 [ ! ]
7! 1
x
1;1]
.
p
x+4
g : R⇤ ! R ⇤
7!
x
f : R \ { 4} ! R \ {2}
x
R
1 .
x
g : R \ {2} ! R \ { 4}
2x + 3 ,
x+4
x
7
7!
4x 3
2 x
.