CHAPITRE 2 : NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS

CHAPITRE 2 : NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
Objectifs :
•[3.210] Trouver tous les diviseurs d'un nombre entier naturel.
•[3.211] Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux nombres entiers (soustractions,
Euclide)
•[3.212] Calculer le PGCD de deux nombres entiers.
•[3.213] Déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux (notion de PGCD)
•[3.214] Simplifier une fraction pour la rendre irréductible
•[3.215] Effectuer des calculs simples (une seule opération) avec des fractions.
•[3.216] Effectuer des calculs complexes (plusieurs opérations) avec des fractions.
I. Rappels
Vocabulaire à connaître :
a
et
b
sont deux entiers naturels non nuls tels que
a=b×k
(ou
a÷b=k
) où
k
est un entier naturel. On dit
que :
a
est un multiple de
b
ou
a
est divisible par
b
ou
b
est un diviseur de
a
ou
b
divise
a
.
Définition : Effectuer la division euclidienne de
a
par
b
, c'est trouver deux entiers naturels
q
et
r
tels
que :
a=b×qr
avec
rb
.
a
est appelé le dividende,
b
le diviseur,
q
le quotient,
r
le reste de cette division euclidienne.
II. Plus Grand Diviseur Commun
Définitions :
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux.
Le PGCD de deux nombres entiers est leur Plus Grand Diviseur Commun.
Exemples :
* 2 est un diviseur commun à 6 et à 10.
* les nombres 12 et 18 ont pour diviseurs communs 1, 2, 3 et 6 ; le plus grand d'entre eux est 6 ; on dit que 6 est
le PGCD de 12 et 18.

C'est l'Algorithme d'Euclide qui permet de trouver le plus rapidement le PGCD de deux nombres :
Méthode des soustractions successives Méthode des divisions successives
III.Fractions irréductibles
Définition : Deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Propriété : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre
eux.
Exemples :
•
14
11
est une fraction irréductible car 14 et 11 sont premiers entre eux.
•
34
28
n'est pas une fraction irréductible : le PGCD de 34 et 28 est 2, en simplifiant par 2, on a :
34
28=17 14
On a deux nombres a et b
avec a > b
On calcule le reste (r) de
la division de a par b
r = 0 ? a prend la valeur de b
b prend la valeur de r
PGCD = b
oui
non
On a deux nombres
a et b avec a > b
On calcule la différence (d)
de a et de b
d = 0 ?
si b < d
a prend la valeur de d
sinon
a prend la valeur de b
b prend la valeur de d
PGCD = b
oui
non