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Mathématiques HEP1
SERIE 3
1
Exercice 1 Tirer de Mathématiques 9-10-11
Les nombres premiers ne se trouvent que dans les colonnes du 1 et du 5,
sauf pour la première ligne à cause du 2 et du 3.
Ceci est dû au fait que les colonnes du 2, du 4 et du 6 contiennent des nombres pairs,
et que celle du 3 contient des multiples de 3.
Exercice 2 Révision
a) Donner tous les diviseurs de 36, puis de 54.
D
36
: {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36} et D
54
: {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54}
Quels sont les diviseurs communs que vous trouvez dans les deux ensembles ? D
18
: {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18}
Quel est le plus grand diviseur commun (PGDC) de 36 et 54 : 18
b) Donner les 10 premiers multiples de 6, puis de 8.
M
6
: {6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 ; 60…}
M
8
: {8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; 80…}
Quels sont les multiples communs que vous trouvez dans les deux ensembles ? 24 ; 48 ; …
Quel est le plus petit multiple commun (PPMC) de 6 et 8 ? 24
Exercice 3 Ex 13 de 6
ème
(8
ème
H)
Ils partent ensemble 8 fois dans la journée : toutes les 90 min qui est le ppmc(10;15;18) .
Premier départ 07h00, dernier départ 17h30.
Si on admet qu’un départ est possible à 19h00, cela ferait 9 fois dans la journée !
Ex 12 de 6
ème
(8èmeH)
Intervalle maximum : 64 m (pgdc de 256 et 320)
Exercice 4
la solution est 2 ans – 6 ans – 8 ans.
Exercice 5 Quels chiffres, donner toutes les possibilités, peut-on mettre à la place des points
pour que le nombre
a) 874 . soit divisible par 5 : 0 ; 5 b) 324 . soit divisible par 6 : 0 ; 6
c) 144 . soit divisible par 9 : 0 ; 9 d) 7 . 4 soit divisible par 4 : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
e) 1 . 2 .soit divisible par 5 et par 9: 1620 et 1125 f) 32 . 5soit divisible par 3 mais pas par 9. : 2 ; 5
Exercice 6 Décompose ces nombres en produits de facteurs premiers les nombres suivants:
120 = 2
3 .
3
.
5 180 = 2
2 .
3
2 .
5 117 = 3
2 .
13 100 = 2
2 .
5
2
pgdc (120 ; 180) = 2
2 .
3
.
5 = 60 ppmc (117 ; 100) = 2
2 .
3
2 .
5
2 .
13 = 117000
pgdc (180 ; 117) = 3
2
= 9 ppmc (100 ; 120) = 2
3 .
3
.
5
2
= 600
Montrer, sur un exemple, la relation : m
.
n = PGDC(m;n)
.
PPMC(m;n)
m = 120 ; n = 100 ; PGDC(m;n) = 2
2 .
5 = 20 ; PPMC (100 ; 120) = 2
2 .
3
.
5
2
= 600
alors : 120
.
100 = 20
.
600

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SERIE 3
2
Exercice 7 Donner tous les diviseurs de 56 et de 84 et trouver le pgdc de 56 et 84
D
56
: {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56} et D
84
: {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84}
Utiliser la méthode de la soustraction pour trouver le pgdc de 56 et 84
Utiliser la méthode de la division pour trouver le pgdc de 56 et 84
84 – 56 = 28 84 : 56 = 1
.
56 + 28
56 – 28 = 28 56 : 28 = 2
.
28 + 0
28 – 28 = 0 PGDC(56 ; 84) = 28
PGDC(56 ; 84) = 28
Exercice 8 Expliquer, par des calculs et des phrases, comment fonctionnent les critères de
divisibilité par 4 ; par 9.
Les nombres de plus de deux chiffres peuvent se décomposer en une somme de deux nombres :
Ex : 856 = 800 + 56 -- 1235689 = 1235600 + 89 -- 5678 = 5600 + 78
Comme 100 est divisible par 4 tous les premiers nombres le sont aussi ; il suffit donc de regarder
si les deux derniers chiffres forment un nombre qui est un multiple de 4. (Ex : 856 ∈ M
4
)
4786 = 4000 + 700 + 80 + 6
4786 = 4
.
1000 + 7
.
100 + 8
.
10 + 6
4786 = 4
.
(999 + 1) + 7
.
(99 + 1) + 8
.
(9 + 1) + 6
4786 = 4
.
999 + 4 + 7
.
99 + 7 + 8
.
9 + 8 + 6
4786 = 4
.
999 + 7
.
99 + 8
.
9 + 4 + 7 + 8 + 6 comme 999, 99, 9 sont divisibles par 9, il ne reste
plus qu'à vérifier si la somme 4 + 7 + 8 + 6 est divisible par 9.
Exercice 9 Un menuisier désire construire un escalier composé de deux parties, l’une de
2,88 m de hauteur, l’autre de 3,52 m de hauteur.
Détermine la hauteur exacte de chaque marche et le nombre total de marches.
(Donner une réponse plausible !)
On cherche les diviseurs communs de 288cm et 352cm : D
32
: {1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32}
Les marches auront 16 cm de hauteur et il y en aura 40 (18 + 22).
Exercice 10 Montrer, d'abord à l'aide d'exemples chiffrés puis à l'aide de lettres, si le produit
a) de deux nombres pairs est un nombre pair. b) de deux nombres impairs est un nombre impair.
8
.
12 = 84 7
.
9 = 63
2n
.
2m = 4 nm = 2 . 2mn (2n + 1)
.
(2m + 1) = 4 nm + 2n + 2m + 1
(pair) (pair) (pair) (pair)
c) d'un nb. pair par un nb. impair est un nombre pairs. d) d'un nombre et de son inverse vaut 1.
8
.
7 = 56 10
.
0,1= 1
2n
.
(2m + 1) = 4 nm + 2n n
.
= 1
(pair) (pair)
Exercice 11 Deux nombres, m et n, sont écrits sous forme de produits de nombres premiers :
m = 2 · 3 · 5 et n = 2
2
· 5 · 7. Réponds aux questions suivantes sans calculer m et n.
a) 20 est-il diviseur de n? b) 6 est-il diviseur de m?
oui car 2
2
· 5 oui car 2 · 3
c) 10 est-il diviseur de n? d) Quel est le pgdc de m et de n?
oui car 2 · 5 pgdc ( m ; n ) = 2 · 5
e) Quel est le ppmc de m et de n? f) Duquel des deux nombres 4 est-il diviseur?
ppmc ( m ; n ) = 2
2
· 3
.
5 · 7 de n car 2
2
= 4
g) Duquel des deux nombres 15 est-il diviseur?
de m car 3 · 5 = 15