Induction

TPC2
TD Électromagnétisme
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Induction
Exercice no 1 : Barre en mouvement sur deux rails (1)
Sur deux rails conducteurs horizontaux (H) et (H 0 ), distants de a, glisse sans frottement une barre métal~ (H) et (H 0 ) sont reliés
lique de masse m, soumise à l’action d’un champ magnétique vertical uniforme B.
à un circuit de résistance totale R, comprenant un générateur (S) de fém E et un condensateur (C).
À l’instant initial, la barre étant immobile et le condensateur non chargé, on ferme l’interrupteur K.
Établir les expressions de la vitesse v(t) de la barre et de la charge q(t) du condensateur.
Exercice no 2 : Rails de Laplace verticaux
Une tige conductrice de longueur a, de masse m et de résistance R effectue un mouvement de translation
le long de la verticale descendante (Oy) en restant parallèle à une direction horizontale (Ox), fermant un
circuit vertical d’inductance L. L’ensemble est placé dans le champ magnétique permanent uniforme B. À
t = 0 la tige est abandonnée sans vitesse.
1 – Écrire les équations électrique et mécanique. En déduire une unique équation traduisant un bilan de
puissance, l’interpréter.
2 – Obtenir une équation pour la seule variable i. Quel est l’état du système (courant,vitesse) pour un
temps "assez grand" ? Quel est l"état obtenu pour une résistance négligeable ?
Exercice no 3 : Roue de Barlow
Une roue de Barlow de rayon a et de moment d’inertie J est lancée à la vitesse
angulaire ω0 .
La résistance totale du circuit est R.
1 – Calculer i(t) et ω(t).
2 – Écrire le bilan énergétique.
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Exercice no 4 : Déplacement d’un cadre conducteur
Un cadre conducteur de côtés a, de résistance totale R, se déplace selon (Ox) à
la vitesse constante ~v = v~ux dans un champ magnétique permanent n’existant
~ = B0~uz .
qu’au-delà de x = 0, région où il est uniforme : B
Déterminer en fonction de l’abscisse x du côté avant du cadre le courant induit et la force totale s’exerçant
sur lui. On néglige l’auto-induction. On peut utiliser au choix la loi de Faraday, la circulation du champ
~ ou des considérations énergétiques.
(~v ΛB)
Exercice no 5 : Cadre en mouvement dans un champ inhomogène
Le cadre carré, de masse m, de résistance R et de côté a, se déplace verticalement dans
~ = (B0 − bz)~uy .
un champ magnétique B
À l’équilibre, le centre du cadre est à la côte z0 . On le lâche de la position z0 + Z0 sans
vitesse initiale.
1 – Établir l’équation du mouvement et la résoudre.
2 – Effectuer un bilan énergétique entre les instants t et t + dt.
Exercice no 6 : Freinage par induction
Une spire carrée de côté a, de masse m, tombe dans le champ de pesanteur ~g = g~ux .
~ = B0~uz .
Dans le demi-espace x > 0 règne le champ magnétique uniforme et permanent B
À l’instant t = 0, la spire se trouve dans la situation représentée sur la figure précédente, sa vitesse est
~v = v0~ux , son côté inférieur est en x = 0.
1 – Montrer que le mouvement ultérieur de la spire reste une translation verticale selon l’axe (Ox).
2 – Soit R la résistance de la spire. Déterminer la vitesse v(t) de la spire.
3 – La spire a maintenant une résistance nulle (spire supraconductrice) et on note L son inductance
propre. Reprendre l’étude précédente et préciser la condition d’oscillation de la spire.
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Exercice no 7 : courants de Foucault
On considère un cylindre conducteur d’axe (Oz), de rayon a et de hauteur h. La conductivité du matériau
est γ, sa perméabilité magnétique est µ0 . On se place en coordonnées cylindriques d’axe (Oz). L’ensemble
~ = B0 cos(2πf t)~uz . On est dans le cadre de
est placé dans un champ magnétique d’origine extérieure B
l’ARQS.
1 – Analyser qualitativement le phénomène. Quel type de dispositif peut produire le champ magnétique
proposé ?
2 – On admet que, du fait des symétries du problème, les lignes de courant sont des cercles d’axe (Oz).
On néglige le champ propre du cylindre conducteur. Exprimer la fém induite le long d’une ligne de
courant de rayon r.
3 – Déterminer l’expression de la densité volumique des courants induits.
4 – Déterminer la puissance dissipée par ces courants induits. Commenter l’influence de la fréquence.
Exercice no 8 : Étude de courants de Foucault
À l’intérieur d’un solénoïde de grande longueur, d’axe (Oz) et de rayon a, comportant n spires par unité
de longueur et parcourues par un courant alternatif I(t) = I0 cos(ωt), on a disposé un barreau cylindrique
conducteur de rayon égal à a, de conductivité σ, de longueur h. σ = 6.107 S.m−1 et f = 50 Hz. On
~ = µ0 nI(t)~uz .
rappelle le champ créé par un solénoïde : B
1 – Déterminer la densité de courants de Foucault ~j induits dans le barreau conducteur. On peut par
exemple appliquer la loi de Faraday à une spire élémentaire de conducteur, représentée par un tore
d’axe (Oz) de longueur dz, compris entre r et r + dr.
On néglige le champ magnétique propre créé par ces courants.
2 – Exprimer la puissance moyenne dP dissipée par effet Joule dans le volume de conducteur décrit au
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3 – En déduire la puissance P dissipée dans le barreau.
4 – Exprimer le champ magnétique propre créé par les courants de Foucault, ainsi que sa valeur maximale : à quelle condition portant sur a peut-on le négliger ? A.N.
Ne te fie pas à tes yeux. Tout ce qu’ils te montrent, ce sont des limites, les tiennes.
Regarde avec ton esprit, découvre ce dont d’ores et déjà tu as la conviction
et tu trouveras la voie de l’envol...
Richard Bach. Jonathan Livingston le goëland.
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