EQUATIONS DE DROITES Introduction : Dans le chapitre précédent

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EQUATIONS DE DROITES
Introduction :
Dans le chapitre précédent, nous avons déjà constaté qu’il existait un lien relativement étroit
entre les droites et les fonctions du premier degré.
La représentation graphique d’une fonction du premier degré est une droite.
Mais, nous savons déjà que toute droite n’est pas la représentation d’une fonction.
En effet, les droites « verticales » posent problème.
Ce chapitre a pour but de nous permettre de déterminer l’équation d’une droite quelle qu’elle
soit.
Il s’agit donc de mettre en place des stratégies afin de déterminer le coefficient de la droite
considérée ainsi que son terme indépendant, c’est-à-dire les fameux nombres « m » et « p ».
Nous devons également résoudre le « problème » de nos droites verticales !!!
Enfin, nous tenterons d’obtenir une équation générale englobant les différents cas.
I. Activités :
• Soient les droites d et d’ d’équations respectives 23
+
−
=
xy et 3
2x
y− =.
Tracer ces deux droites sur la calculatrice et placer les points suivants :
A( 1 ; -1 ) ; B( 3 ; -2 ) ; C( 2 ; -4 ) ; D( -3 ; 2 ) ;E ( 7
4
;
7
6
−
) et F ( -2 ; 3 )
Quels sont les points appartenant à d ?
Quels sont ceux appartenant à d’ ?
Vérifier chacun de ces résultats à l’aide d’un calcul.
• Soit la droite « d » définie par les points O ( 0 ; 0 ) et A ( -2 ; 3 ).Tracer cette droite sur
la calculatrice. Placer un point M sur cette droite, demander l’affichage des
coordonnées (a ;b) de ce point M. Demander à la calculatrice de calculer le quotient b
a.
Déplacer le point M sur la droite d. Observer l’affichage des coordonnées du point M
et l’affichage du quotient b
a . Que constate-t-on pour le quotient b a ? Tenter d’expliquer

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 Soit la droite d d’équation y = 3
4x+2
Compléter le tableau de nombres et porter sur l’axe qui convient les résultats obtenus :
Calculer les « accroissements des abscisses » ( notés ∆x ) et les « accroissements des
ordonnées » ( notés ∆y ) :
de A à B de B à D de C à E.
∆x=
∆y=
Calculer les rapports entre l’accroissement des ordonnées et celui des abscisses
de A à B, ∆y
∆x =
de B à D ∆y
∆x =
et de C à E ∆y
∆x =
Les comparer. A quoi correspondent-ils ?
 Soit la droite d’équation y = -2x + 1.
Calculer les coordonnées du point :
- A intersection de d avec l’axe X
- B intersection de d avec l’axe Y.
Tracer cette droite sur la calculatrice et vérifier les résultats trouvés. Faire de même
pour les droites 4
3
'x yd =≡ et 2''
−
=
≡
yd .

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II. Vocabulaire et notations
Considérons la fonction f : x → m x + p ( IRpetIRm
∈
∈
) ; la représentation graphique de
cette fonction est une droite.
Une équation de cette droite s’écrit sous la forme y = m x + p.
Cette égalité exprime le lien qui existe entre l’abscisse et l’ordonnée de n’importe quel
point de cette droite.
On note pmxyd +=≡ et on lit « d a pour équation y = m x + p ».
Dans l’équation y = m x + p d’une droite, m est appelé le coefficient angulaire ou coefficient
directeur de d ; et p est appelé l’ordonnée à l’origine de d
L’ordonnée à l’origine p est l’ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse 0 ( x=0)
En effet si x=0 y= m×0+p=p
La racine ( ou le zéro ) de la fonction f : x → m x + p ( m ≠ 0 ) est le réel dont l’image par f
est nulle. C’est aussi la solution de l’équation 0 = m x + p.
Il vient m x + p = 0 et m ≠ 0 ⇔ x = mp
−
Ce réel est aussi l’abscisse du point d’intersection de la droite d avec l’axe X.
Exemple :
Propriétés :
Un point appartient à une droite ssi ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci.
);( AA yxA est un point de pmxyd
+
=≡ ssi pmxy AA
+
=
Si f est une fonction linéaire et si P est un point de son graphique, distinct de ( 0 ; 0 ), alors le
rapport entre l’ordonnée et l’abscisse de P est une constante. Il correspond au coefficient de
direction de la droite représentant cette fonction dans un repère cartésien du plan.
Soit mxyd =≡ et soit P(a ; b) ∈ d , alors a
b
m=

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Si f est une fonction du premier degré, si A et B sont deux points de son graphique alors le
rapport entre la différence des ordonnées des deux points et la différence de leurs abscisses est
une constante.
Ce rapport est le coefficient directeur de la droite représentant cette fonction dans un repère
cartésien du plan.
Soit pmxyd +=≡ ; soient ),( AA yxA et ),( BB yxB deux points de cette droite
AB
AB xx yy
x
y
m−
−
=
∆
∆
=
A (xA, yA) ∈ (D) ⇔ yA=mxA+p
B (xB,yB) ∈ (D) ⇔ yB=mxB+p
yB-yA= mxB+p – (mxA+p ) = mxB – mxA = m (xB – xA) d’où m = yB-yA
xB-xA
y
B-yA m=2
1=2
xB-xA
p=-3

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III. Détermination de l’équation d’une droite :
1. Equation d’une droite dont on donne le coefficient directeur et un point :
Le coefficient de la droite est « m » et cette droite comprend le point A ),( AA yx .
L’équation générale est donc
p
mxy
+
=, le point A est un point de la droite, ses coordonnées
vérifient donc l’équation de celle-ci.
AAAA mxyppmxy −=⇔+= tous les éléments de cette expression sont connus ; p est alors
déterminé.
Il vient : )( AAAAAA xxmyymxmxyymxymxy
−
=
−
⇔
−
=
−⇔−+=
Ce qui nous donne une autre forme de l’équation d’une droite de coefficient directeur connu
et dont on connaît également un point.
Exemple :
Déterminer une équation de la droite d passant par A(-5 ;2) et de coefficient directeur -1
2. Equation d’une droite dont on donne deux points distincts :
Soient ),( AA yxA et ),( BB yxB deux points de la droite recherchée.
Pour déterminer le coefficient directeur, il suffit d’appliquer la formule établie précédemment.
Ensuite, on utilise les coordonnées de l’un des deux points pour calculer la valeur de p.
On obtient alors une équation de la forme :
)( A
AB
AB
Axx
xx yy
yy −
−
−
=− .
Exemple :
Déterminer une équation de la droite d passant par A(5 ;1) et B(-1 ;3)