TP9(30/3)

9. Exercises TP9, 30 mars 2017
Exercice 9.1.(i) Démontrez que si on choisit sept entiers dans les dix premiers nombres entiers
positifs, il doit y avoir au moins deux paires de ces entiers dont la somme est 11.
(ii) La conclusion de (i) est-elle vraie si six entiers sont sélectionnés plutôt que sept ? Donner
preuve ou contre-exemple.
Exercice 9.2.(i) Chaque utilisateur d’un ordinateur a un mot de passe ayant de six à huit caractères,
où chaque caractère est une lettre majuscule ou un chiffre. Chaque mot de passe contient au moins
un chiffre. Combien y at-t-il de possibilités de mots de passe ?
(ii) Combien de chaînes binaires de longueur huit (c-à-d. éléments de {0,1}8) commencent par
1ou se terminent par 00 ?
(iii) Énumérer systématiquement toutes les chaînes binaires de longueur quatre qui ne comportent
pas deux 1consécutifs ?
(iv) Combien de chaînes binaires contiennent exactement huit 0et dix 1, si chaque 0doit être
immédiatement suivi d’un 1?
(v) Combien de chaînes ternaires (suites en 0,1,2) de longueur 10 contiennent exactement deux
0, trois 1et cinq 5?
Exercice 9.3.Combien de sous-ensembles avec un nombre impair d’éléments un ensemble de 10
éléments a-t-il?
Exercice 9.4.L’alphabet anglais contient 21 consonnes et 5voyelles. Combien de mots de longueur
6(c.-à-d. chaînes ou suites de longueur 6de lettres) de cet alphabet contiennent
(i) exactement 1voyelle;
(ii) exactement 2voyelles;
(iii) au moins 1voyelle;
(iv) au moins 2voyelles;
(v) la lettre a;
(vi) les lettres aet b;
(vii) les lettres aet bde façon consécutive lorsque toutes les lettres dans le mot sont distincts;
(viii) les lettres aet b, alors que ase trouve quelque part à droite de bdans le mot et que toutes
les lettres sont distincts.
Exercice 9.5.(i) Soit Eun ensemble fini avec néléments et soit 0≤k≤r≤n. Combien de
sous-ensembles Aet Bexiste-t-il tels que A⊂B⊂Eet |A|=k, |B|=r.
(ii) Utiliser le problème de comptage en (i) pour montrer l’identité
C(n, r)·C(r, k) = C(n, k)·C(n−k, r −k)
lorsque n, r sont des nombres naturels avec
r≤net k≤r
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