TP9(30/3)

9. Exercises TP9, 30 mars 2017
Exercice 9.1. (i) Démontrez que si on choisit sept entiers dans les dix premiers nombres entiers
positifs, il doit y avoir au moins deux paires de ces entiers dont la somme est 11.
(ii) La conclusion de (i) est-elle vraie si six entiers sont sélectionnés plutôt que sept ? Donner
preuve ou contre-exemple.
Exercice 9.2. (i) Chaque utilisateur d’un ordinateur a un mot de passe ayant de six à huit caractères,
où chaque caractère est une lettre majuscule ou un chiffre. Chaque mot de passe contient au moins
un chiffre. Combien y at-t-il de possibilités de mots de passe ?
(ii) Combien de chaînes binaires de longueur huit (c-à-d. éléments de {0, 1}8 ) commencent par
1 ou se terminent par 00 ?
(iii) Énumérer systématiquement toutes les chaînes binaires de longueur quatre qui ne comportent
pas deux 1 consécutifs ?
(iv) Combien de chaînes binaires contiennent exactement huit 0 et dix 1, si chaque 0 doit être
immédiatement suivi d’un 1 ?
(v) Combien de chaînes ternaires (suites en 0, 1, 2) de longueur 10 contiennent exactement deux
0, trois 1 et cinq 5 ?
Exercice 9.3. Combien de sous-ensembles avec un nombre impair d’éléments un ensemble de 10
éléments a-t-il?
Exercice 9.4. L’alphabet anglais contient 21 consonnes et 5 voyelles. Combien de mots de longueur
6 (c.-à-d. chaînes ou suites de longueur 6 de lettres) de cet alphabet contiennent
(i) exactement 1 voyelle;
(ii) exactement 2 voyelles;
(iii) au moins 1 voyelle;
(iv) au moins 2 voyelles;
(v) la lettre a;
(vi) les lettres a et b;
(vii) les lettres a et b de façon consécutive lorsque toutes les lettres dans le mot sont distincts;
(viii) les lettres a et b, alors que a se trouve quelque part à droite de b dans le mot et que toutes
les lettres sont distincts.
Exercice 9.5. (i) Soit E un ensemble fini avec n éléments et soit 0 ≤ k ≤ r ≤ n. Combien de
sous-ensembles A et B existe-t-il tels que A ⊂ B ⊂ E et |A| = k, |B| = r.
(ii) Utiliser le problème de comptage en (i) pour montrer l’identité
C(n, r) · C(r, k) = C(n, k) · C(n − k, r − k)
lorsque n, r sont des nombres naturels avec
r ≤ n et k ≤ r
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