fichier `CERPE_Corr_Multiples`

Antilles-Guyane 95 ¤ PGCD
CERPE/ Exos portant sur des notions liées à la définition de multiple / Eléments de corrigé
Sur chaque coté du triangle, on doit avoir un nombre entier d’espacements de piquets. Donc l’espacement
de piquets doit diviser la longueur de chaque coté. On cherche donc un diviseur commun 120, 96, 72.
Comme : 120 = 23 × 3 × 5 , 96 = 25 × 3 , 72 = 23 × 32 , le plus grand diviseur commun à 120, 96, 72 est 24
= 23 × 3. On en déduit le nombre de piquets 120/24 + 96/24 + 72/24 = 5 + 4 + 3 = 12.
Clermont-Ferrand 93 ¤ Multiples
1/ En posant la division de 100 puis de 200 par 42, on trouve les nombres {k.42 + 8 avec 3 ≤ k ≤ 4}.
2a/ Si a = 42.q+8 alors a+28 = 42.q + 36 donc quotient q et reste 36 ; tandis que a+40=42.(q+1)+6 (car 40
+ 8 est trop fort …) donc quotient q+1 et reste 6.
2b/ A priori : 42.(q+1)≤ a+x ≤ 42.(q+2) d’où en remplaçant a par 42.q+8 : 42 ≤ x + 8 ≤ 42.2 .
D’où la réponse attendue : 34 ≤ x ≤ 76 .
3a/ A priori : a = 42.b + 8 avec 8 < b ; donc b vaut au minimum 9 et en ce cas a vaut 386.
3b/ a = 42.b + 8 ⇔ a + 3 = 42.b + 11 et a + 3 = k.b d’après la seconde hypothèse. Donc b est un diviseur
de 11 ; 11 n’admet que 1 et lui-même comme diviseurs ; b ne peut valoir 1, donc b vaut 11, d’où a = 470.
1/ 1F, 2F, 3F, 4F sont des prix impossibles.
2/ Liste obtenue en cherchant les multiples de 5 jusqu’à 30 au moins, les multiples de 8 jusqu’à 30 au
moins et les combinaisons. on obtient : 5, 8, 10, 13, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30
3/ On complète la liste jusqu’à 40 : 31 = 2x8 + 3x5 ; 32 = 4x8 ; 33 = 1x8 + 5x5 ; 34 = 3x8 + 2x5 ; 35 =
7x5 ; 36 = 2x8 + 4x5 ; 37 = 4x8 + 1x5 ; 38 = 1x8 + 6x5 ; 39 = 3x8 + 3x5 ; 40 = 8x5.
Donc en ajoutant 2x5 à tous ces résultats, on complète la liste jusqu’à 50 … plus généralement à tout
nombre entier supérieur à 40, donc à 30.
4/ Noter que 1 = 5x5 – 3x8. Donc pour payer un achat valant 1F, le consommateur donne 5 pièces de 5 F
et le commerçant rend 3 pièces de 8F. Pour payer x francs, le consommateur pourrait donner 5x pièces de
5F et le commerçant rendrait 3x pièces de 8F … D’autres procédures sont possibles si on tient compte de
l’égalité « 5x8=40 » : pour payer un article de 532 F , il suffit que l’acheteur donne 116 pièces de 5 F (au
lieu de 2660) et on lui rendra 6 pièces de 8 F (au lieu de 1596) …
Nice 95 ¤ Multiples
Créteil 93 ¤ Division
a/ Prendre un nombre et refaire la démarche.
b/ Soit N=cdu = 100c+10d+u. En permutant les chiffres, on obtient P1=dcu=100d+10c+u,
P2=duc=100d+10u+c, P3=udc=100u+10d+c, P4=ucd=100u+10c+d. On peut alors calculer les 4
différences possibles :
N-P1 = 90c-90d=9.(10c-10d) ; N-P2 = 99c-90d-9u = 9.(11c-10d-u) ; N-P3 = 99c-99u = 99.(c-u) ;
N-P4 = 90c+9d-99u = 9.(10c+d-11u). On peut systématiquement mettre 9 en facteur dans les 4 calculs de
différence, ce qui assure la généralité du résultat attendu.
1/ D=d.82 + 45 avec 45 < d. Il suffit de chercher l’ensemble des multiples de 82 compris entre
46x82=3772 et 4500-45=45x99=4455. Comme 4455 = 82x54 + 27, la liste cherchée comprend tous les
nombres de la forme k.82+45 avec 46≤ k ≤ 54.
2/ D=d.82 + 112 avec 112<d. Donc D-112 doit être un multiple de 82 compris entre 113.82 et 4500-112.
Or le produit 113.82 excède 4388 : il n’y a donc pas de solution.
3/ D=d.82 + r avec r < d. D-r doit être un multiple de 82 compris entre (r+1).82 et 4500-r. Il faut que cet
encadrement ait du sens donc que : (r+1).82 ≤ 4500-r ⇔ 81.r ≤ 4418 ⇒ r < 54.
Aix-Marseille 96 ¤ Multiples
Dijon 93 ¤ Division
1/ 3 heures et 25 minutes mesure 3 + 25/60 = 3 + 5/12 en unités « Heure » soit encore 41/12 d’heure. Ce
nombre n’est pas un décimal car 5/12 ne l’est pas : 12 n’est pas de la forme 2p×5q. On peut aussi repérer
que le développement décimal de 5/12 est illimité, périodique à partir de la 3ième décimale : 0,4166..etc
2/ n n’interviens pas dans la question puisque c’est un nombre entier, donc un décimal. Il faut et il suffit
que p/60 soit un décimal. Or : p/60 = p/22.3.5 ; il faut pouvoir simplifier la fraction et éliminer le facteur 3
du dénominateur, donc il faut que p soit un multiple de 3 (inférieur à 60 bien sur).
1/636=96.6+60
2/Il faut chercher parmi les multiples de 32(=31+1) ; on garde la liste {32, 64, 96}.
Lille 96 ¤Multiples
2/ V=6.p+3 ⇒ V=2.(3p+1)+1 En reste une …
3/ V < 100 ⇒ V ∈ { 15, 30, 45, 60, 75, 90} ; on élimine les nombres ne remplissant pas la clause 1 ou la
clause 2 (plus facile à voir). Donc reste les solutions {15, 45, 75}.
Nantes 95 ¤ Division
Lyon 93 ¤ Multiples & division
V= nombre de totos. Il les met par rangée de 6 :: V=6.p+3 ; il les met par rangée de 5 :: V=5.q.
1/ V=6.p+3 ⇒ V=3.(2p+1) En reste pas … (Donc V est un multiple de 3, de 5 donc de 15. Cf. Q3)
1/ 1001 = 7 × 11 × 13
2/ Donc les diviseurs de 1001 sont : 1 7 11 13 77 91 143 1001.
3/ 712712 = 13.q1 + r1, q1 = 11.q2 + r2, q2 = 7.q3 + r3. On repère que 712712 vaut 1001 × 712 . Donc la
première division tombe juste et q1 est obligatoirement un multiple de 7 × 11 (q1 = 7 × 11 × 712 en
fait) d’où l’on déduit que q2 est un multiple de 7 (q2 = 7 × 712 et r2 = 0) ; finalement r3 est lui aussi nul
et q3 n’est rien que 712. Quotients et restes étaient tous prévisibles.
4/ abcabc=abc × 1001. abcabc est évidemment un multiple de 7 et de 13. D’où les réponses ci-dessous :
a/ Pas de conditions sur abc
b/ itou
c/ Comme : 65 = 5 × 13, la condition est « abc multiple de 5 ».
d/ Comme : 14 = 2 × 7, la condition est « abc multiple de 2 » i. e. « c chiffre pair ».
e/ Comme : 63 = 9 × 7, la condition est « abc multiple de 9 » i. e. « a + b + c divisible par 9 ».
5/ 465 549 = 465 ×1001 + (549 – 465) ; donc a/ les deux nombres 465 549 et 549 – 465 auront même
reste dans la division par un diviseur de 1001, en particulier dans la division par 13. 84 est divisible par 7
(84 = 7 × 12) donc 549 – 465 (=84) est divisible par 7 et donc aussi 465 549.
A=Q.11+R ; 300 = 27.11+3 . Donc (A+300) = (Q+27).11 + (R+3). Pour que (R+3) soit bien le reste dans la
division de (A+300) par 11, il faut que R soit inférieur à 8. En ce cas le quotient vaut bien (Q+27). Dans
l’alternative, le quotient vaut (Q+28) et le reste vaut (R-8).
Nantes96 ¤ Division
Nice 93 ¤ Division
1/ Non car 31 600 – 2 197 = 29 403 = 1278 × 23 + 9
2/ Chercher si b – a est un multiple de 23 …
3/ 31 600 = 1373 × 23 + 21. Donc il faut partir de 21.
a/ On cherche A=B.85+49 avec A < 4000 et 49 < B ⇒ 4250=85.50 ≤ A-49 < 3951. Double inéquation impossible.
b/ On calcule la suite 68.k+49 à partir de k=1. En posant la division de 4000 par 68, on trouve : 4000 = 68.58+56 ;
donc on choisit k égal à 58 : 68.58 + 49 = 3993 < 4000 < 68.59+49 = 4061.
c/ 4000 = 66.68 + 56 ; 5700 = 83.68 + 56 5700-4000 = 1700 = 25.68.
L’affirmation est toujours vraie (preuve évidente).
CERPE_Corr_Multiples.doc
-4-
Nancy-Metz 93 ¤ Multiples
A=cdu = 100.c+10.d+u ; B=cud = 100.c+10.u+d ; C=dcu = 100.d+10.c+u ; D=udc = 100.u+10.d+c
Noter d’évidence que : A-B=9(d-u) et C-A = 90(d-c) D-A = 99(u-c)
a/ D-A = 99(u-c)
b/ Par hypothèse : A-B = 18 ⇒ d-u = 2 ; C – A = 360 ⇒ d-c = 4. Donc : u=d-2, c=d-4. On reporte dans la
décomposition décimale de A. Il vient : A = 100(d-4)+10d+d-2=111d-402=3.(37d-134) ; A est bien
divisible par le nombre 3.
c/ Pour que A soit multiple de 9, il faut et suffit que 37d-134 soit multiple de 3. Il suffit de tester pour d
variant de 4 à 9. On trouve : d = 5 ⇒ A = 3.51= 153 ; d = 8 ⇒ A=3.162 = 486.
Nantes 93 ¤ Division
CERPE_Corr_Multiples.doc
-1-
Paris 93 ¤ Multiples
Nancy 94 ¤ Multiples
a/ c = nombre de convives. Donc c = 6x+1 = 8y+1 = 10 z + 1. Le nombre c-1 est un multiple commun de 6, 8, 10.
C’est donc un multiple de leur PPCM 6^8^10=3.8.5=120. Ce multiple doit être inférieur à 150-1=149. Donc il
s’agit de 120 et le nombre de convives est ainsi de 121.
b/ Il s’agit ici de savoir comment asseoir les 121 convives par tablées de 7 ou 9 : 121 = x.7 + y.9. Une méthode
simple consiste à dresser la table des multiples de 7 inférieurs à 121, puis à dresser la table de leur différence
d’avec 121, enfin à chercher dans cette table les multiples de 9 (critère classique).
C=Card(chocolats) ; C < 100 ; C-1 = x.2 ; C-1 = y.3 ; C-1 = z.4 ; C = t.5. Donc
C est un multiple de 5 inférieur à 100 dont le prédécesseur est un multiple de
12.
On dresse rapidement un tableau et on obtient les deux solutions possibles (en
gras dans le tableau).
x:
7x :
1217x :
y:
1
7
2
14
3
21
4
28
5
35
6
42
7
49
8
56
9
63
10
70
11
77
12
84
13
91
14
98
15
105
16
112
17
119
114
107
100
93
86
79
72
8
65
58
51
44
37
30
23
16
9
1
2
Reims 93 ¤ Division
eff = 7.p+6 ; eff = 11.q + 10 ; q = p-8 ⇔ 7.p = 11.q+4 ; q = p-8 ⇒ 7.p = 11.p – 84 ⇔ 4.p = 84 ⇔ p=21
Il y a 153 enfants dans cette école.
Aix-Marseille 94 ¤ Diviseurs
1/ Diviseurs de 108 = {1 2 3 4 6 9 12 18 27 36 54 108} On trouve 12 diviseurs. Or 108 vaut 22.33 et le produit
(2+1).(3+1) vaut bien 12.
2/ p et q doivent être premiers ; 12 admet 6 décompositions multiplicatives : 1.12 2.6 3.4 4.3 6.2 12.1.
D’où les couples possibles pour (p,q) : (0,11) (1,5) (2, 3) (3,2) (5,1) (11,0) .
Et les six valeurs de n correspondantes : 311=177147 2.35=486 22.33=108 23 .32=72 25.3=96 211=2048
3/ On tient ci-dessus la décomposition en facteurs premiers des 6 entiers solutions. Dès que l’on trouve un facteur 2
et un facteur 3, l’on tient un nombre divisible par 6. C’est leur cas à tous, sauf pour les résultats aux extrémités de
la ligne, soit 311 et 211 .
On peut noter que : 311=(2+1). 310=2.3. 39 + 310 ; donc 311 aura même reste dans la division par 6 que 310 et donc
que 39 et ainsi de suite jusqu’à 31 soit 3 !
De même on tricote 211=23. 28=(6+2). 28=6. 28 + 29 ; donc 211 aura même reste dans la division par 6 que 29 et donc
que 27 et ainsi de suite jusqu’à 23 soit 2 !
Lille 94 ¤ Division
Nantes 94 ¤ Divisibilité
14 765 432 123 379
- 790
14 765 432 044 3
- 430
14 765 427 74
- 740
14 764 687
- 870
14 677 6
- 760
707
1.1/ Application de l’algorithme (Cf. cartouche à gauche). On finit par obtenir 707 qui
est clairement divisible par 7.
1.2/ Etape 1 : prendre le quotient Q de M dans la division par 100 ; étape 2 : prendre le
reste R de M dans la division par 100 ; étape 3 : soustraire du quotient Q 10 fois le reste
R ; on tient le nombre N.
2.1/ M = 100.Q + R ; D = R ; E = Q ; N = Q – 10.R
2.2/ N est un multiple de 7, donc aussi Q-3.R donc aussi 2.Q-6R (on double) donc enfin
2.Q+R (on ajoute 7.R). Or : M=100.Q+R=98.Q + 2.Q+R=7.14.Q + 2.Q+R. Ainsi M est
somme de multiples de 7 donc clairement un multiple de 7. (Resterait à prouver la
réciproque).
2.3/ Dans l’algorithme étudié, on construit une suite finie et décrosissante de nombres
M1->N1=M2 ->N2=M3 … ->Np=Mp+1->Np+1 . Donc si Np+1 est divisible par 7, alors
Np=Mp+1 le sera aussi et de proche en proche tous les termes en remontant jusqu’à M1.
Nice 94 ¤ Diviseurs
N=mcdu / m, c, d, u ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P = (m-1)(c-1)(d-1)(u-1) S = (m+1)(c+1)(d+1)(u+1)
1/ N=3287 ⇒ P=2176 S=4398 ; S=2395 ⇒ N=1284 P=173
2/ S-N = 1111 N-P = 1111 S= S-N + N-P + P donc S = 2222 + P.
3/ 1111 ≤ N ≤ 8888 ⇒ 3333 ≤ 3.N ≤ 26664 et 0≤ P ≤7777 et 2222 ≤ S ≤9999 Donc 5555 ≤ T ≤ 44440
T = P + 3.N + S = (N - 1111) + 3.N + (N+1111) = 5.N T est multiple de 5 !
4/ N=48.q+3 1111 = 23.48+7⇒ S = 48(q+23) + 10 et P = 48(q-23)-4=48(q-24)+44. Les restes cherchés sont donc
respectivement de 10 et de 44.
Paris 94 ¤ Multiples
15.8=120 Donc 105 est plus petit nombre de 3 chiffres divisible par 15 (105=7.15).
15.70=1050 donc 15.66=990 est le plus grand nombre de 3 chiffres divisible par 15.
Il y a donc 66-7+1=60 nombres de 3 chiffres divisibles par 15.
1/a/ 2 au seizième coup. b/&c/ 1 au 2977ième coup d/8932-99.3=8635
2/a/8562 = 34. 251 + 28 b/8562 = 251. 34 + 28
18 846 610 = 4973 x 3789 + 3913
c/ Division de 18 846 610 par 4973 ; quotient = 3789 reste = 3913
Poitiers 94 ¤ Division +
1/ 1994 = 498.4+2 1995 = 498.4+3 1996 = 499.4+0 1997 = 499.4+1 1998 =499.4+2
d/ Division de 18 846 610 par 3789 ; quotient = 4973 + 1 = 4974 reste = 3913 – 3789 = 124
3/ 1 261 541 = 4 897 x 257 + 3 012
261 54100 = 100 x 1 261 541 = 100 x (4 897 x 257 + 3012) = 489 700 x 257 + 301 200
4/ On découpe N = 8 640 219 en A = 8 x 1 000 000 , B = 6 x 100 000 , C = 4 x 10 000, D = 219 : N=A+B+C+D
Quotient de A par 1996 = 8 x 501 = 4 008
Reste de A par 1996 = 8 x 4 = 32 d’après (1)
Quotient de B par 1996 = 6 x 50 = 300
Reste de B par 1996 = 6 x 200 = 1 200 d’après (2)
Quotient de C par 1996 = 4 x 5 = 20
Reste de C par 1996 = 4 x 20 = 80 d’après (3)
Quotient de D par 1996 = 0
Reste de D par 1996 = 219
a/ Quotient de N par 1996 = 4328
Reste de N par 1996 = 1531
b/ De même (on saute les étapes) : N = 5 862 756
Quotient a priori de N par 1996 = 5 x 501 + 8 x 50 + 6 x 5 + 1 (2756 = 1 x 1996 + 760)
Soit Quotient de N par 1996 = 2936
Reste a priori de N par 1996 = 5 x 4 + 8 x 200 + 6 x 80 +760 = 2860. Ce reste est trop fort ! On pouvait encore
diviser une fois ; d’ou le quotient cherché de 2937 et le reste de 864.
Lyon 94 ¤ Diviseurs
a/ Diviseurs de 16 : {1 2 4 8 16} b/ Diviseurs de 36 : { 1 2 3 4 6 9 12 18 36} c/ arbre ou décomposition en
facteurs premiers d/ 64 possède 7 diviseurs, 144 possède 15 diviseurs. Tous les nombres fournis sont des
carrés. C’est d’ailleurs le nœud de l’affaire.
e/ n=225 de diviseurs { 1 3 5 9 15 25 45 75 225}
CERPE_Corr_Multiples.doc
1 2 3 4 5 6 7 8
12 24 36 48 60 72 84 96
13 25 37 49 61 73 85 97
-2-
2/ Tableau demandé :
5
6
7
8
9
10
11
n 0 1 2 3 4
n2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
1
0
1
0
1
0
1
r 0 1 0 1 0
Il semble que le reste dans la division par 4 du carré d’un entier pair soit nul et d’un entier impair vaille 1.
3/ On écrit : n=2k+r (avec r=0 ou 1) n2 =(2k)2+2.(2k)+r2 = 4(k2+k)+s avec s=r2 / s=0 ou 1. On peut
conclure facilement.
4/ a et b sont deux entiers impairs. Donc les restes dans la division par 4 des carrés a2 et b2 valent 1 et
celui de la somme a 2+b2 vaut 2, qui n’est ni 0 ni 1. a2+b2 ne peut être carré d’un entier.
Rouen 94 ¤ Diviseurs
1/ 84 = 22. 3. 7 D’où la liste des diviseurs de 84 : 1 2 3 4 6 7 12 14 21 28 42 84.
2/ 84 = x.(x+1).(2x+1) x=3 convient parfaitement.
Versailles 94 ¤ Division
9 531 914 = 5 326 × 1 789 + 3700 Le quotient de 9 531 914 par 5 326 est 1 789 mais celui de 9 531 914
par 1 789 est 5 328 car 3700 = 1 789 × 2 + 222.
La Réunion 94 ¤ Division
a + b =100 a = 6×b+9 (a ≥ b) ⇒100 = 7× b + 9 Or 100 = 14 × 7 + 2 Donc b vaut 13 et a 87.
CERPE_Corr_Multiples.doc
-3-