Induction

TPC2 TD Électromagnétisme
Induction
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Exercice no1 : Barre en mouvement sur deux rails (1)
Sur deux rails conducteurs horizontaux (H)et (H0), distants de a, glisse sans frottement une barre métal-
lique de masse m, soumise à l’action d’un champ magnétique vertical uniforme ~ B.(H)et (H0)sont reliés
à un circuit de résistance totale R, comprenant un générateur (S)de fém Eet un condensateur (C).
À l’instant initial, la barre étant immobile et le condensateur non chargé, on ferme l’interrupteur K.
Établir les expressions de la vitesse v(t)de la barre et de la charge q(t)du condensateur.
Exercice no2 : Rails de Laplace verticaux
Une tige conductrice de longueur a, de masse met de résistance Reffectue un mouvement de translation
le long de la verticale descendante (Oy)en restant parallèle à une direction horizontale (Ox), fermant un
circuit vertical d’inductance L. L’ensemble est placé dans le champ magnétique permanent uniforme B. À
t= 0 la tige est abandonnée sans vitesse.
1 – Écrire les équations électrique et mécanique. En déduire une unique équation traduisant un bilan de
puissance, l’interpréter.
2 – Obtenir une équation pour la seule variable i. Quel est l’état du système (courant,vitesse) pour un
temps "assez grand" ? Quel est l"état obtenu pour une résistance négligeable ?
Exercice no3 : Roue de Barlow
Une roue de Barlow de rayon aet de moment d’inertie Jest lancée à la vitesse
angulaire ω0.
La résistance totale du circuit est R.
1 – Calculer i(t)et ω(t).
2 – Écrire le bilan énergétique.
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Exercice no4 : Déplacement d’un cadre conducteur
Un cadre conducteur de côtés a, de résistance totale R, se déplace selon (Ox)à
la vitesse constante ~v =v~uxdans un champ magnétique permanent n’existant
qu’au-delà de x= 0, région où il est uniforme : ~ B=B0~uz.
Déterminer en fonction de l’abscisse xdu côté avant du cadre le courant induit et la force totale s’exerçant
sur lui. On néglige l’auto-induction. On peut utiliser au choix la loi de Faraday, la circulation du champ
(~vΛ~ B)ou des considérations énergétiques.
Exercice no5 : Cadre en mouvement dans un champ inhomogène
Le cadre carré, de masse m, de résistance Ret de côté a, se déplace verticalement dans
un champ magnétique ~ B= (B0−bz)~uy.
À l’équilibre, le centre du cadre est à la côte z0. On le lâche de la position z0+Z0sans
vitesse initiale.
1 – Établir l’équation du mouvement et la résoudre.
2 – Effectuer un bilan énergétique entre les instants tet t+dt.
Exercice no6 : Freinage par induction
Une spire carrée de côté a, de masse m, tombe dans le champ de pesanteur ~g =g~ux.
Dans le demi-espace x > 0règne le champ magnétique uniforme et permanent ~ B=B0~uz.
À l’instant t= 0, la spire se trouve dans la situation représentée sur la figure précédente, sa vitesse est
~v =v0~ux, son côté inférieur est en x= 0.
1 – Montrer que le mouvement ultérieur de la spire reste une translation verticale selon l’axe (Ox).
2 – Soit Rla résistance de la spire. Déterminer la vitesse v(t)de la spire.
3 – La spire a maintenant une résistance nulle (spire supraconductrice) et on note Lson inductance
propre. Reprendre l’étude précédente et préciser la condition d’oscillation de la spire.
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Exercice no7 : courants de Foucault
On considère un cylindre conducteur d’axe (Oz), de rayon aet de hauteur h. La conductivité du matériau
est γ, sa perméabilité magnétique est µ0. On se place en coordonnées cylindriques d’axe (Oz). L’ensemble
est placé dans un champ magnétique d’origine extérieure ~ B=B0cos(2πft)~uz. On est dans le cadre de
l’ARQS.
1 – Analyser qualitativement le phénomène. Quel type de dispositif peut produire le champ magnétique
proposé ?
2 – On admet que, du fait des symétries du problème, les lignes de courant sont des cercles d’axe (Oz).
On néglige le champ propre du cylindre conducteur. Exprimer la fém induite le long d’une ligne de
courant de rayon r.
3 – Déterminer l’expression de la densité volumique des courants induits.
4 – Déterminer la puissance dissipée par ces courants induits. Commenter l’influence de la fréquence.
Exercice no8 : Étude de courants de Foucault
À l’intérieur d’un solénoïde de grande longueur, d’axe (Oz)et de rayon a, comportant nspires par unité
de longueur et parcourues par un courant alternatif I(t) = I0cos(ωt), on a disposé un barreau cylindrique
conducteur de rayon égal à a, de conductivité σ, de longueur h.σ= 6.107S.m−1et f= 50 Hz. On
rappelle le champ créé par un solénoïde : ~ B=µ0nI(t)~uz.
1 – Déterminer la densité de courants de Foucault ~ jinduits dans le barreau conducteur. On peut par
exemple appliquer la loi de Faraday à une spire élémentaire de conducteur, représentée par un tore
d’axe (Oz)de longueur dz, compris entre ret r+dr.
On néglige le champ magnétique propre créé par ces courants.
2 – Exprimer la puissance moyenne dP dissipée par effet Joule dans le volume de conducteur décrit au
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3 – En déduire la puissance Pdissipée dans le barreau.
4 – Exprimer le champ magnétique propre créé par les courants de Foucault, ainsi que sa valeur maxi-
male : à quelle condition portant sur a peut-on le négliger ? A.N.
Ne te fie pas à tes yeux. Tout ce qu’ils te montrent, ce sont des limites, les tiennes.
Regarde avec ton esprit, découvre ce dont d’ores et déjà tu as la conviction
et tu trouveras la voie de l’envol...
Richard Bach. Jonathan Livingston le goëland.
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