derivation et etude de fonctions : cours

DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : COURS
OBJECTIFS : Connaître la définition du nombre dérivé en x0.
Savoir utiliser les fonctions dérivées usuelles.
Savoir appliquer à l'étude du sens de variation d'une fonction.
ACTIVITE 1 : Utilité de la dérivée.
Le directeur d'un magasin détermine que son bénéfice B(q) en milliers d'euros en fonction du nombre q d'articles vendus en
milliers est :
B(q) = -q2 + 80q – 200
Sachant qu'il vend entre 20 000 et 60 000 articles, il désire déterminer le nombre d'articles à vendre qui lui permettra de
réaliser un bénéfice maximum.
1) Compléter le tableau ci-contre.
q (en milliers)
20
25
30
35
40
45
50
55
60
2) A priori, combien d'articles doit-il
B(q) (en milliers)
vendre ? En est-on sûr ?
ACTIVITE 2 : Recherche du nombre dérivé.
x
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
f(x)
u(x)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Après avoir complété le tableau de valeurs,
tracer les fonctions f(x) = x2 et u(x) = 2x – 1
sur l'intervalle [-3 ; 3] sur le papier
millimétré ci-contre.
Echelle : Abscisses : 2 cm pour 1 unité
Ordonnées : 1 cm pour 1 unité.
Que constatez-vous ?
I) LE NOMBRE DERIVE.
ACTIVITE 3 : Recherche de la fonction dérivée.
Tracer sur le papier millimétré dans d'autres couleurs sur l'intervalle [0 ; 2] les fonctions g(x) = 0,4x2 et v(x) = 0,8x – 0,4
puis les fonctions h(x) = 2x2 et w(x) = 4x - 2
Que constatez-vous ?
DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : COURS
II) LA FONCTION DERIVEE.
1) Calcul des dérivées.
On aurait pu calculer le nombre dérivé grâce au tableau ci-contre :
et f '(1) =
Si f(x) = x2 alors f '(x) =
Si g(x) = 0,4x2 alors g'(x) =
et g'(1) =
Si h(x) = 2x2 alors h'(x) =
et h'(1) =
Fonction f
ax + b
x2
x3
Dérivée f '
a
2x
3x2
2) Opérations sur les dérivées.
La fonction f(x) + g(x) a pour dérivée
La fonction kf(x) a pour dérivée
3) Exemples.
Calculer les dérivées des fonctions
f(x) = 3x2 – 5x +4
g(x) = 4x3 – 7x2 + 2x – 3
3
h(x) = + 4x2
x
ACTIVITE 4 : Relation signe de la dérivée f '(x) - sens de variation de la fonction f.
Soit la fonction f définie sur  par f(x) = 0,5x2 – 2x –1.
a) Calculer la dérivée f '(x).
b) Sur quel intervalle a-t-on f '(x) > 0 ? f '(x) < 0 ?
c) Compléter le tableau suivant :
x
-10
-5
-1
0
1
2
3
4
5
f '(x)
f(x)
d) Comparer, sur chacun des intervalles ]-∞ ; 2[ et ]2 ; +∞[, le signe de f ' et le sens de variation de f.
III) FONCTION DERIVEE ET SENS DE VARIATION.
Soit f une fonction et f ' sa dérivée.
IV) VERIFICATION DE LA SOLUTION DE L'ACTIVITE 1.
1) Calculer B'(q).
2) Résoudre B'(q) = 0.
3) Etudier le signe de B'(q) en fonction de q.
4) Faire le tableau de variation de la fonction B(q).
5) Finalement, pour combien d'articles le bénéfice est-il maximum ?
V) EXTREMUM.
10
1
x
1
- 2
x
DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : EXERCICES
1. Calculer la dérivée de la fonction f dans les cas suivants
6. Sujet Comptabilité 2000 (partie).
puis calculer f '(2), f '(-1) et f '(4) :
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 8] par :
2
a) f(x) = -3x + 5
b) f(x) = 2x + 3
f(x) = -250x2 + 1 000x + 8 000
4
1) Compléter le tableau de valeurs.
c) f(x) = 5x2 + 4x – 6
d) f(x) = 3x +
x
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
2
e) f(x) = 3x + 2x + x + 1
f) f(x) = - x
f(x)
9000
8000
2750
3
2) Représenter graphiquement cette fonction sur
5
g) f(x) = -x2 + 4x + 1
h) f(x) = 2x2 – 3x – 2 –
l'intervalle [0 ; 8] dans un repère orthogonal.
x
Abscisse : 2 cm pour 1 unité ; Ordonnée : 2 cm pour 1000
3)
Déterminer, à l'aide du graphique, la valeur de x pour
2. Soit la fonction f : x a -x2 + 10x – 5 pour 0 ≤ x ≤ 10.
laquelle la fonction passe par un maximum.
a) Déterminer la dérivée f ' de la fonction f.
4) Déterminer la fonction f ' dérivée de la fonction f.
b) Résoudre f '(x) = 0
5) Résoudre l'équation f '(x) = 0 et étudier le signe de la
c) Etudier le signe de f '(x).
dérivée.
d) Donner le tableau de variation de la fonction.
6) Déduire de la question précédente le tableau de variation
de la fonction f. On précisera la valeur du maximum.
2
3. Soit la fonction f définie sur ]0 ; 5] par : f(x) =
x
7. Sujet Secrétariat 2000 (partie).
a) Déterminer la dérivée f ' de la fonction f.
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 100] par :
b) Etudier le signe de f ' et déduire le tableau de variation de
f(x) = x3 - 120x2 + 3 600x + 10 000
la fonction f.
1) Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f.
c) Compléter le tableau ci-dessous.
2) Résoudre dans l'équation d'inconnue x :
x
0,5
1
2
4
5
3x2 – 240x + 3 600 = 0
f(x)
3) Faire le tableau de variation de la fonction f.
d) Tracer dans un repère orthonormé d’unité graphique
2 cm la courbe C représentative de la fonction f.
8. Sujet Secrétariat 2002 (sur 17,5)
e) Tracer dans le même repère la droite (D) d’équation
Le chiffre d'affaires en euros d'une société est donné par :
2
f(x) = -0,001x2 + 12,5x + 15 000 avec x, montant en euros
y=- x+3
3
investi dans la publicité, x ∈ [0 ; 10 000].
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (D)
PARTIE A.
et C.
1) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
x
0
1 000 3 000 7 000 10 000
4. Le bénéfice B en euros réalisé par une société pour un
f(x)
nombre q d’articles produits est donné par la relation :
2) Calculer f '(x) où f ' est la dérivée de la fonction f.
B(q) = -0.7q2 + 350q – 28 000
3)
a) Résoudre l'équation f '(x) = 0. On note x0 la
1) Compléter le tableau ci-dessous.
solution
de cette équation.
q
100
200
250
300
350
400
b)
On admet que f atteint son maximum pour x = x0.
B(q)
Calculer la valeur arrondie à l'unité de ce maximum.
2) Etudier les variations de B(q) sur [100 ; 400].
4) Tracer la courbe C dans un repère orthogonal.
3) Déterminer le nombre d’articles pour lequel l’entreprise
Abscisse : 1 cm pour 1000 € ; Ordonnée : 1 cm pour 5000 €
réalisera le bénéfice maximal.
5)
Quel est le montant de l'investissement dans la publicité
Quel sera, dans ce cas, le bénéfice ?
que la société n'a pas besoin de dépasser ? Justifier la
réponse.
5. Un traiteur propose des buffets pour des mariages. Le
bénéfice en euros est donné par l'expression :
B(n) = -5n2 + 240n – 675
1) Calculer le bénéfice pour 10 mariages.
2) Soit la fonction f définie sur l'intervalle [3 ; 45] par
f(x) = -5x2 + 240x – 675
a) Calculer f '(x) ou f ' est la dérivée de la fonction f.
b) Résoudre l'équation f '(x) = 0
c) Construire le tableau de variation de la fonction f.
d) Tracer la représentation graphique de la fonction f, le
plan étant rapporté à un repère orthogonal (Ox ; Oy).
Abscisse : 1 cm pour 5 ; Ordonnée : 1 cm pour 200
3) a) Pour combien de mariage le bénéfice est-il maximum ?
Quel est dans ce cas le bénéfice ?
b) En utilisant le graphique, déterminer pour quel nombre
de mariages le traiteur réalise le même bénéfice que pour
l'organisation de 29 mariages.
PARTIE B.
Les contraintes financières de la société lui imposent un
chiffre d'affaire minimal de 45 000 €.
1) Tracer dans le même repère, la droite d'équation
y = 45 000
2) Lire graphiquement les abscisses des points d'intersection
de la courbe C avec la droite D. Laisser apparents les traits
permettant la lecture graphique.
3) Résoudre l'équation f(x) = 45 000
4) Préciser, à l'aide du graphique et des valeurs obtenues
précédemment, pour quelles sommes investies dans la
publicité le chiffre d'affaires reste supérieur à 45 000 €.