Université Blaise Pascal - UFR Sciences et Technologies L1

Université Blaise Pascal - UFR Sciences et Technologies L1-S2 C-M-PC-P
Electrostatique et magnétostatique 12PHYF2 année 2008-09
Examen de seconde session (durée 2 heures)
Tous documents et appareils électroniques (calculateur, téléphone, etc. ) sont interdits.
Le sujet comporte deux pages. Les notations du sujet seront respectées pour l’expression de la solution.
Barème indicatif A(8 points), B(9 points) et C(3 points).
A – Capacité d’un condensateur cylindrique.
Considérons le condensateur cylindrique dont l’axe principal est noté Oz. L’armature intérieure est un
cylindre de rayon a. L’armature extérieure est limitée par les deux cylindres de rayon 2aet 3acomme
mentionné sur la figure 1. La densité surfacique de l’armature intérieure est notée σ, tandis que l’armature
extérieure est globalement neutre. On considére que le condensateur est de longueur infinie.
a
2a
3a
O
(b)
(a)
z
Fig. 1: (a) Vue en perspective du condensateur cylindrique. (b) Vue en coupe du condensateur cylindrique dont
l’armature intérieure est de rayon a, tandis que l’armature extérieure est limitée par les deux cylindres
de rayon respectivement égal à 2aet 3a.
1. Quelle est la charge électrique, notée Qint, portée par une hauteur hde l’armature intérieure.
2. Quel est le champ électrostatique à proximité de la surface de l’armature intérieure ?
3. Enoncer le théorème de Gauss, sans se limiter à l’expression d’une formule.
4. Détermination du champ électrostatique, noté −→ E:
En utilisant les symétries du système, déterminer le flux de −→ Eau travers de la surface d’un cylindre
de rayon ret de hauteur h. En mettant en œuvre le théorème de Gauss déduire l’expression de −→ E
en tout point Msitué dans l’espace entre les deux armatures.
5. Déterminer la différence de potentiel, ∆V, entre les deux armatures du condensateur et en déduire
l’expression de la capacité du condensateur cylindrique par unité de longueur.
1

B – Spire de courant et composante radiale à proximité de l’axe.
On désigne par Sune spire circulaire filiforme de centre noté Oet de rayon Rdans laquelle circule un
courant électrique permanent et continu noté I. Un point de l’axe de la spire, noté M, est repéré par la
distance z=OM comme indiqué par la figure 2(a).
1. Rappeler la loi de Biot et Savart, qui indique quel est le champ magnétique élémentaire engendré en
un point de l’espace par un élément de courant I−→ dℓ.
2. Déterminer le champ magnétique −→ B(M)engendré en un point Mde l’axe Oz de la spire. On donnera
l’expression du module de −→ B(M)en fonction de z.
−→
kz
OM
R
I
(S)
(a) (b)
−→
kz
O
R
I
(S)
P
dz
rM
Fig. 2: (a) Spire de courant Iet d’axe Oz. (b) repérage du point Pproche de l’axe Oz.
En un point quelconque Pde l’espace, le champ magnétique −→ B(P)a une composantante longitudinale Bz
dirigée selon −→ ket une composante transversale Brdirigée selon le vecteur −→ udéfini comme −→ u=−−→
M P
k−−→ M P k
où Mest le point projeté de Psur l’axe Oz. Ainsi nous avons −→ B(P) = Bz
−→
k+Br−→ u.
On désire déterminer la composante transversale Br(z, r)du champ magnétique pour un point très proche
de l’axe Oz de la spire (S). Ce point Pest repéré par z=OM et par la distance de Pà l’axe Oz notée
r=|MP |comme indiqué sur la figure 2(b) avec −−→
OP =z−→ k+r−→ u. On considère que rest suffisament
petit pour que la composante longitudinale Bzdu champ au point Psoit celle du point Mde l’axe.
3. Ecrire le flux du champ magnétique au travers de la surface du cylindre d’axe Oz, de rayon ret de
longueur dz. Montrer que la conservation du flux conduit à l’expression de Br(z, r)suivante :
Br(z, r) = −r
2
∂Bz
∂z
4. En déduire l’expression de Br(z, r). Que devient cette expression pour le point d’ordonnée z= 0 et
pour un point Pd’ordonnée zqui tend vers l’infini ? Commenter le résultat obtenu.
C – Champ magnétique à proximité d’un fil conducteur.
Soit un fil conducteur filiforme parcouru par un courant électrique continu noté I. Pour les points de
l’espace à proximité du fil conducteur, on considère qu’il se comporte comme un fil conducteur rectiligne
et de longueur infinie.
Enoncer le théorème d’Ampère et déterminer l’expression du champ magnétique à proximité du fil conduc-
teur.
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