Fonctions

Coll` ege Calvin 2015 – 2016
Fonctions
FONCTIONS 2MA
1 Notions de base
Rappelons quelques d´ efinitions.
D´ EFINITION 1.1.
FONCTION
Soient Eet Fdeux ensembles.
Une fonction d´ efinie sur E` a valeur dans F(ou aussi : de Edans F), not´ ee
f:EæF
est une relation entre les ´ el´ ements de l’ensemble E(l’ensemble de d´ epart ou l’ensemble source) et les
´
el´ ements de l’ensemble F(l’ensemble d’arriv´ ee ou l’ensemble cible), qui ` a chaque ´ el´ ement xœEfait
correspondre un et un seul ´ el´ ement yœF.
D´ EFINITION 1.2.
IMAGE ET PR´ EIMAGE
Soit une fonction f:EæF.
i. Si ffait correspondre ` a un ´ el´ ement xœEun ´ el´ ement yœF, c’est-` a-dire que l’on a : f(x)=y, on
appelle cet ´ el´ ement yl’image de xpar f. On peut alors ´ ecrire la fonction fsous la forme suivante.
f:EæF
x‘æ f(x)
ii. Inversement, si pour un ´ el´ ement yœFil existe un ´ el´ ement xœEtel que y=f(x), cet ´ el´ ement xest
appel´ e la pr´ eimage ou l’ant´ ec´ edent de ypar f.
D’apr` es la D ´ EFINITION 1.1, pour qu’une relation f:EæFsoit une fonction, il faut ainsi ` a la fois que
i) tout ´ el´ ement xœEposs` ede une image yœFpar f;
ii) aucun ´ el´ ement xœEne poss` ede plus d’une image yœFpar f.
Consid´ erons les graphes de la Figure 1 ci-dessous. Parmi ces trois graphes, on constate qu’il n’y a que
la figure (a) qui repr´ esente la graphe d’une fonction de Rdans R. En effet, la figure (b) montre clairement que
l’expression f(x)=Ôx2≠1n’est pas d´ efinie sur l’intervalle ]≠1;1[ . Ainsi, les ´ el´ ements ≠1<x<1
n’ont pas d’image par f, ce qui ne satisfait pas la condition i. ci-dessus. Enfin, dans le graphe de la figure
(c) on observe que tout xœRposs` ede plusieurs images (en l’occurrence une infinit´ e), ce qui ne v´ erifie pas la
condition ii.
1

(a) f(x)=x4≠2x2(b) f(x)=Ôx2≠1(c) Courbe d’une spirale
Figure 1: Parmi ces courbes, lesquelles repr´ esentent une fonction de Rdans R?
Exercice 1.
Montrer que l’expression
f(x)= x
x2≠2
d´ efinit une fonction de Qdans Q, mais pas de Rdans R.
1.1 Ensemble de d´ efinition d’une fonction
Dans cette section, nous ne consid´ ererons que des fonctions r´ eelles, c’est-` a-dire d´ efinie sur une sous-ensemble
de R.
D´ EFINITION 1.3.
ENSEMBLE DE D´ EFINITION
L’ensemble de d´ efinition d’une fonction est le plus grand sous-ensemble de Rsur lequel la fonction fest
d´ efinie. En d’autres termes, l’ensemble de d´ efinition de f, not´ eDf, est d´ efini par
Df={xœR|f(x)est d´ efini}
Exemple 1
Repr´ esenter la fonction suivante ` a l’aide d’un tableau de valeurs.
f(x)=x2
2+x 2≠1,
Puis d´ eterminer son ensemble de d´ efinition.
2

Tableau de valeurs
Exemple 2
Repr´ esenter la fonction suivante ` a l’aide d’un tableau de valeurs.
f(x)= 1
x≠2,
Puis d´ eterminer son ensemble de d´ efinition.
Tableau de valeurs
3

Exemple 2
Repr´ esenter la fonction suivante ` a l’aide d’un tableau de valeurs.
f(x)=Ôx≠3,
Puis d´ eterminer son ensemble de d´ efinition.
Tableau de valeurs
Exercice 2.
D´ eterminer alg´ ebriquement l’ensemble de d´ efinition des fonctions suivantes, puis les repr´ esenter graphique-
ment, ` a l’aide d’une tableau de valeur.
f(x)=3x2≠3x≠36 ,g(x)= 2
x+3,h(x)=Ô3≠x, j(x)=Ò(x≠1)(x+ 2) .
Exercice 3.
D´ eterminer alg´ ebriquement le domaine de d´ efinition des fonctions suivantes.
f1(x)=x4≠5x3+2x2≠x+4,f
2(x)=Ô3x+4,f
3(x)=x2≠11x+ 28 ,f 4(x)= x≠1
5x+6,
f5(x)= 1
2x2≠36x+ 18 ,f
6(x)= 2x+3
2x2≠4x+5,f
7(x)=3x2+6x+1,f 8(x)= 1
Ôx≠4,
Exercice 4.
D´ eterminer alg´ ebriquement le domaine de d´ efinition des fonctions suivantes.
f1(x)= 3
x3≠4x2+2x+1,f
2(x)= 1
(x+ 3)(3 ≠2x),f
3(x)= 1
Ôx2+6x+8,
f4(x)= 1
x2+9,f
5(x)=1≠x+x2.
4

1.2 Ensemble des images d’une fonction
Une fonction r´ eelle f:EæR(d´ efinie sur un sous-ensemble
Ede R) peut ne pas atteindre tous les ´ el´ ements de l’ensemble
d’arriv´ ee R. Consid´ erons l’exemple de la fonction
f:RæR
x‘æ x2+2
dont la courbe Cfest une parabole de sommet S(0 ; 2). Le
graphe ci-contre montre clairement que la fonction fn’atteint
que les ´ el´ ements yœ[2;+Œ[. L’ensemble de toutes les im-
ages de xœRpar fest appel´ el’ensemble des images de fsur
R.
De mani` ere g´ en´ erale, on a la d´ efinition suivante pour
l’ensemble des images d’une fonction f(sur un ensemble de
d´ efinition E™R).
D´ EFINITION 1.4.
ENSEMBLE DES IMAGES
Soit une fonction f:EæR(d´ efinie sur un sous-ensemble Ede R). L’ensemble des images de cette
fonction sur Eest l’ensemble form´ e de tous les ´ el´ ements y=f(x), lorsque l’on consid` ere tout xœE.
Cet ensemble, not´ e
If={yœR|y=f(x),’xœE}
peut ˆ etre plus petit que l’ensemble d’arriv´ ee R.
Exercice 5.
1) Pour la fonction f(x)=x3,
–´ etablir son ensemble de d´ efinition, ses z´ erons et repr´ esenter la fonction graphiquement (sur l’intervalle
[≠3;3]);
–calculer les images de 2et ≠2et les repr´ esenter dans le graphe de la fonction. Que constate-t-on ?
–calculer les pr´ eimages de 2et de ≠1et les repr´ esenter dans le graphe de la fonction.
–d’apr` es le graphe de f,´ etablir l’ensemble des images Ifde fsur R.
2) Pour la fonction f(x)=x2
2+x≠4,
–´ etablir son ensemble de d´ efinition, ses z´ eros et repr´ esenter la fonction graphiquement ;
–calculer les images de ≠3et 1et les repr´ esenter dans le graphe de la fonction. Que constate-t-on ?
–calculer les pr´ eimages de ≠4,2et ≠5et les repr´ esenter dans le graphe de la fonction.
–d’apr` es le graphe de f,´ etablir l’ensemble des images Ifde fsur R.
Exercice 6.
Pour les fonctions suivantes, d´ eterminer l’ensemble de d´ efinition, esquisser leur graphe, puis d´ eterminer l’ensemble
des images.
f1(x)=Ô3≠x, f
2(x)=≠Ôx+2,f 3(x)=Ôx≠1+3,f 4(x)= 3
Ôx, f
5(x)=≠3
Ôx≠2.
Exercice 7.
Discuter les diff´ erentes possibilit´ es d’ensemble des images pour des fonctions polynomiales, en fonction du
degr´ edu polynˆ ome.
5