Fiche d`exercices n°3 - IMJ-PRG

Arithm´etique LM220, 2014-2015 Universit´e Pierre et Marie Curie
Feuille d’exercices no3
Pgcd, ppcm et l’algorithme d’Euclide
Exercice 1. Soient nun entier et pun nombre premier.
1. Rappeler la d´efinition de vp(n), la valuation p-adique de n.
2. Calculer v2(60), v3(60), v5(60), v7(60), v2(1024), v3(30720).
Exercice 2. Soient n, m des entiers. Rappeler la d´efinition de pgcd(n, m) et ppcm(n, m).
Calculer le pgcd et le ppcm de 195 et 143.
Exercice 3. Calculer le pgcd et le ppcm de 2233 et 1543.
Exercice 4. Calculer le pgcd et le ppcm de 2010 et 2011.
Exercice 5. Soient a, b, c ∈Z−{0}. Montrer que pgcd[pgcd(a, b), c] = pgcd[a, pgcd(b, c)].
Exercice 6. Soient a=da0et b=db0. Montrer que pgcd(a, b) = d⇐⇒ pgcd(a0, b0) = 1.
Exercice 7. Soient a, b, c et ddes entiers; d´emontrer les implications:
(1) pgcd(a, b) = d=⇒pgcd(ac, bc) = dc.
(2) pgcd(a, b) = 1 et pgcd(a, c) = 1 =⇒pgcd(a, bc) = 1.
(3) pgcd(a, b) = 1 =⇒ ∀m, n ≥2,pgcd(am, bn) = 1.
(4) pgcd(a, b) = d=⇒ ∀m≥2,pgcd(am, bm) = dm.
Exercice 8. Soit m= ppcm(a, b). Montrer qu’il existe un diviseur a0de a, un diviseur
b0de b, tels que pgcd(a0, b0) = 1 et m=a0b0.
Exercice 9. Montrer que pgcd(a, b)·ppcm(a, b) = |ab|.
Exercice 10. R´esoudre dans Z2les ´equations suivantes:
(a) 4x+ 9y= 1.
(b) 4x+ 9y= 7.
Exercice 11. R´esoudre dans Z2les ´equations suivantes:
(a) 5x−18y= 4.
(b) 6x+ 15y= 28.
Exercice 12. D´eterminer tous les entiers x, y v´erifiant :
(a) 56x+ 35y= 7.
(b) 56x+ 35y= 10.
Exercice 13. Vir´ee `a Carrefour avec les copains. On a d´epens´e en tout 188 euros, en
achetant des CD `a 25 euros et des jeans `a 21 euros. Combien de CD a-t-on achet´e ?
Exercice 14. D´eterminer tous les entiers ntels que 8 |15(n+ 1).
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Exercice 15. Montrer que si d= pgcd(a, b) et si le couple (u0, v0)∈Z2v´erifie au0+bv0=
d, les autres couples (u, v)∈Z2v´erifiant au +bv =dsont les (uk, vk)∈Z2d´efinis pour
tout k∈Z− {0}par
uk=u0+kb0
vk=v0−ka0
o`u a0et b0sont d´efinis par a=da0et b=db0.
Compl´ements
Exercice 16. Pierre fait une course de v´elo de plusieurs jours. Il y a des ´etapes longues
de 169831m et des ´etapes courtes, de 87426m. A la fin il a parcouru 1363669m. Combien
a-t-il fait d’´etapes longues?
Exercice 17 (Nombres de Fermat).
a) Montrer par r´ecurrence que ∀n∈N,∀k≥1 on a :
22n+k−1 = 22n−1×
k−1
Y
i=0
(22n+i+ 1).
b) On pose Fn= 22n+ 1. Montrer que pour m6=n,Fnet Fmsont premiers entre eux.
c) En d´eduire qu’il y a une infinit´e de nombres premiers.
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