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Identifiant Candidat : …........................................ Année : 2014 – 2015 Module : Mathématiques – Semestre I et II 2nde Session EiCNAM – ISIP Mathématiques – Semestre I et II 2nde Session Thème : Équations différentielles, Probabilités, Lois de Probabilités, Statistiques descriptives. Durée : 1 H 30 Calculatrice de type collège autorisée Les documents suivants sont joints au sujet : ➢ ➢ Un formulaire de mathématiques (page n°8 et suivantes) Une notice d'utilisation de la calculatrice CASIO collège fx-92 2D (page n°11) Le candidat répondra directement sur le sujet en indiquant son identifiant sur chaque page Notes à l'attention des candidats : – Les deux exercices sont indépendants. – La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. – Les détails de calculs devront clairement apparaître sur la copie. M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°1/11 Identifiant Candidat : …........................................ Mise en situation professionnelle Tour de France 2015 Source : http://www.letour.fr/le-tour/2015/fr/parcours-general.html Le fil rouge de ce sujet est associé au tour de France 2015. 198 coureurs au départ répartis en 22 équipes. 3360 km à parcourir répartis en 21 étapes. Pour information : Vincenzo Nibali remporta le tour de France 2014. Il a parcouru les 21 étapes (3660,5 km au total) à la vitesse moyenne de 40,679 km/h. (source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Palmar%C3%A8s_du_Tour_de_France) Le sujet a été finalisé pour le vendredi 17 juillet 2015. M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°2/11 Identifiant Candidat : …........................................ EXERCICE n°1: (8 points) Prologue Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Le prologue du tour de France 2015 (Utrecht / Utrecht : 13,8 km) a été remporté par ROHAN Dennis (équipe BMC RACING TEAM) en 14 minutes en 56 secondes (14'56''). Partie A. Vitesse v(t) de ROHAN Dennis L'objectif de cette partie est la modélisation et l'étude de l'évolution de la vitesse v en fonction du temps t de ROHAN Dennis sur les tous premiers instants du prologue (phase d'accélération jusqu'à la phase de stabilisation à la vitesse moyenne) 1. Vitesse moyenne 15,402 m/s ou 55,446 km/h a) Déterminer la vitesse moyenne vm de ROHAN Dennis en m/s. Arrondir à 10 – 3 près. ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ b) Convertir cette vitesse en km/h. Arrondir à 10 – 3 près. ........................................................................................................................................................ 2. Soit t le temps exprimé en secondes et v la vitesse exprimée en m/s, fonction de la variable t. Au top départ de ROHAN Dennis, on suppose que la fonction vitesse v (t) est solution de l'équation différentielle (E) suivante : (E) : v ' (t) + 0,2 × v (t) = 3,08. où v' est la fonction dérivée de la fonction v. a) Résoudre l'équation homogène (E0) : v ' (t) + 0,2 × v (t) = 0. ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ b) Montrer que la fonction constante vp (t) = 15,4 est une solution particulière de l'équation différentielle (E). ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ c) En déduire la solution générale de l'équation différentielle (E). ........................................................................................................................................................ M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°3/11 Identifiant Candidat : …........................................ d) Énoncer la condition initiale vérifiée par la fonction vitesse v (t) de ROHAN Dennis. ........................................................................................................................................................ e) En déduire l'expression de la fonction vitesse v (t) de ROHAN Dennis sur les tous premiers instants du prologue. ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ Partie B. Temps de parcours Les 198 temps de parcours des 198 coureurs du prologue du tour de France 2015 sont représentés dans le double tableau ci-dessous. Le 198ième et dernier coureur du prologue fut CHEREL Mikaël (équipe AG2R la mondiale) en 18 minutes et 32 secondes (18'32''). Temps t (s) [ 870 ; 900 [ [ 900 ; 930 [ [ 930 ; 960 [ [ 960 ; 990 [ [ 990 ; 1020 [ Centre (s) 885 915 945 975 1005 Effectif n 1 11 46 86 42 Temps t (s) [ 1020 ; 1050 [ [ 1050 ; 1080 [ [ 1080 ; 1110 [ [ 1110 ; 1140 [ Centre (s) 1035 1065 1095 1125 Effectif n 11 0 0 1 Total 198 Source : http://www.letour.fr/le-tour/2015/fr/etape-1/classements.html 1. Étude statistique a) Compléter la ligne Centre de classe puis déterminer la moyenne t et l'écart-type σt de la série statistique ci-dessus. Arrondir à 10 – 2 près. 974,70 et 30,89 ........................................................................................................................................................ b) Déterminer le pourcentage de coureurs pour lesquels le temps de parcours du prologue est compris entre t1 = 15'30'' inclus et t2 = 17'00'' exclu. Arrondir à 10 – 2 près. 87,88 % ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ 2. Soit X la variable aléatoire donnant le temps de parcours en minutes du prologue du tour de France d'un coureur pris au hasard. On admet que X suit une loi normale de moyenne m = 16,25 et d'écart-type σ = 0,5. Déterminer la probabilité que X soit compris entre x1 = 15,5 et x2 = 17. Arrondir à 10 – 4 près. 0,8664 ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°4/11 Identifiant Candidat : …........................................ EXERCICE n°2: (12 points) Course complète Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A. Chute et crevaison en 2014 Une étude statistique sur les incidents de course du tour de France 2014 a donné les résultats suivants. Pour un coureur pris au hasard sur une étape prise au hasard : ➢ ➢ ➢ ➢ La probabilité de crevaison est 0,02 La probabilité de chute est 0,03 La probabilité de chute sachant que le coureur a crevé est 0,6. Les autres incidents de course sont négligés (incidents mécaniques, plusieurs crevaisons, plusieurs chutes,...). Soient les évènements suivants : ➢ ➢ C : « Le coureur est victime d'une crevaison » T : « Le coureur est victime d'une chute (i.e. le coureur est tombé) » En utilisant les données ci-dessus, 1. Dessiner et compléter intégralement l'arbre de probabilités associé aux incidents de course. Arrondir les probabilités à 10 – 3 près. ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ 2. En déduire la probabilité qu'un coureur ne soit victime ni de crevaison ni de chute au cours de l'étape. Arrondir à 10 – 3 près. 0,962 ........................................................................................................................................................ Partie B. Prévision pour le tour de France 2015 On suppose désormais pour le tour de France 2015 que la probabilité qu'un coureur pris au hasard n'ait aucun incidents de course sur une étape prise au hasard est 0,96. On rappelle que pour le tour de France 2015, il y a 198 coureurs au départ et 21 étapes au total. 1. Incidents sur le prologue. Soit N la variable aléatoire donnant le nombre de coureurs ayant eu un incident de course lors du prologue du tour de France 2015. M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°5/11 Identifiant Candidat : …........................................ a) On admet que N suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. ........................................................................................................................................................ b) Déterminer la probabilité qu'aucun coureur n'ait eu d'incidents de course pendant le prologue. Arrondir à 10 – 4 près. 0,0003 ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ On décide d'approcher la variable aléatoire N par une variable aléatoire Z qui suit une loi de Poisson. c) Déterminer la valeur du paramètre de la loi de Poisson. Arrondir à l'unité. 7,92 donc 8. ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ d) A l'aide de la loi de Poisson, déterminer la probabilité P ( Z > 1 ). Arrondir à 10 – 3 près. 1 – 0,003 = 0,997 ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ 2. Incidents sur le tour pour un coureur ayant fini le tour. Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre d'étapes où un même coureur est victime d'un incident de course. a) On admet que Y suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. ........................................................................................................................................................ b) Déterminer la probabilité P ( Y = 0 ). Arrondir à 10 – 3 près. 0,424 ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ c) Déterminer la probabilité P ( Y = 1 ). Arrondir à 10 – 3 près. 0,371 ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ d) En déduire la probabilité P ( Y > 1 ). Arrondir à 10 – 3 près. 1 – 0,424 – 0,371 = 0,205 ........................................................................................................................................................ M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°6/11 Identifiant Candidat : …........................................ Partie C. Temps de parcours Vous trouverez ci-dessous la distance cumulée et le temps cumulé du maillot jaune jusqu'à la dixième étape du tour de France 2015. La distance cumulée est exprimé en kilomètres, le temps cumulé t est exprimé en minutes. Fin de l'étape n° Maillot Jaune Distance cumulée d (km) Temps cumulé t (m) 2 4 6 8 10 CANCELLARA MARTIN MARTIN FROOME FROOME 179,8 562,8 943,8 1315,8 1510,8 224 760 1333 1862 2156 Source : http://www.letour.fr/le-tour/2015/fr/etape-10/classements.html L'objectif est d'estimer le temps de parcours T pour parcourir les 3360 kilomètres du tour de France 2015. 1. En utilisant uniquement les données de l'étape n°10, déterminer une valeur approchée en minutes du temps T1 de parcours du tour de France 2015. Arrondir à l'unité. 4795 minutes ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ 2. En utilisant toutes les données, a) A l'aide de la calculatrice, donner les coefficients a, b et r de la droite de régression linéaire de la série de données A( d ; t ). Arrondir à 10 – 4 près. A2 = 1,4534, b2 = - 44,8825 et r2 = 0,9999 ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ b) En déduire le temps de parcours T issu du modèle. Arrondir à l'unité. 4839 minutes ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ c) En déduire la vitesse moyenne issu du modèle du tour de France 2015. Exprimer cette vitesse en m/s puis en km/h. Arrondir à 10 – 3 près. 11,573 m/s soit 41,662 km/h ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°7/11 Identifiant Candidat : …........................................ FORMULAIRE : Fonction Dérivées, primitives, calcul intégral Équations différentielles M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°8/11 Identifiant Candidat : …........................................ FORMULAIRE : Loi de probabilités M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°9/11 Identifiant Candidat : …........................................ M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°10/11 Identifiant Candidat : …........................................ MANUEL Calculatrice CASIO Collège fx-92 (Extrait) M. Basnary S. EiCNAM – ISIP Page n°11/11
