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Mathématiques HEP1 1
SERIE 3
Exercice 1
Tirer de Mathématiques 9-10-11
Exercice 2
Révision
a) Donner tous les diviseurs de 36, puis de 54.
D36 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36}
} et D54 : {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54}
}
Quels sont les diviseurs communs que vous trouvez dans les deux ensembles ? D18 : {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18}
}
Quel est le plus grand diviseur commun (PGDC) de 36 et 54 : 18
b) Donner les 10 premiers multiples de 6, puis de 8.
M6 : {6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 ; 60…}
M8 : {8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; 80…}
Quels sont les multiples communs que vous trouvez dans les deux ensembles ? 24 ; 48 ; …
Quel est le plus petit multiple commun (PPMC) de 6 et 8 ? 24
Exercice 3
Ex 13 de 6ème (8èmeH)
Ils partent ensemble 8 fois dans la journée : toutes les 90 min = ppmc(10;15;18) .
Premier départ 07h00, dernier départ 17h30.
Si on admet qu’un départ est possible à19h00, cela ferait 9 fois dans la journée !
Exercice 4
Ex 12 de 6ème (8èmeH)
Intervalle maximum : 64 m (pgdc de 256 et 320)
Exercice 5
Quels chiffres, donner toutes les possibilités, peut-on mettre à la place des points
pour que le nombre
a) 874 . soit divisible par 5 : 0 ; 5
b) 324 . soit divisible par 6 : 0 ; 6
c) 144 . soit divisible par 9 : 0 ; 9
d) 7 . 4 soit divisible par 4 : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
e) 1 . 2 .soit divisible par 5 et par 9: 1620 et 1125 f) 32 . 5soit divisible par 3 mais pas par 9. : 2 ; 5
Exercice 6
Décompose ces nombres en produits de facteurs premiers les nombres suivants:
3. .
120 = 2 3 5
180 = 22 . 32 . 5
117 = 32 . 13
100 = 22 . 52
2.
.
2. 2. 2.
pgdc (120 ; 180) = 2 3 5 = 60
ppmc (117 ; 100) = 2 3 5 13 = 117000
pgdc (180 ; 117) = 32 = 9
ppmc (100 ; 120) = 23 . 3 . 52 = 600
Montrer, sur un exemple, la relation : m . n = PGDC(m;n) . PPMC(m;n)
m = 120 ; n = 100 ; PGDC(m;n) = 22 . 5 = 20 ; PPMC (100 ; 120) = 22 . 3 . 52 = 600
alors : 120 . 100 = 20 . 600
Mathématiques HEP1 2
SERIE 3
Exercice 7
Donner tous les diviseurs de 56 et de 84 et trouver le pgdc de 56 et 84
} et D84 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84}
}
D56 : {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56}
Utiliser la méthode de la soustraction pour trouver le pgdc de 56 et 84
Utiliser la méthode de la division pour trouver le pgdc de 56 et 84
84 – 56 = 28
84 : 56 = 1 . 56 + 28
56 – 28 = 28
56 : 28 = 2 . 28 + 0
28 – 28 = 0
PGDC(56 ; 84) = 28
PGDC(56 ; 84) = 28
Exercice 8
Expliquer, par des calculs et des phrases, comment fonctionnent les critères de
divisibilité par 4 ; par 9.
Les nombres de plus de deux chiffres peuvent se décomposer en une somme de deux nombres :
Ex : 856 = 800 + 56 -- 1235689 = 1235600 + 89 -- 5678 = 5600 + 78
Comme 100 est divisible par 4 tous les premiers nombres le sont aussi ; il suffit donc de regarder
si les deux derniers chiffres forment un nombre qui est un multiple de 4. (Ex : 856 ∈ M4)
4786 = 4000 + 700 + 80 + 6
4786 = 4 . 1000 + 7 . 100 + 8 . 10 + 6
4786 = 4 . (999 + 1) + 7 . (99 + 1) + 8 . (9 + 1) + 6
4786 = 4 . 999 + 4 + 7 . 99 + 7 + 8 . 9 + 8 + 6
4786 = 4 . 999 + 7 . 99 + 8 . 9 + 4 + 7 + 8 + 6 comme 999, 99, 9 sont divisibles par 9, il ne reste
plus qu'à vérifier si la somme 4 + 7 + 8 + 6 est divisible par 9.
Exercice 9
Un menuisier désire construire un escalier composé de deux parties, l’une de
2,88 m de hauteur, l’autre de 3,52 m de hauteur.
Détermine la hauteur exacte de chaque marche et le nombre total de marches.
(Donner une réponse plausible !)
On cherche les diviseurs communs de 288cm et 352cm : D32 : {1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32}
Les marches auront 16 cm de hauteur et il y en aura 40 (18 + 22).
Exercice 10
Montrer, d'abord à l'aide d'exemples chiffrés puis à l'aide de lettres, si le produit
a) de deux nombres pairs est un nombre pair.
b) de deux nombres impairs est un nombre impair.
8 . 12 = 84
7 . 9 = 63
.
2n 2m = 4 nm = 2 . 2mn
(2n + 1) . (2m + 1) = 4 nm + 2n + 2m + 1
(pair)
(pair) (pair) (pair)
c) d'un nb. pair par un nb. impair est un nombre pairs. d) d'un nombre et de son inverse vaut 1.
8 . 7 = 56
10 . 0,1= 1
2n . (2m + 1) = 4 nm + 2n
n.
=1
(pair) (pair)
Exercice 11
Deux nombres, m et n, sont écrits sous forme de produits de nombres premiers :
m = 2 · 3 · 5 et n = 22 · 5 · 7. Réponds aux questions suivantes sans calculer m et n.
a) 20 est-il diviseur de n?
b) 6 est-il diviseur de m?
oui car 22 · 5
oui car 2 · 3
c) 10 est-il diviseur de n?
d) Quel est le pgdc de m et de n?
oui car 2 · 5
pgdc ( m ; n ) = 2 · 5
e) Quel est le ppmc de m et de n?
f) Duquel des deux nombres 4 est-il diviseur?
ppmc ( m ; n ) = 22 · 3 . 5 · 7
de n car 22 = 4
g) Duquel des deux nombres 15 est-il diviseur?
de m car 3 · 5 = 15