2014_2015

Identifiant Candidat : …........................................

Année : 2014 – 2015

EiCNAM – ISIP Module : Mathématiques – Semestre I et II

2nde Session

Mathématiques – Semestre I et II

2nde Session

Thème :

Équations différentielles, Probabilités,

Lois de Probabilités, Statistiques descriptives.

Durée : 1 H 30

Calculatrice de type collège autorisée

Les documents suivants sont joints au sujet :

➢Un formulaire de mathématiques (page n°8 et suivantes)

➢Une notice d'utilisation de la calculatrice CASIO collège fx-92 2D (page n°11)

Le candidat répondra directement sur le sujet en indiquant son identifiant sur chaque page

Notes à l'attention des candidats :

– Les deux exercices sont indépendants.

– La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part

importante dans l'appréciation des copies.

– Les détails de calculs devront clairement apparaître sur la copie.

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Mise en situation professionnelle

Tour de France 2015

Source : http://www.letour.fr/le-tour/2015/fr/parcours-general.html

Le fil rouge de ce sujet est associé au tour de France 2015.

198 coureurs au départ répartis en 22 équipes.

3360 km à parcourir répartis en 21 étapes.

Pour information : Vincenzo Nibali remporta le tour de France 2014. Il a parcouru les 21 étapes

(3660,5 km au total) à la vitesse moyenne de 40,679 km/h.

(source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Palmar%C3%A8s_du_Tour_de_France)

Le sujet a été finalisé pour le vendredi 17 juillet 2015.

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EXERCICE n°1: (8 points) Prologue

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Le prologue du tour de France 2015 (Utrecht / Utrecht : 13,8 km) a été remporté par ROHAN

Dennis (équipe BMC RACING TEAM) en 14 minutes en 56 secondes (14'56'').

Partie A. Vitesse v(t) de ROHAN Dennis

L'objectif de cette partie est la modélisation et l'étude de l'évolution de la vitesse v en fonction du

temps t de ROHAN Dennis sur les tous premiers instants du prologue (phase d'accélération jusqu'à

la phase de stabilisation à la vitesse moyenne)

1. Vitesse moyenne 15,402 m/s ou 55,446 km/h

a) Déterminer la vitesse moyenne vm de ROHAN Dennis en m/s. Arrondir à 10 – 3 près.

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b) Convertir cette vitesse en km/h. Arrondir à 10 – 3 près.

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2. Soit t le temps exprimé en secondes et v la vitesse exprimée en m/s, fonction de la variable t. Au

top départ de ROHAN Dennis, on suppose que la fonction vitesse v (t) est solution de l'équation

différentielle (E) suivante :

(E) : v ' (t) + 0,2 × v (t) = 3,08.

où v' est la fonction dérivée de la fonction v.

a) Résoudre l'équation homogène (E0) : v ' (t) + 0,2 × v (t) = 0.

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b) Montrer que la fonction constante vp (t) = 15,4 est une solution particulière de l'équation

différentielle (E).

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c) En déduire la solution générale de l'équation différentielle (E).

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d) Énoncer la condition initiale vérifiée par la fonction vitesse v (t) de ROHAN Dennis.

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e) En déduire l'expression de la fonction vitesse v (t) de ROHAN Dennis sur les tous premiers

instants du prologue.

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Partie B. Temps de parcours

Les 198 temps de parcours des 198 coureurs du prologue du tour de France 2015 sont représentés

dans le double tableau ci-dessous. Le 198ième et dernier coureur du prologue fut CHEREL Mikaël

(équipe AG2R la mondiale) en 18 minutes et 32 secondes (18'32'').

Temps t (s) [ 870 ; 900 [ [ 900 ; 930 [ [ 930 ; 960 [ [ 960 ; 990 [ [ 990 ; 1020 [

Centre (s) 885 915 945 975 1005

Effectif n 1 11 46 86 42

Temps t (s) [ 1020 ; 1050 [ [ 1050 ; 1080 [ [ 1080 ; 1110 [ [ 1110 ; 1140 [ Total

Centre (s) 1035 1065 1095 1125

Effectif n 11 0 0 1 198

Source : http://www.letour.fr/le-tour/2015/fr/etape-1/classements.html

1. Étude statistique

a) Compléter la ligne Centre de classe puis déterminer la moyenne

t

et l'écart-type σt de la série

statistique ci-dessus. Arrondir à 10 – 2 près. 974,70 et 30,89

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b) Déterminer le pourcentage de coureurs pour lesquels le temps de parcours du prologue est

compris entre t1 = 15'30'' inclus et t2 = 17'00'' exclu. Arrondir à 10 – 2 près. 87,88 %

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2. Soit X la variable aléatoire donnant le temps de parcours en minutes du prologue du tour de

France d'un coureur pris au hasard. On admet que X suit une loi normale de moyenne m = 16,25

et d'écart-type σ = 0,5. Déterminer la probabilité que X soit compris entre x1 = 15,5 et x2 = 17.

Arrondir à 10 – 4 près. 0,8664

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EXERCICE n°2: (12 points) Course complète

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A. Chute et crevaison en 2014

Une étude statistique sur les incidents de course du tour de France 2014 a donné les résultats

suivants. Pour un coureur pris au hasard sur une étape prise au hasard :

➢La probabilité de crevaison est 0,02

➢La probabilité de chute est 0,03

➢La probabilité de chute sachant que le coureur a crevé est 0,6.

➢Les autres incidents de course sont négligés (incidents mécaniques, plusieurs crevaisons,

plusieurs chutes,...).

Soient les évènements suivants :

➢C : « Le coureur est victime d'une crevaison »

➢T : « Le coureur est victime d'une chute (i.e. le coureur est tombé) »

En utilisant les données ci-dessus,

1. Dessiner et compléter intégralement l'arbre de probabilités associé aux incidents de course.

Arrondir les probabilités à 10 – 3 près.

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2. En déduire la probabilité qu'un coureur ne soit victime ni de crevaison ni de chute au cours de

l'étape. Arrondir à 10 – 3 près. 0,962

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Partie B. Prévision pour le tour de France 2015