Exercices – Lois de probabilités discrètes - Maths13

Exercices – Lois de probabilités discrètes
Exercice 1 :
Un dé est lancer 5 fois. On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de sorties du 1 ou du 3 à l'occasion de
ces 5 lancers. Déterminer la loi de X et calculer E(X), V(X) et (X).
Exercice 2 :
Un jeu télévisé consiste en l'énoncé de 5 questions auxquelles le candidat répond par oui ou par non, l'une des deux réponses étant
juste, et l'autre fausse, et les réponses ont la même probabilité.
Un joueur répond au hasard aux questions posées. Déterminer :
1. La probabilité de voir le joueur répondre juste exactement 2 fois.
2. La probabilité qu'il réponde juste au moins 4 fois.
3. La probabilité qu'il réponde juste au moins une fois.
4. La probabilité que sa réponse soit fausse 3 fois au plus.
Exercice 3 :
Soit
a
∈ℕ* et
X
une variable aléatoire prenant pour valeurs 0, 1, 2 ...,
a
. On suppose que
X
est une variable uniforme et que
EX=6
. Déterminer
a
.
Exercice 4 :
Soit
a
,
b
∈ℕ* et
X
une variable aléatoire prenant pour valeurs 0, 1, 2 ...,
ab
. On suppose que
X
est une variable uniforme et que
PX=1= 1
a−1 b
.
Quelle relation y a-t-il entre
a
et
b
.
On suppose de plus que
EX=7
2
. Déterminer
a
et
b
. Que vaut
VX
?
Exercice 5 :
On considère une urne contenant 5 boules noires et 10 boules blanches. On tire simultanément 4 boules de l'urne successivement et
avec remise. On considère
X
la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches obtenues.
1. Déterminer la loi de
X
.
2. Calculer
PX=3
.
Exercice 6 :
Chaque matin un professeur interroge 4 étudiants pour tester leur connaissance du cours. Une indiscrétion lui permet de savoir que
dans la classe de 45 étudiants 10 ne connaissent pas leur cours. Soit
X
la variable aléatoire représentant le nombre d'étudiants ne
connaissant pas le cours parmi les 4 interrogés.
1. Déterminer la loi de
X
.
2. Calculer
PX=3
.
Exercice 7 :
Un service après vente de gros matériel frigorifique dispose d'équipes de dépannages qui interviennent sur appel de la clientèle. Pour
des causes diverses, les interventions ont parfois lieu avec retard (on considère qu'il y a retard dès que l'intervention est faites plus de
2h après l'appel du client).
On admet que les appels se produisent indépendamment les uns des autres et que pour un appel la probabilité d'un retard est
p=0,25
.
Dans une journée le nombre d'appel est
10
. On appelle
X
la variable aléatoire représentant le nombre de clients ayant subit un
retard.
1. Schématiser cette situation pas un problème de tirage dans une urne.
2. Définir la loi de
X
.
3. Donner les valeurs de l'espérance et de la variance de
X
.
4. On considère un ensemble de huit clients différents. Deux d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont du subir un retard à la suite
de leur appel. On contacte au hasard, quatre clients (distincts deux à deux parmi ces huit. On appelle
M
la variable aléatoire
représentant le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés.
a. Schématiser cette situation pas un problème de tirage dans une urne.
b. Définir la loi de
M
.
Exercice 8 :
On considère un groupe de 200 personnes composé de 100 hommes et de 100 femmes. On compose au hasard un comité de 10
personnes. Déterminer la probabilité de l'évènement A : « le comité comporte 6 femmes »
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Exercice 9 :
Dans les situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire
X
et donner son espérance.
1. Un fleuriste dispose de 100 roses dont 40 rouges et 60 roses. Il compose un bouquet en prenant au hasard 10 roses.
X
La
variable aléatoire représentant le nombre de roses roses dans le bouquet.
2. On lance un dé équilibré 10 fois de suite.
X
La variable aléatoire représentant le nombre de fois où le « 6 » est apparu.
3. Deux personnes lancent chacune une pièce équilibrée. On dit que l'expérience est un succès si elles obtiennent toutes les deux
face.
a. Ces personnes répètent l'expérience 8 fois.
X
est la variable aléatoire représentant le nombre de succès.
b. Ces personnes répètent l'expérience jusqu'à c e qu'elles obtiennent un succès.
X
est la variable aléatoire égale au nombre de
lancers pour obtenir un succès.
4. Dans une classe, il y a 10 élèves nés en 1985, 15 élèves nés en 1986, 5 élèves nés en 1987. On forme au hasard un groupe de 12
élèves dans cette classe.
X
est la variable aléatoire égale au nombre d'élèves nés ne 1985 dans le groupe.
5. Une agence de location de voitures propose à ses clients 3 catégories de voitures : A, B et C. Elle a constaté que dans une
journée : 10% des demandes sont pour A, 50% pour B et 10% pour C. Les demandes de locations d'une voiture sont supposées
indépendantes les unes des autres. Un jour donné l'agence a reçu 12 demandes de location.
X
la variable aléatoire représentant le
nombre de voitures de catégorie A demandées.
Exercice 10 :
On considère une population de 2000 personnes. On sait que dans ce groupe 250 personnes pratiquent un sport de manière régulière.
On interroge alors au hasard 100 personnes parmi les 2000 pour connaître leur opinion sur l'opportunité de la construction d'un stade.
Soit
X
la variable aléatoire représentant le nombre de sportifs parmi les 100 personnes interrogées. Déterminer la loi de
X
.
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