DM n°10 - Physique

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DM n°10
Exercice 1 : Etude d'un capteur capacitif:
Ces capteurs utilisent un condensateur comme composant principal.
On rappelle qu'un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un
isolant électrique. Ici, l'isolant est de l'air, dont les propriétés électriques seront supposées
identiques à celle du vide (permittivité ε0).
1) Fonctionnement
On applique une tension U > 0 aux armatures du condensateur.
a- Effectuer un schéma figurant: le condensateur, la tension U (représentée par une
flèche) et les charges stockées (positives et négatives).
b- Rappeler la loi liant la charge Q du condensateur et la tension U.
2) Condensateur cylindrique
On considère un condensateur formé de deux armatures cylindriques coaxiales séparées par de
l'air, selon le schéma et la légende de la Fig. 2 a). L'armature interne porte une charge -Q et
l'externe une charge +Q; ces charges sont supposées uniformément réparties sur les surfaces.
Les données sont : les rayons R1 et R2; la permittivité ε0; la longueur L.
L est beaucoup plus grand que R2, de telle sorte que l'on peut adopter un modèle illimité.
a- Quel est le système de coordonnées spatiales le plus adapté ici ?
b- Déterminer, en justifiant qualitativement mais de manière précise, la direction, le sens
du champ électrostatique et les coordonnées dont dépend sont module.
c- Par application du théorème de Gauss, déterminer le champ en tout point de l'espace
en fonction de Q et des données.
Reproduire et compléter le tableau ci-dessous avec les expressions littérales dans
chaque zone de l'espace :
r
[0;R1[
]R1,R2[
]R2,∞[
‖𝐸
⃗
‖
d- En déduire le potentiel électrostatique V (on impose V = 0 sur l'armature intérieure),
puis la différence de potentiel entre l'armature externe et l'armature interne.
e- Déterminer CC0 la capacité du condensateur sous la forme CC0 = AC.Lf où Lf est la
longueur des portions de cylindre en regard (ici Lf = L). Expliciter AC en fonction
des données.

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f- L'armature intérieure du condensateur est susceptible de se déplacer d'une distance
algébrique x par rapport à sa position de référence, selon le schéma de la Fig. 2 b).
On rappelle que les charges se condensent sur les portions d'armatures en regard.
Déterminer l'expression littérale de la capacité CC(x) associée à une position x donnée
du cylindre intérieur en fonction de CC0, L et x.
g- Tracer l'allure de CC(x) en positionnant correctement les grandeurs remarquables
(pentes et valeurs sur les axes).
h- Dans la perspective de la mesure d'un déplacement x, quelles sont les différences
notables entre CP(x) et CC(x) ?
3) Montage potentiométrique
Les variations de capacité C(x) sous l'effet du déplacement de l'une des deux armatures doivent
être converties en tension de manière à pouvoir être traitées par un organe de décision ou
transmises à un circuit électronique. On envisage ici une solution utilisant le montage
potentiométrique de la Fig. 3, alimenté par la tension e(t) = E.cos(ωt).
On s'intéressera en particulier à la sensibilité du capteur, définie par la relation σY = dY/dx, où
Y représente la grandeur de sortie exploitée (amplitude U ou phase φ de la tension u(t)), dont
on souhaite idéalement qu'elle soit à la fois élevée et indépendante de x.
a- u(t) s'exprimant sous la forme u(t) = U.cos(ωt+φ), déterminer les expressions
littérales de U et φ en fonction de E, C, R et ω.
b- En déduire les sensibilités σU et σφ en fonction de C(x), dC/dx, R, E et ω.
c- On envisage ici l'insertion du condensateur cylindrique étudié en question 4) :
i. Indiquer, en justifiant votre réponse si les deux sensibilités σU et σφ
correspondantes sont ou non indépendantes de x.
ii. L'amplitude E de la tension d'entrée e(t) est susceptible de varier. Quelles sont
les conséquences respectives sur σU et σφ ?
iii. Laquelle des deux grandeurs de sortie U ou φ a-t-on finalement intérêt à exploiter
et pourquoi ?

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Exercice 2 : Calcul de champs magnétiques
Calcul du champ magnétique créé par un solénoïde infini.
Soit un solénoïde infini, d'axe Ox, dont la coupe est présentée figure 1, comportant n
spires par unité de longueur parcouru par un courant I. On suppose que l'on peut assimiler ces
n spires parcourues par le courant I, à un courant de densité volumique
j
uniforme, circulant
entre R1 et R2.
Figure n°1: Coupe du solénoïde infini
1. Rappeler le théorème d'Ampère, qui relie la circulation du champ magnétique sur un
contour fermé au courant traversant ce contour. Donner et démontrer l’équation locale qui lui
est associé.
2. Supposons, pour cette question, connu le champ sur l'axe Ox, d'intensité B0. En déduire, par
le Théorème d'Ampère, et en justifiant au préalable l'utilisation du contour ci-dessus (cf figure
n°1), l'expression du champ B, en fonction de B0 et des autres données du problème pour:
 r < R1
 R1 < r < R2
 r > R2.
3. Par un raisonnement physique, concernant la valeur du champ à une distance infinie de l'axe,
en déduire la valeur de B0 en fonction des données du problème. Reprendre les formules du
champ magnétique obtenues lors de la question précédente, et les exprimer en fonction des
données du problème.
4. Etablir la relation liant la norme du vecteur densité de courant j et l'intensité I. En déduire la
valeur du champ B0, à l'intérieur du solénoïde infini en fonction de n et I.
Calcul du champ magnétique créé par un câble coaxial.
On considère un câble coaxial cylindrique de longueur supposée infinie, constitué d’un
conducteur central plein de rayon R1 parcouru par un courant uniforme d’intensité I et d’un
conducteur périphérique évidé, de rayon intérieur R2, de rayon extérieur R3 (R1 < R2 < R3) et
parcouru par un courant uniforme également d’intensité I mais circulant en sens inverse au
courant du conducteur central.
.
R1
R2
R3
I
-I
𝒖
⃗
⃗
𝒛

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1. Donner, en la justifiant, la direction du champ magnétique 𝐵
⃗
ainsi que les variables
dont il dépend.
2. Préciser la forme des lignes de champ.
3. Montrer que le champ 𝐵
⃗
créé au point M est nul si r > R3. Expliquer alors l’intérêt du
câble coaxial par rapport au fil simple parcouru par un courant de même intensité.
4. Calculer les densités de courant 𝑗 1 et 𝑗 2 respectivement du conducteur central et du
conducteur périphérique en fonction de I et des rayons.
5. En séparant bien les différents cas, déterminer 𝐵
⃗
en tout point de l’espace. Dessiner le
graphe de la fonction B(r).