Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes

Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes
I Les ensembles de nombres :
Définition 1 :
........... ; 16 ; 15 ; .;......... ;4 3 ; 2 ; 1 ; 0
est l’ensemble des nombres entiers naturels.
........... ; 16 ; 15 ; .;......... ;4 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1- ; 2- ; 3- ; 4- .......; ; 15- ; 16- ; ....
est l’ensemble des
nombres entiers relatifs. ( Origine : die Zahl )
Remarque:
Le nombre 4 appartient à l’ensemble . On note 4 . Le symbole se lit « appartient à ».
De même, on a le symbole qui se lit « n’appartient pas à ». Exemple :
2
.
Définition 2:
Un nombre rationnel est un nombre pouvant s’écrire sous la forme
q
p
avec p entier relatif et q
entier naturel non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté .
Exemple:
9
5
est un nombre rationnel car il s’écrit sous la forme
q
p
avec
5 p 
et
9 q 
.
Définition 3:
Un nombre décimal est un nombre rationnel pouvant s’écrire
n
10
p
, avec p entier relatif et n
entier naturel. L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
Exemples:
386,5
est un nombre décimal car
3
10
5386
386,5 
.
Définition 4:
L’ensemble des nombres réels, noté , est l’ensemble des points d’une droite munie d’un
repère
I , O
. Le nombre 0 est l’abscisse de l’origine O et le nombre réel 1 celle du point I.
3,2 -
3 -
-1 0 1
2
3
20
Définition 5 :
Un nombre réel qui n’est pas rationnel est un irrationnel.

Exemple :
On démontrera qu’il n’existe pas de nombre entier relatif p ni d’entier naturel q tels que
q
p
2 
, donc
2
est irrationnel. ( Cf Exercices en module : comparaison
2
est d’un
rationnel puis démonstration de l’irrationalité de
2
. )
Propriété : On a les inclusions suivantes : ; D ; D ; .
Remarque: Le symbole se lit « est inclus dans ». (Ne pas confondre avec )
II Les intervalles :
1) Défintion :
Soit a et b deux nombres réels tels que
b a
.
L’intervalle noté : est l’ensemble des Il est représenté par :
nombres réels x tels que :
a b
[ ]
a b
] [
a b
[ [
a b
] ]
a
[
a
]
b
]
b
[
b ; a b x a 
b ; a b x a 
b ; a b x a 
b ; a b x a 
; a  x a 
 ; a x a 
b ,  b x 
b ,  b x 

Remarques : Les réels a et b, extrémités de l’intervalle sont les bornes.
[ a ; b ] contient a et b, il est dit fermé .
] a ; b [ ne contient ni a ni b, il est dit ouvert .
[ a ; b [ est dit fermé en a et ouvert en b.
- et + ne sont pas des réels, on ouvre toujours l’intervalle de leur côté.
2) Intersection et réunion d’intervalles
Définition : L’intersection de deux intervalles est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
Exemple 1 : [ -2 ; 3 ]  [ 1 ; 5 ] est l’ensemble des réels x vérifiant : -2  x  3 et 1  x  5
[ ]
[ ]
-2 1 3 5
C’est-à-dire [ 1 ; 3 ]. On note alors [ -2 ; 3 ]  [ 1 ; 5 ] = [ 1 ; 3 ].
Exemple 2 : [ -2 ; 3 ]  [ 4 ; 5 ] ne contient aucun réel, c’est l’ensemble vide noté  .
On dit que les intervalles sont disjoints.
Définition : La réunion de deux intervalles est l’ensemble des réels qui appartiennent à l’un ou à l’autre des deux
intervalles.
Exemple 1 : [ -2 ; 3 ]  [ 1 ; 5 ] est l’ensemble des réels x vérifiant :
-2  x  3 ou 1  x  5
[ ]
[ ]
-2 1 3 5
C’est-à-dire [ -2 ; 5 ]. On note [ -2 ; 3 ]  [ 1 ; 5 ] = [ -2 ; 5 ]
Exemple 2 : [ -2 ; 3 ]  [ 4 ; 5 ] n’est pas un intervalle, on ne peut le noter autrement.

III Vocabulaire des fonctions
1) Définition :
Une fonction numérique
f
définie sur un sous ensemble
f
D
de est un procédé qui
à chaque réel x de
f
D
associe un unique réel noté
fx
.
On dit que
fx
est l'image de x par
f
, inversement on dit que x est un antécédent de
fx
.
Notation :
:f fD
()x f x
Exemple :
:f
- Calculer
(1)f
,
(4)f
,
(0)f
.
2
( ) 3x f x x
 - Quels sont les antécédents de 1, de
3
, de 0 par
f
?
2) Ensemble de définition :
L'ensemble de définition d'une fonction
f
est l'ensemble des réels x qui possède une
image (c'est à dire l'ensemble des réels pour lesquels le calcul de
fx
est possible) .
Exemples : L'ensemble de définition de la fonction définie par
3
1
x
xx
est :
1D
( il faut que le dénominateur ne s'annule pas, on retire nombre 1 ).
3) Représentation graphique :
Soit
,,O I J
un repère du plan . On appelle représentation graphique de la fonction
f
définie sur
f
D
, l'ensemble C des points M du plan de coordonnées
,x f x
.
M(x;y) C équivaut à l'égalité y=f(x) .
Quel est l'ensemble de définition de la fonction représentée ?
f
D
= [ ; ].
Quelle est l'image de 6 ?
6f
Quelle est l'image de 0 ?
0f
Les antécédents de 1 sont les réels :
Car
1f
et
1f
4 possède-t-il un antécédent ?
5
possède-t-il un antécédent ?
2, 3A
appartient-il à
f
C
?
5,2B
appartient-il à
f
C
?
Remarque : Une fonction peut être définie par un graphique (voir le tachygraphe).
Une fonction peut être donnée par un tableau de valeurs (voir mesures relevées pour le ressort).
O
1
1
x
f
(
x
)
6
-
1

IV Résolutions graphiques d’équations
f est une fonction définie sur un domaine D, Cf est sa représentation graphique dans un repère du plan.
1) Résolution de l’équation f(x) = k
Un réel k étant donné, résoudre l’équation f(x) = k revient à trouver les nombres x qui ont pour image k
(les antécédents de k).
Les solutions de l’équation f(x) = k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la droite
d’équation y = k.
La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une
fonction f définie sur .
Pour lire graphiquement les solutions de l’équation f(x) = - 1 :
On repère – 1 sur l’axe des abscisses.
On trace la droite d’équation y = -1 (horizontale passant par
-1)
Elle coupe la courbe en 3 points.
Les abscisses de ces points sont : -2 ; 0 et 3.
S = { -2 ; 0 ; 3}
2) Equation f(x) = g(x)
Cf
Cg
0 1
1
x
y
Les solutions sont les abscisses des points d’intersection des courbes représentant f et g.
Sur le graphique ci-dessus, les courbes se coupent en 3 points.
On lit les abscisses de ces points : S = {-5 ; 1 ; 8}.
Cf
0 1
1
x
y