Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes

Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes
I Les ensembles de nombres :
Définition 1 :
 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;4 ;.......... ; 15 ; 16 ; ...........  est l’ensemble

des nombres entiers naturels.
.... ; -16 ; -15 ; .......; -4 ; -3 ; -2 ; -1; 0 ; 1; 2 ; 3 ;4 ;.......... ; 15 ; 16 ; ...........  est l’ensemble
nombres entiers relatifs. ( Origine : die Zahl )
des
Remarque:
Le nombre 4 appartient à l’ensemble . On note 4  . Le symbole  se lit « appartient à ».
De même, on a le symbole  qui se lit « n’appartient pas à ». Exemple : 2 .
Définition 2:
p
avec p entier relatif et q
q
entier naturel non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté .
Un nombre rationnel est un nombre pouvant s’écrire sous la forme
p
Exemple:  5 est un nombre rationnel car il s’écrit sous la forme
avec p 5 et q  9 .
9
q
Définition 3:
Un nombre décimal est un nombre rationnel pouvant s’écrire
p
, avec p entier relatif et n
10n
entier naturel. L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
Exemples: 5,386 est un nombre décimal car 5,386   5386
.
103
Définition 4:
L’ensemble des nombres réels, noté
, est l’ensemble des points d’une droite munie d’un
repère O , I . Le nombre 0 est l’abscisse de l’origine O et le nombre réel 1 celle du point I.
- 3,2
- 3 -1
0
1 2

Définition 5 :
Un nombre réel qui n’est pas rationnel est un irrationnel.
20
3
Exemple :
On démontrera qu’il n’existe pas de nombre entier relatif p ni d’entier naturel q tels que
p
2  , donc 2 est irrationnel. ( Cf Exercices en module : comparaison 2 est d’un
q
rationnel puis démonstration de l’irrationalité de
Propriété : On a les inclusions suivantes :

2.)
 D ; D
;
;

.
Remarque: Le symbole  se lit « est inclus dans ». (Ne pas confondre avec  )
II Les intervalles :
1) Défintion :
Soit a et b deux nombres réels tels que a b .
L’intervalle noté :
est l’ensemble des
nombres réels x tels que :
a ; b
axb
a ; b 
axb
a ; b
axb
a ; b
axb
a ;  
ax
Il est représenté par :
a
[
b
]
a
b
]
[
a
b
[
[
a
b
]
]
a
[
a ; 
ax
 , b
xb
 , b
xb
a
]
b
]
b
[
Remarques : Les réels a et b, extrémités de l’intervalle sont les bornes.
[ a ; b ] contient a et b, il est dit fermé .
] a ; b [ ne contient ni a ni b, il est dit ouvert .
[ a ; b [ est dit fermé en a et ouvert en b.
- et + ne sont pas des réels, on ouvre toujours l’intervalle de leur côté.
2) Intersection et réunion d’intervalles
Définition : L’intersection de deux intervalles est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
Exemple 1 : [ -2 ; 3 ]  [ 1 ; 5 ] est l’ensemble des réels x vérifiant : -2  x  3 et 1  x  5
[
]
[
]
-2
1
3
5
C’est-à-dire [ 1 ; 3 ]. On note alors [ -2 ; 3 ]  [ 1 ; 5 ] = [ 1 ; 3 ].
Exemple 2 : [ -2 ; 3 ]  [ 4 ; 5 ] ne contient aucun réel, c’est l’ensemble vide noté  .
On dit que les intervalles sont disjoints.
Définition : La réunion de deux intervalles est l’ensemble des réels qui appartiennent à l’un ou à l’autre des deux
intervalles.
Exemple 1 : [ -2 ; 3 ]  [ 1 ; 5 ] est l’ensemble des réels x vérifiant :
-2  x  3 ou 1  x  5
[
[
-2
1
]
]
3
5
C’est-à-dire [ -2 ; 5 ]. On note [ -2 ; 3 ]  [ 1 ; 5 ] = [ -2 ; 5 ]
Exemple 2 : [ -2 ; 3 ]  [ 4 ; 5 ] n’est pas un intervalle, on ne peut le noter autrement.
III Vocabulaire des fonctions
1) Définition :
Une fonction numérique f définie sur un sous ensemble D f de
est un procédé qui
à chaque réel x de D f associe un unique réel noté f  x  .
On dit que f  x  est l'image de x par f , inversement on dit que x est un antécédent de f  x  .
Notation : f : D f 
x
Exemple :


f:
 x
f ( x)

- Calculer f (1) , f (4) , f (0) .
f ( x)  x  3 
2
- Quels sont les antécédents de 1, de 3 , de 0 par f ?
2) Ensemble de définition :
L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels x qui possède une
image (c'est à dire l'ensemble des réels pour lesquels le calcul de f  x  est possible) .
Exemples :
L'ensemble de définition de la fonction définie par x
D
x3
est :
 x  1
 1 ( il faut que le dénominateur ne s'annule pas, on retire nombre 1 ).
3) Représentation graphique :
Soit  O, I , J  un repère du plan . On appelle représentation graphique de la fonction f définie sur
D f , l'ensemble C des points M du plan de coordonnées  x, f  x   .
M(x;y)  C équivaut à l'égalité y=f(x) .
Quel est l'ensemble de définition de la fonction représentée ?
D f = [ ; ].
f ( x)
x
1
-1 O 1
6
Quelle est l'image de 6 ?
f  6 
Quelle est l'image de 0 ?
f  0 
Les antécédents de 1 sont les réels :
Car f    1 et f    1
4 possède-t-il un antécédent ?
5 possède-t-il un antécédent ?
A  2, 3 appartient-il à C f ?
B  5, 2  appartient-il à C f ?
Remarque : Une fonction peut être définie par un graphique (voir le tachygraphe).
Une fonction peut être donnée par un tableau de valeurs (voir mesures relevées pour le ressort).
IV Résolutions graphiques d’équations
f est une fonction définie sur un domaine D, Cf est sa représentation graphique dans un repère du plan.
1) Résolution de l’équation f(x) = k
Un réel k étant donné, résoudre l’équation f(x) = k revient à trouver les nombres x qui ont pour image k
(les antécédents de k).
Les solutions de l’équation f(x) = k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la droite
d’équation y = k.
y
Cf
La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une
fonction f définie sur .
Pour lire graphiquement les solutions de l’équation f(x) = - 1 :
1
0
1
On repère – 1 sur l’axe des abscisses.
x
On trace la droite d’équation y = -1 (horizontale passant par
-1)
Elle coupe la courbe en 3 points.
Les abscisses de ces points sont : -2 ; 0 et 3.
S = { -2 ; 0 ; 3}
2) Equation f(x) = g(x)
y
Cf
1
Cg
0
1
x
Les solutions sont les abscisses des points d’intersection des courbes représentant f et g.
Sur le graphique ci-dessus, les courbes se coupent en 3 points.
On lit les abscisses de ces points : S = {-5 ; 1 ; 8}.
V Expressions algébriques
1) Développer ; factoriser
On développe un produit pour le transformer en somme.
Pour cela, on utilise la distributivité ou les égalités remarquables :
 développer
 a+b  c  d   ac  ad  bc  bd
 a  b  ²  a²  2ab  b²
 a  b  ²  a²  2ab  b²
 a  b  a  b   a²  b²
 factoriser
On factorise une somme pour la transformer en produit.
On peut reconnaître un facteur commun ou sinon repérer une égalité remarquable.
Exemple 1 : f (x)   2x  5 x  3   2x  5 4x  1
Forme 1 (développée) : f (x)  6x²  19x  10
Forme 2 (factorisée) : f (x)   2x  5 3x  2
Exemple 2 : g(x)   2x  5   x  3
2
2
Forme 1 (développée) : g(x)  3x²  26x  16
Forme 2 (factorisée) : g(x)   3x  2 x  8
Remarque : Nous allons voir par la suite que le choix de la forme à utiliser est fondamental pour répondre à certaines
questions.
2) Utiliser un dénominateur commun pour factoriser une expression rationnelle
Exemple :
2  2x  1  3  x  3
2
3
7x  7



 x  3 2x  1
  x  3 2x  1
  x  3 2x  1
VI Resolution d’équations :
Il s’agit de trouver tous les nombres pour lesquels l’égalité proposée est vraie.
1) Equation du premier degré à une inconnue
Une équation du premier degré à une inconnue est du type ax + b = 0, où a et b sont deux nombres réels.
b
Pour a non nul, l’équation ax + b = 0 a pour solution x   .
a
Exemples : Résoudre 3x  2  0 ; 3  x  4   x  7 
5
x  3 3x  7
; x 5

.
2
2
2
2) Produit nul
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs est nul.
A×B = 0  A = 0 ou B = 0.
Exemples : Résoudre  x  4  2x  1  0 ;  x  1 (2x  3)  4x  x  1  0 ;  2x  7    x  3 .
2
2
3) Quotient nul
Une fraction rationnelle est nulle si et seulement si, son numérateur est nul sans que son dénominateur le soit.
A
 0, avec B  0 équivaut à A = 0.
B
Exemple :
5x  1
 0.
x2
4) Egalité de quotients
Si B et D sont non nuls,
A C
 équivaut à AD  BC.
B D
A
A
 1  A  B.
 0  A  0 et
B
B
3x  2 2
x6
3x  2 x  4
Exemples :
 ;
4 ;

.
x  5 3 2x  1
6x  1 2x  9
En particulier, avec B non nul,
5) Quelques exemples usuels
-
pour rechercher le(s) antécédent(s) de 0 pour une fonction, on utilisera sa forme factorisée.
Voir f(x) = 0 et g(x) = 0 avec les fonctions vues au 1)
-
la forme développée peut être utilisée pour des antécédents particuliers :
Voir f(x) = -10 et g(x) = 16.
VII Algorithmique :
IV
Résolutions graphiques d’équations
f est une fonction définie sur un domaine D, Cf est sa représentation graphique dans un repère du plan.
1) Résolution de l’équation f(x) = k
Un réel k étant donné, résoudre l’équation f(x) = k revient à trouver les nombres x qui ont pour image k
(les antécédents de k).
Les solutions de l’équation f(x) = k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la droite
d’équation y = k.
y
Cf
La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une
fonction f définie sur .
Pour lire graphiquement les solutions de l’équation f(x) = - 1 :
1
0
1
On repère – 1 sur l’axe des …………………….
x
On trace la droite d’équation ………………………………
………………………………………………………………
Elle coupe la courbe en ……..points.
Les ………………….. de ces points sont : ………………...
S = {………………….}
2) Equation f(x) = g(x)
y
Cf
1
Cg
0
1
Les solutions sont les abscisses des points d’intersection des courbes représentant f et g.
Sur le graphique ci-dessus, les courbes se coupent en ………….. points.
On lit les abscisses de ces points : S = ………………………..
x