Université Blaise Pascal - UFR Sciences et Technologies L1

Université Blaise Pascal - UFR Sciences et Technologies
L1-S2 C-M-PC-P
Electrostatique et magnétostatique 12PHYF2
année 2008-09
Examen de seconde session (durée 2 heures)
Tous documents et appareils électroniques (calculateur, téléphone, etc. ) sont interdits.
Le sujet comporte deux pages. Les notations du sujet seront respectées pour l’expression de la solution.
Barème indicatif A(8 points), B(9 points) et C(3 points).
A – Capacité d’un condensateur cylindrique.
Considérons le condensateur cylindrique dont l’axe principal est noté Oz. L’armature intérieure est un
cylindre de rayon a. L’armature extérieure est limitée par les deux cylindres de rayon 2a et 3a comme
mentionné sur la figure 1. La densité surfacique de l’armature intérieure est notée σ, tandis que l’armature
extérieure est globalement neutre. On considére que le condensateur est de longueur infinie.
z
3a
a
2a
O
(a)
(b)
Fig. 1: (a) Vue en perspective du condensateur cylindrique. (b) Vue en coupe du condensateur cylindrique dont
l’armature intérieure est de rayon a, tandis que l’armature extérieure est limitée par les deux cylindres
de rayon respectivement égal à 2a et 3a.
1. Quelle est la charge électrique, notée Qint , portée par une hauteur h de l’armature intérieure.
2. Quel est le champ électrostatique à proximité de la surface de l’armature intérieure ?
3. Enoncer le théorème de Gauss, sans se limiter à l’expression d’une formule.
−
→
4. Détermination du champ électrostatique, noté E :
−
→
En utilisant les symétries du système, déterminer le flux de E au travers de la surface d’un cylindre
−
→
de rayon r et de hauteur h. En mettant en œuvre le théorème de Gauss déduire l’expression de E
en tout point M situé dans l’espace entre les deux armatures.
5. Déterminer la différence de potentiel, ∆V , entre les deux armatures du condensateur et en déduire
l’expression de la capacité du condensateur cylindrique par unité de longueur.
1
B – Spire de courant et composante radiale à proximité de l’axe.
On désigne par S une spire circulaire filiforme de centre noté O et de rayon R dans laquelle circule un
courant électrique permanent et continu noté I. Un point de l’axe de la spire, noté M , est repéré par la
distance z = OM comme indiqué par la figure 2(a).
1. Rappeler la loi de Biot et Savart, qui indique quel est le champ magnétique élémentaire engendré en
−
→
un point de l’espace par un élément de courant I dℓ.
−
→
2. Déterminer le champ magnétique B (M ) engendré en un point M de l’axe Oz de la spire. On donnera
−
→
l’expression du module de B (M ) en fonction de z.
(S)
(S)
R
R
I
M
b
I
z
r
b
b
b
M
O
P
−
→
k
b
−
→
k
O
z
dz
(a)
(b)
Fig. 2: (a) Spire de courant I et d’axe Oz. (b) repérage du point P proche de l’axe Oz.
−
→
En un point quelconque P de l’espace, le champ magnétique B (P ) a une composantante longitudinale Bz
−−→
−
→
→
→
P
dirigée selon k et une composante transversale Br dirigée selon le vecteur −
u défini comme −
u = M
−−→
kM P k
−
→
−
→
→
où M est le point projeté de P sur l’axe Oz. Ainsi nous avons B (P ) = Bz k + Br −
u.
On désire déterminer la composante transversale Br (z, r) du champ magnétique pour un point très proche
de l’axe Oz de la spire (S). Ce point P est repéré par z = OM et par la distance de P à l’axe Oz notée
−
→
−−→
→
r = |M P | comme indiqué sur la figure 2(b) avec OP = z k + r −
u . On considère que r est suffisament
petit pour que la composante longitudinale Bz du champ au point P soit celle du point M de l’axe.
3. Ecrire le flux du champ magnétique au travers de la surface du cylindre d’axe Oz, de rayon r et de
longueur dz. Montrer que la conservation du flux conduit à l’expression de Br (z, r) suivante :
r ∂Bz
2 ∂z
4. En déduire l’expression de Br (z, r). Que devient cette expression pour le point d’ordonnée z = 0 et
pour un point P d’ordonnée z qui tend vers l’infini ? Commenter le résultat obtenu.
Br (z, r) = −
C – Champ magnétique à proximité d’un fil conducteur.
Soit un fil conducteur filiforme parcouru par un courant électrique continu noté I. Pour les points de
l’espace à proximité du fil conducteur, on considère qu’il se comporte comme un fil conducteur rectiligne
et de longueur infinie.
Enoncer le théorème d’Ampère et déterminer l’expression du champ magnétique à proximité du fil conducteur.
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