derivation et etude de fonctions : cours

DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : COURS
OBJECTIFS :  Connaître la définition du nombre dérivé en x
0
.
 Savoir utiliser les fonctions dérivées usuelles.
 Savoir appliquer à l'étude du sens de variation d'une fonction.
ACTIVITE 1 : Utilité de la dérivée.
Le directeur d'un magasin détermine que son bénéfice B(q) en milliers d'euros en fonction du nombre q d'articles vendus en
milliers est : B(q) = -q
2
+ 80q – 200
Sachant qu'il vend entre 20 000 et 60 000 articles, il désire déterminer le nombre d'articles à vendre qui lui permettra de
réaliser un bénéfice maximum. 1) Compléter le tableau ci-contre.
2) A priori, combien d'articles doit-il
vendre ? En est-on sûr ?
ACTIVITE 2 : Recherche du nombre dérivé.
x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x)
u(x)
Après avoir complété le tableau de valeurs,
tracer les fonctions f(x) = x
2
et u(x) = 2x – 1
sur l'intervalle [-3 ; 3] sur le papier
millimétré ci-contre.
Echelle : Abscisses : 2 cm pour 1 unité
Ordonnées : 1 cm pour 1 unité.
Que constatez-vous ?
I) LE NOMBRE DERIVE.
ACTIVITE 3 : Recherche de la fonction dérivée.
Tracer sur le papier millimétré dans d'autres couleurs sur l'intervalle [0 ; 2] les fonctions g(x) = 0,4x
2
et v(x) = 0,8x – 0,4
puis les fonctions h(x) = 2x
2
et w(x) = 4x - 2
Que constatez-vous ?
q (en milliers) 20 25 30 35 40 45 50 55 60
B(q) (en milliers)

DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : COURS
II) LA FONCTION DERIVEE.
1) Calcul des dérivées.
On aurait pu calculer le nombre dérivé grâce au tableau ci-contre :
Si f(x) = x
2
alors f '(x) = et f '(1) =
Si g(x) = 0,4x
2
alors g'(x) = et g'(1) =
Si h(x) = 2x
2
alors h'(x) = et h'(1) =
2) Opérations sur les dérivées.
La fonction f(x) + g(x) a pour dérivée
La fonction kf(x) a pour dérivée
3) Exemples.
Calculer les dérivées des fonctions f(x) = 3x
2
– 5x +4
g(x) = 4x
3
– 7x
2
+ 2x – 3
h(x) = 3
x + 4x
2
ACTIVITE 4 : Relation signe de la dérivée f '(x) - sens de variation de la fonction f.
Soit la fonction f définie sur  par f(x) = 0,5x
2
– 2x –1.
a) Calculer la dérivée f '(x).
b) Sur quel intervalle a-t-on f '(x) > 0 ? f '(x) < 0 ?
c) Compléter le tableau suivant :
x -10 -5 -1 0 1 2 3 4 5 10
f '(x)
f(x)
d) Comparer, sur chacun des intervalles ]-∞ ; 2[ et ]2 ; +∞[, le signe de f ' et le sens de variation de f.
III) FONCTION DERIVEE ET SENS DE VARIATION.
Soit f une fonction et f ' sa dérivée.
IV) VERIFICATION DE LA SOLUTION DE L'ACTIVITE 1.
1) Calculer B'(q).
2) Résoudre B'(q) = 0.
3) Etudier le signe de B'(q) en fonction de q.
4) Faire le tableau de variation de la fonction B(q).
5) Finalement, pour combien d'articles le bénéfice est-il maximum ?
V) EXTREMUM.
Fonction f ax + b x
2
x
3
1
x
Dérivée f ' a 2x 3x
2
-1
x
2

DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS : EXERCICES
1. Calculer la dérivée de la fonction f dans les cas suivants
puis calculer f '(2), f '(-1) et f '(4) :
a) f(x) = -3x + 5 b) f(x) = 2x
2
+ 3
c) f(x) = 5x
2
+ 4x – 6 d) f(x) = 3x + 4
x
e) f(x) = 3x
3
+ 2x
2
+ x + 1 f) f(x) = -2
3 x
g) f(x) = -x
2
+ 4x + 1 h) f(x) = 2x
2
– 3x – 2 – 5
x
2. Soit la fonction f : x a -x
2
+ 10x – 5 pour 0 ≤ x ≤ 10.
a) Déterminer la dérivée f ' de la fonction f.
b) Résoudre f '(x) = 0
c) Etudier le signe de f '(x).
d) Donner le tableau de variation de la fonction.
3. Soit la fonction f définie sur ]0 ; 5] par : f(x) = 2
x
a) Déterminer la dérivée f ' de la fonction f.
b) Etudier le signe de f ' et déduire le tableau de variation de
la fonction f.
c) Compléter le tableau ci-dessous.
x 0,5 1 2 4 5
f(x)
d) Tracer dans un repère orthonormé d’unité graphique
2 cm la courbe C représentative de la fonction f.
e) Tracer dans le même repère la droite (D) d’équation
y = -2
3 x + 3
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (D)
et C.
4. Le bénéfice B en euros réalisé par une société pour un
nombre q d’articles produits est donné par la relation :
B(q) = -0.7q
2
+ 350q – 28 000
1) Compléter le tableau ci-dessous.
q 100 200 250 300 350 400
B(q)
2) Etudier les variations de B(q) sur [100 ; 400].
3) Déterminer le nombre d’articles pour lequel l’entreprise
réalisera le bénéfice maximal.
Quel sera, dans ce cas, le bénéfice ?
5. Un traiteur propose des buffets pour des mariages. Le
bénéfice en euros est donné par l'expression :
B(n) = -5n
2
+ 240n – 675
1) Calculer le bénéfice pour 10 mariages.
2) Soit la fonction f définie sur l'intervalle [3 ; 45] par
f(x) = -5x
2
+ 240x – 675
a) Calculer f '(x) ou f ' est la dérivée de la fonction f.
b) Résoudre l'équation f '(x) = 0
c) Construire le tableau de variation de la fonction f.
d) Tracer la représentation graphique de la fonction f, le
plan étant rapporté à un repère orthogonal (Ox ; Oy).
Abscisse : 1 cm pour 5 ; Ordonnée : 1 cm pour 200
3) a) Pour combien de mariage le bénéfice est-il maximum ?
Quel est dans ce cas le bénéfice ?
b) En utilisant le graphique, déterminer pour quel nombre
de mariages le traiteur réalise le même bénéfice que pour
l'organisation de 29 mariages.
6. Sujet Comptabilité 2000 (partie).
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 8] par :
f(x) = -250x
2
+ 1 000x + 8 000
1) Compléter le tableau de valeurs.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 9000 8000 2750
2) Représenter graphiquement cette fonction sur
l'intervalle [0 ; 8] dans un repère orthogonal.
Abscisse : 2 cm pour 1 unité ; Ordonnée : 2 cm pour 1000
3) Déterminer, à l'aide du graphique, la valeur de x pour
laquelle la fonction passe par un maximum.
4) Déterminer la fonction f ' dérivée de la fonction f.
5) Résoudre l'équation f '(x) = 0 et étudier le signe de la
dérivée.
6) Déduire de la question précédente le tableau de variation
de la fonction f. On précisera la valeur du maximum.
7. Sujet Secrétariat 2000 (partie).
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 100] par :
f(x) = x
3
- 120x
2
+ 3 600x + 10 000
1) Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f.
2) Résoudre dans l'équation d'inconnue x :
3x
2
– 240x + 3 600 = 0
3) Faire le tableau de variation de la fonction f.
8. Sujet Secrétariat 2002 (sur 17,5)
Le chiffre d'affaires en euros d'une société est donné par :
f(x) = -0,001x
2
+ 12,5x + 15 000 avec x, montant en euros
investi dans la publicité, x ∈ [0 ; 10 000].
PARTIE A.
1) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
x 0 1 000 3 000 7 000 10 000
f(x)
2) Calculer f '(x) où f ' est la dérivée de la fonction f.
3) a) Résoudre l'équation f '(x) = 0. On note x
0
la
solution de cette équation.
b) On admet que f atteint son maximum pour x = x
0
.
Calculer la valeur arrondie à l'unité de ce maximum.
4) Tracer la courbe C dans un repère orthogonal.
Abscisse : 1 cm pour 1000 € ; Ordonnée : 1 cm pour 5000 €
5) Quel est le montant de l'investissement dans la publicité
que la société n'a pas besoin de dépasser ? Justifier la
réponse.
PARTIE B.
Les contraintes financières de la société lui imposent un
chiffre d'affaire minimal de 45 000 €.
1) Tracer dans le même repère, la droite d'équation
y = 45 000
2) Lire graphiquement les abscisses des points d'intersection
de la courbe C avec la droite D. Laisser apparents les traits
permettant la lecture graphique.
3) Résoudre l'équation f(x) = 45 000
4) Préciser, à l'aide du graphique et des valeurs obtenues
précédemment, pour quelles sommes investies dans la
publicité le chiffre d'affaires reste supérieur à 45 000 €.