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Premier Cycle - Première Année
Année 2007/2008
Devoir de Synthèse
Lundi 16 juin 2008
Durée globale : 4h
Durée indicative :
électrostatique et électrocinétique : 3h
optique : 1h
Barème indicatif de l’électrostatique et de l’électrocinétique : 1ère partie : 6pts, 2ème partie : 4pts, 3ème partie : 10pts.
Sans document. Calculette non programmable autorisée.
1ère partie :
Fabrication d’une résistance élevée (~ 6 pts)
On veut réaliser un résistor cylindrique de longueur L, suffisamment grande pour pouvoir être considérée
comme infinie (Figure 1). Ce résistor est constitué de N feuilles d’épaisseur e très petite, d’un matériau
médiocre conducteur purement ohmique de conductivité constante γ. Elles sont enroulées sur un support
cylindrique isolant de rayon a et d’axe (z’z) et repérées par un numéro n variant de 1 à N, le numéro 1
correspondant à la feuille interne de rayon interne r1 = a, le numéro N à la feuille externe de rayon externe
rN+1 = b (e << a). En résumé, la n ième feuille d’épaisseur e est comprise entre les rayons rn et rn+1.
Ligne de
courant
Support
cylindrique
isolant
b
z’
a
C
C’
D’
α
A’
z
B
B’
D
A
I
L
I
U
Figure 1
Chaque feuille constitue une couche conductrice ayant la forme d’un manchon compris entre deux
cylindres de révolution coaxiaux et limitée :
- par deux plans de section droite distants de L ;
- par deux plans passant par l’axe de révolution et faisant entre eux l’angle α.
Les surfaces cylindriques de deux couches adjacentes sont isolées par un film très mince (épaisseur
négligeable vis-à-vis de e) à l’aide d’un vernis parfaitement isolant. Les faces planes rectangulaires
(ABCD) et (A’B’C’D’) sont recouvertes d’une couche parfaitement conductrice. En régime permanent, une
différence de potentiel U est maintenue entre ces deux plaques. Un courant continu d’intensité constante I
rentre par la face (ABCD), traverse le résistor et sort par la face (A’B’C’D’).
On considérera que les lignes de courant sont des arcs de cercles d’axe (z’z), de plus pour simplifier les
calculs : α << 2π.
Pour répondre aux questions, on utilisera exclusivement les coordonnées cylindriques.
1 ∂ (rAr ) 1 ∂ ( Aθ ) 1 ∂ (rAz )
,
div A =
+
+
r ∂r
r ∂θ
r ∂z
uuurur  ∂ ( Az ) ∂ ( Aθ )  r  ∂ ( Ar ) ∂ ( Az )  r 1  ∂ ( rAθ ) ∂ ( Ar )  r
Rot A = 
−
−
−
 ur + 
 uθ + 
 uz
∂z 
∂r 
r  ∂r
∂θ 
 r ∂θ
 ∂z
1
1. Détermination de la résistance Rn du manchon cylindrique
r
1.1. Montrer que le champ électrique E en un point M situé dans le médiocre conducteur peut se mettre
r
sous la forme E = E u , où u est un vecteur de la base locale des coordonnées cylindriques.
r
Représenter graphiquement quelques lignes de champ avec le vecteur unitaire u .
r
En utilisant div E en régime permanent et les invariances, montrer que le champ électrique dépend
d’une seule variable que l’on précisera.
r
r
k
1.2. Montrer que E peut s’écrire sous la forme E = u , donner l’expression de E en fonction de U, r.
rr
1.3. Ecrire l’expression du vecteur densité de courant j .
1.4. Déterminer l’intensité In du courant qui traverse la nième feuille conductrice (manchon cylindrique)
située entre les rayons rn et rn+1 en fonction de U, γ, L, rn et rn+1.
1.5. En déduire la résistance Rn du manchon cylindrique.
2. Détermination de la résistance R du conducteur entier
2.1. Exprimer l’intensité totale du courant I qui traverse le médiocre conducteur en fonction de U, γ, L, a
et b. En déduire l’expression de R.
2.2. Retrouver R en considérant une association de conducteurs élémentaires.
2.3. Application numérique. Calculer R pour a = 5 mm, b = 100 mm, γ = 10-7 Ω−1m-1 et L = 20 cm.
3.
Question indépendante
Le résistor – dont la résistance R est voisine de 100 MΩ − est branché aux bornes d’un élément modélisé
par le dipôle actif entouré en pointillés (Figure 2). A l’aide du théorème de Thévenin, calculer le très
faible courant I qui circule dans R.
-
+
I
R
Figure 2
2ème partie :
Etude d’un circuit en régime sinusoïdal forcé (~ 4 pts)
A
R
u (t)
R
C
L
L
s (t)
B
Figure 3
Le circuit de la Figure 3 comprend un générateur de tension sinusoïdale délivrant une tension
u (t ) = U cos(ω t ) avec U = 10 V. Le condensateur a une capacité C = 2,53 µF et la bobine une inductance
L = 10 mH. Les nœuds A et B constituent la sortie du circuit : elle peut être en circuit ouvert ou connectée à
un dipôle. On note s (t ) = S cos(ω t + φ ) la tension de sortie entre les nœuds A et B.
2
Les données sont : U, ω, C, L et R.
1. La sortie entre les nœuds A et B est en circuit ouvert.
Entre les nœuds A et B, le circuit est équivalent à une source de courant (générateur de Norton) délivrant
un courant i (t ) = I N cos(ω t + θ ) et d’admittance complexe YN = F + j G (on rappelle que l’admittance
est l’inverse de l’impédance).
1-a°) Déterminer littéralement les grandeurs suivantes : F, G (en raisonnant en terme d’admittance),
puis I N et θ et enfin S et φ. Pour simplifier les calculs, on propose d’utiliser pour cette question
le théorème de Norton.
1- b°) Pour une certaine fréquence f R appelée fréquence de résonance, S atteint un maximum
noté S M . Déterminer littéralement f R et SM et donner leur valeur numérique.
2. La sortie entre les nœuds A et B est connectée à un condensateur de capacité C’.
S passe par un maximum pour f R' = 700 Hz. Calculer C’.
3ème partie :
Générateur à influence (~ 10 pts)
Description du condensateur à quadrants (figure 4)
Un condensateur (C) est formé d’un demi-disque conducteur fixe (I) de rayon a et d’un demi-disque (T) de
rayon b < a, mobile en rotation autour de Oz, axe commun aux deux disques (figure 4). Les demi-disques
sont parallèles et distants de e.
On admettra que la capacité C de ce condensateur plan peut s’écrire :
ε 0b2
pour 0 < θ < π :
C=
(π − θ )
2e
ε 0b2
Pour π < θ < 2π : C =
(θ − π )
2e
Réalisation du générateur à influence (figure 5)
On utilise le condensateur (C) de la figure 4 dont la capacité est donnée par les équations ci-dessus.
Un moteur extérieur (jouant le rôle d’un opérateur) entraîne l’armature mobile (T), nommée transporteur, à
vitesse constante suffisamment lente pour considérer que l’effet Joule est négligeable.
L’armature fixe (I), nommée inducteur, est reliée à la borne (−) d’une source de tension continue V0 > 0
dont la borne (+) est reliée à la terre.
Un commutateur (cf. figure 5) lié mécaniquement à (T) permet de
– relier électriquement (T) à la terre (phase 1) ;
– isoler (T) (phase 2) ;
– relier électriquement (T) à l’armature (B) d’un condensateur (S) d’utilisation, de capacité CS dont la
seconde armature (A) est à la terre (phase 3).
VT , VI désignent les potentiels des armatures (T) et (I) du condensateur (C), U C = VT − VI leur différence
de potentiels et qT la charge portée par l’armature (T).
Conditions initiales :
- le condensateur (C) est déchargé
- la tension aux bornes du condensateur (S) est VB , cette tension VB est supposée connue.
3
Les résultats sont à exprimer en fonction des variables parmi : V0 , ε 0 , b, e, θ , k , CS, et q0 (q0 est défini à
la question 1).
On décompose un tour complet de l’armature (T) en trois phases.
Vous veillerez à remplir au fur et à mesure le tableau 1 à rendre avec votre copie avec les énergies
algébriquement reçues par les différentes parties du système (source de tension alimentant l’inducteur,
condensateur (C), moteur entraînant le transporteur, condensateur d’utilisation (S) ) pour chacune des
phases.
1. Phase 1 : l’armature (T) est reliée à la terre.
Pendant la phase 1 (à potentiel constant) : θ croît de π à 2π (attention : on commence à θ = π
et non 0).
- Exprimer U C et qT .
-
Calculer q0 , la valeur de qT pour θ = 2π (= 0 à 2π près).
-
Exprimer l’énergie électrostatique W1 (θ ) de (C).
-
Exprimer en fonction de V0 et q0 : la variation totale d’énergie ∆W1 de (C), l’énergie WS1 apportée
au système par la source et le travail WM 1 du moteur au cours de cette phase.
2. Phase 2 : l’armature (T) est isolée lorsque θ = 0.
Pendant la phase 2 (à charge constante) : θ croît de 0 à θ c < π , avec θ c valeur de θ pour
laquelle VT = VB .
- Donner la valeur du potentiel VI de l’inducteur (I).
- Exprimer qT , U C . Exprimer VT en fonction de θ et V0 .
-
Calculer θ c en fonction de VB puis montrer que θ c = π
k
où k est la constante définie par
1+ k
VB = kV0 .
-
Calculer en fonction de k , q0 et V0 la variation totale d’énergie ∆W2 de (C), l’énergie WS 2
apportée au système par la source et le travail WM 2 du moteur lors de cette phase.
3. Phase 3 : l’armature (T) est connectée à l’armature (B) de (S) lorsque θ = θ c .
Pendant la phase 3 : θ varie de θ c à π
-
Après avoir précisé la charge qTi de l’armature (T) et celle q Bi portée par l’armature (B) de (S)
-
lorsque θ = θ c , déterminer la charge portée par le conducteur central (T) ∪ (B) au début de la phase
3. Qu’advient-il de cette charge lors de la phase 3 ?
En fin de phase ( θ = π ), donner la valeur de la capacité de (C), puis déterminer les charges qTf sur
l’armature (T) et q Bf sur l’armature (B).
-
Déterminer en fonction de k , q0 , V0 et CS la variation d’énergie ∆W3 de (C), l’énergie WS 3
apportée au système par la source, la variation d’énergie ∆W3' de (S) et en déduire le travail WM 3 du
moteur lors de cette phase.
4. Bilan d’énergie sur un cycle complet
- Achever de compléter le tableau 1 avec les énergies algébriquement reçues par les différentes
parties du système. En déduire les bilans d’énergie pour chaque élément pour un cycle (dernière
ligne du tableau).
Commenter le bilan d’énergie du condensateur (S) sur un cycle complet.
Pourquoi le bilan d’énergie global sur un cycle complet est nul ?
4
Feuille séparée à rendre avec votre copie
Nom :
Prénom :
groupe :
θ
b
I
I
a
T
C=
ε 0 b2
2e
Oz
θ
Oz
(π − θ )
T
C=
ε 0b2
2e
(θ − π )
Figure 4 - Condensateur à quadrants dans deux positions : θ < π et θ > π
(A)
(S )
VB
(C )
UC
(B)
(3)
(2)
(1)
(T)
(I)
+
−
V0
Figure 5 – Schéma du générateur à influence
Source
(C)
(S)
Moteur
Phase 1
Phase 2
Phase 3
Bilan sur le
cycle complet
Tableau 1 : énergies reçues par les éléments
A COMPLETER et A RENDRE avec votre copie
5