CHAPITRE 2 : NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS Objectifs : • [3.210] Trouver tous les diviseurs d'un nombre entier naturel. • [3.211] Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux nombres entiers (soustractions, Euclide) • [3.212] Calculer le PGCD de deux nombres entiers. • [3.213] Déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux (notion de PGCD) • [3.214] Simplifier une fraction pour la rendre irréductible • [3.215] Effectuer des calculs simples (une seule opération) avec des fractions. • [3.216] Effectuer des calculs complexes (plusieurs opérations) avec des fractions. I. Rappels Vocabulaire à connaître : a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a=b×k (ou a ÷ b=k ) où k est un entier naturel. On dit que : ou a est un multiple de b ou a est divisible par b ou b est un diviseur de a b divise a . Définition : Effectuer la division euclidienne de a par b , c'est trouver deux entiers naturels q et r tels que : a= b× q r avec r b . a b q r est appelé le dividende, le diviseur, le quotient, le reste de cette division euclidienne. II. Plus Grand Diviseur Commun Définitions : Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Le PGCD de deux nombres entiers est leur Plus Grand Diviseur Commun. Exemples : * 2 est un diviseur commun à 6 et à 10. * les nombres 12 et 18 ont pour diviseurs communs 1, 2, 3 et 6 ; le plus grand d'entre eux est 6 ; on dit que 6 est le PGCD de 12 et 18. C'est l'Algorithme d'Euclide qui permet de trouver le plus rapidement le PGCD de deux nombres : Méthode des soustractions successives On a deux nombres a et b avec a > b On a deux nombres a et b avec a > b On calcule la différence (d) de a et de b non d=0? Méthode des divisions successives On calcule le reste (r) de la division de a par b si b < d a prend la valeur de d sinon a prend la valeur de b b prend la valeur de d oui PGCD = b r=0? non a prend la valeur de b b prend la valeur de r oui PGCD = b III.Fractions irréductibles Définition : Deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Propriété : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemples : 14 • est une fraction irréductible car 14 et 11 sont premiers entre eux. 11 34 • n'est pas une fraction irréductible : le PGCD de 34 et 28 est 2, en simplifiant par 2, on a : 28 34 17 = 28 14