dm - le produit de cinq nombres entiers consecutifs n`est pas

DM - LE PRODUIT DE CINQ NOMBRES
ENTIERS CONSECUTIFS
N’EST PAS UN CARRE
Soit a1,...,a5, tels que ai=a1+ (i−1), cinq nombres entiers consécutifs strictement positifs. On va
démontrer que le nombre
X=√a1a2a3a4a5
ne peut être entier.
Préliminaires
Etudions pour commencer les valeurs prises par la différence A2−B2lorsque Aet Bsont des entiers
strictement positifs.
A2−B2= 1
On aurait
A−B=A+B= 1
et donc A= 1 et B= 0, ce qui est impossible.
A2−B2= 2
On aurait
A+B= 2 et A−B= 1 .
Les solutions de ce système ne sont pas entières, donc l’équation n’a pas de solution.
A2−B2= 3
Cette fois
A+B= 3 et A−B= 1
et le système a pour unique solution A= 2 et B= 1.
A2−B2= 4
On aurait soit
A+B= 4 et A−B= 1
et les solutions de ce système ne sont pas entières, soit
A+B=A−B= 2

DM 2
qui a comme unique solution A= 2 et B= 0, ce qui est impossible.
Démonstration
Nous supposons par l’absurde que l’on a
a1a2a3a4a5=X2
avec Xentier.
Si pest un facteur premier de Xqui divise deux nombres distincts aiet aj, alors pdivise le nombre
|ai−aj|qui est inférieur ou égal à 4. Il en résulte que p= 2 ou p= 3.
Les autres facteurs premiers de Xdivise un seul des nombres ai. Dons si pkdivise X, alors p2kdivise
ce nombre ai. Il en résulte que les nombres aisont de la forme
ai= 2αi3βik2
i.
On va étudier les situations possibles, suivant la place dans la liste du nombre aidivisible par 6.
1) Aucun des nombres ain’est divisible par 6.
Dans ce cas a1−1et a5+ 1 sont divisibles par 6. Alors a5et a1ne sont divisibles ni par 2, ni par 3.
Donc ce sont des carrés. On en déduit
a5−a1= 4 = A2−B2,
ce qui est impossible.
2) Un nombre ai, où i∈ {2,3,4}est divisible par 6.
Alors ai−1et ai+1 ne sont divisibles ni par 2, ni par 3. Donc ce sont des carrés. On en déduit
ai+1 −ai−1= 2 = A2−B2,
ce qui est impossible.
3) Le nombre a1est divisible par 6.
Alors a2est un carré, et les nombres a3et a5sont soit des carrés, soit le double d’un carré.
– Si a3est un carré, comme a2est un carré, on a
a3−a2= 1 = A2−B2,
ce qui est impossible.

DM 3
– Si a5est un carré, comme a2est un carré, on a
a5−a2= 3 = A2−B2,
ce qui est possible si et seulement si A= 2 et B= 1. Mais alors a2=B2= 1, et donc a1= 0, ce qui
est impossible.
– Si a5et a3sont le double d’un carré, alors
a5−a3= 2 = 2A2−2B2,
donc
1 = A2−B2,
ce qui est impossible.
4) Le nombre a5est divisible par 6.
Alors a4est un carré, et les nombres a3et a1sont soit des carrés, soit le double d’un carré, et le
raisonnement est le même que dans 3).
Finalement aucun cas n’est possible.