cours fonctions, expressions algébriques

Seconde
Cours fonctions, expressions algébriques
I. Expressions algébriques, équations
a) Développement – factorisation
Développer
Développer un produit, c’est l’écrire sous forme d’une somme.
Réduire une somme, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles.
4
1
Exemple : Développer et réduire l’expression A(x) = x –  (x – 2)
5
2
 4
 4
x
5x
4
4
+ 1 = x²- 2x +
A(x) = x² -2x – + 1 = x² 2
2
5
5
 5
 5
Factoriser
Factoriser une expression, c’est l’écrire sous forme d’un produit.
Exemple : Factoriser l’expression B(x) = (3x – 1)(2x + 4) – (x – 5)(3x – 1)
B(x) = (3x – 1)(2x + 4 – x + 5) = (3x – 1)(x + 9)
Identités remarquables
(a + b)²
(a – b)²
(a – b)(a + b)
on développe
=
=
=
on factorise
a² + 2ab + b²
a² – 2ab + b²
a² – b²
Exemples :
1. Développer à l’aide d’une identité remarquable :
Développer C(x) = (2x + 4)² – (4x – 6)(4x + 6).
C(x) = 4x² + 16x + 16 – 16x² + 36 = - 12x² + 16x + 52
2. Factoriser à l’aide d’une identité remarquable :
Factoriser D(x) = (x – 1)² – 9 puis E(x) = 2x² + 8x + 8
D(x) = (x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)
E(x) = 2(x²+4x+4)=2(x+2)²
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3. Ecrire sous la forme d'un quotient :
x+3 x+1
F(x) =
–
x-1 x+2
On réduit les fractions au même dénominateur : un dénominateur commun à (x - 1) et
(x + 2) est (x – 1)×(x + 2).
(x + 3)×(x + 2) (x + 1)(x – 1)
Donc F(x) =
(x – 1)(x + 2) (x + 2)(x – 1)
x² - 1
x² + 2x + 3x + 6
F(x) =
(x + 2)(x – 1)
(x - 1)(x + 2)
x² + 5x + 6 – x² + 1
F(x) =
(x – 1)(x + 2)
5x + 7
F(x) =
(x – 1)(x + 2)
b) Equations
Egalité
Une égalité est une affirmation utilisant le signe « = » et qui ne peut être que vrai ou
fausse.
Les identités remarquables sont des égalités.
Equation
Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue telles
que l’égalité soit vraie.
On détermine ainsi l’ensemble des solutions.
Exemple : 6 est solution de l’équation 2 + x = 8 car l’égalité 2 + 6 = 8 est vraie.
Résolution algébrique d’une équation
Règle du produit nul :
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul :
A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0
Règle du quotient nul :
Un quotient est nul si, et seulement si, le numérateur est nul, mais pas le dénominateur :
N
= 0 ⇔ N = 0 et D ≠ 0
D
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Exemples :
Résoudre (x + 4)(5 -7x) = 0
x + 4 = 0 ou 5 – 7x = 0
5
x = -4 ou x =
7

5 

S = -4;
7 

4x + 1
=0
x+2
4x + 1 = 0 et x + 2 ≠ 0
1
x=et x = -2
4
 1
S = - 
 4
Résoudre
Résolution d’une équation du premier degré
Règles
Lorsqu’on ajoute ou que l’on retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on
obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions.
Lorsqu’on multiplie ou que l’on divise chaque membre d’une équation par un même réel
différent de 0, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions.
Exemple :
Résoudre l’équation : 3x – 4(3 + x) + 5(2x – 1) = 5 – x
3x -12 – 4x + 10x – 5 = 5 – x
9x – 17 = 5 – x
9x + x = 5 + 17
10x = 22
x = 2,2
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II
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Définir une fonction
a) Ensemble r et intervalles
L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée est appelée l'ensemble des
nombres réels. On note r l'ensemble de tous ces nombres.
Remarques :
• On note N l'ensemble des nombres entiers naturels (positifs).
• On note Z l'ensemble des nombres entiers relatifs (positifs ou négatifs).
Certaines parties de r sont appelées des intervalles; on les note en utilisant des
crochets.
a et b sont deux réels tels que a < b.
Le tableau ci-dessous résume les différents types d’intervalles.
L’intervalle noté
…
[a ; b]
est l’ensemble des
réels x tels que …
a≤x≤b
]a ; b[
a<x<b
]a ; b]
a<x≤b
[a ; b[
a ≤ x <b
[a ; +∞[
a≤x
]a ; +∞[
a<x
]-∞ ; b]
x≤b
]-∞ ; b[
x>b
Représentation
de cet intervalle sur une droite graduée
Vocabulaire: [a ; b], ]a ; b[,]a ; b] et [a ; b[ sont des intervalles d’extrémités a et b (a
a+b
< b). Le centre de l’intervalle est le nombre
, et sa longueur est b – a.
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Remarques : -∞ (moins l’infini) et +∞ (plus l’infini) ne sont pas des nombres, ce sont
des symboles. Du côté de -∞ et de +∞, le crochet est toujours ouvert, par convention.
L’ensemble des réels r se note aussi ]-∞ ; +∞[.
[a ;a] = {a}
]a ;a[ = ∅ (ensemble vide)
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Réunion et intersection d’intervalles
L’intersection de deux intervalles est l’ensemble des nombres réels appartenant à la
fois aux deux intervalles.
Le symbole utilisé pour l'intersection de deux intervalles est ².
L'intersection des intervalles A et B se note A ² B (on lit "A inter B").
La réunion de deux intervalles est l’ensemble des nombres réels appartenant à l’un ou
l’autre de ces intervalles (les éléments de l’intersection appartiennent aussi à la
réunion).
Le symbole utilisé pour la réunion de deux intervalles est ³.
La réunion des intervalles A et B se note A ³ B (on lit "A union B").
x a A ² B x a A et x a B
x a A ³ B x a A ou x a B
Exemples :
• [2 ; 5] ∩ [4 ; 6] = [4 ; 5]
• ]-∞ ; 2] ∩ [-1 ; +∞[ = [-1 ; 2]
et
[2 ; 5] ∪ [4 ; 6] = [2 ; 6].
et
]-∞ ; 2] ∪ [-1 ; +∞[ = ]-∞ ; +∞[ = 3
b) Vocabulaire des fonctions
D est une partie de l’ensemble des réels.
Lorsque, à chaque réel x de D on associe un seul réel y, on définit une fonction sur
l’ensemble D.
Vocabulaire et notation :
o D est l’ensemble de définition de la fonction f.
o x est la variable.
o L’image d’un réel x de D est notée f(x) (lire « f de x »).
o x est un antécédent de y
Exemple :
f est la fonction définie sur Y par f(x) = x² - 3
o 5 a pour image f(5) = 25 – 3 = 22
o -3 a pour image f(-3) = 9 – 3 = 6
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Exemple 1 : Une fonction f définie par un graphique
L'ensemble de définition de f est l'intervalle [-3;2].
Le nombre -3 a pour image -1, donc f(-3) = -1.
Exemple 2 : Une fonction g définie par un tableau
Nombre x
Image g(x)
-4
5
-1
4
0
1
2
2
3
4
L'ensemble de définition de g est D = {-4;-1;0;2;3}.
Le nombre 0 a une seule image 0.
g(-1) = 4 et g(3) = 4 donc les antécédents de 4 par g sont -1 et 3.
Exemple 3 : Une fonction h définie par une formule
La fonction h associe à un nombre réel x quelconque, le nombre h(x) = 2x² - 3.
L'ensemble de définition de h est r.
On peut aussi écrire : h : x Ñ 2x² - 3.
Pour calculer l'image de -5, on remplace x par -5 dans l'expression de h(x) :
h(-5) = 2×(-5)² - 3 = 47.
III Courbes et résolutions graphiques
a) Courbe représentative d'une fonction
f est une fonction définie sur D.
Dans un repère, la courbe représentative de la
fonction f est l’ensemble des points M(x ;y) tels
que :
o L’abscisse x décrit l’ensemble de définition D.
o et l’ordonnée y est l’image de x par f.
Autrement dit, x ∈ D et y = f(x)
Vocabulaire :
On dit que la courbe
Ca
pour équation y = f(x) dans le repère choisi.
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Exemple 1 :
f est la fonction définie par f(x) = -x² + 3x
Voici sa courbe
P représentée dans un repère.
Le point A(2;2) appartient à P
car f(2) = -2² + 3×2 = 2
Le point B(-1;-6) n'appartient pas à P.
car f(-1) = -(-1)² + 3×(-1) = -1 – 4 = -5
Exemple 2 :
g est la fonction définie sur r par f(x) = k où k est un
nombre donné.
Cette fonction affine est dite constante.
Sa courbe est la droite d'équation y = k représentée cicontre.
k
b) Résolution graphique d'équations
Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.
Equation f(x) = k (avec k réel)
Les solutions sont les abscisses des
points d’intersection de Cf avec la
droite d’équation y = k.
Equation f(x) = g(x)
Les solutions sont les abscisses des points
d’intersection des deux courbes Cf et Cg.
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